LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, tôi đã cố gắng trang bị cho mình đầy đủ những kiến thức
cần thiết cùng với sự giúp đỡ của quý thầy cô trong bộ môn. Tôi xin được gởi lời cảm
ơn đến các quý thầy cô đã tạo điều kiện thuân lợi để cho tôi có thể hoàn thành luận văn
một cách tốt nhất.
Đặc biệt, tôi xin gởi lời cám ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc nhất đến cô Lê Phương
Thảo, cô đã giúp đỡ rất nhiệt tình và tận tình, để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này.
Và tôi cũng gởi lời cám ơn đến các bạn trong thời gian làm luận văn đã ủng hộ tinh
thần và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.
Tuy đã có nhiều cố gắng và sự giúp đỡ tận tình của giáo viên hướng dẫn, của các thầy
cô, bạn bè,… luận văn cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế tôi rất mong nhận
đước sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện
hơn!
Tôi xin chân thành cám ơn!
Cần Thơ, ngày tháng

năm 2016

Sinh viên Ngô Thị Minh Tâm

1


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU........................................................................................................................ 5
BẢNG KÍ HIỆU ........................................................................................................................ 7
NỘI DUNG LUẬN VĂN .......................................................................................................... 8
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................................... 8
1.1

Vành ............................................................................................................................ 8

1.1.1

Định nghĩa ........................................................................................................... 8

1.1.2

Các tính chất........................................................................................................ 8

1.2

Vành con ..................................................................................................................... 9

1.2.1

Định nghĩa ........................................................................................................... 9

1.2.2 Các tính chất............................................................................................................ 9
1.3

Ideal ........................................................................................................................... 11

1.3.1

Định nghĩa ......................................................................................................... 11

1.3.2

Ideal sinh bởi một tập – Ideal chính................................................................ 11


1.3.3

Các tính chất...................................................................................................... 11
Vành thương ......................................................................................................... 13

1.4
1.5

Đồng cấu vành .......................................................................................................... 14

1.5.1 Định nghĩa ............................................................................................................. 14
1.5.2 Các tính chất cơ bản ............................................................................................. 14
1.5.3 Định lý đồng cấu vành ........................................................................................... 15
1.6

Tích trực tiếp và tổng trực tiếp ............................................................................... 15

1.7

Miền nguyên ............................................................................................................. 16

1.7.1

Định nghĩa ......................................................................................................... 16

1.7.2

Các ví dụ ............................................................................................................ 16

1.8


Trường ...................................................................................................................... 16

1.8.1

Định nghĩa ......................................................................................................... 16

1.8.2

Các ví dụ ............................................................................................................ 17

1.8.3

Trường con ........................................................................................................ 17

1.9

Ideal nguyên tố và ideal tối đại ............................................................................... 17

1.9.1 Định nghĩa ............................................................................................................. 17
2


1.9.2 Các tính chất.......................................................................................................... 17
Vành các thương ................................................................................................... 18

1.10

1.10.1 Định nghĩa ........................................................................................................... 18
1.10.2 Các tính chất........................................................................................................ 19

Chương 2 VÀNH CHÍNH ...................................................................................................... 20
2.1

Tính chất số học trong vành .................................................................................... 20

2.1.1

Ước của một phần tử, phần tử khả nghịch ..................................................... 20

2.1.2

Phần tử liên kết với nhau, phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố ....... 20

2.1.3

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất ................................................... 22

2.2

Vành chính ................................................................................................................ 24

2.2.1

Định nghĩa và ví dụ ........................................................................................... 24

2.2.2

Các tính chất của vành chính........................................................................... 25

BÀI TẬP .............................................................................................................................. 29

Chương 3 VÀNH EUCLIDE ................................................................................................. 39
3.1

Vành đa thức ............................................................................................................ 39

3.1.1

Định nghĩa ......................................................................................................... 39

3.1.2

Một số tính chất................................................................................................. 40

3.1.3

Đa thức bất khả quy ......................................................................................... 41

3.1.4

Nghiệm của đa thức .......................................................................................... 42

3.2

Vành Euclide............................................................................................................. 43

3.2.1

Định nghĩa ......................................................................................................... 43

3.2.2


Tính chất của vành Euclide.............................................................................. 44

3.2.3

Thuật toán tìm ƯCLN (thuật toán Euclide) ................................................... 46

BÀI TẬP .............................................................................................................................. 49
Chương 4 VÀNH NHÂN TỬ HÓA ....................................................................................... 66
4.1 Các khái niệm cơ bản ................................................................................................... 66
4.1.1 Định nghĩa .............................................................................................................. 66
4.1.2 Các tính chất.......................................................................................................... 66
4.2 Vành nhân tử hóa ......................................................................................................... 67
4.2.1 Định nghĩa .............................................................................................................. 67
3


4.1.2 Các tính chất........................................................................................................... 68
4.3 Vành các số nguyên Gauss ........................................................................................... 71
4.3.1 Định nghĩa và tính chất ......................................................................................... 71
4.3.2 Các ước của đơn vị trong

[i] ............................................................................. 72

4.3.3 Các phần tử nguyên tố trong

[i] ....................................................................... 72

BÀI TẬP .............................................................................................................................. 79
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................................. 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 91

