TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN
QUEN THUỘC

Giáo viên Hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

Th.s Lê Hồng Đức

Danh Huy
MSSV: B1200280
Lớp: SP. Toán 01k38

Cần Thơ, Tháng 05 Năm 2016


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

CẢM ƠN
Đến nay em đã hoàn thành bài luận văn” ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG
GIAN QUEN THUỘC’’ em rất vui mừng vì mình đã hoàn thành tác phẩm đầu tiên
của mình trong suốt 4 năm học đại học vừa qua. Mặc dù trong quá trình thực hiện

đề tài này em gặp rất nhiều khó khăn, đấu tranh tư tưởng và có lúc tưởng chừng đã
từ bỏ. Nhưng với sự giúp đỡ của thầy, cô và bạn bè, em cũng đã vượt qua.
Em xin chân thành Th.s Lê Hồng Đức, người đã tận tình dạy dỗ, động viên, giúp đỡ
và tạo cho em niềm tin trong suốt thời gian thực hiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Sư Phạm Toán 01 k38 đã nhiệt tình cổ vũ,
động viên tinh thần cho em vượt qua khó khăn trong suốt thời gian làm luận văn.
Với nguồn kiến thức hạn hẹp của bản thân, em đã bắt tay vào việc nghiên cứu một
vấn đề của toán học, mặc dù đã cố gắn hết sức. Nhưng có thể sẽ không tránh khỏi
sai sót. Mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của quý thầy, cô và ý kiến đóng góp từ
các bạn để cho luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Cần Thơ, ngày tháng
Sinh viên
Danh Huy

i

năm 2016


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

MỤC LỤC
CẢM ƠN ................................................................................................................................ i
PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................................ 3
1.1


Không gian đối ngẫu ............................................................................................. 3

1.2.Ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm ..................................................................... 4
1.3.Tính chất ..................................................................................................................... 6
1.4.Hội tụ trong không gian đối ngẫu, dãy song trực giao ........................................... 8
1.5.Không gian phản xạ, mối liên hệ của không gian đối ngẫu với không gian định
chuẩn và không gian Banach. ......................................................................................... 9
1.6.Tôpô yếu. Tôpô yếu của cặp đối ngẫu .................................................................... 13
1.7.Pôla ............................................................................................................................ 15
1.8.Song pôla................................................................................................................... 16
1.9.Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu ....................................................................... 17
CHƯƠNG II: ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC .............. 18
2.1.Không gian đối ngẫu của không gian C(S) ............................................................ 18
2.2. Không gian đối ngẫu của không Ll  X , ,   và  p  1 .................................... 24
2.3.Không gian đối ngẫu của không gian C0 .............................................................. 34
2.4.Không gian đối ngẫu của không gian kothe .......................................................... 37
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 58

ii


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Trong chương trình đào tạo của nghành Sư Phạm Toán nói riêng cũng như chương

trình đạo tạo nhiều ngành khoa Sư Phạm nói chung đều có học phần là luận văn tốt
nghiệp. Đối với sinh viên đây là cơ hội để mình tập nghiên cứu, trao dồi kiến thức
cũng như năng lực tự tìm hiểu của bản thân. Trong nhiều loại không gian xuất hiện
trong chương trình giải tích hàm thì không gian đối ngẫu đóng vai trò quan trọng vì
mỗi phần tử là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và một số không gian lại có
không gian đối ngẫu riêng của nó.
Vì vậy, với sự gợi ý của thầy Lê Hồng Đức, em quyết định chọn thực hiện đề tài “
ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC’’ cho luận văn tốt
nghiệp của mình với mục đích trao dồi thêm vốn kiến thức hạn hẹp, đồng thời nâng
cao khả năng tự tìm hiểu của bản thân.
2. Mục đích nghiên cứu

Với đề tài” ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC” tìm hiểu
một số định nghĩa, tính chất, định lý liên quan đế không gian đối ngẫu. Đồng thời
tìm hiểu thêm về đối ngẫu của một số không gian.
3. Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau: sách, giáo trình, tham khỏa các luận
văn toán học, tổng hợp,phân tích, so sánh rồi trình bày lại một cách lôgic theo sự
hiểu biết của bạn thân.
4. Nội dung nghiên cứu

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
- Trình bày các khái niệm, các ví dụ, tính chất và các định lý liên quan đến không
gian đối ngẫu.
Chương II: ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC

- Không gian đối ngẫu của không gian C(S). Phần này em xin trình bày khái niệm
không gian C(S), chứng minh không gian C(S) là không gian định chuẩn, khái
niệm độ đo, độ đo borel, chứng minh định lý.

