LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Hồng Đức, người
đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô giáo
trong Bộ môn Toán - Khoa Sư phạm - Đại học Cần Thơ đã dạy bảo em tận tình
trong suốt quá trình học tập ở bậc đại học.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Cần Thơ, tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Tùng Lâm


MỤC LỤC

A. PHẦN MỞ ĐẦU

3

B. PHẦN NỘI DUNG

5

1 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN METRIC
1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian metric. Sự hội tụ trong không gian metric
1.1.2 Tập đóng, tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian metric đầy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Không gian metric compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Tập compact. Tập giới nội và tập hoàn toàn giới nội.
1.2.2 Đặc trưng của tập compact . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Tập compact trong không gian Rn . . . . . . . . . . .
1.2.4 Hàm số liên tục trên tập compact . . . . . . . . . . .
1.2.5 Tập compact trong không gian C(S) . . . . . . . . . .
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
6
7
7
8
9
9
11
15
15
17
18

2 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 25
2.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Các khái niệm về không gian định chuẩn . . . . . . . 25
2.1.2 Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Không gian liên hợp. Toán tử liên hợp . . . . . . . . . 28
2.1.4 Hội tụ yếu trong không gian định chuẩn . . . . . . . . 28
2.2 Đặc trưng compact của một tập trong không gian Banach
với cơ sở Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Tập compact yếu theo dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1


3 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ
3.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Các tiên đề tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Tổng trực tiếp. Không gian tích . . . . . . . . . . .
3.2 Sự hội tụ trong không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Sự hội tụ theo lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Sự hội tụ theo lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Khái niệm không gian compact . . . . . . . . . . .
3.3.2 Đặc trưng của không gian compact . . . . . . . . .
3.3.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Không gian compact địa phương . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Compact hóa Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

44
44
44
45
45
47
48
48
52
57
57
57
59
63
65
67

4 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ
TÔPÔ
4.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Cơ sở lân cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Tôpô vectơ trên không gian hữu hạn chiều . . . . . .
4.1.4 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Tập compact và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Tập compact trong tôpô yếu và tôpô* yếu . . . . . . . . . .
4.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71
71
71
72
73
73
74
78
82

. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


5 TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 85
5.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.2 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert 87
5.1.4 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . 87
5.2 Một số tính chất của toán tử compact . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C. PHẦN KẾT LUẬN

97

Tài liệu tham khảo

98
2


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Compact là một khái niệm rất quan trọng trong giải tích hàm. Nhiều định
lí quan trọng trong giải tích hàm được chứng minh một cách dễ dàng nhờ các
tính chất liên quan đến compact. Ở bậc Đại học, chúng ta đã làm quen với khái
niệm này ở học phần Tôpô đại cương và Giải tích hàm nhưng chỉ ở mức độ hạn
hẹp, còn rời rạc, chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề trong giải tích. Vì vậy,
chúng ta cần phải có sự tổng hợp, cũng như mở rộng khái niệm và tính chất của
compact để giải quyết các nhu cầu nảy sinh. Được sự hướng dẫn, gợi ý của thầy
Lê Hồng Đức, em đã chọn đề tài "Tính compact trong các không gian" là
đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là hệ thống lại và mở rộng khái niệm, tính chất về
compact trong các không gian. Đồng thời, thực hiện luận văn là bước đầu tạo
đà cho nghiên cứu khoa học sau này.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Khái niệm, các tính chất về compact trong không gian metric, không gian
định chuẩn, không gian tôpô, không gian vectơ tôpô, không gian Hilbert.

4. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, tham khảo tài liệu.
Phân tích, tổng hợp lí thuyết.
Phân loại, hệ thống hóa lí thuyết.

3


5. Tóm tắt nội dung nghiên cứu
Chương 1: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN METRIC
Trong chương này, khái niệm compact được trình bày theo quan điểm dãy
và phủ mở. Qua đó, rút ra một số tính chất quan trọng để làm cơ sở kiến thức
cho những chương sau. Đồng thời, luận văn trình bày một số tính chất của tập
compact trong không gian quen thuộc Rn và đặc biệt là Định lí Arzela-Ascoli
trong không gian các ánh xạ liên tục C(S), một trong những kết quả cơ bản
của giải tích hiện đại, được sử dụng để thiết lập những dấu hiệu nhận biết tính
compact của những tập con trong nhiều không gian hàm quan trọng khác nhau.
Chương 2: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Ta đã biết không gian định chuẩn là không gian metric nhờ vào định nghĩa
d (x, y) = x − y
Do đó, mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng

trong không gian định chuẩn. Vì vậy, trong chương này, luận văn sẽ không trình
bày lại các khái niệm, tính chất liên quan đến tập compact trong không gian
định chuẩn, mà thay vào đó luận văn nghiên cứu đặc trưng compact của một
tập trong không gian Banach với cơ sở Schauder, khái niệm, tính chất của tập
compact yếu theo dãy và khái niệm, tính chất về compact cho ánh xạ giữa các
không gian định chuẩn gọi là toán tử compact, nằm trong lý thuyết toán tử một trong những hướng nghiên cứu chính của giải tích hàm.
Chương 3: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ
Trong chương này, khái niệm compact được mô tả qua lưới và lọc. Với công
cụ mới này, chúng ta có thể giải quyết tốt các vấn đề trong không gian tôpô
tổng quát mà khái niệm dãy không thể giải quyết. Điều đó được nhìn thấy qua
việc Định lí Tychonoff - một trong những kết quả quan trọng bậc nhất của tôpô
đại cương - được chứng minh một cách dễ dàng, gắn gọn dựa trên khái niệm và
tính chất của lọc. Đồng thời, luận văn trình bày khái niệm và một số tính chất
của không gian compact địa phương, cũng như trả lời câu hỏi "Khi nào một
không gian tôpô không compact có thể xem là không gian con của một không
gian compact?" thông qua compact hóa Alexandroff.

4


Chương 4: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ
Không gian vectơ tôpô, đặc biệt là không gian vectơ tôpô lồi địa phương, có
lẽ là loại không gian tổng quát nhất trong giải tích hàm. Vì vậy, trong chương
này, luận văn hệ thống lại khái niệm và tính chất về tập compact. Đồng thời, mở
rộng khái niệm và một số tính chất của tập compact trong tôpô yếu và tôpô*
yếu nhằm chứng minh định lí Bourbaki-Banach-Alaoglu và định lí Kakutani.
Chương 5: TÍNH COMPACT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Toán tử compact có nhiều tính chất quan trọng. Vì vậy, ở chương này, luận
văn tập trung trình bày một số tính chất của toán tử compact. Các kết quả ở
đây được các tài liệu đưa ra dưới dạng bài tập. Luận văn tổng hợp, trình bày lại,

chứng minh chi tiết một số kết quả trong tài liệu chưa được chứng minh hoặc
chứng minh vắn tắt.

