DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
Tập các số nguyên.
Tập các số hữu tỉ.
Tập các số nguyên.
f 1

Ánh xạ ngược của f .

fg

Tích của hai ánh xạ

MR

Module phải trên vành R .

M

Module trái trên vành R .

R

HomR  M , N 

Tập hợp tất cả các R  đồng cấu module f : M  N .

M i iI

Họ các tập M i .

■

Kết thúc chứng minh.

1


LỜI CẢM ƠN
Được sự phân công của Bộ môn Toán Khoa Sư phạm Trường Đại học Cần
Thơ, cùng sự đồng ý của Cô hướng dẫn TS. Lê Phương Thảo tôi đã thực hiện luận
văn với đề tài “Module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy”.
Để hoàn thành luận văn này, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giảng
viên đã tận tình dạy bảo, trang bị cho tôi nhiều kiến thức bổ ích và cần thiết trong
suốt thời gian học tập tại Trường. Những kiến thức đó giúp hoàn thành luận văn tốt
nghiệp đồng thời cũng là hành trang quý giá của tôi cho công việc trong tương lai.
Đặc biệt, xin trân trọng cảm ơn Cô hướng dẫn TS. Lê Phương Thảo đã tận tình
hướng dẫn, góp ý chỉnh sửa bản thảo giúp tôi hoàn thành luận văn.
Tuy đã có nhiều cố gắng để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh nhất
nhưng do bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, cũng như hạn chế
về kiến thức và kinh nghiệm trình bày một báo cáo khoa học nên không thể tránh
khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân chưa thấy được. Rất mong được sự góp
ý của quý Thầy, Cô và các bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Cần Thơ, ngày 27 tháng 4 năm 2016
Sinh viên

Nguyễn Trường Duy

2



MỤC LỤC
trang
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ………………………………………………….. 1
LỜI CẢM ƠN …………………………………………………………………. 2
MỤC LỤC ……………………………………………………………………... 3
PHẦN MỞ ĐẦU ………………………………………………………………. 5
PHẦN NỘI DUNG ……………………………………………………………. 7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ……………………………………………… 7
1.1 Module, module con, module thương ……………………………… 7
1.2 Đồng cấu module ………………………………………………….. 10
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp ………………………………………. 14
1.4 Dãy khớp ………………………………………………………….. 15
1.5 Phần bù cộng tính, phần bù theo giao …………………………….. 16
1.6 Module hữu hạn sinh, module hữu hạn đối sinh ………………….. 16
1.7 Module tự do ……………………………………………………… 19
1.8 Module cốt yếu, module đối cốt yếu ……………………………… 20
1.9 Module xạ ảnh, module nội xạ ……………………………………. 23
1.10 Module Noether, module Artin ………………………………….. 23
Chương 2. Module bất khả quy …………………………………………… 25
2.1 Định nghĩa và tính chất …………………………………………… 25
2.2 Đồng cấu các module bất khả quy ……………………………….... 28
3


Chương 3 Module hoàn toàn khả quy……………………………………… 37
3.1 Định nghĩa và tính chất ……………………………………………. 37
3.2 Module hoàn toàn khả quy và một số kết quả…………………….... 42
3.3 Định lí trù mật……………………………………………………..... 54
PHẦN KẾT LUẬN…………………………………………………………..... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………...… 61


4


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Là sinh viên Sư phạm Toán, trên cơ sở đã được trang bị những kiến thức nền
về module và mong muốn được học hỏi, trau dồi thêm vốn kiến thức về toán học
nói chung và lí thuyết module nói riêng. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Module
bất khả quy và module hoàn toàn khả quy” cho luận văn tốt nghiệp của mình.
Trong đề tài này tôi hệ thống kiến thức cơ bản nhất về module làm cơ sở lí luận để
tìm hiểu về khái niệm, tính chất của module bất khả quy và module hoàn toàn khả
quy cũng như mối quan hệ của của chúng với các khái niệm khác trong lý thuyết
module.
2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng chính mà luận văn nghiên cứu là module bất khả quy và module
hoàn toàn khả quy, trong đó tập trung vào tính chất và mối liên hệ với những khái
niệm có liên quan trong lý thuyết module.
3. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống một cách khoa học các khái niệm cơ bản về module, nghiên cứu
các tính chất của module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy nhằm phục vụ
cho việc nghiên cứu các khái niệm liên quan trong lý thuyết module.
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Trước hết là đọc các tài liệu có liên quan
đến Đại số hiện đại, module để tìm hiểu cơ sở lí luận làm tiền đề nghiên cứu đối
tượng chính. Sau đó là đọc, nghiên cứu và hiểu về định nghĩa, tính chất của module
bất khả quy và module hoàn toàn khả quy qua các tài liệu có liên quan.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức
về module bất khả quy và module hoàn toàn khả quy một cách khoa học và đầy đủ,
đưa vào các ví dụ minh họa.


