GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

LỜI CẢM ƠN

Đến thời điểm này, luận văn tốt nghiệp đại học của em đã được hoàn
thành. Để có được bản luận văn tốt nghiệp này, ngoài sự cố gắng từ bản thân
còn có sự hướng dẫn tận tình của thầy Lê Hồng Đức – cán bộ hướng dẫn,
quý thầy cô đến từ bộ môn Toán khoa Sư phạm đã truyền đạt những kiến
thức khoa học quý báu cho em trong bốn năm học vừa qua.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy Lê Hồng
Đức, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em trong suốt quá trình
nghiên cứu và hoàn thành đề tài.
Xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô, các bạn đến từ lớp Sư Phạm Toán
học 01 Khóa 38 đã giúp đỡ em, ủng hộ tinh thần cho em.
Mặc dù đã rất cố gắng thực hiện đề tài cũng như cẩn trọng trong quá
trình trình bày luận văn nhưng chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những sai
sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và ý kiến đóng góp từ
các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Lê Thị Anh Thư

1


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 3
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị ....................................................................... 5
§ 1. Không gian định chuẩn ......................................................................... 5
§ 2. Không gian Hilbert.............................................................................. 11
Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn ..... 17
§ 1. Toán tử tuyến tính liên tục .................................................................. 17
§ 2. Toán tử compact.................................................................................. 35
§ 3. Phiếm hàm tuyến tính trong không gian định chuẩn .......................... 43
§ 4. Phổ của toán tử tuyến tính................................................................... 49
§ 5. Bài tập ................................................................................................. 52
Chương 3: Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert ............ 67
§ 1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục và song tuyến tính liên tục trong không
gian Hilbert ..................................................................................................... 67
§ 2. Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert ......................... 73
§ 3. Bài tập ................................................................................................. 91
KẾT LUẬN .................................................................................................. 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 110

2


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm đóng vai trò vô cùng quan trọng trong giải tích và nhiều lĩnh vực
khác của Toán học. Một trong những hướng nghiên cứu chính của giải tích hàm là lí
thuyết toán tử. Lí thuyết toán tử giúp cho việc nghiên cứu sâu hơn các không gian

định chuẩn và đặc biệt là không gian Hilbert. Theo đó việc mở rộng kết quả của ánh
xạ (toán tử) liên tục trong các không gian cụ thể cũng được phát triển thêm một bước
và đưa ra cho chúng ta nhiều kết quả thú vị.
Vậy toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian trên có những đặc trưng,
tính chất gì riêng biệt, đó là một vấn đề rất hay mà chúng ta có thể tìm hiểu và nghiên
cứu sâu hơn. Qua sự gợi ý của thầy Lê Hồng Đức, em đã quyết định lựa chọn đề tài
“Toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian” làm đề tài cho luận văn tốt
nghiệp của mình.
II. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này nhằm giúp chúng ta tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về
lí thuyết toán tử và toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian, đặc biệt là không
gian tuyến tính định chuẩn và không gian Hilbert. Qua đó, chúng ta đưa ra những
nhận xét về sự giống nhau và khác nhau về tính tuyến tính liên tục của hai không gian
này.
Đồng thời, em đã tìm và xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với từng nội dung
đã được trình bày góp phần để khắc sâu và củng cố lại kiến thức cho người đọc.
III. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu ở đây là các tính chất đặc trưng của toán tử tuyến tính
liên tục trong các không gian, đặc biệt là không gian định chuẩn và không gian
Hilbert.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp chính được sử dụng trong quá trình nghiên cứu là tham khảo
và tổng hợp kiến thức từ các nguồn tài liệu khác nhau, từ đó phân tích, so sánh để tìm
hiểu và làm sáng tỏ vấn đề, sau đó trình bày lại theo một hệ thống logic.

3


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức


Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

V. Nội dung nghiên cứu
Luận văn được tìm hiểu qua 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Ở chương này, luận văn trình bày một cách khái quát về các kiến thức cơ bản
của lí thuyết giải tích hàm, đặc biệt là các định lí và tính chất của không gian định
chuẩn và không gian Hilbert nhằm làm cơ sở cho việc nghiên cứu những đặc trưng
của “Toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian” ở các chương sau.
Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn.
Ở chương này, luận văn trình bày những định nghĩa và tính chất quan trọng
của toán tử tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn. Đồng thời, tìm hiểu sâu
hơn về toán tử compact và phổ của nó, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử hữu
hạn chiều, không gian liên hợp,...
Chương 3: Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert.
Ở chương này, luận văn thể hiện sự ảnh hưởng của tích vô hướng đến toán tử
tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert. Đồng thời, chương này còn cho ta những
tính chất và các định nghĩa đặc trưng mà chỉ có toán tử tuyến tính liên tục trong không
gian Hilbert mới có.