4


PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các môn học đại số cao cấp ở bậc đại học, chúng ta đã được làm quen với
những mảng kiến thức của đại số như: nhóm, vành, trường,... và đặc biệt mảng kiến thức
về vành Euclide, vành chính, cũng như vành nhân tử hóa. Tuy nhiên tài liệu tiếng Việt
về vấn đề này không nhiều nên việc nghiên cứu của sinh viên gặp không ít khó khăn.
Xuất phát từ những lí do trên nên tôi quyết định chọn đề tài luận văn mang tên “Vành
Euclide, vành chính, và vành nhân tử hóa” nhằm tìm hiểu và tổng hợp những tính
chất cơ bản nhằm góp phần nâng cao kiến thức về đại số nói chung và hơn nữa là đưa ra
một tài liệu cơ bản, hoàn chỉnh nhằm giúp ích cho việc học tập và nghiên cứu của sinh
viên.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận văn này là nhằm khai thác những kiến thức chuyên sâu về vành
Euclide, vành chính và vành nhân tử hóa. Rèn luyện kĩ năng tiếp cận, nghiên cứu một số
vấn đề toán học còn khá mới mẻ đối với bản thân mình.
Đây cũng là dịp để bản thân nhìn lại một cách tổng quan về kiến thức đại số đặc biệt
là về vành, trường - một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong toán học nói
chung. Và việc nghiên cứu này cũng góp phần bổ sung thêm kiến thức của bản thân để
chuẩn bị cho những nghiên cứu khác sau này.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Tôi thực hiện việc nghiên cứu về những lý thuyết và bài tập liên quan đến vành
Euclide, vành chính, và vành nhân tử hóa.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là tổng hợp kiến
thức từ các nguồn tài liệu khác nhau để làm rõ nội dung lý thuyết, phân tích, so sánh, sau

đó trình bày lại theo một hệ thống.
5. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
Nhận đề tài.
Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài.
Lập đề cương chi tiết.
Làm rõ các vấn đề mà đề tài hướng tới hoặc có liên quan đến đề tài.
Trình bày các vấn đề đã làm được và thông qua giáo viên hướng dẫn.
Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn.
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN
5


Luận văn được chia làm 4 chương như sau:
Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
Chương II VÀNH CHÍNH
Chương III VÀNH EUCLIDE.
Chương IV VÀNH NHÂN TỬ HÓA.

6


BẢNG KÍ HIỆU
Ký hiệu

Ý nghĩa

ab

a là ước của b
Tập hợp các số tự nhiên

Tập hợp các số nguyên
Tập hợp các số hữu tỉ
Tập hợp các số thực
Tập hợp các số phức



Tập hợp rỗng

■

Kết thúc phần chứng minh, bài tập

 a; b 

Cặp phần tử

C( X )

Tâm của nhóm X

A  B( A  B)
B  A( A  B)

A là tập con của tập hợp B

< a > hay (a)

Ideal chính sinh bởi phần tử a


A B

Tích Descartes của hai tập hợp A và B

f : AB
f
A 
B

Ánh xạ f từ A đến B

 a, b 

Ước chung lớn nhất của a và b

 a, b 

Bội chung nhỏ nhất của a và b

deg f ( x)

Bậc của f(x)

7


NỘI DUNG LUẬN VĂN
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Vành
1.1.1 Định nghĩa

Vành là tập X ( X   ) cùng với phép cộng (+) và phép (.) đã cho trong X thỏa mãn
các điều kiện sau:
1) X cùng với phép toán cộng lập thành nhóm Abel.
2) Phép nhân có tính chất kết hợp: x, y, z  X ta có:
( xy ) z  x ( yz )

3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: x, y, z  X ta có:

x( y  z )  xy  xz
( y  z ) x  yx  yz
Nhóm (X,+) được gọi là nhóm cộng của vành X. Phần tử trung lập của phép cộng
được gọi là phần tử không và kí hiệu là 0. Phần tử đối xứng của phần tử x  X được gọi
là phần tử đối của x và được kí hiệu là  x . Phần tử x  (  y ) được kí hiệu là x  y .
Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có tính giao hoán.
Vành X được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân có đơn vị và phần tử đơn vị của
X được kí hiệu là e hoặc 1.
Các ví dụ
1) Mỗi tập hợp số , , , cùng với phép toán cộng và nhân các số thông thường
đều lập thành một vành giao hoán có đơn vị và được gọi là vành các số nguyên, vành
các số hữu tỉ, vành các số thực, vành các số phức.
2) Gọi M ( n, ) là tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử là số thực. Tập
M ( n, ) cùng với phép toán cộng và nhân các ma trận lập thành một vành có đơn vị và
không giao hoán (với n >1). Tương tự ta cũng có vành M (n, ), M ( n, ) , M ( n, ) .
1.1.2 Các tính chất
Sau đây là một số tính chất của vành được suy ra từ định nghĩa.
Cho X là một vành:
1) Với mọi x, y, z thuộc X ta có:

x( y  z )  xy  xz
( y  z ) x  yx  zx

8


2) Với mọi x thuộc X ta có: x0  0 x  0
3) Với mọi x, y thuộc X ta có:

x( y )  ( x) y   xy
( x)( y )  xy
Hệ quả Với mọi x thuộc vành X, n 



ta có:

( x)n  xn (với n là số chẵn)
( x)n   xn (với n là số lẻ)
4) Với mọi xi , y j thuộc X ta có:
n

m

i 1

j 1

n

m

( x1  ...  xn )( y1  ...  ym )   xi  y j   xi y j

i 1 j 1

Tính chất trên được gọi là luật phân phối tổng quát.
1.2 Vành con
1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là một vành và A là một tập con khác rỗng ổn định với hai
phép toán trong X. Tập A được gọi là vành con của X nếu A cùng với hai phép toán trên
X lập thành một vành.
Các ví dụ
1) Giả sử X là một vành. Khi đó tập con {0} và X là các vành con của X. Các vành
con này được gọi là vành con tầm thường của X.
2) Tập con m gồm các số nguyên là bội của số nguyên m cho trước là một vành
con của vành các số nguyên .
3) Tập T (n, ) các ma trận tam giác trên, cấp n với hệ số thực là một vành con của
vành M ( n, ) các ma trận vuông cấp n hệ số thực.
1.2.2 Các tính chất
Định lý 1 Giả sử A là một tập con khác rỗng của vành X. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:
1) A là vành con của X.
2) Với mọi x, y  A , ta có x  y  A, xy  A,  x  A.
3) Với mọi x, y  A , ta có x  y  A, xy  A.