5


5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận văn có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành toán
với hệ thống kiến thức cơ bản ở phần mở đầu hoặc có thể tìm hiểu sâu hơn về cấu
trúc module, những khái niệm, tính chất có liên quan thông qua module bất khả quy
và module hoàn toàn khả quy.
6. Bố cục của luận văn
Nội dung chính của luận văn có ba chương bao gồm:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về
lí thuyết module.
Chương 2. Module bất khả quy
Tìm hiểu định nghĩa, tính chất của module bất khả quy tạo tiền đề cơ bản để
tìm hiểu chương 3.
Chương 3. Module hoàn toàn khả quy
Chương này trình bày định nghĩa tính chất của module hoàn toàn khả quy và
mối liên hệ với các cấu trúc module khác như căn và đế module, module cốt yếu và
đối cốt yếu, module hữu hạn sinh và module hữu hạn đối sinh.

6


PHẦN NỘI DUNG
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày những khái niệm về module, module con, module
thương, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số

module thường gặp như module tối đại, module tự do,… và một số lớp module có
tính đối ngẫu: module con cốt yếu, module con đối cốt yếu; module hữu hạn sinh,
module hữu hạn đối sinh; module Noether, module Artin. Đây là những kiến thức
cơ bản của lí thuyết module cần thiết cho chúng ta khi tiếp cận, tìm hiểu nội dung
chính của luận văn trong các chương sau.
Trong luận văn này vành R luôn được giả thiết là có đơn vị 1  0 .
1.1 Module, module con, module thương
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử R là một vành. Nhóm cộng giao hoán M cùng với phép toán ngoài
(còn gọi là phép nhân với vô hướng):
M R M

 m, r 

mr

được gọi là một R  module phải nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i)  mr  r '  m  rr '
ii)  m  m ' r  mr  m ' r
iii) m  r  r '  mr  mr '
iv) m.1  m ,
với mọi m, m '  M và mọi r , r '  R .

7


Nếu 0M , 0R tương ứng là các phần tử trung hòa của M và R thì từ định
nghĩa ta có thể suy ra 0M r  0M và m0R  0M và   mr    m  r  m  r  , với mọi
m  M và r  R .


Từ nay thay cho 0M , 0R ta có thể viết là 0 mà không sợ sự nhầm lẫn nào.
Tương tự, nhóm cộng giao hoán M gọi là R  module trái nếu phép nhân với
vô hướng :

R M   M
 r, m

rm

Thỏa mãn các điều kiện sau:
i) r '  rm    r ' r  m
ii) r  m  m '  rm  rm '
iii)  r  r ' m  rm  r ' m
iv) 1.m  m ,
với mọi m, m '  M và mọi r , r '  R .
Rõ ràng nếu vành R giao hoán thì khái niệm module phải và module trái
trùng nhau và được gọi đơn giản là R  module.
Để thuận tiện, ta quy ước rằng khi nói module ta hiểu đó là module phải.
Ví dụ
1. Vành R là một R -module phải với phép nhân vô hướng về bên phải trong
vành R . Tương tự R là R -module trái.
2. Mỗi ideal phải của R là một R -module phải, mỗi ideal trái của R là một
R -module trái.