4


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

PHẦN NỘI DUNG
......    ......
Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§ 1: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
1.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn
1.1.1 Định nghĩa
Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng K (K là trường số thực
hoặc trường số phức). Một hàm số thực . : X  được gọi là một chuẩn trên không
gian X nếu thỏa mãn các tính chất sau:
i) x  0 x  X và x  0  x  0 ;
ii)  x    x , x  X ,   K ;
iii) x  y  x  y , x, y  X .
Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn . xác định trên X được gọi là không
gian định chuẩn. Kí hiệu:  X , .  .
Nếu trường K 

) thì ta gọi  X , .  là không gian định chuẩn

(hay K 

thực (hay phức).
Giả sử  X , .  là một không gian định chuẩn, ta đặt d  x, y   x  y với
x, y  X là một khoảng cách trên X. Vậy không gian định chuẩn cũng là một không

gian mêtric. Do đó các lý thuyết của không gian mêtric đều áp dụng được cho không
gian định chuẩn.
Nhận xét
n

a)

n


 x
i 1

i i

  i . xi , với xi  X , i  K , i  ;
i 1

b) x  y  x  y với mọi x, y  X .
1.1.2 Ví dụ
a) Tập
trong

n

n

. Khi đó,

với chuẩn x 



n

x
i 1

n


i

2

, x   x1 , x2 ,..., xn  

n

được gọi là chuẩn

, .  được gọi là không gian định chuẩn n chiều.

b) Tập hợp C a ,b các hàm số liên tục trên  a, b  là một không gian định chuẩn
với chuẩn x  max x  t  .
t a ,b

5


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

c) B(T )  x : T  K với x là hằng số, sup x (t )   là một không gian định
tT

chuẩn với chuẩn được xác định x  sup x(t ) .
tT





d) Gọi l2   x  1 ,  2 ,..., i ,... , i  K :  i    , l2 là một không gian định
i 1


1
2


2
chuẩn với chuẩn x    i  với mọi x  i   l2 .
 i 1

1.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
1.2.1 Định nghĩa
Dãy  xn  là một dãy các phần tử trong X được gọi là hội tụ về x0  X nếu:


lim xn  x0  0 .
n 

Kí hiệu: lim xn  x0 hay xn  x0  n    .
n

1.2.2 Các tính chất
Trong không gian tuyến tính định chuẩn  X , .  .
a) Nếu dãy  xn  hội tụ tới x, thì dãy chuẩn


 x  hội tụ tới
n

x . Nói cách

khác, chuẩn . là một hàm liên tục theo biến x.
b) Nếu dãy điểm  xn  hội tụ trong không gian định chuẩn X thì tồn tại M sao
cho xn  M , n .
c) Nếu dãy  xn  hội tụ tới x, dãy  yn  hội tụ tới y và dãy số  n  hội tụ tới số

 thì:
xn  yn  x  y

 n    và  n xn   x  n    .

1.2.3 Định nghĩa
Cho  xn n là một dãy trong không gian định chuẩn X. Dãy  xn n được gọi là
dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim xm  xn  0 .
m , n 

Tức là   0, N 0  0 : n, m  N 0 ta có: xm  xn   .
1.3 Không gian Banach
1.3.1 Định nghĩa
Không gian tuyến tính định chuẩn  X , .  được gọi là không gian Banach nếu
X là không gian mêtric đầy với mêtric d  x, y   x  y , tức là mọi dãy Cauchy trong
X đều hội tụ.
1.3.2 Ví dụ
a) Không gian

n


là không gian Banach với chuẩn được xác định:

6


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư
1

 n
2 2
x    xi  với x  ( x1 , x2 ,..., xn ) 
 i 1


n

.

b) Tập hợp C a ,b các hàm số liên tục trên  a, b  là một không gian Banach với
chuẩn x  max x  t  .
t a ,b

Ta dễ dàng chứng minh không gian

n

và C a ,b là hai không gian Banach.


c) B(T ) là một không gian Banach với chuẩn được xác định x  sup x(t ) .
tT

Thật vậy,
+ Dễ thấy, B(T) là một không gian định chuẩn.
+ Lấy dãy Cauchy  xn  của B(T), khi đó:

  0, N0  0, n, m  N0  xn  xm  

 sup xn (t )  xm (t )  
tT

 xn (t )  xm (t )   , t  T .

(1.1)

 t T ta cũng có: xn (t )  xm (t )   .

Vậy với mỗi t T dãy xn  t  là một dãy Cauchy trong K, vì K là không gian

đầy nên xn  t  hội tụ trong K   lim xn  t  .
n

Đặt x0  t  : T  K

x0  t   lim xn  t  s

t


n

Từ 1.1  lim xn  t   xm  t    , n  N 0 .
m 

 xn  t   lim xm  t    .
m 

 xn  t   x0  t    , t  T .

(1.2)

Nên sup  xn  x0   t    .
tT

Vậy hàm số  xn  x0  thuộc B(T ) , do đó x0  xn  ( xn  x0 ) thuộc B(T ) .
Mặt khác, từ 1.2  xn  t   x0  t    .
  xn  x0   t    .

 lim sup  xn  x0   t   0 nên lim xn  x0  0 .
n  tT

n 

Vậy B(T ) là không gian Banach.
1.4 Định nghĩa
Trên cùng một không gian tuyến tính X xác định hai chuẩn . 1 và . 2 . Ta nói:

7



GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

- Chuẩn . 1 mạnh hơn chuẩn . 2 nếu tồn tại số dương M sao cho x 2  M x 1 .
- Chuẩn . 1 và chuẩn . 2 tương đương nhau nếu tồn tại hai số thực dương m và
M sao cho m x 1  x 2  M x 1 .
1.5 Chuỗi trong không gian định chuẩn
1.5.1 Định nghĩa
Giả sử  xn n là một dãy các phần tử trong không gian tuyến tính định chuẩn
X. Tổng vô hạn x1  x2  ...  xk  ... được gọi là một chuỗi trong không gian định


chuẩn X . Kí hiệu:  xk .
k 1

n

Phần tử Sn   xk được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Nếu dãy Sn  hội
k 1



x

tụ đến phần tử S trong X thì ta nói rằng chuỗi

k 1


k

hội tụ và có tổng là S. Kí hiệu:



S   xk .
k 1





Chuỗi

x
k 1

k



được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

k 1

xk hội tụ.