9


Các ví dụ



 là vành con của vành số thực
Ta có  2   và 1  1  0 2   2  . Vì vậy   ( 2) 

Giả sử a  b 2, c  d 2   2  (với a, b, c, d  )
( 2)  a  b 2 | a, b 

1) Tập

. Thật vậy

Khi đó: (a  b 2)  (c  d 2)  (a  c)  (b  d ) 2  ( 2)

(a  b 2)(c  d 2)  (ac  2bd )  (bc  ad ) 2  ( 2)
Vậy

( 2) là vành con của vành số thực
(i )  a  bi a, b 

2) Tập

.

 với hai phép toán cộng và phép toán nhân lập thành

một vành giao hoán, có đơn vị.
Thật vậy: ta chứng minh tập
số phức
Vì

 i   a  bi a, b   là một vành con của vành các

.




 i  nên  i   .

Với x  a  bi, y  c  di 

 i  . Ta có

x  y  a  bi  c  di   a  c    b  d  i 

i .

xy   a  bi  c  di    ac  bd    bc  ad  i 
Như vậy,

i 

i .

là một vành con của vành các số phức

. Do

là vành giao hoán

nên

 i  cũng là một vành giao hoán và vành  i  có đơn vị là: 1  1  0i.

Vậy


 i  là một vành giao hoán, có đơn vị.

Mệnh đề 1 Giao của một họ khác rỗng những vành con của vành X là một vành con của
vành X.
Vành con sinh bởi một tập hợp Giả sử S là một tập con của vành X. Khi đó S chứa
trong ít nhất một vành con của X, chẳng hạn S  X . Khi đó giao của tất cả các vành
con của X chứa S là một vành con của X chứa S. Vành con này gọi là vành con của X
sinh ra bởi một tập S. Đây cũng là vành con bé nhất (theo quan niệm bao hàm) của X
chứa S.

10


1.3 Ideal
1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là một vành
1) Vành con A của X gọi là ideal trái của X nếu xa  A (x  X , a  A) .
2) Vành con A của X gọi là ideal phải của X nếu ax A (x  X , a  A) .
3) Vành con A của X gọi là ideal của X nếu A vừa là ideal trái, vừa là ideal phải của
X.
Mệnh đề 2 Giao của một họ bất kì những ideal của một vành X là một ideal của vành X.
Định lý 2 Một tập con A khác rỗng của một vành X là ideal của X khi và chỉ khi các điều
kiện sau thỏa mãn:
1) Với mọi a, b  X , ta có a  b  A .
2) Với mọi a  A và x  X ta có xa  X và ax  X .
Các ví dụ
1) Giả sử X là một vành. Khi đó {0} và X là các ideal của X. Các ideal này gọi là
ideal tầm thường của X. Mỗi ideal khác {0} và khác X của một vành X được gọi là ideal
thật sự của X.
2) Tập con n  {nk | k  } là một ideal của vành số nguyên

Thật vậy: ta có n 

.

và n   vì 0  n.0  n .

nk1 , nk2  n : nk1  nk2  n(k1  k2 )  n
nk  n ,  

Vậy n

: ( nk )  n(k )  n , tương tự:   nk   n  k   n .

là ideal của vành

.

3) Tâm C ( X )  a  X | ax  xa của vành X là một vành con của X nhưng không
là ideal của X.
1.3.2 Ideal sinh bởi một tập – Ideal chính
Giả sử S là một tập con khác rỗng của vành X. Khi đó giao của tất cả các ideal của
vành X chứa S là một ideal của X chứa S, nó được gọi là ideal của X sinh bởi một tập S.
Kí hiệu < S > hay (S). Rõ ràng < S > là ideal bé nhất (theo quan niệm bao hàm) chứa S
trong vành X.
Nếu S ={a1,a2,…,an} thì < S > gọi là ideal sinh ra bởi {a1,a2,…,an}.
Ideal sinh bởi tập gồm một phần tử {a} được gọi là ideal chính sinh bởi a, kí hiệu
< a > hay (a).
1.3.3 Các tính chất
Giả sử a là phần tử thuộc vành X và S là tập con khác rỗng của X. Khi đó ta có:


11


1) Ideal sinh bởi phần tử a
m

 a   {xa  ay  na   xi ayi / x, y , xi , yi  X ; n  , m 

*

}

i 1

2) Nếu vành X có đơn vị thì:
n

 a   { xi ayi / xi , yi  X , n 

*

}

i 1

3) Nếu a  C ( X ) thì

 a   {xa  na / x  X , n  }
Phép toán trên ideal Giả sử A, B là các ideal của vành X. Khi đó:
1) Tổng của các ideal A và B, kí hiệu A+B, là tập hợp:

A  B  {a  b | a  A, b  B}

2) Tích của các ideal A và B, kí hiệu AB, là tập hợp:
n

AB  { aibi | ai  A, bi  B, n 

*

}

i 1

Định lý 3 Giả sử A và B là các ideal của vành X. Khi đó A+B và AB là các ideal của
vành X.
Chứng minh
 Chứng minh: A+B là ideal của X.
A  B  a  b | a  A, b  B
A  B  X và A  B   vì 0  0  A  B

x, y  A  B khi đó: x  a1  b1 , y  a2  b2 với a1 , a2  A; b1 , b2  B
z  X ta có:
x  y  (a1  b1 )  (a2  b2 )  (a1  a2 )  (b1  b2 )  A  B
xz  (a1  b1 ) z  a1 z  b1z  A  B
zx  z (a1  b1 )  za1  zb1  A  B
Vây A  B là ideal của X.
 Chứng minh: AB là ideal của X.
n