5


B. PHẦN NỘI DUNG

Chương 1
TÍNH COMPACT TRONG
KHÔNG GIAN METRIC
1.1
1.1.1

Kiến thức chuẩn bị
Không gian metric. Sự hội tụ trong không
gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho một tập hợp X = Ø. Hàm d : X 2 → R được gọi là một
metric (khoảng cách) trong X nếu d thỏa ba điều kiện sau:
i) d(x, y) 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.
Tập X với metric d trang bị trên X gọi là một không gian metric. Kí hiệu:
(X, d)
Nếu (X, d) là một không gian metric thì x ∈ X gọi là một điểm và với mọi
x, y ∈ X ta gọi d(x, y) là khoảng cách từ x đến y.
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric (X, d), E ⊂ X và E = Ø. Với mỗi
x, y ∈ E, đặt
dE (x, y) = d(x, y)

Khi đó, dE là một metric trên E. dE được gọi là metric cảm sinh trên E
6


bởi metric d. Không gian metric (E, dE ) được gọi là không gian metric con của
không gian metric (X, d).
Định nghĩa 1.1.3. Cho (X, d) là một không gian metric. Dãy điểm {xn } trong
không gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim d(xn , a) = 0.
n→∞

Kí hiệu: lim xn = a hay xn → a. Khi đó, a được gọi là giới hạn của dãy
n→∞

{xn }.
Ta có: lim xn = a ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n
n→∞

1.1.2

n0 ⇒ d(xn , a) < ε

Tập đóng, tập mở

Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian metric (X, d), a ∈ X, ε > 0.
Tập S(a, ε) = x ∈ X|d(x, a) < ε gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ε.
Tập S [a, ε] = x ∈ X|d(x, a) ε gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính ε.
Tập V ⊆ X gọi là một lân cận của điểm a nếu ∃ε > 0 : S (a, ε) ⊆ V .
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X.
Điểm x ∈ X gọi là điểm trong của A nếu ∃ε > 0 : S(x, ε) ⊂ A.
Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm x ∈ A đều là điểm trong của A.

Tập A gọi là tập đóng nếu X \ A là tập mở.
Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X.
Hợp của tất cả các tập con mở của X được chứa trong A gọi là phần trong
của A. Kí hiệu: A◦ hoặc IntA.
Giao của tất cả các tập con đóng của X chứa A gọi là bao đóng của A. Kí
hiệu: A.
Định nghĩa 1.1.7. Tập con A của không gian metric (X, d) gọi là trù mật
trong X nếu A = X.
Định nghĩa 1.1.8. Không gian metric (X, d) gọi là khả li (tách được) nếu tồn
tại tập A đếm được trù mật trong X.

1.1.3

Không gian metric đầy

Định nghĩa 1.1.9. Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn } trong X gọi là dãy
Cauchy (dãy cơ bản) nếu
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀m, n n0 ⇒ d(xm , xn ) < ε
hay
lim d(xm , xn ) = 0
m,n→∞

7


Định nghĩa 1.1.10. Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric
đầy nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc X.
Định lí 1.1.11. .
i) Tập con đóng của một không gian metric đầy là đầy.
ii) Không gian con đầy của một không gian metric là không gian con đóng.


1.1.4

Ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.1.12. Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) và ánh xạ
f :X →Y.
Ta nói ánh xạ f liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε
hay nói cách khác: Ánh xạ f liên tục tại x0 ∈ X nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (S(x0 , δ)) ⊂ S(f (x0 ), ε)
Ta nói ánh xạ f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Định lí 1.1.13. Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ), ánh xạ f : X → Y .
Khi đó, f liên tục tại x0 ∈ X ⇔ ∀ {xn } ⊂ X, xn → x0 thì f (xn ) → f (x0 ).
Định nghĩa 1.1.14. Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) và ánh xạ
f : X → Y . Ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu
∀ε > 0, ∃δ : ∀x1 , x2 ∈ X, dX (x1 , x2 ) < δ ⇒ dY (f (x1 ), f (x2 )) < ε
Định nghĩa 1.1.15. Cho hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) và ánh xạ
f :X→Y
Ánh xạ f được gọi là ánh xạ mở (đóng) nếu với mọi tập mở (đóng) A ⊂ X
thì ảnh f (A) là tập mở (đóng).
Ánh xạ f được gọi là một phép đồng phôi nếu f là song ánh liên tục và ánh
xạ ngược f −1 : Y → X liên tục. Hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) gọi là
đồng phôi với nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi f : X → Y .
Ánh xạ f được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu dX (x1 , x2 ) = dY (f (x1 ), f (x2 )),
∀x1 , x2 ∈ X. Ánh xạ f được gọi là phép đẳng cự nếu f là song ánh và f là ánh
xạ đẳng cự. Hai không gian metric (X, dX ), (Y, dY ) gọi là đẳng cự với nhau nếu
tồn tại một phép đẳng cự f : X → Y .

8



1.2
1.2.1

Không gian metric compact
Tập compact. Tập giới nội và tập hoàn toàn
giới nội.

a) Tập compact
Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X.
Định nghĩa 1.2.1. Tập A được gọi là compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ A đều có
một dãy con xnk hội tụ đến một điểm thuộc A. Nếu A = X là tập compact
thì ta nói (X, d) là không gian metric compact.
Mệnh đề 1.2.2. Nếu tập A compact thì tập A đóng. Nếu B là tập con đóng
của tập compact A thì B compact.
Chứng minh. Giả sử dãy {xn } ⊂ A, xn → x ∈ X. Vì A compact nên tồn tại dãy
con xnk sao cho xnk → x0 ∈ A. Mặt khác, dãy con xnk cũng hội tụ đến x
nên x = x0 ∈ A. Vậy tập A đóng.
Lấy dãy {yn } bất kì trong B. Vì {yn } cũng là một dãy trong A và A compact
nên tồn tại dãy con ynk hội tụ đến y ∈ A. Do B đóng nên y ∈ B. Vậy tập B
compact.
Định nghĩa 1.2.3. Tập A được gọi là compact tương đối nếu bao đóng A là
tập compact.
Mệnh đề 1.2.4. Tập A compact tương đối trong không gian metric (X, d) khi
và chỉ khi mọi dãy {xn } ⊂ A đều có một dãy con xnk hội tụ đến một điểm
thuộc X.
Chứng minh. (⇒) Giả sử tập A compact tương đối trong (X, d). Khi đó, A là
tập compact. Suy ra, mọi dãy {xn } ⊂ A đều có một dãy con xnk hội tụ đến
một điểm thuộc A. Vậy mọi dãy {xn } ⊂ A (vì A ⊂ A) đều có một dãy con

xnk hội tụ đến một điểm thuộc X (vì A ⊂ X).
(⇐) Ta sẽ chứng minh A là tập compact trong (X, d). Giả sử dãy {xn } ⊂ A.
Khi đó, tồn tại dãy {yn } ⊂ A sao cho lim d(xn , yn ) = 0. Theo giả thiết, tồn tại
n→∞

dãy ynk ⊂ {yn } hội tụ đến x ∈ X ⇒ lim d(ynk , x) = 0.
n,k→∞

Ta có: d(xnk , x)

d(xnk , ynk ) + d(ynk , x) → 0 (n, k → ∞) ⇒ lim xnk = x
n,k→∞

⇒ x ∈ A (vì A là tập đóng) ⇒ A là tập compact. Vậy A là tập compact tương
đối.
9


Từ mệnh đề trên suy ra nếu tập A compact trong không gian metric (X, d)
thì tập A compact tương đối.
Mệnh đề 1.2.5. Nếu tập A compact tương đối và đóng trong không gian metric
(X, d) thì tập A compact.
Chứng minh. Vì A là tập compact tương đối trong (X, d) nên mọi dãy {xn } ⊂ A
đều có một dãy con xnk hội tụ đến một điểm x ∈ X. Vì A đóng nên x ∈ A.
Vậy tập A compact.

b) Tập giới nội và tập hoàn toàn giới nội
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X. Tập A được gọi là
giới nội (bị chặn) nếu nó nằm trong một hình cầu nào đó, tức là:
∃ε > 0, ∃x ∈ X : A ⊂ S(x, ε)

hay nói cách khác: Tập A giới nội nếu đường kính của tập A
diam(A) = sup d(x, y) < ∞
x,y∈A