1


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

- Không gian đối ngẫu của không gian Lp  X , ,  
khái niệm không gian Lp  X , ,  

 p  1 . Phần này em xin trình

 p  1 , khái niệm bị chặn cốt yếu, cận trên bị

chặn cốt yếu. Chứng minh không gian Lp  X , ,   p  1 và không gian
L  X , ,  

 p  1

cùng với chuẩn của nó là không gian Banach.

- Không gian đối ngẫu của không gian C0. Phần này em xin trình bày khái niệm
không gian C0, chứng minh không gian C0 cùng với chuẩn của nó là không gian
Banach. Chứng minh rằng đối ngẫu của không gian C0 là không gian l1.
- Không gian đối ngẫu của không gian Kothe. Phần này em xin trình bày khái
niệm không gian kothe. Chứng minh định lý .
- Một số bài tập về phiếm hàm tuyến tính.
Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu khóa luận này, do điều kiện về thời gian và
năng lực hạn chế của bản thân nên không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong quý
thầy, cô và các bạn góp ý.


2


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian đối ngẫu
1.1.1 Định nghĩa
Cho X là không gian định chuẩn. Khi đó, không gian L  X , K  , các phiếm hàm
tuyến tính liên tục xác định trên X được gọi là không gian đối ngẫu hay không
gian liên hợp của X .
Kí hiệu: X  .
1.1.2 Chuẩn trong không gian đối ngẫu
Không gian đối ngẫu( hay không gian liên hợp) X  là một trường hợp đặc biệt của
không gian định chuẩn L  X , Y  với Y là trường số K nên hiển nhiên X  là một
không gian định chuẩn với chuẩn được xác định như trong không gian L  X , Y  :
Số f  inf k : f  x   k x , x  X  là chuẩn của phiếm hàm f trong không
gian X  .
Ngoài ra f  X  ta có:
i) f  x   f x , x  X
ii) f  sup f  x   sup f  x   sup
x 1
xX

x 1
xX


x0

f  x
x

.

1.1.3.Mệnh đề. Giả sử X là một không gian tách, lồi địa phương với đối ngẫu X  .
Nếu f  a   0 với mọi f  X  , thì a  0 .
1.1.4.Định lý. ( định lý Hahn – Banach về tách biệt). Giả sử X là một không gian
lồi địa phương, A, B là hai tập hợp lồi, rời nhau và A mở. Khi đó tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục f với f  A  và f  B  rời nhau( f tách A và B ).
1.1.5.Mệnh đề. Nếu B là một tập hợp con lồi của một không gian lồi địa phương,
và a  B , thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f với f  a   f  B  .

3


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

1.2.Ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm
1.2.1.Định lý Hahn-Banach
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính con X 0
của không gian định chuẩn X  X 0  X  đều có thể thác triển lên toàn không gian X
với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên tục
F xác định trên toàn không gian X sao cho:

i) F  x   f  x 

ii) F

 f

X

x  X 0

X0

Hệ quả 1:
Cho không gian định chuẩn X , với mỗi phần tử khác không x0  X tồn tại một
phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên toàn không gian X sao cho
f  x0   x0 và f  1 .

Hệ quả 2:
Cho Y là không gian tuyến tính con của không gian định chuẩn X và x0  X là một
phần tử thỏa mãn điều kiện:
d  x0 , Y   inf x0  y  d  0
yY

Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian X sao cho:
i)
ii)

f  y   0, y  Y .

f 

1

d

iii) f  x0   1
1.2.2.Định lý Banach-Steinhauss
Giả sử X là không gian Banach, Y là một không gian tuyến tính định chuẩn ,  At tT
là một họ toán tử tuyến tính giới nội từ X vào Y sao cho với mỗi x thuộc X ,

 At x : t  T

là một tập giới nội trong Y . Khi đó  At tT giới nội trong không gian

L  X  , tức là tồn tại số k sao cho At  k

4

 t  T  .