1.5.2 Định lí
Nếu các chuỗi



 x
n 1

n







n 1

n 1

n 1

 xn ,  yn hội tụ và có tổng là x, y thì các chuỗi   xn  yn  ,

cũng hội tụ và có tổng là x  y ,  x .
1.5.3 Định lí


Giả sử X là không gian Banach. Khi đó, chuỗi

x
n 1


n

hội tụ khi và chỉ khi:

  0, N  0 sao cho n  N , p ta có: xn 1  xn  2  ...  xn  p   .

1.5.4 Định lí


Nếu X là không gian Banach và

x
n 1



chuỗi

 xn hội tụ và có
n 1





n 1

n 1

n


là chuỗi hội tụ tuyệt đối trong X thì

 xn   xn .

1.5.5 Định lí
Nếu trong không gian tuyến tính định chuẩn X, mỗi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều
hội tụ thì X là không gian Banach.

8


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

1.6 Không gian con
1.6.1 Định nghĩa
Giả sử  X , .  là một không gian tuyến tính định chuẩn và L là một không
gian con tuyến tính của X. Khi đó hàm số
.L:X 
x x

L

 x , x  L

là một chuẩn trên L. Không gian tuyến tính định chuẩn  L, . L  gọi là không gian con
của không gian tuyến tính định chuẩn  X , .  .
1.6.2 Nhận xét

- Không gian con đóng của một không gian Banach là một không gian Banach.
- Không gian con đầy đủ của một không gian con tuyến tính định chuẩn X là
một không gian con đóng của X.
1.6.3 Định lí Riesz
Giả sử L là một không gian con đóng thật sự của không gian tuyến tính định
chuẩn X. Khi đó, với một số  bất kì mà 0    1, tồn tại phần tử z của X sao cho
z  1 và x  z   với mọi x  L .
1.7 Không gian thương
1.7.1 Định nghĩa
Giả sử L là một không gian con đóng của không gian tuyến tính định chuẩn X.





Kí hiệu X / L  x  x  L : x  X là tập thương của X theo quan hệ tương đương.
Trên X/L ta trang bị một chuẩn như sau:
. :X /L

x

x  inf y  inf x  u
yX

uL

Khi đó, X/L là một không gian định chuẩn. Không gian này được gọi là không gian
định chuẩn thương của không gian định chuẩn X theo không gian con đóng L.
1.7.2 Định lí
Cho X là không gian Banach và L là không gian con đóng của X thì X/L là một

không gian Banach.
1.8 Tích các không gian tuyến tính định chuẩn
1.8.1 Định nghĩa
Giả sử  X 1 , . 1  ,...,  X m , . m  là m không gian tuyến tính định chuẩn, tích của
m

m không gian tuyến tính X 1 ,..., X m là không gian tuyến tính X   X k với phép cộng
k 1

9


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

và phép nhân vô hướng được xác định một cách thông thường. Với mỗi
m

x   x1 ,..., xm   X , ta có: x   xk
k 1

(1.3)

k

m

Không gian tuyến tính X   X k với chuẩn (1.3) được gọi là tích của không gian
k 1


tuyến tính định chuẩn  X 1 , . 1  ,...,  X m , . m  .





 Nhận xét: Dãy phần tử x n  x1 n ,..., xm n , n  1, 2,... hội tụ đến phần tử





m

0
0
0
 
 
x   x1  ,..., xm  trong không gian X   X k khi và chỉ khi lim xk  xk trong

k 1

n

0

n


không gian X k , (với k  1,2,..., m ).
1.8.2 Định lí
Giả sử

 X , .  ,  k  1, 2,..., m là các không gian tuyến tính định chuẩn.
k

k

k

m

Khi đó, X   X k là không gian Banach khi và chỉ khi X k ,(k  1, 2,..., m) là các
k 1

không gian Banach.
1.9 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
1.9.1 Định nghĩa
Cho không gian tuyến tính định chuẩn X. Nếu X có số chiều hữu hạn thì X
được gọi là không gian định chuẩn hữu hạn chiều.
1.9.2 Ví dụ
n

là không gian định chuẩn n – chiều với cơ sở e1 , e2 ,..., en  , trong đó

e1  1,0,...,0  , e2   0,1,0,...,0  ,..., en   0,...,0,1 .