Định nghĩa 1.2.7. Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X và số ε > 0. Tập
N ⊂ X được gọi là một ε−lưới của tập A nếu
∀x ∈ A, ∃y ∈ N : d(x, y) < ε
Tập A được gọi là hoàn toàn giới nội (tiền compact) nếu với mọi ε > 0, tồn
tại ε−lưới hữu hạn của tập A.
Dễ thấy rằng tập A có một ε−lưới thì nó có thể phủ được bằng một họ hình
cầu {Sα } với bán kính ε và có tâm tại các điểm trong ε−lưới đó.
Mệnh đề 1.2.8. Nếu tập A hoàn toàn giới nội trong không gian metric (X, d)
thì tập A giới nội.
Chứng minh. Vì A là tập hoàn giới nội trong không gian metric (X, d) nên tồn
tại {x1 , x2 , ..., xn } ⊂ X là một ε−lưới (với ε > 0) của A. Lấy x0 ∈ A. Đặt
r = max d(x0 , xi ). Giả sử x ∈ A ⇒ ∃i0 ∈ {1, 2, ..., n} : d(xi0 , x) < ε.
1 i n

Ta có: d(x0 , x)
d(x0 , xi0 ) + d(xi0 , x) < r + ε ⇒ x ∈ S(x0 , r + ε). Do đó,
A ⊂ S(x0 , r + ε). Vậy tập A giới nội.
Mệnh đề 1.2.9. Nếu tập A giới nội trong không gian metric (X, d) thì không
thể suy ra tập A hoàn toàn giới nội.
Chứng minh. Phản ví dụ: Cho X là tập vô hạn với metric rời rạc d. A ⊂ X là
tập vô hạn trong không gian metric rời rạc (X, d).
Tập A giới nội vì diam(A) = 1 < ∞.
10


1

Nếu A hoàn toàn giới nội thì với ε = , tồn tại N = {x1 , x2 , ..., xn } ⊂ X là
2
1
1
−lưới của tập A hay ∀x ∈ A, ∃xi ∈ N : d(xi , x) < . Vì metric d rời rạc nên
2
2
d(xi , x) = 0 ⇒ x = xi . Khi đó, A = N . Điều này mâu thuẫn với giả thiết tập A
vô hạn. Vậy tập A không hoàn toàn giới nội trong metric rời rạc (X, d).

1.2.2

Đặc trưng của tập compact

a) Đặc trưng Hausdorff của tập compact
Định lí 1.2.10. (Hausdorff) Cho không gian metric đầy (X, d), A ⊂ X. Khi
đó, tập A compact khi và chỉ khi tập A đóng và hoàn toàn giới nội.
Chứng minh. (⇒) Giả sử A là tập compact trong không gian metric đầy (X, d).
Theo Mệnh đề 1.2.2, A đóng. Ta chứng minh A hoàn toàn giới nội. Phản chứng:
Giả sử tập A không hoàn toàn giới nội. Khi đó, tồn tại ε > 0 để A không có
ε−lưới hữu hạn.
Lấy một điểm bất kì x1 ∈ A thì sẽ tồn tại x2 ∈ A sao cho d(x2 , x1 ) ε (nếu
không {x1 } là ε−lưới của A).
Với x1 , x2 ∈ A thì sẽ tồn tại x3 ∈ A sao cho d(x3 , x1 ) ε và d(x3 , x2 ) ε
(nếu không {x1 , x2 } là ε−lưới của A).
Tiếp tục quá trình như thế ta được một dãy {xn } ⊂ A và d(xn , xm )
ε
(n = m; n, m = 1, 2, ...). Rõ ràng bất cứ dãy con nào của dãy {xn } cũng không
thể là dãy Cauchy, do đó không thể hội tụ. Điều này mâu thuẫn với giả thiết A
là tập compact. Vậy tập A hoàn toàn giới nội.

(⇐) Giả sử tập A đóng và hoàn toàn giới nội. Xét một dãy vô hạn bất kì
σ = {xn } ⊂ A. Do tập A hoàn toàn giới nội nên với ε = 1 thì tồn tại tập
M1 ⊂ X là 1−lưới hữu hạn của A. Khi đó, tồn tại m1 ∈ M1 sao cho hình cầu
S(m1 , 1) chứa vô số phần tử của dãy σ. Đặt σ1 = σ ∩ S(m1 , 1).
1
1
Với ε = thì sẽ tồn tại tập M2 ⊂ X là −lưới hữu hạn của A. Khi đó, tồn
2
2
1
tại m2 ∈ M2 sao cho hình cầu S(m2 , ) chứa vô số phần tử của dãy σ1 . Đặt
2
1
σ2 = σ1 ∩ S(m2 , ).
2
Tiếp tục quá trình như trên vô hạn lần ta sẽ có những dãy σ1 , σ2 , σ3 , ... với
1
σ ⊃ σ1 ⊃ σ2 ⊃ ... và σk ⊂ S(mk , ) (k = 1, 2, ...). Vì mỗi dãy σk có vô số
k
phần tử nên có thể chọn trong σ1 một phần tử là xn1 , trong σ2 một phần tử
là xn2 với n2 > n1 , trong σ3 một phần tử là xn3 với n3 > n2 , ... Ta được dãy
xnk ⊂ {xn } ⊂ A.
11


1
là dãy Cauchy. Thật vậy, ∀k < l thì σl ⊂ σk ⊂ S(mk , ) nên
k
1
xnk , xnl cùng thuộc hình cầu S(mk , ). Do đó,

k
1 1
2
0 d(xnl , xnk ) d(xnl , mk ) + d(mk , xnk ) < + = → 0 (k → ∞)
k k
k
⇒ lim d(xnl , xnk ) = 0
Dãy xnk

l,k→∞

Vì X đầy nên ∃x ∈ X : lim xnk = x. Vì A đóng nên x ∈ A. Vì vậy, dãy vô
k→∞

hạn {xn } ⊂ A chứa dãy con xnk hội tụ đến x ∈ A. Điều đó chứng tỏ A là tập
compact.
Nhận xét 1.2.11. Từ chứng minh trên ta thấy rằng đối với không gian X bất
kì (không nhất thiết là đầy) thì chiều "⇒" của định lí vẫn đúng. Cũng từ chứng
minh trên, ta nhận thấy rằng một tập compact tương đối thì hoàn toàn giới nội,
và trong không gian metric đầy, một tập hoàn toàn giới nội thì compact tương
đối.
Định lí 1.2.12. Nếu (X, d) là không gian metric compact thì (X, d) là không
gian đầy và khả li.
Chứng minh. Chứng minh (X, d) là không gian đầy. Giả sử {xn } là dãy Cauchy
trong tập X. Vì tập X compact nên tồn tại dãy con xnk của {xn } sao cho
xnk → x ∈ X. Khi đó,
0 d(xn , x) d(xn , xnk ) + d(xnk , x) → 0 (k → ∞)
⇒ lim xn = x ∈ X. Vậy (X, d) là không gian đầy.
n→∞


Chứng minh (X, d) là không gian khả li. Vì tập X compact nên tập X hoàn
1
toàn giới nội. Khi đó, với mỗi k = 1, 2, 3, ... đều có tập Ak là −lưới của X. Tập
k
∞
A=