AB  { ai bi | ai  A, bi  B, n 


*

}

i 1

n

m

Giả sử x, y  AB khi đó: x   aibi  AB , y   c j d j  AB , với n, m
i 1

j 1

AB  X và AB  0 vì 0  AB

12

*


n

m

n

m


i 1

j 1

i 1

j 1

n

n

i 1

i 1

x  y   aibi   c j d j   aibi   (c j )d j  AB

z  X , ta có:
n

zx  z. aibi   z.(aibi )   ( zai )bi  AB
i 1

n


xz    ai bi  .z   (ai bi ) z   ai (bi z )  AB
i 1

i 1
 i 1

n

n

Vậy AB là ideal của X.
Định lý 4 Giả sử a là một phần tử nào đó của miền nguyên X, tập hợp aX  {ax | x  X }
là ideal chính của X sinh bởi phần tử a nghĩa là aX = < a >.
Chứng minh
 Trước hết ta chứng minh aX là một ideal của X. Thật vậy:

aX   vì nó chứa phần tử a = a.1.
Giả sử m = ax1 và n = ax2 là hai phần tử của aX, ta có:

m  n  ax1  ax2  a( x1  x2 )  aX

x  X ta có:
mx  xm  (ax1 ) x  a( x1 x)  aX
Vậy aX là một ideal của X.
 Hơn nữa aX còn là ideal chính bởi a, hay aX = < a >. Thật vậy:
Giả sử I là ideal nào đó của X có chứa phần tử a, ta chứng minh aX  I . Xét một
phần tử bất kì m  aX , ta có m  ax với x  X . Vì a  I và x  A nên theo định nghĩa
của ideal ta có ax  I hay m  I . Điều này chứng tỏ aX là ideal nhỏ nhất của X chứa
phần tử a, hay aX = < a >.
1.4 Vành thương
Giả sử X là một vành và A là ideal tùy ý của vành X. Khi A là nhóm con cộng của
nhóm Abel (X,+). Suy ra A là nhóm con chuẩn tắc của X. Khi đó tập thương
X/A = {x+A| x X }

cùng với phép cộng:
(x + A) + (y + A) = x + y + A
là một nhóm Abel.
Ta có thể trang bị trên X/A phép nhân như sau:

13


(x + A)(y + A) = xy + A
Khi đó X/A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành.
Định nghĩa Vành X/A được gọi là vành thương của X theo ideal A (hay vành thương của
X trên A). Khi đó nếu X là vành giao hoán thì X/A cũng là vành giao hoán và nếu X là
vành có đơn vị thì X/A cũng là vành có đơn vị (đơn vị là 1+A)
Ví dụ Với mọi số nguyên dương n, n là một ideal của vành số nguyên . Khi đó vành
thương
được gọi là vành các số nguyên mod n. Phép cộng và phép nhân trong
n
được định nghĩa như sau:
n

(x  n )  ( y  n )  x  y  n
( x  n )( y  n )  xy  n
1.5 Đồng cấu vành
1.5.1 Định nghĩa Giả sử X và Y là các vành. Khi đó ánh xạ f : X  Y được gọi là
đồng cấu vành nếu nó bảo tồn các phép toán của vành, tức là với mọi x, y thuộc X ta
có:
f (x+y) = f(x)+f(y) và
f(xy) = f(x)f(y)
Chú ý
i) Nếu X  Y thì đồng cấu vành f : X  Y được gọi là tự đồng cấu vành X.

ii) Đồng cấu vành f : X  Y gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu ánh xạ f là
đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Các ví dụ
1) Cho X, Y là các vành và ánh xạ f : X  Y

x

0

với 0 là phần tử trung hòa của Y là đồng cấu vành và được gọi là đồng cấu không.
2) Cho A là vành con của X và ánh xạ iA : A  X

a

a

là đơn cấu vành và được gọi là đơn cấu chính tắc hay phép nhúng tự nhiên.
1.5.2 Các tính chất cơ bản
1) Nếu f : X  Y là đồng cấu vành thì f(0X) = 0Y và f ( x)   f ( x), x  X .

14


2) Nếu f : X  Y và g : Y  K là các đồng cấu vành thì ánh xạ tích gf : X  Y
là đồng cấu vành. Đặc biệt tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) vành là một đơn
cấu (toàn cấu, đẳng cấu) vành.
3) Nếu f : X  Y đẳng cấu vành thì ánh xạ ngược f 1 : Y  X cũng là một đẳng
cấu vành.
Định lý 5 Giả sử f : X  Y là đồng cấu vành, A là vành con của X và B là ideal của Y.
Khi đó:

1) f (A) là vành con của vành Y.
2) f -1(B) là ideal của vành X.
Hệ quả Giả sử f : X  Y là đồng cấu vành. Khi đó:
1) Imf ={f(x)| x X }= f(X) là vành con của Y.
2) Kerf ={x X | f(x) = 0Y} = f -1(0Y) là ideal của X.
1.5.3 Định lý đồng cấu vành
Định lí 6 Giả sử f : X  Y là đồng cấu vành, A là ideal của X và A  ker f . Khi đó:
1) Tồn tại duy nhất đồng cấu vành g : X A  Y sao cho biểu đồ sau là giao hoán
X