3. Mỗi không gian vector trên trường K là K -module.
8


4. Mỗi nhóm  M ,   giao hoán là một Z  module.
Có thể nói rằng khái niệm module là mở rộng của khái niệm nhóm giao hoán

và khái niệm không gian vector.
1.1.2 Định nghĩa
Mỗi tập con khác rỗng N của R  module M được gọi là module con của
M nếu N là R  module với phép cộng và phép nhân với vô hướng của M hạn chế

trên N .
Ví dụ
1. Mỗi module đều chứa các module con tầm thường là 0 và chính nó.
2. M là R -module và x  M khi đó tập con xR   xr r  R là một module
con của M . Nó được gọi là module xiclic sinh bởi phần tử x .
3. Giả sử N , P là hai module con của M khi đó N

P là module con của

M và N  P  n  p n  N , p  P cũng là module con của M .

1.1.3 Mệnh đề
Giả sử M là một R  module phải. Nếu N là tập con khác rỗng của M thì
các điều kiện sau tương đương:
i) N là module con của M .
ii) N là nhóm con cộng của module M và đối với mọi x  N , mọi r  R ta
có xr  N .
iii) Với mọi x, y  N và mọi r , s  R ta có xr  ys  N .
1.1.4 Định nghĩa
Cho M là R  module và N là một module con của M .Khi đó N là nhóm
con chuẩn tắc của nhóm cộng M và ta có nhóm thương:
M / N  x  N x  M 
9



Cùng hai phép toán: i) Phép cộng:  x1  N    x2  N    x1  x2   N ;
ii) Phép nhân với vô hướng:  M / N   R  M / N

 x  N, r 

xr  N ,

Với r  R; x1 , x2 , x  M . Khi đó M / N cũng là R  module và gọi là module thương.
Ví dụ
1. R là vành, A là ideal phải của R . Khi đó R / A là R  module và:
R / A   x  A x  R

2. Với mọi n  * ,

n



/n

 module.

là

1.2 Đồng cấu module
1.2.1 Định nghĩa
Cho hai module M R , N R . Một ánh xạ f : M  N , và với mọi x, y  M , r  R
Khi đó f được gọi là một đồng cấu R  module hay ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn
các điều kiện:
i) f  x  y   f  x   f  y 

ii) f  xr   f  x  r , đối với mọi x, y  M , r  R .
Nhận xét
1. Nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) thì f là đơn cấu (tương
ứng toàn cấu, đẳng cấu).
2. Nếu f  M   0N  thì f được gọi là đồng cấu không.
3. Ta có hai khái niệm sau:
• Kerf  x  M f  x   0  f 1  0  gọi là hạt nhân của f .
• Imf  f M   y  N x  M : y  f x  gọi là ảnh của f .
10


4. Nếu M  N thì f là tự đồng cấu của M . Nếu f là đẳng cấu, M và N là
R  module, kí hiệu M  N .

Ví dụ
1. Cho M là R  module. Ánh xạ 1M : M  M định nghĩa bởi 1M  x   x với
mọi x  M là tự đẳng cấu và gọi là tự đẳng cấu đồng nhất.
2. Giả sử N là module con của R  module M . Ánh xạ i : N  M định nghĩa
bởi i  x   x với mọi x  M là một đơn cấu. Đơn cấu này gọi là phép nhúng.
3. Giả sử N là module con của R  module M . Ánh xạ p : M  M / N định
nghĩa bởi p  x   x  N là một toàn cấu. Toàn cấu này gọi là toàn cấu chính tắc hay
phép chiếu chính tắc.
1.2.2 Mệnh đề
Giả sử X là module con của R  module M và Y là R  module của N . Và
f : M  N là đồng cấu R  module, khi đó :

i) f  X  là module con của R  module N .
ii) f 1 Y  là module con của R  module M .
Chứng minh
i) Giả sử y1 , y2  f  X  khi đó tồn tại x1 , x2  X sao cho y1  f  x1  và

y2  f  x2  khi đó :
y1  y2  f  x1   f  x2   f  x1  x2 
ya  f  x  a  f  xa  , với a  R, y  f  X 

Dễ thấy y1  y2  f  X  và ya  f  X  . Vậy f  X  là module con của N .
ii) Giả sử x1 , x2  f 1 Y  suy ra f  x1  , f  x2   Y . Từ đó
f  x1   f  x2   f  x1  x2   Y suy ra x1  x2  f 1 Y 
11


Với x  f 1 Y  suy ra f  x   Y và với a  R có f  x  a  f  xa   f 1 Y  suy
ra xa  f 1 Y  . Vậy f 1 Y  là module con của M .