Ak là đếm được và dễ thấy nó trù mật trong X, vì cho trước một phần
k=1

tử x ∈ X và một ε > 0 tùy ý, trong ε−lân cận của x sẽ có ít nhất một phần tử
1
của Ak ⊂ A, với < ε. Vậy (X, d) là không gian khả li.
k

b) Đặc trưng Heine-Borel của tập compact
Định nghĩa 1.2.13. Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X.
Họ {Gα }α∈I các tập con của không gian metric (X, d) được gọi là một phủ
của tập A nếu A ⊂
Gα .
α∈I

Nếu mọi Gα đều là tập mở (đóng) thì phủ gọi là phủ mở (đóng).
Cho {Gα }α∈I là một phủ của tập A. Nếu J ⊂ I mà {Gα }α∈J cũng là một
12


phủ của tập A thì {Gα }α∈J gọi là phủ con của {Gα }α∈I . Nếu J là tập hữu hạn
thì {Gα }α∈J gọi là một phủ con hữu hạn của phủ {Gα }α∈I
Định lí 1.2.14. (Heine-Borel) Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X. Khi

đó, A là tập compact khi và chỉ khi mọi phủ mở {Gα }α∈I của A đều có một phủ
con hữu hạn, tức là:
Tập A compact ⇔
n

∀ {Gα }α∈I , Gα mở,

Gαi ⊃ A

Gα ⊃ A ⇒ ∃Gα1 , Gα2 , ..., Gαn :
i=1

α∈I

Chứng minh. (⇒) Phản chứng: Giả sử A là tập compact và {Gα }α∈I là một phủ
mở của tập A nhưng họ này không có phủ con hữu hạn nào. Tập A compact
nên tập A hoàn toàn giới nội. Do đó, với ε = 1, tồn tại tập hữu hạn M ⊂ X
là 1−lưới của tập A hay tập A bị phủ bởi một số hữu hạn hình cầu có tâm
thuộc tập M bán kính 1, trong số đó phải có ít nhất một hình cầu S1 sao cho
A1 = A ∩ S1 không thể phủ được bằng một họ con hữu hạn của họ {Gα }α∈I (vì
nếu ngược lại thì A sẽ phủ được bằng phủ mở con hữu hạn của họ {Gα }α∈I , trái
với giả thiết phản chứng)
Tập A1 hoàn toàn giới nội (vì A1 là tập con của tập hoàn toàn giới nội A)
1
1
nên với ε = , tồn tại tập hữu hạn M1 ⊂ X là −lưới của tập A1 hay tập A1
2
2
1
bị phủ bởi một số hữu hạn hình cầu có tập thuộc tập M1 bán kính và trong

2
đó phải có ít nhất một hình cầu S2 sao cho A2 = A1 ∩ S2 ⊂ A không thể phủ
được bằng một họ con hữu hạn của họ {Gα }α∈I
1
Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình cầu Sn với bán kính
n
và các tập khác rỗng An = An−1 ∩ Sn (n = 1, 2, ...) sao cho mỗi tập An không thể
phủ được bằng một họ con hữu hạn của họ {Gα }α∈I . Trong mỗi An lấy ra một
phần tử xn . Do An ⊂ An−1 ⊂ ... ⊂ A nên dãy {xn } ⊂ A. Vì A là tập compact
nên dãy {xn } sẽ có dãy con xnk hội tụ đến x0 ∈ A. Do A ⊂
Gα nên tồn
α∈I

tại Gα0 ∈ {Gα }α∈I : x0 ∈ Gα0 . Vì Gα0 là tập mở nên ∃r > 0 : S(x0 , r) ⊂ Gα0 .
1
Từ d(xnk , x0 ) → 0 và
→ 0 khi n → ∞, chọn k0 đủ lớn sao cho
nk
r
1
r
d(x0 , xk0 ) < và
<
2
nk0
4
Ta có: với mọi y ∈ Ank0
2
r
d(y, x0 ) d(y, xnk0 ) + d(xnk0 , x0 ) <

+ nk0 2
Do đó, Ank0 ⊂ S(x0 , r) ⊂ Gα0 , nghĩa là có tập Ank0 được phủ bởi một tập Gα0 ,
trái với tính chất của tập Ank0 . Mâu thuẫn này chứng tỏ mọi phủ mở {Gα }α∈I
13


của tập A đều có một phủ con hữu hạn.
(⇐) Phản chứng: Giả sử mọi phủ mở của tập A đều có một phủ con hữu
hạn nhưng tập A không compact. Khi đó, tồn tại dãy {xn } vô hạn phần tử khác
nhau từng đôi một trong A mà không có dãy con nào của nó hội tụ đến một
phần tử của A. Do đó, mỗi x ∈ A luôn tồn tại một hình cầu mở Sx chỉ chứa
một số hữu hạn phần tử của dãy {xn }.
Họ {Sx }x∈A là một phủ mở của A nên theo giả thiết ta có ∃x1 , x2 , ..., xm ∈ A :
m

A⊂

Sxi . Mỗi hình cầu Sxi (i = 1, 2, ..., m) chỉ chứa một số hữu hạn phần tử
i=1

của {xn } cho nên tập A chỉ chứa một số hữu hạn phần tử của dãy {xn }, suy ra
dãy {xn } chỉ có hữu hạn các phần tử. Điều này vô lí. Vậy A là tập compact.
Định nghĩa 1.2.15. Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X. Họ {Fα }α∈I các
tập con của A được gọi là có tâm (có tính chất giao hữu hạn) nếu với mọi tập
con hữu hạn J ⊂ I thì
Fα = Ø.
α∈J

Hệ quả 1.2.16. Cho không gian metric (X, d), A ⊂ X. Khi đó, tập A compact

khi và chỉ khi mọi họ có tâm những tập con đóng {Fα }α∈I của A đều có giao
khác rỗng.
Chứng minh. (⇒) Giả sử tập A compact và {Fα }α∈I là một họ có tâm những
tập con đóng của A. Ta chứng minh
Fα = Ø. Thật vậy, nếu
Fα = Ø, đặt
α∈I

α∈I

Gα = X \ Fα , ta có:
A \ Fα = A \

Gα =
α∈I

α∈I

Fα = A
α∈I
n

Do đó, {Gα }α∈I là một phủ mở của X. Gọi {Gαi }i=1 là phủ con hữu hạn của
phủ {Gα }α∈I . Khi đó,
n

n

A \ Gαi = A \

Fαi =
i=1

n

i=1

Gαi = A \ A = Ø
i=1

Mâu thuẫn với giả thiết họ {Fα }α∈I có tâm. Vậy

Fα = Ø
α∈I

(⇐) Giả sử mọi họ có tâm những tập con đóng {Fα }α∈I của A đều có giao
khác rỗng. Gọi {Gα }α∈I là một phủ mở bất kì của A. Ta cần chứng minh phủ
này có một phủ con hữu hạn. Thật vậy, đặt Fα = A \ Gα , ta có:
Fα =
A \ Gα = A \
Gα = Ø
α∈I

α∈I

α∈I

Do đó, họ các tập con đóng {Fα }α∈I không có tâm ⇒ Tồn tại {α1 , α2 , ..., αn } ⊂ I
n

Fαi = Ø. Khi đó,

sao cho
i=1

14


n

n

A \ F αi = A \

Gαi =
n

i=1

n

i=1

F αi = A
i=1

tức là {Gαi }i=1 là một phủ hữu hạn của A.