Y
g



X A
tức là f  g (  là toàn cấu chính tắc).
2) Im g  Im f ; Kerg = Kerf /A
3) g là đẳng cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu và A = kerf
Định lý đẳng cấu thứ nhất Giả sử A, B là các ideal của vành X và A  B. Khi đó B/A là
một ideal của vành X/A và ta có đẳng cấu vành (X/A)/(B/A)  X/B.
Định lý đẳng cấu thứ hai Giả sử A là vành con của X và B là ideal của vành X. Khi đó
A  B là ideal của A và ta có đẳng cấu vành A/ A  B  (A+B)/B.
1.6 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp
Định

nghĩa

Cho


{ X i }iI

là

một

họ

khác

rỗng

các

vành

và

tập

X   X i  {(xi )iI | xi  X i } là tích Descartes của họ { X i }iI . Trong X ta xét hai phép
iI

toán:

15


Phép cộng (+): (xi)i  I + (yi)i  I = (xi + yi)i I
Phép nhân (.): (xi)i  I. (yi)i  I = (xi . yi)i I

Khi đó X cùng với hai phép toán trên lập thành một vành và vành X   X i được
iI

gọi là tích trực tiếp của một họ vành { X i }iI .
Định nghĩa Giả sử

 X là tích trực tiếp của họ khác rỗng các vành Xi với i  I . Ta
  X là tập con I0 = { iI | x  0 }. Nếu I0 là hữu hạn thì ta nói
i

iI

gọi giá của họ ( xi )iI

iI

i

i

họ (xi)i  I là có giá hữu hạn.
Tập con A gồm tất cả các họ ( xi )iI   X i có giá hữu hạn là một vành con của tích
iI

 X . Vành con này được gọi là tổng trực tiếp của họ vành {X }
kí hiệu là  X . Nếu I hữu hạn thì  X thường được kí hiệu là X  ...  X .
trực tiếp

iI


i iI

i

iI

i

iI

i

1

và được

m

Khi tập tập I hữu hạn thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp là trùng nhau.
1.7 Miền nguyên
1.7.1 Định nghĩa
1) Giả sử X là một vành, phần tử a  0 của X gọi là ước của không, nếu tồn tại phần
tử b  0 của X sao cho ab  0 hoặc ba  0 .
2) Một vành X được gọi là một miền nguyên nếu X là vành giao hoán, có đơn vị, có
nhiều hơn một phần tử và không có ước của không.
1.7.2 Các ví dụ
1) Vành các số nguyên , số hữu tỷ
là miền nguyên.
2) Vành




là một miền nguyên khi và chỉ khi n là một số nguyên tố.
n
3) Vành M ( n, ) không phải là một miền nguyên nếu n >1.
1.8 Trường
1.8.1 Định nghĩa Một tập hợp X được gọi là một trường nếu X là một vành giao hoán,
có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch.
n

Nói rõ hơn thì một tập hợp X là một trường nếu trên X có xác định hai phép toán cộng
và nhân thỏa mãn các điều kiện sau:
1) X là một nhóm Abel đối với phép cộng.
2) X \ {0} là một nhóm Abel đối với phép nhân.
3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng.

16


1.8.2 Các ví dụ
1) Mỗi vành , , đều là một trường.
2) Vành n các số nguyên mod n là một trường khi và chỉ khi n là một số nguyên
tố.
1.8.3 Trường con
Định nghĩa Giả sử X là một trường. Tập con A khác rỗng được gọi là trường con của X
nếu A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một
trường.
Các ví dụ
1) Giả sử X là một trường. Khi đó X là một trường con của chính nó.
2) Trường số hữu tỷ

là trường con của trường số thực .
Định lý 7 Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của một trường X. Khi đó
các điều kiện sau là tương đương:
1) A là một trường con của X
2) x, y  A, x  y  A, xy 1  A (với y  0 )
3) x, y  A, x  y  A, xy  A, x1  A (với x  0 )
1.9 Ideal nguyên tố và ideal tối đại
1.9.1 Định nghĩa Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị.
1) Ideal P của vành X được gọi là ideal nguyên tố nếu P  X và nếu xy  P thì x  P
hoặc y  P ( x, y  X ).
2) Ideal M của vành X được gọi là ideal tối đại nếu M  X và tồn tại A là ideal của
X sao cho M  A  X với M  A và A  X .
1.9.2 Các tính chất
1) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị. Ideal P của X là ideal nguyên tố khi và chỉ
khi vành thương X P là một miền nguyên.
Chứng minh
Giả sử P là ideal nguyên tố của X. Do P  X nên X / P  0  P . x, y  X ta có

 x  P  y  P   xy  P  0  xy  P

suy ra x  P hoặc y  P (do P là ideal nguyên
tố), suy ra x  P  0  P hoặc y  P  0  P . Vì thế X P không có ước của không. Vậy
X P là một miền nguyên.
Ngược lại, X P là một miền nguyên thì P  X . Với mọi x, y  X thì xy  P khi và
chỉ khi  x  P  y  P   xy  P  0  x  P  0 hoặc y  P  0 hay x  P hoặc y  P.
Vậy P là ideal nguyên tố.
■

17



2) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị. Ideal M của X là ideal tối đại khi và chỉ
khi vành thương X / M là một trường.
Chứng minh
Giả sử M là ideal tối đại của X. Khi đó M  X , nên X / M  {0} . Giả sử

x  M  X M , x  M  0; ta có x  M . Gọi A   xy y  X   xX là một ideal sinh bởi

x  X . Vậy A  M là một ideal của X thực sự khác M. Vì M là ideal tối đại nên
A  M  X , do đó tồn tại y  X , m  M sao cho xy  m  1 hay xy  1  m  M . Vậy
 x  M  y  M   xy  M  1  M , tức là x  M khả nghịch. Do đó X M là một trường.
Ngược lại, giả sử X M là một trường và A là một ideal của X thực sự chứa M. Khi
đó M  X và tồn tại x  A mà x  M , do đó x  M  0 . Do X M là trường nên x  M
có nghịch đảo là y  M , tức là  x  M  y  M   xy  M  1  M .
Từ đó xy  1  m  M hay xy  m  1 A  A  X . Vậy M là ideal tối đại.