10



GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

§ 2: KHÔNG GIAN HILBERT
2.1 Không gian Hilbert
2.1.1 Tích vô hướng
a) Định nghĩa
Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K là trường số thực hoặc trường
số phức). Tích vô hướng trên X là ánh xạ .,. : X  X  K thỏa mãn các điều kiện
sau:

 x  X  .

i) x, x  0

x, x  0  x  0 .

 x, y, z  X  .
 x, y  X ,   K  .
 x, y  X  .

ii) x  y, z  x, z  y, z
iii)  x, y   x, y
iv) y, x  x, y
trong đó x, y là số phức liên hợp của x, y .
b) Một số tính chất cơ bản
1) 0, x  0 ,


 x  X 

Vì 0, x  0  x, x  0  x, x  0 .

 x, y  X ,   K 

2) x,  y   x, y ,

Thật vậy, x,  y   y, x   y, x  . y, x   x, y .

 x, y, z  X 

3) x, y  z  x, y  x, z ,

Thật vậy, x, y  z  y  z , x  y, x  z , x  x, y  x, z .
2.1.2 Không gian tiền Hilbert
a) Định nghĩa
Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng xác định trên X được gọi là
không gian tiền Hilbert.
Nhận xét: Không gian tiền Hilbert X là không gian định chuẩn với chuẩn:
x 

x, x , với mọi x  X .

Do đó, mọi khái niệm, mệnh đề trong không gian định chuẩn đều đúng cho
không gian tiền Hilbert.
b) Bất đẳng thức Cauchy – Schwarts và đẳng thức hình bình hành
Cho X là không gian tiền Hilbert, với mọi x, y  X , ta có:
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarts:


x, y

2

 x, x y , y .

11


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

Đẳng thức hình bình hành:



x y  x y 2 x  y
2

2

2

2

.

c) Mệnh đề
Giả sử X là không gian tiền Hilbert, các dãy  xn  và  yn  hội tụ đến x và y

trong X. Khi đó: lim xn , yn  x, y .
n 

Nhận xét
Tích vô hướng .,. là một hàm liên tục xác định trên X  X .
2.1.3 Không gian Hilbert
a) Định nghĩa
Không gian tiền Hilbert X đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Ví dụ


1) Trong không gian l2 , ta đưa vào tích vô hướng: x, y    n n

x  1 , 2 ,...  l2 , y  1 ,2 ,...  l2 . Khi đó, l2 là không gian Hilbert.

với

n 1

2) C a ,b là không gian Hilbert với tích vô hướng:



b



x, y   x  t  y  t dt , x  t  , y  t   Ca ,b .
a


n

3) Trong C , với x  1 ,  2 ,...,  n  , y  1 , 2 ,..., n  , ta đặt: x, y   ii .
n

i 1

Khi đó, C là một không gian Hilbert.
b) Định lí
Mọi không gian Banach thỏa mãn đẳng thức hình bình hành đều là không gian
Hilbert.
Chứng minh.
Do X là không gian Banach nên ta có X là không gian đầy, vậy ta chỉ cần kiểm
tra tích vô hướng sau:
:XX K
1
2
2
 x, y    x, y   x  y  x  y .
4
Thật vậy, x, y, z  X ,  ,   K , ta có:
1
2
2
2
  x, x  
x  x  x  x  x  0.
4
n










  x, x   0  x  0  x  0 .
2

  x, y  



1
2
x y  x y
4

2

  14  x  y
12

2

 yx

2


    y, x  .


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

  x  y, z  

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư



1
2
x yz  x yz
2

2







1
2
2
2
2

x yz  x yz  x yz  x yz
4
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
 xz 
x  z 
z  y  yz
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
 xz 
x z  xz 

yz  yz  yz
2
4
4
2
1
1
2
2
2
2

xz  xz 
yz  yz
4
4
   x, z     y, z  .







 



 




 

2



Với mỗi x, y  X , xét hàm số f        x, y  .
Ta có f là hàm số liên tục và cộng tính trên K.
Do đó, f có dạng f     C , với C là hằng số.
Thay   1 vào ta được: C  f 1    x, y  .
Do đó: f       x, y 
    x, y     x, y  .

Vậy  là một tích vô hướng trên X.
Vậy X là không gian Hilbert.
2.2 Tính trực giao và hình chiếu trực giao
2.2.1 Hệ trực giao
a) Định nghĩa
Giả sử X là không gian Hilbert.
+ Hai vectơ x, y  X được gọi là trực giao nếu x, y  0 . Kí hiệu: x  y.
+ Hệ S  X được gọi là hệ trực giao nếu các vectơ của S trực giao với nhau
từng đôi một (tức là x, y  X , x  y thì x  y).
b) Tính chất
i) Nếu x  y thì y  x
x  x  x  0,

0  x, x  X .
ii) Nếu x  yi , i  1, n thì x  1 y1   2 y2  ...   n yn  .

iii) Nếu x  yn , n và yn  y thì x  y .
c) Định lí Pythagore
Giả sử S là một hệ trực giao gồm các vectơ khác 0. Khi đó, S là hệ độc lập
tuyến tính. Hơn nữa, ta có đẳng thức Pythagore sau đây:
x 1  x2  ...  xn

2

 x1  x2
2

13

2

 ...  xn , x1 , x2 ,..., xn  S
2


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

d) Định lí
Giả sử  xn n là hệ trực giao trong không gian Hilbert X. Khi đó, chuỗi


hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số



n 1



x
n 1

n

2

xn hội tụ.

