Phương pháp và bài tập về hệ phương trình hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (128.35 KB, 2 trang )
Trần Quốc Luật - GV trường THPT chuyên Hà Tĩnh
1
VỀ MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
Trong [1], có bài toán ở mức độ phân loại như sau
Bài toán. Giải hệ phương trình
x(x − 3)2 = 2 + y 3 + 3y
√
3 x − 3 = y 2 + 8y.
Phân tích.
1) Điều kiện: x ≥ 3; y ≥ 0 (do y ≤ −8 không thỏa mãn y 3 + 3y ≥ 0).
2) Do y ≥ 0 nên phương trình thứ nhất của hệ đã cho được viết lại thành
x(x − 3)2 = 2 + y
y + 3.
3) Nhận√thấy ở vế phải xuất hiện dạng căn bậc hai của nhị thức bậc nhất, ta đặt
thì t ≥ 3 và y = t2 − 3. Khi đó phương trình trên được viết lại
√
y+3 = t
x(x − 3)2 − 2 − t(t2 − 3) = 0.
4) Sử dụng chức năng SOLV E của máy tính cầm tay Casio, cho t = 1000 máy hiện kết quả
x = 1002. Vì vậy, vế trái của phương trình chứa nhân tử x − t − 2. Thực hiện phép chia đa thức
cho đa thức (kiến thức lớp 8) lấy x(x − 3)2 − 2 − t(t2 − 3) chia cho x − t − 2 ta được thương là
x2 + (t − 4)x + t2 − 2t + 1. Tóm lại phương trình trên được viết lại thành
(x − t − 2)[x2 + (t − 4)x + t2 − 2t + 1] = 0.
√
√
5) Chú ý rằng x ≥ 3 và t ≥ 3 nên x2 + (t − 4)x + (t − 1)2 = (x − 1)(x − 3) + 3 + 2 > 0. Do
vậy
x = 2 + t.
√
6) Tóm lại ta đã có x = 2 + t; y = t2 − 3 với t ≥ 3.
7) Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
√
3 t − 1 = (t2 − 3)(t2 + 5).
√
8) Bình phương 2 vế lên, chú ý t ≥ 3 > 0, ta được
t4 + 2t2 − 9t − 6 = 0 ↔ (t − 2)(t3 + 2t2 + 6t + 3) = 0 ↔ t = 2.
9) Khi t = 2 thì x = 4; y = 1. Thử lại ta thấy (4; 1) là nghiệm của hệ.
10) Đáp số (x; y) = (4; 1).
Nhận xét. Đây là một bài toán hay, đẹp và có tính thời sự. Bài toán có phần tương tự với
một bài toán sau của tác giả Nguyễn Tài Chung.
Hình 1.
Trần Quốc Luật - GV trường THPT chuyên Hà Tĩnh
2
Sau đây là một số bài tập
Bài 1. (Nguyễn Huệ, TTĐH 2014) Giải hệ phương trình
√
x(x + 3)2 = −2 + y y + 3
√
√
16(y + 2)
√
.
13 x + 9 x + 2 =
1+ y+3
Bài 2. Giải hệ phương trình
x3 − y 3 + 6y 2 −
√ 12x = 16
2
4x − 3x + 3x 4 − x2 =
−y 2 + 4y.
Bài 3. Giải hệ phương trình
3x − 2x3 − 1 = 2x3 (y 2 − 1) 1 + 2y 2
√
3
x − 4 + 3 = −4 − x 1 + 2y 2 .
Bài 4. Giải hệ phương trình
√
3x2 − 2x − 5 + 2x x2 + 1 = 2(y + 1)
x2 + 2y 2 = 2x − 4y + 3.
y 2 + 2y + 2
Bài 5. Giải hệ phương trình
√
x + x2 − 2x + 5 = 3y +
x2 − y 2 = 3x − 3y − 1.
y2 + 4
Bài 6. Giải hệ phương trình
√
√
2y 3 + 2x 1 − x =√3 1 − x − y
y + 1 = 2x2 + 2xy 1 − x.
Bài 7. Giải hệ phương trình
√
x3 (4y 2 + 1) + 2 x(x2 + 1) =
√6
2
2
x y(2 + 2 4y + 1) = x + x2 + 1.
Bài 8. Giải hệ phương trình
x
x2 +
= (y + 2) (x + 1)(y + 1)
√
√ x+1
4x y + 1 + 8x = (4x2 − 4x − 3) x + 1.
Tài liệu tham khảo
[1] Đề thi thử Đại học môn Toán khối A − A1 lần 4 năm 2014 trường THPT Chuyên Hà Tĩnh.