■

3) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị. Khi đó:
i) Ideal {0} của X là nguyên tố khi và chỉ khi X là một miền nguyên.
ii) Ideal {0} của X là tối đại khi và chỉ khi X là một trường.
4) Trong vành giao hoán có đơn vị, mọi ideal tối đại đều là ideal nguyên tố.
5) Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị. Khi đó mọi ideal A ≠ X của X đều chứa
trong một ideal tối đại M.
6) Mọi vành giao hoán có đơn vị khác không đều có ideal tối đại.
Hai ideal nguyên tố cùng nhau Hai ideal A và B khác nhau của vành giao hoán có đơn
vị X được gọi là hai ideal nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu A+B=X.
1.10 Vành các thương
1.10.1 Định nghĩa
Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị. Tập con S là tập con nhân của X nếu 1  X và

S ổn định với phép nhân tức là nếu x, y  S thì xy  S .
Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị, S là tập con nhân của X. Trong tập X  S ta có
quan hệ tương đương sau:
( a, s ) ~ (b, t )  u  S để cho ( at  bs )u  0 .

a
là lớp tương đương chứa (a,s) và S 1 X là tập các lớp tương đương. Khi
s
1
đó S X cùng với các phép toán sau:
Ta kí hiệu

Phép cộng:

a b at  bs
 
s t
st

18


Phép nhân:

a b ab
,
. 
s t st

là một vành, vành này được gọi là vành các thương của vành X đối với tập con nhân S.

1.10.2 Các tính chất
Giả sử X là miền nguyên và S là tập con nhân của X và S không chứa phần tử 0.
Khi đó ánh xạ:

f : X  S 1 X
x
1

x

là một đồng cấu, gọi là đồng cấu chính tắc. Đồng cấu này có những tính chất đặc trưng
sau:
a) Với mọi s  S , f(s) khả nghịch trong S 1 X
b) f(a) = 0  tồn tại s  S sao cho as = 0
c) Mọi phần tử của S 1 X đều có dạng f (a) f (s)1 trong đó a  X , s  S .
Nếu P là ideal nguyên tố của vành X thì S  X \ P là tập con nhân. Khi đó vành các
thương S 1 X được kí hiệu là X P và gọi là địa phương hóa của vành X đối với ideal
nguyên tố P. X P là vành địa phương, tức là vành có ideal tối đại duy nhất, đó chính là

p

ideal S 1P   | p  P, s  S  .
s


19


Chương 2 VÀNH CHÍNH
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất số học của vành, những

tính chất này có nhiều chỗ tương tự như những tính chất của vành số nguyên mà chúng
ta ít nhiều đã biết. Ngoài ra chúng ta thấy rằng trong vành các số nguyên
mọi ideal
đều là ideal chính, điều đó gợi ý cho chúng ta xét một lớp vành tổng quát hóa của lớp
vành nói trên.
Tất cả vành trong chương này đều là vành giao hoán có đơn vị.
2.1 Tính chất số học trong vành
2.1.1 Ước của một phần tử, phần tử khả nghịch
Định nghĩa Giả sử X là miền nguyên, a,b là các phần tử thuộc X với b khác không. Ta
nói a là ước của b khi và chỉ khi tồn tại phần tử c thuộc X sao cho b  ac .
Kí hiệu: a|b (đọc là a chia hết b)
Khi a là ước của b, ta cũng nói rằng b là bội của a và kí hiệu là b a (đọc là b chia
hết cho a).
Hệ quả
1) a  X thì a | a
2) a, b, c  X sao cho a | b và b | c thì a | c .
Định nghĩa Giả sử X là miền nguyên, phần tử u thuộc X * được gọi là phần tử khả nghịch
nếu u là ước của 1 (tức là u|1). Nói cách khác, phần tử u là một phần tử khả nghịch khi
và chỉ khi tồn tại phần tử v thuộc X * sao cho uv  1 (đương nhiên v cũng là một phần tử
khả nghịch).
Hệ quả
1. Nếu u khả nghịch thì u|a, a  X *
2. Nếu u khả nghịch và b|u thì b cũng khả nghịch.
3. Nếu tích u1.u2...un là khả nghịch thì từng nhân tử của nó cũng khả nghịch.
2.1.2 Phần tử liên kết với nhau, phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố
Định nghĩa Giả sử X là miền nguyên, hai phần tử a và b thuộc X * được gọi là liên kết
với nhau khi và chỉ khi a|b và b|a. Kí hiệu a~b.
Ví dụ Trong vành số nguyên

hai số nguyên a và –a là liên kết với nhau.


Hệ quả Hai phần tử a, b  X * là liên kết với nhau khi và chỉ khi chúng khác nhau một
phần tử khả nghịch:

a ~ b  a  bu , b  av , với u, v khả nghịch.
Chứng minh
 Giả sử ta có a~b, tức là a|b và b|a.

20


a | b  v  X * : av  b
b | a  u  X * : bu  a

Ta suy ra a  (av)u  a (vu )  v.u  1 .
Điều này chứng tỏ các phần tử u, v đều khả nghịch.
 Ngược lại, giả sử ta có a = bu, với u khả nghịch (a và b chỉ khác nhau ở phần tử
khả nghịch u).
a = bu suy ra b|a
Mặt khác a  bu  b  au 1 (vì u khả nghịch).
Điều này chứng tỏ a|b. Vậy a~b .