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

Hệ quả:
Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn,  An  là
một dãy toán tử tuyến tính giới nội từ X vào Y . Nếu với mỗi x  X dãy  An x đều
hội tụ trong Y thì  An x giới nội trong không gian L  X , Y  .
1.2.3.Nguyên lý ánh xạ mở
Giả sử X , Y là hai không gian Banach, A là toán tử tuyến tính liên tục từ X lên Y là
một phép đồng phôi tuyến tính.
1.2.4. Định lý

Cho X là một không gian định chuẩn, M là một không gian con tuyến tính trù mật
trong X và f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên M . Khi đó, tồn tại duy
nhất một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X sao cho:
i. F suy rộng f , tức là F  x   f  x  , x  M
ii. F  f
Chứng minh
Thật vậy:
M trù mật trong X  x  X ,  xn   M hội tụ đến x .

Ta có:

f  xn   f  xm   f  xn  xm   f . xn  xm
  f  xn n 1 là dãy Cauchy.


Vì K là đầy đủ, nên tồn tại lim f  xn 
n

Ta xác định F : X  K

x

F  x   lim f  xn 
n

Vậy F  x   lim f  xn  .
n

Ta có: F  xn   f . xn
 F  x  f . x


5


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

F  f (1)
Mặt khác:
F  sup F  x   sup F  x   sup f  x   f (2)
x 1
xX

x 1
xM

x 1
xM

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Tính duy nhất là hiển nhiên theo đúng tính chất của lim.
1.3.Tính chất
Với mọi không gian định chuẩn X , không gian đối ngẫu( không gian liên hợp) là
không gian Banach.
Chứng minh
Do K là không gian Banach nên X  L  X , K  là không gian Banach.
1.3.1. Định lý
Không gian đối ngẫu X  tách các điểm của X ( tức là x1 , x2  X : x1  x2 thì tồn
tại f  X  sao cho f  x1   f  x2  ).

Chứng minh
Lấy bất kì x1 , x2  X sao cho x1  x2 .
Từ đó suy ra x1  x2  0 và hiển nhiên x1  x2  X
Khi đó, theo hệ quả của định lý Hahn – Banach thì f 0  X thỏa

f 0  x1  x2   x1  x2  x1  x2  0 nên f 0  x1  x2   f 0  x1   f 0  x2   0
Vậy f 0  x1   f 0  x2  .
1.3.2. Định lý
Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian
liên hợp thứ hai X  .
Chứng minh
Với mỗi phần tử x  X ta lập một phiếm hàm x trên không gian X  như sau:

x: X  K
x  f   f  x, f  X  

f

6


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

x là một phiếm hàm tuyến tính.

Thật vậy:

f , g  X  ,  ,   K

Ta có:

x  f   y    f   g  x   f  x    g  x    x  f    x  g 
x là liên tục.

Thật vậy:
x  f   f  x  f

Vậy x  X  và x  x

x , f  X 

(1)

Mặt khác:
Nếu x   thì hiển nhiên x  x  0 .
Nếu x  0 thì theo hệ quả 1 của định lý Hahn – Banach ta có:

f 0  X  thỏa f 0  x   x , f 0  1
Do đó x  f 0  x  

sup

f X  , f 1

f  x   sup

f X  , f 1

x f   x


(2)

Từ (1) và (2) suy ra x  x
Xét ánh xạ:

H : X  X 
H  x  x

x
Dễ thấy H là ánh xạ tuyến tính.
Ta lại có:

Hx  x  x  Hx  x , x  X
Do đó H là phép đẳng cự tuyến tính.
1.3.3. Định lý
Giả sử X là không gian định chuẩn. Khi đó dim X  n  dimX  n .
Chứng minh
Nếu dim X  n , thì dim X   n .