1.2.3

Tập compact trong không gian Rn

Trong phần này ta xét không gian Rn với metric thông thường.
Định lí 1.2.17. Trong Rn một tập con A giới nội khi và chỉ khi nó hoàn toàn
giới nội.
Chứng minh. Để đơn giản ta xét trường hợp n = 2 (trường hợp n > 2 được
chứng minh tương tự)
(⇒) Giả sử A là tập giới nội trong R2 . Khi đó, tập A sẽ bị chứa trong hình
vuông đủ lớn [a, b] × [a, b]. Cho trước ε > 0. Bằng cách chia mỗi đoạn [a, b] thành
n phần bằng nhau và chọn n đủ lớn thì tập A sẽ được phủ bởi một số hữu hạn
ε
hình vuông H1 , H2 , ..., Hm (m n2 ) có độ dài mỗi cạnh bé hơn √ . Với mỗi i
2
gọi Si là hình tròn bán kính ε có tâm trùng với tập của Hi . Hiển nhiên Hi ⊆ Si
và như vậy A sẽ được phủ bởi một số hữu hạn hình cầu S1 , S2 , ..., Sm bán kính
ε. Vậy tập A hoàn toàn giới nội.
(⇐) Giả sử A là tập hoàn toàn giới nội, theo Mệnh đề 1.2.8 suy ra A là tập
giới nội.
Định lí 1.2.18. Trong Rn một tập con A compact khi và chỉ khi nó đóng và
giới nội.
Chứng minh. (⇒) Giả sử A là tập compact, dễ dàng suy ra A là tập đóng và
giới nội.
(⇐) Giả sử A là tập đóng và giới nội. Do tập A giới nội trong Rn nên tập A
hoàn toàn giới nội. Tập A đóng và hoàn toàn giới nội trong không gian metric
đầy Rn nên A là tập compact.

1.2.4

Hàm số liên tục trên tập compact

Định lí 1.2.19. Cho X, Y là các không gian metric, ánh xạ f : X → Y liên
tục và A ⊂ X là tập compact. Khi đó, f (A) là tập compact trong Y .
Chứng minh. Giả sử dãy {yn } ⊂ f (A). Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ A sao cho
f (xn ) = yn với mọi n. Do tập A compact nên có dãy xnk ⊂ {xn } sao cho
xnk → x0 ∈ A. Vì f liên tục nên ynk = f xnk → f (x0 ) ∈ f (A). Vậy dãy
15


yn k
Y.

⊂ {yn } hội tụ đến f (x0 ) ∈ f (A). Do đó, f (A) là tập compact trong

Định lí 1.2.20. Cho (X, d) là không gian metric, A ⊂ X là tập compact và
ánh xạ f : A → R liên tục. Khi đó, f giới nội và đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
trên A.
Chứng minh. Ta chứng minh f giới nội trên A. Phản chứng: Giả sử f không
giới nội trên A. Khi đó, ∀n, ∃xn ∈ A : f (xn ) > n. Vì A là tập compact, dãy
{xn } ⊂ A nên tồn tại dãy xnk ⊂ {xn } sao cho xnk → x0 ∈ A. Do f liên tục
trên A nên |f | cũng liên tục trên A, suy ra lim f xnk
k→∞

với f xnk

= f (x0 ) . Mâu thuẫn

> nk . Vậy f giới nội trên A.

Chứng minh f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên A. Thật vậy, vì f giới nội
trên A nên tồn tại M là cận trên đúng của f trên A: M = supf (x). Theo định

x∈A

1
< f (xn ) M .
n
⊂ {xn } sao cho xnk → x0 ∈ A.

nghĩa cận trên đúng, phải có một dãy {xn } ⊂ A sao cho M −

Vì tập A compact nên tồn tại dãy xnk
1
< f xnk
M . Vì f liên tục nên khi cho k → ∞ ta được
Khi đó, M −
nk
M
f (x0 ) M ⇒ f (x0 ) = M . Vậy f đạt giá trị lớn nhất trên A tại x0 . Ta
chứng minh tương tự rằng f đạt giá trị nhỏ nhất trên A.

Định lí 1.2.21. Cho (X, ρ), (Y, d) là các không gian metric, A ⊂ X là tập
compact và ánh xạ f : A → Y liên tục. Khi đó, f liên tục đều trên A.
Chứng minh. Phản chứng: Giả sử f liên tục trên A nhưng không liên tục đều.
Khi đó,
∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃xδ , yδ ∈ A, ρ(xδ , yδ ) < δ và d(f (xδ ), f (yδ )) ε
1 1
Lần lượt lấy δ = 1, , , ... ta nhận được hai dãy {xn } và {yn } trong A sao cho
2 3
1
ρ(xn , yn ) < và d(f (xn ), f (yn )) ε với mọi n 1
n

Do tập A compact nên dãy {xn } ⊂ A có dãy con xnk , xnk → x0 ∈ A. Ta có:
1
0 d(ynk , x0 ) d(ynk , xnk ) + d(xnk , x0 ) <
+ d(xnk , x0 ) → 0 (k → ∞)
nk
suy ra ynk → x0 ∈ A. Vì ánh xạ f liên tục, xnk → x0 , ynk → x0 nên ta có
f (xnk ) → f (x0 ), f (ynk ) → f (x0 ). Khi đó, f xnk − f ynk → f (a) − f (a) = 0
hay lim d(f (xnk ), f (ynk )) = 0. Mâu thuẫn với giả thiết d(f (xnk ), f (ynk )) ε.
n,k→∞

Vậy f liên tục đều trên A.

16


1.2.5

Tập compact trong không gian C(S)

Giả sử S là một tập compact trong không gian metric (X, d). Gọi C(S) là
tập hợp tất cả các hàm số liên tục trên tập S. Với f, g ∈ C(S) , đặt
d(f, g) = max f (x) − g(x)
x∈S

Theo Định lí 1.2.20, f và g đều là những hàm số giới nội trên S nên d(f, g) là
một số hữu hạn. Dễ dàng chứng minh được rằng C(S) là một không gian metric
đầy với metric d(f, g) = max f (x) − g(x) .
x∈S

Định nghĩa 1.2.22. Cho Z ⊂ C(S). Các hàm số của tập Z gọi là giới nội đều

trên S nếu tồn tại một số M sao cho
f (x)
M, ∀x ∈ S, ∀f ∈ Z
Dễ dàng thấy rằng các hàm số của tập Z là giới nội đều trên S khi và chỉ
khi Z là một tập giới nội trong không gian C(S).
Định nghĩa 1.2.23. Cho Z ⊂ C(S). Các hàm số của tập Z gọi là đồng liên
tục tại x0 ∈ S nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ S : d(x, x0 ) < δ ⇒ f (x) − f (x0 ) < ε, ∀f ∈ Z
Các hàm số của Z gọi là đồng liên tục trên S nếu chúng đồng liên tục tại
mỗi điểm của S.
Định nghĩa 1.2.24. Cho Z ⊂ C(S). Các hàm số của tập Z gọi là đồng liên
tục đều trên S nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x1 , x2 ∈ S : d(x1 , x2 ) < δ ⇒ f (x1 ) − f (x2 ) < ε, ∀f ∈ Z
Định lí 1.2.25. (Arzela-Ascoli) Tập Z ⊂ C(S) compact tương đối khi và chỉ
khi các hàm số của Z giới nội đều và đồng liên tục đều trên S.
Chứng minh. (⇒) Giả sử tập Z ⊂ C(S) compact tương đối, Khi đó, Z là một
tập giới nội trong C(S), suy ra các hàm số của tập Z là giới nội đều trên S.
Ta sẽ chứng minh các hàm số của Z là đồng liên tục đều trên S. Thật vậy,
do Z compact tương đối nên Z hoàn toàn giới nội (Nhận xét 1.2.11). Do đó,
ε
với ε > 0 bất kì, tồn tại tập N = {f1 , f2 , ..., fm } ⊂ Z là −lưới hữu hạn
3
của Z. Vì S compact nên các hàm số f1 , f2 , ..., fm liên tục đều trên S. Do đó,
∃δ > 0, ∀x , x ∈ S :
ε
d(x , x ) < δ ⇒ fi (x ) − fi (x ) < , i = 1, m
3
ε
Lấy f ∈ Z thì ∃i0 = 1, m : d(f, fi0 ) < . Khi đó, ∀x , x ∈ S : d(x , x ) < δ ⇒
3

f (x ) − f (x ) < f (x ) − fi0 (x ) + fi0 (x ) − fi0 (x ) + fi0 (x ) − f (x )
ε
< 2d(f, fi0 ) + < ε
3
17