■

Định nghĩa Một phần tử không khả nghịch a thuộc X * gọi là ước thật sự của phần tử
b  X nếu và chỉ nếu a là ước của b và a không liên kết với b.
Ví dụ Trong vành số nguyên
số nguyên 6 có các ước thật sự là 2 và 3 ; còn 1 và
6 là ước không thực sự của 6.
Định nghĩa Cho X là vành giao hoán có đơn vị

Phần tử c  X được gọi là bất khả quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1) c  0 và c không khả nghịch
2) Nếu c  ab, với a, b thuộc X thì a khả nghịch hoặc b khả nghịch
Phần tử p  X gọi là nguyên tố nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1) p  0 và p không khả nghịch
2) Nếu p|ab với a,b thuộc X thì p|a hoặc p|b
Ví dụ
1) Nếu p là số nguyên tố thì p và –p là các phần tử bất khả quy trong vành số nguyên
.
2) Trong vành 6 , 2 là phần tử nguyên tố nhưng 2 không phải là phần tử bất khả
quy của 6 vì 2  2.4 mà 2 và 4 đều không khả nghịch trong vành 6 .
Hệ quả Giả sử p và c là các phần tử khác không của miền nguyên X. Khi đó:
1) p là nguyên tố khi và chỉ khi  p  là ideal nguyên tố khác {0} của X.
2) c là bất khả quy khi và chỉ khi  c  là ideal tối đại trong tập S tất cả các ideal
chính của vành X.
3) Mọi phần tử nguyên tố của X đều là phần tử bất khả quy.
4) Mỗi phần tử liên kết với phần tử bất khả quy (phần tử nguyên tố) của X là phần
tử bất khả quy (phần tử nguyên tố).
Chứng minh

21


1) Nếu p phần tử nguyên tố thì p không khả nghịch, do đó  p   X . Giả sử
a, b  X và ab  p  thì ab  px ( x  X ) hay p|ab. Do p là phần tử nguyên tố nên p|a
hoặc p|b, suy ra a  p  hoặc b  p  . Vậy < p > là ideal nguyên tố.
■
Ngược lại nếu < p > là ideal nguyên tố và  p   {0} thì  p  X hay p không
khả nghịch. Giả sử p|ab, thế thì ab  p  . Do đó a  p  hoặc b  p  . Vì vậy p|a
hoặc p|b nên p là phần tử nguyên tố.

■
2) Nếu c là phần tử bất khả quy thì  c   X . Giả sử  c    d  (với
 d   S ), suy ra c  dx ( x  X ) . Vì c là phần tử bất khả quy nên d khả nghịch hoặc x
khả nghịch. Do đó  d   X hoặc  c  d  . Vậy  c  là ideal tối đại trong S.
Ngược lại giả sử  c  là ideal tối đại trong S, suy ra  c   X . Do đó c không
khả nghịch. Giả sử c  ab (a, b  X ) thì  c    a  . Vì  c  tối đại nên
 c    a  hoặc  a   X . Nếu  c    a  thì a  cx  abx . Vì X là miền

nguyên nên 1  bx hay b khả nghịch. Nếu  a   X thì a khả nghịch. Vậy c là phần
tử bất khả quy.
■
p

ab
a
,
b

X
3) Giả sử p là phần tử nguyên tố và
(với
) suy ra p|ab. Thế thì p|a
hoặc p|b. Nếu p|a suy ra tồn tại phần tử x  X sao cho px  a  abx . Vì X là miền
nguyên nên 1= bx, do đó p khả nghịch. Tương tự nếu p|b thì a khả nghịch. Vậy p là phần
tử bất khả quy.
■
4) Nếu c là phần tử bất khả quy và d liên kết với c thì c  du (u  X ) là khả nghịch.
Giả sử d = ab khi đó c = abu, suy ra a khả nghịch hoặc bu khả nghịch. Nếu bu khả
nghịch thì b khả nghịch. Vậy d là phần tử bất khả quy.
■

Chứng minh tương tự trong trường hợp phần tử nguyên tố.
2.1.3 Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
Định nghĩa Giả sử X là miền nguyên a,b,c là các phần tử khác không thuộc X. Nếu c|a
và c|b thì c được gọi là ước chung của a và b. Phần tử d  X * được gọi là ước chung lớn
nhất (viết tắt là ƯCLN) của a và b nếu:
1) d |a và d |b, và
2) Nếu d’|a và d’|b thì d’|d.
Hai phần tử a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng là một
phần tử khả nghịch.
Nhận xét ƯCLN của hai phần tử a, b nói chung không duy nhất. Giả sử d và d’ là hai
ƯCLN khác nhau của a và b. Theo định nghĩa ta sẽ có d’|d và d |d’, điều đó có nghĩa là
d ~ d’.
Ví dụ Trong vành số nguyên
nhau.

, 2 và 2 đều là ƯCLN của 6 và 8. Chúng liên kết với

22


Định lý 1 Trong miền nguyên X thì a|b khi và chỉ khi  b    a 
Chứng minh
Giả sử a|b tức là tồn tại c  X * sao cho b  ac ta phải chứng minh  b    a 
Lấy bất kì phần tử x  b   bX : x  bs, ( s  X )  hay
x  (ac) s  a (cs )  aX  a 
Suy ra  b    a 
Ngược lại, giả sử  b    a  khi đó b  a   aX , như vậy tồn tại phần tử
■
c  X để b  ac , điều này có nghĩa là a|b.
Hệ quả Từ định lý trên ta có các hệ quả sau:

1) Nếu x  X thì  x    a   x   a 
Thật vậy vì theo định lý trên thì

 x    a   a | x  b  X : x  ab
Mà x  ab  x  a 
2)

a~b a  b

Thật vậy vì:
a ~ b  a | b và b | a   b    a  và  a    b    a    b 

3)

u  X * là khả nghịch khi và chỉ khi  u   X .