2.2.2 Phần bù trực giao, hình chiếu lên không gian con
a) Định nghĩa
Giả sử X là không gian Hilbert và M , N  X .
+ Vectơ x được gọi là trực giao với tập M nếu x  y, y  M . Kí hiệu: x  M .
+ Tập M được gọi là trực giao với tập N nếu x  y, x  M , y  N . Kí hiệu:
M  N.
+ Tập M    x  X : x  M  được gọi là phần bù trực giao của M.
b) Định lí
Giả sử X là không gian Hilbert M  X . Khi đó, M  là một không gian con
đóng của X.
 Nhận xét
Giả sử X là không gian Hilbert, M  X . Gọi  M  là không gian con đóng của
X gây nên bởi M. Khi đó, x  M thì x   M  .
Giả sử M là không gian con của không gian tiền Hilbert X. Khi đó,
M  M   0 .
c) Định lí
Giả sử X là không gian Hilbert, M là không gian con đóng của X. Khi đó, X là

tổng trực tiếp của M và M  , tức là mọi vectơ x  X đều biểu diễn được duy nhất
dưới dạng x  y  z (Với y  M , z  M  ) .
Hệ quả 1. Nếu M là không gian con đóng của không gian Hilbert X thì

M 

 

 M.

Hệ quả 2. Giả sử X là không gian Hilbert, M  X và  M  là không gian con
đóng của X gây nên bởi M. Khi đó,  M     M  .


Hệ quả 3. Giả sử X là không gian Hilbert, M  X và  M  là không gian con
đóng của X gây nên bởi M. Khi đó, X   M  khi và chỉ khi x  M thì x  0 .
2.3 Hệ trực chuẩn
2.3.1 Định nghĩa
Hệ S  X được gọi là một hệ trực chuẩn nếu S là một hệ trực giao và với mọi
x  S có x  1 .

14


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

2.3.2 Bất đẳng thức Bessel
Giả sử X là không gian Hilbert, e1 , e2 ,... là một hệ trực chuẩn trong X. Khi

đó, x  X chuỗi






n 1

x, en en hội tụ và


n 1

2

x, en

 x .
2

2.3.3 Mệnh đề
Giả sử X là không gian Hilbert, e1 , e2 ,... là một hệ trực chuẩn trong X. Khi




đó, chuỗi

 e

n 1

n n

hội tụ khi và chỉ khi chuỗi


n 1

n

2

hội tụ.

2.3.4 Cơ sở trực chuẩn
a) Định nghĩa
Hệ trực chuẩn e1 , e2 ,... trong không gian Hilbert X gọi là cơ sở trực chuẩn
của không gian X, nếu trong không gian X không tồn tại vectơ khác không nào trực
giao với hệ đó.
b) Định lí
Giả sử X là không gian Hilbert, e1 , e2 ,... là một hệ trực chuẩn trong X. Khi đó
các mệnh đề sau đây là tương đương:
i) e1 , e2 ,... là hệ trực chuẩn đầy đủ;


ii) Với mọi x  X thì x   x, ei ei ;
i 1




iii) Với mọi x  X thì x   x, ei
2

2

, (đẳng thức Passerval);

i 1



iv) Với mọi x, y  X thì x, y   x, ei
i 1

y, ei .

2.4 Tổng trực giao và tổng Hilbert
2.4.1 Tổng trực giao
a) Định nghĩa
Giả sử X là không gian Hilbert, M 1 ,..., M n là các không gian con đóng của X,
trực giao với nhau từng đôi một. Khi đó, tổng trực giao của các không gian con trực
n
n


giao M 1 ,..., M n là: M   x  X : x   xi , xi  M i  . Kí hiệu: M   M i .
i 1
i 1



b) Định lí
Giả sử X là không gian Hilbert, M 1 ,..., M n là các không gian con đóng của X,
n

trực giao với nhau từng đôi một. Khi đó, tổng trực giao M   M i là một không gian
i 1

con đóng của X.

15


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

c) Hệ quả 4
Giả sử X là không gian Hilbert, M 1 ,..., M n là các không gian con đóng của X,
n

trực giao với nhau từng đôi một. Khi đó, tổng trực giao M   M i là một không gian
i 1

con đóng sinh bởi M 1 ,..., M n tức là không gian con đóng nhỏ nhất chứa các

M i (i  1,..., n) .
2.4.2 Tổng Hilbert
a) Định nghĩa
Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các không gian Hilbert trên cùng một trường số. Khi

n

đó, ta xác định được không gian tuyến tính X   X i . Ta định nghĩa tích vô hướng
i 1

n

trên X như sau: x, y   xi , yi với x   x1 ,..., xn   X , y   y1 ,..., yn   X .
i 1

Không gian X với tích vô hướng trên được gọi là tổng Hilbert của các không
gian Hilbert X 1 , X 2 ,..., X n .
b) Mệnh đề
i) Tổng Hilbert X của các không gian Hilbert X 1 , X 2 ,..., X n là một không gian
Hilbert.
ii) Với mỗi i  1, 2,..., n không gian X i đẳng cấu với không gian con đóng M i
của X được xác định như sau:
M i   x  X : x   0,...,0, xi ,0,...,0  , xi  X i  .
iii) X là tổng trực giao của các không gian con M 1 , M 2 ,..., M n .
Nhận xét
Các khái niệm tổng trực giao và tổng Hilbert có thể suy rộng cho trường hợp
vô số (đếm được hay không đếm được).