Vậy các hàm số của Z giới nội đều và đồng liên tục đều trên S.
(⇐) Giả sử các hàm số của Z giới nội đều và đồng liên tục đều trên S. Vì
tập compact S là khả li nên tồn tại tập đếm được {an } trù mật trong S. Lấy
dãy {fn } ⊂ Z. Để chứng minh Z compact tương đối, ta chứng minh tồn tại dãy
con của {fn } hội tụ trong C(S).
Vì các hàm số của Z là giới nội đều trên S nên fn (a1 ) là một dãy số giới
nội. Vì vậy tồn tại một dãy con f1,n của dãy {fn } sao cho dãy số f1,n (a1 )
hội tụ.
Tương tự tồn tại một dãy con f2,n của dãy f1,n sao cho dãy số f2,n (a2 )
hội tụ.
Bằng quy nạp, ta thu được dãy con fk+1,n của dãy fk,n sao cho dãy số
fk+1 (ak+1 ) hội tụ, với k = 1, 2, ...
Hiển nhiên fn,n là một dãy con của dãy {fn } thỏa mãn điều kiện: fn,n (ak )
là một dãy số hội tụ với mọi k. Ta chỉ cần chứng minh dãy fn,n là một dãy
Cauchy trong C(S) (Khi đó, vì C(S) là không gian đầy nên fn,n hội tụ trong
C(S)).
Thậy vậy, vì Z đồng liên tục đều nên ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x , x ∈ S :
ε
d(x , x ) < δ ⇒ fn,n (x ) − fn,n (x ) < , n = 1, 2, ...
3
∞
Mặt khác, S =

S(ak , δ). Theo Định lí 1.2.14, tồn tại số k0 sao cho
k=1
k0

S=

S(ak , δ)
k=1

hội tụ với k = 1, 2, ..., k0 nên tồn tại n0 ∈ N sao cho
ε
∀m, n n0 , fn,n (ak ) − fm,m (ak ) < , k = 1, 2, ..., k0 . Lấy x ∈ S thì x ∈ S(ak , δ)
3
với k = 1, k0 . Do đó, ∀m, n n0 , ta có:
Vì dãy

fn,n (ak )

fn,n (x) − fm,m (x)

fn,n (x) − fn,n (ak ) + fn,n (ak ) − fm,m (ak )
+ fm,m (ak ) − fm,m (x) < ε

Suy ra ∀m, n

n0 , d(fn,n , fm,m ) = max fn,n (x) − fm,m (x)
x∈S

là một dãy Cauchy trong C(S).

1.3

Bài tập

Bài 1.3.1. Chứng minh:
a) Hợp của hữu hạn các tập compact là một tập compact.
b) Giao của một họ các tập compact là một tập compact.
18

ε. Vậy dãy fn,n


n

Giải. a) Giả sử A1 , A2 , ..., An (n ∈ N) là các tập compact. Đặt A =

Ai .
i=1

Ta chứng minh A là tập compact. Thật vậy, giả sử {Gα }α∈I là một họ phủ mở
tùy ý của A, tức là A ⊂
Gα . Khi đó, {Gα }α∈I cũng là phủ mở của Ai với
α∈I

mọi i = 1, 2, ..., n. Vì Ai compact nên tồn tại tập hữu hạn Ki ⊂ I sao cho Ai bị
phủ bởi họ con hữu hạn Gαk k∈Ki của {Gα }α∈I với i = 1, 2, ..., n. Như vậy
n

n

Ai ⊂

A=
i=1

Gαk
i=1 k∈Ki

Suy ra mọi phủ mở {Gα }α∈I của A đều có phủ con hữu hạn





Vậy tập A compact.
b) Giả sử {Bi }i∈I là một họ các tập compact. Đặt E =

Gαk
k∈Ki

n



.

i=1

Bi . Ta chứng minh
i∈I

E là tập compact. Thật vậy, vì tập Bi compact với mọi i ∈ I nên tập Bi đóng
với mọi i ∈ I. Khi đó, tập E =
Bi cũng đóng. Như vậy tập E đóng chứa
i∈I

trong tập Bi compact nên tập E compact.
Bài 1.3.2. Cho không gian metric (X, d) và {xn } ⊂ X, xn → x0 ∈ X. Chứng
minh tập K = {xn } ∪ {x0 } compact.
Giải. Mọi dãy trong K đều có dãy con của dãy {xn }. Vì xn → x0 ∈ K nên
mọi dãy con trong K đều hội tụ đến x0 . Khi đó, mọi dãy trong K đều chứa một
dãy con hội tụ đến x0 ∈ K. Vậy tập K compact.
Bài 1.3.3. Cho X, Y là hai không gian metric. Chứng minh rằng: ánh xạ
f : X → Y liên tục trên X khi và chỉ khi nó liên tục trên mỗi tập con compact
của X.
Giải. (⇒) Hiển nhiên.
(⇐) Giả sử f liên tục trên mỗi tập con compact của X. Lấy tùy ý một dãy
{xn } ⊂ X sao cho xn → x0 ∈ X. Theo bài 1.3.2, ta có: tập K = {xn } ∪ {x0 }
compact. Khi đó, f liên tục trên K, suy ra f (xn ) → f (x0 ). Vậy f liên tục trên
X.
Bài 1.3.4. Chứng minh nếu một tập compact bằng hợp của một dãy tăng dần
G1 ⊂ G2 ⊂ ... ⊂ Gn ⊂ ... các tập con mở của nó thì nó bằng một trong các Gn
đó.

19


∞

Gi là tập compact với Gi (i ∈ N∗ ) là các tập con mở của

Giải. Giả sử A =
i=1

∞

A. Khi đó, {Gi }i=1 là một họ phủ mở của tập A. Vì A compact nên tồn tại tập
∞
hữu hạn K ⊂ N∗ sao cho A bị phủ bởi họ con hữu hạn {Gi }i∈K của {Gi }i=1 ,
suy ra A =
Gi . Vì G1 ⊂ G2 ⊂ ... ⊂ Gn ⊂ ... nên A = Gn0 với n0 = max i
i∈K

i∈K
∞

Bài 1.3.5. Trong không gian metric (X, d), cho {Kn }n=1 là dãy các tập con
∞

compact khác rỗng với K1 ⊃ K2 ⊃ .... Chứng minh

Kn = Ø
n=1

Giải. Với mỗi n ∈ N∗ thì Kn = Ø, chọn xn ∈ Kn . Ta được dãy {xn } ⊂ K1
(vì K1 ⊃ K2 ⊃ ...). Vì K1 compact nên tồn tại dãy xnk ⊂ {xn } sao cho
xnk → x0 ∈ K1 . Với mỗi N ∈ N∗ , ta đều chọn được nk N sao cho xnk ⊂ Kn ,
∞

do Kn đóng nên x0 ∈ Kn , suy ra x0 ∈

∞

Kn . Vậy
n=1

Kn = Ø
n=1

Bài 1.3.6. Cho X là không gian metric. Ta nói ánh xạ f : X → R là nửa liên
tục dưới nếu với mọi a ∈ R thì tập x ∈ X|f (x) a là đóng. Chứng minh
nếu X là không gian compact và f nửa liên tục dưới thì tồn tại x0 ∈ X thỏa
f (x0 ) = inf f (x)
x∈X