Thật vậy vì:
u khả nghịch  u|1 (hiển nhiên 1|u)   1   X   u  (và  u   X )
  u  X .
4) Nếu a, b  X * thì a là ước thật sự của b khi và chỉ khi < b > là tập con thật sự của
< a >.
Thật vậy với a là phần tử không khả nghịch ta có:
a là ước thật sự của b  a | b và
 b    a    b  là tập con thật sự của < a >.

a

b b  a

và


Chú ý Nếu d là ước của a và b thì < d > phải chứa cả a và b, và do đó < d > phải chứa
< a >, < b >. Khi đó ta có thể chuyển định nghĩa của ƯCLN về dạng định nghĩa dưới
ngôn ngữ ideal như sau:

23


Nếu I là ideal chính của X (vành giao hoán có đơn vị) sinh bởi a và b thì d là ước
chung lớn nhất của a và b nếu:
1) I chứa trong ideal chính < d >, và
2) < d’> là ideal chính bất kì chứa I thì  d    d ' 
Do đó ƯCLN của a và b (nếu có) là phần tử sinh của ideal chính duy nhất và nhỏ
nhất chứa cả a và b.
Khái niệm bội chung nhỏ nhất (BCNN) là khái niệm đối ngẫu với khái niệm ƯCLN.
Định nghĩa Cho a, b là hai phần tử của miền nguyên X. Phần tử m thuộc X được gọi là
một bội chung của a và b nếu a|m và b|m. Bội chung m gọi là nhỏ nhất của a và b nếu
với mọi bội chung c của a và b ta có m|c.
Theo định nghĩa hai BCNN của a và b là liên kết và do đó sinh ra cùng một ideal.
Tính chất Trong miền nguyên X nếu  a    b    m  thì m là BCNN của a và b.
2.2 Vành chính
2.2.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa Một miền nguyên X được gọi là vành chính nếu mọi ideal của X đều là ideal
chính. Một vành chính hay còn được gọi là miền các ideal chính hay miền chính.
Các ví dụ
1) Vành các số nguyên

là vành chính.

Thật vậy, chỉ cần chứng minh rằng mọi ideal A của


đều là ideal chính.

Nếu A  0  0. thì A là một ideal chính sinh bởi 0.
Nếu A  0 , gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất trong A (số này tồn tại, vì có phần
tử x  0  A nên  x  A , trong hai số x và – x có một số luôn dương). Giả sử a  A , chia
a cho n ta được: a  nb  r với b, r  và 0  r  n . Vì A là một ideal và n  A nên
nb  A , do đó r  a  nb  A .
Nếu r  0 thì n không là số nguyên dương bé nhất của A, mâu thuẫn với giả thiết của
số n. Do đó r  0 và a  bn , tức là A  n là ideal chính sinh bởi n.
■
2) Vành [i] gồm các số phức a  bi với a, b  là một vành chính. Mỗi ideal <a>
khác 0 chứa phần tử a  bi  0 , nghĩa là phần tử mà chuẩn của nó N (a  bi)  a 2  b2
nguyên dương. Chọn trong < a > một phần tử x  a  bi  0 có chuẩn N(x) nguyên
dương nhỏ nhất. Khi đó với mọi y  a  ta có: yx1  p  iq với p, q  .
Đặt p  m   , q  n  , với m, n 

và  ,  ,  

24

1
2


Khi đó ta có:
yx1  p  iq  (m   )  i(n  )  (m  ni)  (  i)  z  r  [i]

với z  m  ni, r     i
Như vậy y  xz  xr và xr  y  xz  a  .






Ta có: N  xr   N  x  N  r   N  x   2   2 

1
N  x  N  x .
2

Do cách chọn x ta suy ra xr  0 và do đó y  xz  x  .
Vì y là tùy ý thuộc < a > nên điều này kéo theo < a > = < x >.
2.2.2 Các tính chất của vành chính
Mệnh đề 1 Giả sử X là một vành chính. Khi đó:
1)
2)
3)

Nếu p  X là một phần tử bất khả quy thì  p  là ideal tối đại trong X.
Mọi ideal nguyên tố khác không trong X đều là ideal tối đại.
Phần tử p  X là nguyên tố khi và chỉ khi p là bất khả quy.

Chứng minh
1) Giả sử  p   A . Vì X là vành chính nên A= <a>, suy ra  p    a  tức là
p = ab. Vì p bất khả quy nên a|1 hoặc b|1. Khi đó A=X hoặc A = < p >. Vậy < p > là
ideal tối đại.
■
2) Giả sử P là một ideal nguyên tố khác không trong X. Vì X vành chính nên
P   p  vì  p  là ideal nguyên tố khác không của X thì p là nguyên tố của X, do đó

p là bất khả quy. Vậy  p  là ideal tối đại (theo 1).
■
3) Vì X là vành chính nên X là miền nguyên, mà trong miền nguyên mọi phần tử
nguyên tố của X đều bất khả quy. Ngược lại, nếu p  X là bất khả quy thì  p  là ideal
tối đại, do đó  p  là ideal nguyên tố. Vì p  0 nên  p    0  , do đó p là phần tử
nguyên tố.
■
Định lý 2 Trong vành chính X, ƯCLN của hai phần tử bất kì a và b luôn luôn tồn tại.
Chứng minh
 Trước hết ta xét tập K  ax  by | x, y  X 

Ta thấy K là một ideal của X. Thật vậy:
K   vì 0  a.0  b.0  K suy ra   K  X
Giả sử k1  ax1  by1 và k2 =ax2  by2 là hai phần tử bất kì thuộc K, ta có:

k1  k2  (ax1  by1 )  (ax2  by2 )  a( x1  x2 )  b( y1  y2 )  K

25