■

1.2.3 Hệ quả
Nếu f : M  N là đồng cấu R  module thì Kerf là module con của M và
Imf là module con của N .

1.2.4 Mệnh đề
Cho M , N là các R  module. Giả sử f : M  N là đồng cấu R  module.
Khi đó:
i) Kerf  0 khi và chỉ khi f là đơn cấu.
ii) Imf  N khi và chỉ khi f là toàn cấu.
Chứng minh
i) Giả sử f là đơn cấu và x  Kerf . Khi đó f  x   0  f  0  do f đơn ánh
nên x  0 vì thế Kerf  0 .
Ngược lại nếu Kerf  0 và x, y  M sao cho f  x   f  y  thì ta có
f  x   f  y   0 suy ra f  x  y   0 do đó x  y  Kerf  x  y  0  x  y . Vậy f


là đơn cấu.
ii) Giả sử Imf  N  f  M   N nghĩa là với bất kì y  N suy ra y  f  M 
luôn tồn tại x  M sao cho y  f  x  . Vậy f là toàn cấu.
Ngược lại giả sử f là toàn cấu, với bất kì y  N tồn tại x  M sao cho
y  f  x  suy ra y  f  M  hay y  Imf thế thì N  Imf  Imf  N .

■

1.2.5 Định lí (Định lí đồng cấu module)
Cho M , N là các R  module. Giả sử

f : M  N là một đồng cấu

R  module bất kì, L là module con của M và L  Kerf . Khi đó tồn tại duy nhất
12


một đồng cấu g : M / L  N sao cho f  g p với p : M  M / L là một toàn cấu
chính tắc. Nghĩa là có biểu đồ giao hoán sau:
N
g

f
M

p

M /L

Chứng minh

Xét tương ứng: g : M / L  N xác định bởi g  x  L   f  x  . g là ánh xạ.
Thật vậy: nếu x  L  y  L thì x  y  L  Kerf do đó f  x  y   0  f  x   f  y  .
Với x  L, y  L  M / L và a  R ta có:
g  x  y  L  f  x  y   f  x  f  y   g  x  L  g  y  L
g  x  L  .a  f  x  .a  f  xa   g  xa  L 

Như vậy g là một đồng cấu R  module.
Giờ ta chứng minh g là duy nhất. Với mọi x  M ta có:

 gp  x   g  p  x    g  x  L   f  x  do đó

gp  f

Giả sử có đồng cấu h : M / L  N thỏa hp  f , thì với mọi x  M ta có
h  x  L   h  p  x     hp  x   f  x   g  x  L  như vậy g  h hay g là duy nhất. ■

1.2.6 Hệ quả
Cho f : M  N là một đồng cấu R  module. Khi đó ta có M / Kerf  Imf .
Và nếu f là toàn cấu thì M / Kerf  N .
Chứng minh
Xét đồng cấu g : M / Kerf  N xác định bởi g  x  Kerf   f  x  .
Giả sử lấy bất kì x  Kerf  Kerg ta có g  x  Kerf   f  x   0  x  Kerf .

13


Vậy x  Kerf là phần tử trung hòa của M / Kerf nghĩa là Kerg  0 hay g
là đơn cấu. Do đó M / Kerf  Img mà Img  Imf nên M / Kerf  Imf . Hơn nữa, nếu
f là toàn cấu thì Imf  N do vậy M / Kerf  N .


■

Từ định lí đồng cấu 1.2.5 và hệ quả 1.2.6 có thể chứng minh được hai định lí
đẳng cấu sau đây.
1.2.7 Định lí
(Định lí đẳng cấu thứ nhất) Nếu N và P là hai module con của R  module
M thì N /  N  P    N  P  / P .