Giải. Đặt a = inf f (x). Khi đó, có một dãy {xn } ⊂ X sao cho lim f (xn ) = a.
n→∞

x∈X

Do X là tập compact, không mất tính tổng quát ta có thể coi xn là dãy hội tụ
đến x0 ∈ X. Ta sẽ chứng minh f (x0 ) = a. Thật vậy, do f là nửa liên tục dưới
và x0 ∈ X nên f (x0 ) a. Mặt khác, theo định nghĩa của a thì f (x0 ) a. Vậy
f (x0 ) = a hay f (x0 ) = inf f (x)
x∈X

Bài 1.3.7. Chứng minh các tập sau đây compact trong R3 :
a) K = (x, y, z) ∈ R3 | |x| + y + z 1, y −1, z −2
b) K = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 + x + y + z 6
Giải. Để chứng minh tập K compact trong R3 ta cần chứng minh tập K đóng

và giới nội trong R3 .
3
a) Chứng minh K giới nội
 trong R .

|x| + y + z 1
|x| + (y + 1) + (z + 2) 4
Với mọi (x, y, z) ∈ K, ta có:
⇒
y −1, z −2
y + 1 0, z + 2 0






2
2



16
16



|x| 4
x
x

⇒

y+1



z + 2

4

4

⇒

(y + 1)2



(z + 2)2

16

⇒

16
20

y2




z 2

15 − 2y

17

12 − 4z

20


√
√
⇒ x2 + y 2 + z 2 53 ⇒ (x, y, z) ∈ S(O, 53) ⇒ K ⊂ S(O, 53)
Vậy tập K giới nội trong R3 .
Chứng minh K đóng trong R3 .
Lấy một dãy (xn , yn , zn ) bất kì trong K sao cho (xn , yn , zn ) → (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 .
Ta có: xn → x0 , yn → y0 , zn → z0
nên |xn | + yn + zn → |x0 |
+ y0 + z0






|x0 | + y0 + z0 1
|xn | + yn + zn 1
⇒ y0 −1

Mặt khác, (xn , yn , zn ) ⊂ K nên yn −1






z0 −2
zn −2
Do đó, (x0 , y0 , z0 ) ∈ K. Vậy tập K đóng trong R3 .Vậy K compact trong R3 .
b) Với mọi (x, y, z) ∈ K, ta có:
2
2
2
1
1
1
27
2
2
2
x +y +z +x+y+z 6⇔ x+
+ y+
+ z+
2
2
2
4
√
−1 −1 −1

3 3
⇒K=S
,
,
,
là quả cầu đóng, giới nội trong R3 . Vậy K
2 2 2
2
compact trong R3 .
Bài 1.3.8. Cho (X, dX ), (Y, dY ) là các không gian metric. Khi đó, X × Y =
(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y là một không gian metric với metric d được xác định như
sau
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = d2X (x1 , x2 ) + d2Y (y1 , y2 ) với (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × Y
Không gian (X × Y, d) gọi là không gian tích của không gian metric X, Y .
Cho f : X → Y . Đặt G = (x, f (x))|x ∈ X là đồ thị của f .
a) Chứng minh X × Y là tập compact khi và chỉ khi X và Y là tập compact.
b) Giả sử f liên tục trên X. Chứng minh G là tập đóng trong X × Y .
c) Giả sử Y là không gian metric compact và G là tập đóng trong X × Y .
Chứng minh f liên tục trên X.
Giải. a) (⇒) Giả sử X × Y là tập compact. Lấy dãy {xn } ⊂ X, {yn } ⊂ Y .
Khi đó, (xn , yn ) là dãy trong X × Y . Vì X × Y compact nên tồn tại dãy con
(xnk , ynk ) của (xn , yn ) sao cho (xnk , ynk ) → (x, y) ∈ X × Y . Khi đó,
lim d((xnk , ynk ), (x, y)) = lim d2X (xnk , x) + d2Y (ynk , y) = 0
k→∞

k→∞

⇒ lim xnk = x ∈ X và lim ynk = y ∈ Y . Vậy X, Y là tập compact.
k→∞

k→∞

(⇐) Giả sử X, Y là tập compact. Lấy dãy (xn , yn ) ⊂ X × Y . Do X
compact, dãy {xn } ⊂ X nên tồn tại dãy xnk ⊂ {xn }, xnk → x ∈ X. Do Y
compact, dãy {yn } ⊂ Y nên tồn tại dãy ynk ⊂ {yn }, ynk → y ∈ Y . Khi đó,
dãy (xnk , ynk ) ⊂ (xn , yn ) và (xnk , ynk ) → (x, y) ∈ X × Y . Vậy X × Y là tập
compact.
21


b) Lấy

xn , f (xn )

là dãy bất kì trong G và (xn , f (xn )) → (x, y) ∈ X × Y .

Ta sẽ chứng minh (x, y) ∈ G. Thật vậy, vì
lim d((x, y), (xn , f (xn )) = lim d2X (x, xn ) + d2Y (y, f (xn )) = 0
n→∞

n→∞

nên lim xn = x ∈ X và lim f (xn ) = y ∈ Y . Do f liên tục nên lim f (xn ) = f (x),
n→∞

n→∞

n→∞

suy ra y = f (x) hay (x, y) = (x, f (x)) ∈ G. Vậy G là tập đóng trong X × Y .

c) Phản chứng: Giả sử f không liên tục tại x0 ∈ X. Khi đó, tồn tại dãy
{xn } ⊂ X, xn → x0 ∈ X và tồn tại ε > 0 sao cho với mọi k ∈ N, tồn tại nk > k
sao cho d(f (xnk ), f (x0 )) ε. Do Y compact nên tồn tại dãy con xnkj ⊂ xnk
sao cho f (xnkj ) → y0 ∈ Y . Khi đó,
xnkj , f xnkj

G đóng và

xnkj , f xnkj

→ (x0 , y0 ) ∈ X × Y . Do

⊂ G nên (x0 , y0 ) ∈ G, suy ra y = f (x0 ). Mâu
ε với mọi j ∈ N. Vậy f liên tục trên X.

thuẫn với d f xnkj , f (x0 )