16


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư


Chương 2
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
§ 1: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
1.1 Các định nghĩa
1.1.1 Toán tử tuyến tính
a) Định nghĩa
Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính trên trường K. Ánh xạ A : X  Y
được gọi là toán tử tuyến tính (hay gọi tắt là toán tử) nếu x, y  X ,  ,   K ta có:

A  x   y    Ax   Ay
Khi đó:
+ Ker A   x  X : Ax  0 là hạt nhân của A.
+ Im A   Ax : x  X  là ảnh của A.
+ Nếu A là song ánh thì ta nói A là phép đẳng cấu tuyến tính. Khi đó, X và Y
là hai không gian tuyến tính đẳng cấu với nhau.
+ Giả sử A, B : X  Y là hai toán tử tuyến tính. Ta định nghĩa A  B như sau:

 A  B  x  Ax  Bx,  x  X 
Với số   K , ta định nghĩa tích  A như sau:
  A x   Ax,  x  X 
Khi đó, A  B và  A là toán tử tuyến tính.
+ Giả sử X, Y, Z là ba không gian tuyến tính trên trường số K. Nếu
A : X  Y , B : Y  Z là các toán tử tuyến tính, thì tích B A : X  Z cũng là một
toán tử tuyến tính.
b) Ví dụ
1. Ánh xạ không, 0: X  Y
x 0  x   0Y là ánh xạ tuyến tính.
2. Ánh xạ đồng nhất I : X  X
x

I  x  x
là toán tử tuyến tính trên X (toán tử đồng nhất).
3. Phép lấy tích phân xác định: Ca ,b 

f  x

b

 f  x  dx
a

Là toán tử tuyến tính từ không gian C a ,b các hàm số thực liên tục trên đoạn  a, b 
đến không gian

.
17


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức
4. Xét A :

n



Sinh viên: Lê Thị Anh Thư
n

m


xác định bởi A  x1 ,..., xn    y1 ,..., yn  với yi   aij x j ,
j 1

 i  1, 2,..., m  , trong đó

aij là hệ số của ma trận

a1n 
 a11 a12


a
a
a
21
22
2
n






amn 
 am1 am 2
Khi đó, A là toán tử tuyến tính từ n vào m .
c) Định lí
Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính và A : X  Y là toán tử tuyến tính.
Nếu A có toán tử ngược A1 thì A1 cũng là toán tử tuyến tính.

Chứng minh
Với mọi y1 , y2  Y suy ra tồn tại x1 , x2  X sao cho:

y1  Ax1 , y2  Ax2
Khi đó, với mọi 1 , 2  K , ta có:

A 1 x1   2 x2   1 Ax1   2 Ax2  1 y1   2 y2 .

Suy ra, A1 1 y1   2 y2   1 x1   2 x2  1 A1 y1   2 A1 y2 .
Vậy A1 là toán tử tuyến tính.
1.1.2 Toán tử tuyến tính liên tục
a) Định nghĩa
Giả sử  X , . X  và  Y , . Y  là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên cùng
một trường K. Ánh xạ A : X  Y gọi là toán tử tuyến tính liên tục nếu nó vừa tuyến
tính vừa liên tục.
 A  x   y    A  x    A  y   ,   K , x, y  X .
Tức là A thỏa 
xn  x0  0  lim Axn  Ax0  0  xn   X , x0  X .
lim
n 
n
b) Ví dụ
1) Nếu L là không gian con đóng của không gian tuyến tính định chuẩn X thì
toán tử thương
:X X /L

x

  x  x


là một toán tử tuyến tính liên tục.
Thật vậy,
+ Dễ thấy,  là toán tử tuyến tính.
+ Với x0  X ,  xn   X và xn  x0 ta có: lim xn  x0  0 .
x 

18


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

+ Ta có:

  xn     x0   x n  x 0  xn  x0  xn  x0  0
 lim   xn     x0   0  lim   xn     x0  .
x 

x 

Vậy  là toán tử tuyến tính liên tục.
2) Xét toán tử A : n  n

x

Ax   x

   0


+ Dễ thấy, A là toán tử tuyến tính.
+ Lấy  xn  

n
: xn  x0 
 0. Khi đó, ta có:

n

n 
Axn  Ax0   xn   x0   . xn  x0 
0 .

 A liên tục.
Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục.
c) Định lí
Cho X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu toán tử tuyến tính
A : X  Y liên tục tại một điểm x0  X thì nó liên tục (trên toàn không gian X).
Chứng minh

Giả sử x là một điểm bất kì thuộc X và  xn  là một dãy bất kì những phần tử
của X hội tụ về x.
Khi đó, lim  xn  x  x0   x0 .
n 

Vì A liên tục tại điểm x0 nên lim A  xn  x  x0   Ax0 .
n 

(2.1)


Do A là tuyến tính  A  xn  x  x0   Axn  Ax  Ax0 .
Từ (2.1) suy ra lim  Axn  Ax  Ax0   Ax0 .
n 

 lim Axn  Ax .
n

Vậy A liên tục tại x.
d) Định lí (Suy rộng của toán tử tuyến tính liên tục)
Giả thiết
a) X là không gian định chuẩn, M là một không gian con tuyến tính của X trù
mật trong X, Y là không gian Banach.
b) A : X  Y là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X  Y suy rộng A,
tức là: Ax  Ax  x  M  và A  A .
Chứng minh
Do M trù mật trong X  x  X ,  xn   M hội tụ đến x. Ta có:
Axn  Axm  A  xn  xm   A  xn  xm

19


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

  Axn n 1 là dãy Cauchy trong Y.