1.2.8 Định lí
(Định lí đẳng cấu thứ hai) Cho M là R  module. Nếu N là module con
của M và P là module con của N thì M / N   M / P  /  N / P  .
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp
1.3.1 Định nghĩa
Cho I là một tập khác rỗng. Giả sử M i iI là họ các R  module chỉ số hóa
bởi I . Khi đó tích Descartes

 M   x  x  M , i  I 
iI

i

i

i

i

cùng với phép cộng và

phép nhân với vô hướng theo thành phần:

i)  xi iI   yi iI   xi  yi iI
ii)  xi iI r   xi r iI
với xi , yi  M i và r  R . Là một R  module, gọi là tích trực tiếp của họ M i iI .
1.3.2 Định nghĩa
Cho tập I khác rỗng, giả sử M i iI là họ các R  module chỉ số hóa bởi I .
Module con của

M
iI

i

gồm tất cả những phần tử  ai iI mà ai  0 hầu hết, trừ một

14


số hữu hạn chỉ số i  I , được gọi là tổng trực tiếp (còn gọi là tổng trực tiếp ngoài)
của họ M i iI và kí hiệu bởi  M i .
iI

1.3.3 Định nghĩa
Cho tập I khác rỗng, cho M i iI là một họ tùy ý các module con của
R  module M . Khi đó nếu M i

 M  0

i  jI

j


với mọi i  I thì

M
iI

i

được gọi là

tổng trực tiếp trong của họ các module con đã cho.
Chú ý:
M là tổng trực tiếp của họ M  I khi và chỉ khi mỗi phần tử x của M có

thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng sau:
x  x1  x2  ...  xn ; xi  Mi ;i  I ; 1  i  n .

1.3.5 Định nghĩa
Module con N của R  module M được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu
có một module con N ' của M sao cho M  N  N ' .
1.4 Dãy khớp
1.4.1 Định nghĩa
Một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) những đồng cấu R  module
f
g
...  M 
 N 
 P  ...

được gọi là khớp tại N nếu Imf  Kerg . Dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi

module khác với hai đầu (nếu có) của dãy.
Dãy khớp có dạng
f
g
0  M 
 N 
P  0

được gọi là dãy khớp ngắn.

15


1.4.2 Định nghĩa
Cho M , N là các R  module. Đơn cấu f : M  N của các R  module được
gọi là chẻ ra nếu Imf là hạng tử trực tiếp của N . Toàn cấu g : N  P được gọi là
chẻ ra nếu Kerg là hạng tử trực tiếp của N .
1.4.3 Định nghĩa
f
g
Dãy khớp ngắn 0  M 
 N 
 P  0 được gọi là chẻ ra nếu

Imf  Kerg là những hạng tử trực tiếp của N .

1.5 Phần bù cộng tính và phần bù theo giao
1.5.1 Định nghĩa
Cho N là module con của R  module M . Module con N ' của M được gọi
là phần bù cộng tính đối với N trong M nếu:

i) N  N '  M ,
ii) N ' là module tối tiểu có tính chất N  N '  M .
1.5.2 Định nghĩa
Cho N là module con của R  module M . Module con N ' của M được gọi
là phần bù theo giao (hay
i) N

 bù) nếu:

N '  0;

ii) N ' là module con tối đại có tính chất N

N '  0.

1.5.3 Mệnh đề
Giả sử N , P là hai module con của M . Khi đó M  N  P khi và chỉ khi P
đồng thời là phần bù cộng tính và là phần bù theo giao của N trong M .
1.6 Module hữu hạn sinh, module hữu hạn đối sinh
1.6.1 Định nghĩa Cho M  I là một họ tùy ý các module con của R  module
M chỉ số hóa bởi I .
16


Khi đó kí hiệu



 M    x


I

của

 I

M .

 M

 I

I


x  M  ,   I  là tổng hữu hạn các phần tử


được gọi là tổng của họ M  I các module con của M .

1.6.2 Mệnh đề
Cho I là tập khác rỗng và

M I là họ tùy ý các module con của

R  module M chỉ số hóa bởi I . Khi đó:

i)

 I


M  và

 M

là các R  module con của M .

 I

ii) Nếu họ M  I lồng nhau thì

 I

M  cũng là một module con của M .