Bài 1.3.9. Cho không gian metric (X, d) và A, B là các tập con khác rỗng của
X. Ta định nghĩa:
d(x, B) = inf d(x, b) với x ∈ X là khoảng cách từ điểm x đến tập B
b∈B

d(A, B) =

inf d(a, b) là khoảng cách giữa hai tập A, B

a∈A,b∈B

a) Chứng minh d(x, B) là một hàm liên tục đều trên X.
b) Giả sử A compact, B đóng và A ∩ B = Ø. Chứng minh tồn tại a0 ∈ A sao

cho d(A, B) = d(a0 , B) > 0
c) Giả sử A, B là tập compact. Chứng minh tồn tại a0 ∈ A, b0 ∈ B sao cho
d(A, B) = d(a0 , b0 )
Giải. a) Với mọi x, y ∈ X, b ∈ B, ta có: d(x, b) d(x, y) + d(y, b)
⇒ inf d(x, b) inf (d(x, y) + d(y, b)) = d(x, y) + inf d(y, b)
b∈B

b∈B

b∈B

⇒ d(x, B) d(x, y) + d(y, B) ⇒ d(x, B) − d(y, B) d(x, y)
Đổi vai trò của x và y ta được d(y, B) − d(x, B) d(x, y).
Khi đó, d(x, B) − d(y, B)
d(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Vậy d(x, B) liên tục đều trên X
b) Vì d(x, B) liên tục đều trên X nên d(x, B) liên tục trên tập compact A.
Do đó, tồn tại a0 ∈ A sao cho d(a0 , B) = inf d(a, B). Mặt khác,
a∈A

inf d(a, B) = inf

a∈A

a∈A

inf d(a, b)

b∈B

=

inf d(a, b) = d(A, B)

a∈A,b∈B

Suy ra d(a0 , B) = d(A, B) 0.
Giả sử d(A, B) = 0. Khi đó, ta tìm được các dãy {xn } ⊂ A, {yn } ⊂ B sao
22


cho lim d(xn , yn ) = 0. Do A compact nên {xn } có dãy con xnk
n→∞

hội tụ đến

x0 ∈ A. Với dãy ynk ⊂ {yn }, ta có:
d(ynk , x0 ) d(ynk , xnk ) + d(xnk , x0 ) → 0 (k → ∞)
Suy ra lim ynk = x0 . Do B đóng, ynk ⊂ B nên x0 ∈ B. Mâu thuẫn với
k→∞

A ∩ B = Ø. Vậy d(A, B) = d(a, B) > 0
c) Vì A compact nên tồn tại a0 ∈ A sao cho d(A, B) = d(a0 , B). Ta sẽ chứng
minh tồn tại b0 ∈ B sao cho d(a0 , B) = d(a0 , b0 ).
Tồn tại dãy {yn } ⊂ B để lim d(a0 , yn ) = d(a0 , B). Do B compact nên có dãy
n→∞

ynk ⊂ {yn }, ynk → b0 ∈ B. Ta có:
d(a0 , b0 ) d(a0 , ynk ) + d(ynk , b0 )
Cho k → ∞ ta được d(a0 , b0 ) d(a0 , B). Mặt khác,

d(a0 , B) = inf d(a0 , b) d(a0 , b0 )
b∈B

Vậy tồn tại b0 ∈ B sao cho d(a0 , B) = d(a0 , b0 ), suy ra d(A, B) = d(a0 , b0 )
Bài 1.3.10. Cho (X, d) là không gian metric compact, ánh xạ f : X → X thỏa
mãn d(f (x), f (y)) < d(x, y) ∀x, y ∈ X, x = y. Điểm x0 được gọi là điểm bất
động qua ánh xạ f nếu f (x0 ) = x0 .
a) Chứng minh f có duy nhất điểm bất động.
b) Giả sử f liên tục, đặt A1 = f (X), An+1 = f (An ), n ∈ N. Chứng minh
∞

An = Ø
n=1

Giải. a) Đặt g : X → R xác định bởi g(x) = d(x, f (x)), x ∈ X. Với dãy
{xn } ⊂ X, giả sử xn → a ∈ X. Khi đó,
g(xn ) − g(a) = d(xn , f (xn )) − d(a, f (a))
= d(xn , f (xn )) − d(a, f (xn )) + d(a, f (xn )) − d(a, f (a))
d(xn , f (xn )) − d(a, f (xn )) + d(a, f (xn )) − d(a, f (a))
d(xn , a) + d(f (xn ), f (a))
< d(xn , a) + d(xn , a) = 2d(xn , a) → 0 (n → ∞)
⇒ g(xn ) → g(a). Vậy g liên tục trên X. Do X compact nên tồn tại x0 ∈ X sao
cho g(x0 ) = min g(x).
x∈X

Giả sử g(x0 ) = d(x0 , f (x0 )) > 0 (tức là x0 = f (x0 )).
Khi đó, g(f (x0 )) = d(f (x0 ), f (f (x0 ))) < d(x0 , f (x0 )) = g(x0 ). Mâu thuẫn với
g(x0 ) nhỏ nhất. Vậy g(x0 ) = d(x0 , f (x0 )) = 0 hay f (x0 ) = x0
Chứng minh tính duy nhất. Giả sử có y0 ∈ X sao cho y0 = f (x0 ). Khi đó,
d(x0 , y0 ) = d(f (x0 ), f (y0 )) < d(x0 , y0 ) nếu x0 = y0 (vô lí). Vậy f có duy nhất

23


điểm bất động x0 .
b) Vì f liên tục, X là tập compact nên A1 = f (X) là tập compact. Giả sử An
là tập compact. Khi đó, An+1 = f (An ) là tập compact. Vậy An là tập compact
khác rỗng với mọi n ∈ N.
Do A1 = f (X) ⊂ X nên A2 = f (A1 ) ⊂ f (X) = A1 . Giả sử An+1 ⊂ An . Ta
có: An+2 = f (An+1 ) ⊂ f (An ) = An+1 . Vậy An+1 ⊂ An với mọi n ∈ N. Theo bài
∞

An = Ø

1.3.5 suy ra
n=1

Bài 1.3.11. (Định lí Dini) Chứng minh rằng nếu một dãy đơn điệu những
hàm liên tục {fn } hội tụ trên không gian metric compact X tới hàm liên tục f
thì {fn } hội tụ đều đến f trên X.
Giải. Không mất tính tổng quát, giả sử {fn } là dãy đơn điệu giảm. Cho
ε > 0, với mỗi n 1, đặt
An = x ∈ X|fn (x) ε
Khi đó, {An } là dãy giảm những tập đóng. Nếu An = Ø, ∀n
1, thì chọn
xn ∈ An . Khi đó, {xn } có dãy con xnk hội tụ đến x0 , do tính compact của X.
∞

Dễ thấy x0 ∈

An . Điều này vô lí vì

n=1

0 = lim fn (x0 ) − f (x0 )
n→∞

0 để An0 = Ø. Suy ra
fn (x) − f (x) < ε, ∀n
Vậy {fn } hội tụ đều đến f trên X.

ε>0

Vậy phải có n0

n0 , ∀x ∈ X

Bài 1.3.12. (số Lebesgue) Cho (X, d) là một không gian metric compact, G
là một phủ mở của X. Chứng minh tồn tại số dương δ sao cho mỗi hình cầu mở
bán kính bé hơn δ đều nằm trong ít nhất một phần tử của G. Số δ như vậy gọi
là một số Lebesgue của không gian (X, d) đối với phủ G.
Giải. Vì G là một phủ mở của X nên với mỗi x ∈ X có một tập mở Gx ⊂ G
chứa x. Khi đó, tồn tại số δx > 0 sao cho x ∈ S(x, 2δx ) ⊂ Gx .
Họ S(x, δx )|x ∈ X là một phủ mở của X và tồn tại phủ con hữu hạn
S(xi , δxi )|1 i n (vì X compact). Đặt δ = min δxi |1 i n .
Giả sử y ∈ S(x, δ). Khi đó, tồn tại i ∈ {1, 2, ..., n} sao cho x ∈ S xi , δxi .
Ta có: d(y, xi )
⇒ y ∈ S xi , 2δxi

d(y, x) + d(x, xi ) < δ + δxi
⇒ S(x, δ) ⊂ S xi , 2δxi

mở của X đều có số Lebesgue.
24

2δxi
⊂ Gxi ⊂ Gx ⊂ G. Vậy mọi phủ