7


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy



Nếu dim X   n thì dim X  n . Nhưng X  X   dim X  dim X   n

Do đó X có số chiều hữu hạn nên dim X  dim X   n .
1.4.Hội tụ trong không gian đối ngẫu, dãy song trực giao
1.4.1. Hội tụ theo chuẩn
Dãy  f n   X  được gọi là hội tụ theo chuẩn đến f  X  , nếu lim f n  f  0 .
n 

a. Hội tụ đơn giản ( hội tụ tại từng điểm)
Dãy  f n   X  được gọi là hội tụ đơn giản đến f  X  , nếu x  X , dãy số

 f  x  hội tụ đến f  x  .
n

b. Dãy song trực giao
Các dãy  xn   X và  f n   X  được gọi là song trực giao với nhau, nếu

1, i  j
fi  x j    ij  
0, i  j

 i, j  1,.....n 

1.4.2. Định lý
Giả sử  xn   X và  f n   X  là song trực giao với nhau. Khi đó, hệ  x1 , x2 ,.....
là độc lập tuyến tính trong X và hệ  f1 , f 2 ,.... là độc lập tuyến tính trong X  .
Chứng minh
Phản chứng: hệ  x1 , x2 ,..... là phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại một chỉ số m và
các số 1 , 2 ,...., m không đồng thới bằng 0 sao cho: 1 x1   2 x2  ....   m xm  0
Nếu  k  0 , ta có:
 m


0  f k    i xi    k ( vô lý)
 i 1


Vì vậy, hệ  x1 , x2 ,.... độc lập tuyến tính.
Ngược lại:
Giả sử hệ  f1 , f 2 ,..... là phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, tồn tại một chỉ số n và các
số 1 , 2 ,...., n không đồng thời bằng 0 sao cho:

1 f1   2 f 2  ....   n f n  0

8


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

Giả sử  k  0 , ta có:
n
 n

0     i fi  xk   1 fi  xk    k ( vô lý)
i 1
 i 1


Vì vậy, hệ

 f1 , f 2 ,... độc lập tuyến tính.


1.5.Không gian phản xạ, mối liên hệ của không gian đối ngẫu với không gian
định chuẩn và không gian Banach.
1.5.1.Không gian phản xạ
Không gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu X  X .
Ví dụ:
 Không gian l2 là không gian phản xạ.
 Không gian Euclide là không gian phản xạ.
i)

Nếu X là không gian phản xạ thì X là không gian đầy đủ.

Thật vậy:



Vì X là không gian phản xạ nên X  X   L X  , K







Mà K là đầy đủ nên L X  , K đẩy đủ.
ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ.
Thật vậy:
Nếu X hữu hạn chiều thì dim X  dim X   n
Và do X  X   X  X 
1.5.2. Mối quan hệ của không gian đối ngẫu với không gian định chuẩn và

không gian Banach
Định lý 1
Nếu không gian đối ngẫu X  của không gian tuyến tính định chuẩn X là tách
được, thì không gian X là tách được.
Chứng minh
Giả sử A   f n nN  . Là tập đếm được trù mật khắp nơi trong không gian X  .
Vì f n  sup

xX , x 1

f n  x  , nếu

9


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

n  N  , xn  X : x  1 sao cho f n  xn  

1
 fn .
2

Kí hiệu A  xn nN  .
Gọi Y là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn tùy ý các phần tử
thuộc A .
Hiển nhiên, Y  X .
Giả sử Y  X , thì x0  X Y và d  x0 , Y   0 .

Theo hệ quả 2 của định lý Hahn – Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f  X 
sao cho

f  0 và f  y   0,  y  Y   f  xn   0,  xn  A  .

 

Chọn dãy f nk  A : f  f n  0,  k    .
Nhưng:





 

f  f nk  f  f nk xnk  f nk xnk 

1
f nk ,  k  N   .
2

Do đó: lim f nk  0  lim f nk  0 nên f  0 ( mâu thuẫn với f  0 )
k 

k 

Vậy Y  X .
Mặt khác:
s


Với mỗi y  Y và số   0 cho trước tùy ý, thì y   j xn j trong đó
j 1

xn j  A,  j  K  j  1,2,...., s  và với mỗi j  1, 2,...., s tìm được số hữu tỉ rj đối
với  j thực, hoặc số rj  a j  ibj với a j , b j hữu tỉ đối với  j phức sao cho


 j  rj . xn  ,  j  1,2,..., s  .
j

s

Ta có:
s

s

j 1

j 1

z   rj xn j và y  z    j  rj . xn j   .

10


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy


Kí hiệu M là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn tùy ý các
phần tử thuộc A với hệ số hữu tỉ hoặc hệ số phức với phần thực và phần ảo hữu tỉ.
Hiển nhiên, M là tập đếm được.
Theo chứng minh trên M trù mật trong tập Y , do đó M trù mật trong Y , nghĩa là
M trù mật khắp nơi trong khôn gian X .