1.6.3 Định nghĩa
Giả sử S là một tập con của R  module M . Khi đó giao của tất cả các
module con chứa S của M cũng là một module con của M và được gọi là module
con của M sinh bởi S . Kí hiệu S . Rõ ràng S là module con của M bé nhất
(theo quan hệ bao hàm) chứa S .
S được gọi là tập sinh hay hệ sinh của module S . Nếu S  M thì ta nói
S là một hệ sinh của M hay M được sinh bởi S .

Nếu S không chứa thực sự một hệ sinh của M thì S được gọi là hệ sinh cực
tiểu của M . Nếu M có một hệ sinh hữu hạn thì M được gọi là một module hữu


n




hạn sinh. Giả sử S   x1 , x2 ,..., xn  thì M  S   xi ri ri  R  .
 i 1



Nếu M có hệ sinh gồm một phần tử thì M được gọi là module xiclic. Với
S   x thì M  S  xR   xr r  R .

1.6.4 Mệnh đề
Cho R  module M hữu hạn sinh khi và chỉ khi đối với mỗi tập M i i  I 
các module con của M ,với I là tập chỉ số hóa, thỏa mãn:
17


M   Mi ,
iI

đều tồn tại một tập con hữu hạn I 0  I sao cho M   M i .
iI 0

1.6.5 Định nghĩa
Cho tập I khác rỗng. Module M được gọi là hữu hạn đối sinh nếu với mỗi
tập hợp M i i  I  các module con của M thỏa mãn
con hữu hạn I 0  I sao cho

iI 0

iI


M i  0 , đều tồn tại một tập

Mi  0 .

1.6.6 Định nghĩa
Cho N là module con của R  module M . N được gọi là module tối đại nếu
N  M và N không chứa trong module con thực sự nào của M .

1.6.7 Mệnh đề
Trong module con hữu hạn sinh mỗi module con thực sự được chứa trong
một module con tối đại.
Bổ đề Zorn Cho tập A là một tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự
hoàn toàn trong A có cận trên thì A có phần tử tối đại.
1.6.8 Hệ quả
Mỗi module hữu hạn sinh M  0 đều chứa module tối đại.
1.6.9 Mệnh đề
Giả sử f : M R  N R là một toàn cấu
1) Nếu B là một module con tối đại của N R thì f 1  B  là một module con
tối đại của M R .
2) Nếu A là một module con tối đại của M R và Kerf  A thì f  A là một
module con tối đại của N R .

18


1.6.10 Mệnh đề
(Luật Modular) Nếu N , P, K là những module con của R  module M và
P  N thì  K  P  N   K

N P.


1.7 Module tự do
1.7.1 Định nghĩa
Cho tập I khác rỗng, tập con S   xi i  I  của R  module M được chỉ số
hóa bởi I , được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con hữu hạn J  I ,

 x r  0 trong đó r  R , suy ra r  0 .
iJ

i i

i

i

Nếu S không độc lập tuyến tính ta nói S phụ thuộc tuyến tính.
1.7.2 Định nghĩa
Nếu R  module M có một hệ sinh S nào đó độc lập tuyến tính thì M được
gọi là module tự do. Khi đó S gọi là một cơ sở của M .
Ví dụ 1. Vành R có đơn vị là module tự do trên chính nó với cơ sở là 1 .
2. Mỗi không gian vector trên trường K đều là K -module tự do vì nó luôn
có cơ sở.
1.7.3 Mệnh đề M là một R  module tự do khi và chỉ khi M   M i , M i  R với I
iI

là tập chỉ số nào đó.
1.7.4 Định lí
Cho M là module tự do với cơ sở S   xi i  I  và N là R  module. Khi đó
Ánh xạ f : S  N đều được mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu
: M N.


1.7.5 Mệnh đề
Mọi R  module đều đẳng cấu với thương của một module tự do.
19


1.8 Module con cốt yếu, module con đối cốt yếu
1.8.1 Định nghĩa
Module con N của M được gọi là module con cốt yếu (hay lớn) trong M
nếu với mỗi module N '  0 của M ta luôn có N

N '  0 (hay N

N '  0 khi

N '  0 ). Khi đó M được gọi là mở rộng cốt yếu của N . Kí hiệu N  * M .