Vì Y là không gian Banach nên tồn tại giới hạn lim Axn . Ta định nghĩa:

n

Ax  lim Axn

(2.2)

n 

Định nghĩa (2.2) không phụ thuộc vào các dãy  xn  hội tụ đến x. Như vậy, ta
xác định được ánh xạ A : X  Y . Hiển nhiên, A là ánh xạ tuyến tính và suy rộng A.
Từ (2.2) suy ra: Ax  lim Axn .
n

Ta có: Axn  A  xn .

 Ax  A  x ,  cho n    .
 A  A

(2.3)

Mặt khác, A  sup Ax  sup Ax  sup Ax  A
xX
x 1

xM
x 1

xM
x 1


(2.4)

Từ (2.3) và (2.4) ta có A  A . Tính duy nhất của A là hiển nhiên.
1.1.3 Toán tử tuyến tính bị chặn
a) Định nghĩa
Toán tử tuyến tính A : X  Y từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào
không gian tuyến tính định chuẩn Y gọi là giới nội (bị chặn) nếu tồn tại một số M sao
cho Ax  M x , với mọi x  X .
b) Ví dụ
Cho A : 2  3
 x, y   3x  y, x  3 y, 4 y 
Khi đó, A là toán tử tuyến tính bị chặn.
Thật vậy,
+ Dễ thấy, A là toán tử tuyến tính.
+ Giả sử  x, y  

2

, ta có:

A  x, y    3x  y, x  3 y,4 y 
1/2

2
2
2
  3 x  y    x  3 y    4 x  




 10 x 2  26 y 2 

1/2

 26  x 2  y 2 

1/2

 26  x, y  .

Vậy toán tử tuyến tính A bị chặn.
c) Định lí
Toán tử tuyến tính A : X  Y từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào
không gian tuyến tính định chuẩn Y là liên tục khi và chỉ khi nó giới nội.

20


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

Chứng minh
  Giả sử A giới nội chứng minh A liên tục.
Thật vậy, giả sử xn  x0 . Khi đó, ta có:
n
Axn  Ax0  A  xn  x0   M xn  x0 
 0 (Với M thỏa Ax  M x ).

 lim Axn  Ax0  0 .

n

 lim Axn  Ax0 .
n

 A liên tục tại x0  X  A liên tục trên X.
  Giả sử A liên tục chứng minh A giới nội.
Thật vậy, A liên tục tại 0  X    1  0,   0 sao cho với mọi x  X , nếu

x   thì Ax  1 .
+ Với x  0, x  X , ta đặt u 

 u 

x
x

x
x

   Au  1 .
x
x

x
1
 A    1  Ax  x

 x 
+ Với x  0 , ta có A  0   0 

Đặt M 

(2.5)
1



0  đẳng thức (2.5) đúng.

1

 Ax  M x , x  X .

Vậy A là toán tử tuyến tính giới nội.
d) Định lí
Cho A : X  Y là một song ánh tuyến tính giới nội từ không gian tuyến tính
định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y. Khi đó, nếu tồn tại số m  0
sao cho m x  Ax thì ánh xạ A1 liên tục.

Chứng minh. Đặt y  Ax  x  A1  y  vậy có m A1  y   y suy ra
1
y . Vậy A1 liên tục.
m
e) Định lí
Giả sử X, Y, Z là ba không gian tuyến tính định chuẩn và A : X  Y ,
B : Y  Z là các toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó, B A : X  Z cũng là một toán
tử tuyến tính liên tục và có:
B A  B  A
A1  y  


21


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

Chứng minh
Bởi vì A, B là các toán tử tuyến tính liên tục nên tích B A cũng là toán tử
tuyến tính liên tục.
Mặt khác, lấy x  X , ta có:  B A x  B  Ax   B  Ax  B  A  x .
Do đó, B liên tục và có B A  B  A .
1.1.4 Chuẩn của toán tử
a) Định nghĩa
Cho A : X  Y là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính
định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y.
Khi đó, số: A  inf M : x  X , Ax  M x 
(2.6)
gọi là chuẩn của toán tử A.
b) Định lí
Giả sử A : X  Y là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính
định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y. Khi đó:
i) Ax  A  x , với mọi x  X .

Ax
.
x

ii) A  sup Ax  sup Ax  sup
x 1


x 1

x 0

Chứng minh
i) Từ định nghĩa (2.6) suy ra tồn tại một dãy số M n  sao cho lim M n  A
n 

thỏa Ax  M x , x  X .
 Ax  lim M n  x .
n

 Ax  A  x , x  X .
ii) Thật vậy, theo câu a) ta có: Ax  A  x .
Khi x  1  Ax  A 1  A , x  X .
+ Từ định nghĩa chuẩn của toán tử (2.6) suy ra với một số dương  bất kì, tồn
tại một phần tử u  X sao cho: Au   A    u



 u 
Au
 A    A   A   .
 u 
u



+ Đặt v 


Au
u
u
 A  .
 1 và Av 
. Khi đó, v 
u
u
u

 v  X , v  1 và Av  A   .
 A  sup Ax .
x 1

22


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

 x 
Ax
+ Mặt khác, ta cũng có: sup Ax  sup A    sup
.
x
x
x 1
x 0

x 0
 
 A  sup
x 0

Ax
.
x

 A  sup Ax  sup Ax  sup
x 1

x 1

x 0

Ax
.
x

1.2 Toán tử song tuyến tính
Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính định chuẩn và toán tử A : X  Y  Z
A là toán tử song tuyến tính nếu với mỗi y cố định thì A  x, y  là toán tử tuyến
tính từ X vào Z và với mỗi x cố định thì A  x, y  là toán tử tuyến tính từ Y vào Z.
Khi đó:
+ Toán tử A gọi là liên tục nếu với mọi dãy xn  x, yn  y , ta có:

A  xn , yn   A  x, y  .
+ Toán tử A gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M  0 sao cho:
A  x, y   M  x  y , x  X , y  Y .

+ Số M  0 nhỏ nhất thỏa A  x, y   M  x  y , x  X , y  Y gọi là chuẩn
của toán tử A, kí hiệu A . Ta có:
i) A  x, y   A  x  y .





ii) A  sup A  x, y  : x  1, y  1 .
1.3 Toán tử ngược
1.3.1 Định nghĩa
Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn và A : X  Y là toán tử tuyến tính
liên tục. Khi A là song ánh thì tồn tại toán tử tuyến tính ngược A1 . Nếu A1 liên tục
thì A1 được gọi là toán tử ngược của toán tử tuyến tính liên tục A.
1.3.2 Định lí
Giả sử A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X
vào không gian tuyến tính định chuẩn Y.
i) Nếu tồn tại toán tử ngược A1 liên tục thì Ax  m x , với mọi x  X và

m

1
.
A1

23


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức


Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

ii) Nếu tồn tại m  0 sao cho Ax  m x với mọi x  X thì tồn tại toán tử
ngược A1 liên tục và có A1 

1
.
m

Chứng minh
i) Giả sử tồn tại toán tử ngược A1 : Im A  X liên tục. Với mọi x  X thì
Ax  y  Im A , ta có: A1 y  A1 y  x  A1 Ax .
Từ đó, Ax 

1
1
x

m
x
m

.
với
mọi
m
thỏa
mãn
A1
A1


ii) Khi Ax  0 , ta có: 0  Ax  m x  x  0  A là đơn ánh.
Khi đó, A : X  Im A là một song ánh. Suy ra tồn tại toán tử tuyến tính ngược
1

A .

Với mọi y  Im A , tồn tại x  X sao cho y  Ax .
Khi đó, Ax  m x  y  m A1 y .
Tức là A1 y 

1
y .
m

Vậy A1 liên tục và A1 

1
.
m

1.3.3 Định nghĩa
Nếu A là một song ánh tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn
X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y và tồn tại toán tử ngược A1 liên tục thì A
được gọi là phép đồng phôi tuyến tính từ X lên Y. Khi đó, X và Y là hai không gian
tuyến tính đồng phôi với nhau.
 Ví dụ
Ánh xạ A : n  n

x


Ax   x

   0

Là một phép đồng phôi tuyến tính.
1.3.4 Định nghĩa
Ánh xạ A : X  Y từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian
tuyến tính định chuẩn Y gọi là một phép đẳng cự tuyến tính nếu nó là một toán tử
tuyến tính và là một phép đẳng cự, tức là Ax  x , x  X . Khi đó, X và Y là hai
không gian tuyến tính đẳng cự với nhau.
1.3.5 Nhận xét
Hai không gian đẳng cự tuyến tính thì đồng phôi tuyến tính.
Chứng minh
+ Khi X và Y là hai không gian đẳng cự tuyến tính thì tồn tại một phép đẳng
cự tuyến tính A từ X vào Y thỏa mãn: Ax  x .
(2.7)

24


GVHD: Th.s Lê Hồng Đức

Sinh viên: Lê Thị Anh Thư

Khi đó, A là một song ánh tuyến tính và Ax  1. x .

 A liên tục.
+ Với mọi y  Y . Đặt y  Ax suy ra A1 y  x .
Từ (2.7) suy ra y  A1 y


 A1 liên tục.
Vậy A là phép đồng phôi nên X và Y là hai đồng phôi tuyến tính.
1.3.6 Định lí
Nếu X là không gian Banach, A  L  X , X  và A  1 thì
+ I  A là một phép đồng phôi tuyến tính từ X lên X;
+  I  A

1



 x    An x

với mọi x  X ;

n 0

+

 I  A

1



1
.
1 A


Chứng minh
+ Vì I  L  X , X 

  I  A  L  X , X  .

A L X , X 
L  X , X  là không gian tuyến tính


+ Ta thấy

 A  x  hội tụ.
n

n 0


Thật vậy, Ta có:


n 0



A x  A
n



x  A


n

n 0

n

n 0

1
 
n
x   A  x 
x .(2.8)
1 A
 n 0




  An  x  hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach X.
n 0


  An  x  là chuỗi hội tụ.
n 0



n

+ Đặt B  x    A  x  với mọi x  X .
n 0


 I  A  B  I X
Ta chứng minh 

 B  I  A  I X
Thật vậy, với mỗi x  X , ta có:

 I  A B   x    I  A 

 n

B  x    I  A  A  x 
 n 0


25