Ví dụ
1. Cho M là R  module. Ta luôn có M  * M .
2. Với

-module

a , b  0 ta đều có 0  ab  a

mỗi module khác 0 trong

đều cốt yếu vì với

b .


1.8.2 Mệnh đề Cho M , M ' là hai module. Khi đó:
i) Nếu trong module M có các dãy module con N  P  K thì N  *M kéo
theo P  * K .
ii) Nếu Ni  * M , 1  i  n thì

n
i 1

Ni  * M .

iii) Nếu  : M  M ' là đồng cấu module và P  * M ' thì  1  P   * M .
Chứng minh
i) Giả sử A là module con khác không của module K , thế thì A cũng là
module con của M và A N  0  A P  0 điều này chứng tỏ P  * K
ii) Ta chứng minh quy nạp theo n . Với n  1 mệnh đề đúng theo giả thiết.
Giả sử mệnh đề đúng với n  1 , tức là N 

n 1
i 1

Ni  * M . Bây giờ giả sử A  0 là một

module con của M .Do N n cốt yếu trong M nên Nn

 Nn

Lại do N cốt yếu trong M nên N
n


Vậy

i 1

Ni  * M .

20

A  0.

A  0  N

Nn  * M .


iii) Giả sử A là module con của M và A  1  P   0 . Khi đó P   A  0 .
Vì vậy   A  0 do P  * M ' . Từ đó A  Ker  1  P   A  A  1  P   0 . Điều
này chứng tỏ  1  P  là cốt yếu trong M .
1.8.3 Định nghĩa
Module con N của module M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) nếu với
module N '  M ta đều có N  N '  M (hay N  N '  M kéo theo N  M ).
Kí hiệu N 0 M .
Ví dụ: 1. Với mỗi M là R  module ta đều có 0 * M .
2. Trong

chỉ có 0 là module con đối cốt yếu.

1.8.4 Mệnh đề Cho M , M ' là hai module. Khi đó:
i) Nếu trong module M có các dãy module con N  P  K thì P 0 K kéo
theo N 0 M .

ii) Nếu Ni 0 M , 1  i  n thì

n

N
i 1

i

0 M .

iii) Nếu  : M  M ' là đồng cấu module và N 0 M thì   N  0 M ' .
Chứng minh
i) Giả sử A là module con của M sao cho N  A  M khi đó P  A  M và
theo luật modular ta có

A

K   P   A  P K  M

K  K . Do P 0 K nên

A K  K . Điều này kéo theo K  A . Bởi vậy M  N  A  A chứng tỏ N 0 M .

ii) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n . Với n  1 mệnh đề đúng do giả
thiết. giả sử ta có N  N2  N3  ...  Nn 0 M . Bây giờ, giả sử A là module con của
M sao cho  N1  N   A  M . Khi đó, do N1 0 M nên N  A  M . Lại do N 0 M

nên A  M , điều này chứng tỏ N1  N 0 M . Như vậy


21

n

N
i 1

i

0 M .


iii) Giả sử   N   A  M ' với A là module con của M ' . Ta chứng tỏ
N   1  A  M

1

Thật vậy, với phần tử tùy ý m  M ta có   m     n   a , với n  N , a  A .
Và a    m  n   m  n  1  A  m  N   1  A . Do N 0 M nên từ 1 suy ra
 1  A  M . Bởi vậy   N     M   A .

Do đó M '    N   A  A như vậy   N  0 M ' .
1.8.5 Mệnh đề
Cho M là R  module, với a  M module con aR không là module đối cốt
yếu trong M khi và chỉ khi tồn tại module con tối đại K sao cho a  K .
Chứng minh
Nếu K là module con tối đại trong M và a  K thì aR  K  M bởi vậy aR
không là đối cốt yếu trong M .
Chiều ngược lại, ta sử dụng bổ đề Zorn để chứng minh.
Đặt S là tập tất cả các module con B của M , B  M sao cho aR  B  M .

S  B B  M , aR  B  M 

Tập S   vì aR không là cốt yếu. Giả sử  là một dây truyền trong S
(theo quan hệ bao hàm). Khi đó dễ thấy B0  B, B  là cận trên của  . Ta chứng
tỏ B0  M muốn vậy ta cần chỉ ra a  B0 .Thật vây, nếu a  B0 thì a  B với B nào
đó thuộc  . Khi đó aR  B và vì vậy M  aR  B  B , trái với giả thiết B  M . Bởi
vậy a  B0 .
Mặt khác, hiển nhiên B0  aR  M , nghĩa là B0  S . Khi đó theo bổ đề Zorn
trong S có phần tử tối đại K .
Ta chứng tỏ K là module tối đại trong M . Thật vậy, giả sử có module con
E của M sao cho K  E và K  E . Khi đó E không thuộc S . Đồng thời,
22


M  aR  K  aR  E  M  aR  E  M .

Bởi vậy E  M , chứng tỏ K là module con tối đại trong M .
1.9 Module xạ ảnh, module nội xạ
1.9.1 Định nghĩa
Một R  module M được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu f : M  P ,
và mọi toàn cấu g : N  P các R  module đều tồn tại đồng cấu h : M  N sao cho
gh  f nghĩa là biểu đồ giao hoán sau:

N

h

M
f


g

P

0

1.9.2 Mệnh đề
Mọi module tự do trên R đều là module xạ ảnh.
1.9.3 Định nghĩa
Mỗi R  module M được gọi là module nội xạ nếu với mọi đồng cấu
f : P  M và mọi đơn cấu g : P  N các R  module luôn tồn tại một đồng cấu
h : N  M sao cho hg  f nghĩa là có biểu đồ giao hoán sau:
M
h

f
0

P

g

N

1.10 Module Noether, module Artin.
1.10.1 Định nghĩa
Một R  module phải M được gọi là module Noether nếu mỗi tập con không
rỗng các module con của nó đều có phần tử tối đại.
23



1.10.2 Định lí
Giả sử N là module con của module M . Khi đó các điều sau là tương
đương:
i) M là module Noether.
ii) N và M / N là module Noether.
iii) Mọi chuỗi tăng N1  N2  N3  ... những module con của M đều dừng.
1.10.3 Định nghĩa
Một R  module phải M được gọi là module Artin nếu mỗi tập con không
rỗng các module con của nó đều có phần tử tối tiểu.
1.10.4 Định lí
Giả sử N là module con của module M . Khi đó các điều sau là tương
đương:
i) M là module Artin.
ii) N và M / N là module Artin.
iii) Mọi chuỗi giảm N1  N2  N3  ... những module con của M đều dừng.

24


Chương 2
MODULE BẤT KHẢ QUY
Chúng ta đã làm quen với một số khái niệm module như module tối đại,
module thương, module tự do, module Nother, module Artin… Ngoài ra còn có
module mà cấu trúc của nó khá đơn giản, gọi là module bất khả quy (còn gọi là
module đơn). Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về module bất khả quy.
2.1 Định nghĩa và tính chất
2.1.1 Định nghĩa
Giả sử M là R  module, ta nói M là R  module bất khả quy (còn gọi là
module đơn) nếu:

i) M  0 và N là module con của M thì hoặc N  M hoặc N  0 ;
ii) Tồn tại m  M , r  R để mr  0 .
Ví dụ
1. Nếu K là một trường thì mọi không gian vector một chiều trên K đều là
module bất khả quy.
2. Nếu p là một số nguyên tố thì

p



/p

là

 module bất khả quy.

2.1.2 Mệnh đề
M là R  module bất khả quy khi và chỉ khi M  0 và M là module xiclic

và mọi phần tử khác không của M đều là phần tử sinh.
Chứng minh
Giả sử M là R  module bất khả quy, theo định nghĩa thì M  0 và tồn tại
m  M , r  R sao cho mr  0 . Gọi mR  mr r  R là module con sinh bởi m , rõ

ràng 0  mr  mR , mà M là module bất khả quy nên mR  M . Suy ra M là module
xiclic sinh bởi m . Hơn nữa, với mỗi x  0 thuộc M ta đều có xR   xr r  R là
module con của M nên xR  M với mọi 0  x  M .
25