Vậy, không gian định chuẩn X tách được.
Định lý 2
Không gian Banach X là không gian phản xạ khi và chỉ khi không gian đối ngẫu
X  là phản xạ.

Chứng minh
Để chứng minh định lý trên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Giả sử X là không gian phản xạ, L là không gian con đóng của X . Khi đó,
L là một không gian phản xạ.

Thật vậy:
Ta chứng minh L  L .
Hiển nhiên L  L nên ta chứng minh L  L .
Vì L là không gian con tuyến tính đóng của X nên với mọi phiếm hàm tuyến tính
liên tục f xác định trên X , khi chỉ xét trên L cũng là phiếm hàm tuyến tính liên
tục.
Gọi f là phiếm hàm tuyến tính xác định trên L
Khi đó ta có:

f  sup f  x   sup f  x   f .
xL
x 1


xX
x 1

Ta lập tương ứng:

A : X   L
A f   f

f

A là ánh xạ vì: f1 , f 2 : f1  f 2  f1  f 2  0

Mà 0  f1  f 2  f1  f 2  0  f1  f 2  0  f1  f 2

11


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

Ánh xạ A là liên tục vì:

A f   f  f
Lấy một phần tử bất kì z  L , ta đặt xz  f   z  f  , f  X
Phiếm hàm x z là liên tục vì:

 

xz  f   z f  z f  z f , f  X  .

Vậy xz  X  hay xz  X .
Ta chứng minh xz  L :
Giả sử xz  L , nhờ tính đóng của L ta có:
d  inf xz  x  0
xL

Theo hệ quả của định lý Hahn – Banach thì tồn tại phiếm hàm f 0  X  sao cho

f0  x   0,  x  L  , f 0  xz   1, f 0 

1
d

Do dó f 0  0 vì f 0  x   0, x  L
Ta có 0  z  f 0   xz  f 0   f 0  xz   1 ( vô lý)
Vậy xz  L
Ta chứng minh xz  z
Giả sử g  L
Theo định lý Hahn – Banach thì ta có thể tìm được f  X  sao cho f  g .
Vì xz  L  L và xz  L  X nên ta có

 

 

xz  g   xz f  f  xz   f  xz   xz  f   z f  z  g  ,  g  L 

Vậy z  xz  L .
Ta chứng minh định lý trên như sau:
Giả sử X là phản xạ.


 

Khi đó X 



 X    X    X 


12


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

Vậy X  phản xạ.
Ngược lại
Giả sử X  là phản xạ thì theo chứng minh trên thì X  là phản xạ.
Nhưng X  X  là một không gian Banach nên X là một không gian con đóng của
X  .

Theo bổ đề trên thì X là phản xạ.
1.6.Tôpô yếu. Tôpô yếu của cặp đối ngẫu
1.6.1. Tôpô của cặp đối ngẫu
Cho cặp đối ngẫu  E, F  . Tôpô lồi địa phương trên E sao cho  E,   F gọi là
'

tôpô của cặp đối ngẫu.

1.6.2.Tôpô yếu của cặp đối ngẫu
Giả sử E, F là cặp đối ngẫu. Với mọi u  F xác định nữa chuẩn pu trên E :

pu  x   x, u , x  E
Tôpô lồi địa phương trên E sinh bởi các họ nữa chuẩn  pu : u  F kí hiệu là

  E, F  gọi là tôpô yếu trên E của cặp đối ngẫu E, F . Như vậy các tập dạng



W  u1 ,...., un ;   x  E : x, u1

 ,...., x, un  , u1,..., un  F,   0 lập thành cơ sở

lân cận của 0  E đối với   E, F  -tôpô.
1.6.3.Định lý
Cho  E, F  là một cặp đối ngẫu. Khi đó   E, F  là một tôpô của cặp đối ngẫu và
là tôpô yếu nhất trong các tôpô đó.
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau
1.6.4.Bổ đề
Cho E là một không gian vector và y0 , y1, y2 ,....., yn  E . Khi đó, hoặc y0 là tổ hợp
tuyến tính của y1, y2 ,...., yn hoặc tồn tại a  E sao cho:
y0  a   1, y1  a   y2  a   .....  yn  a   0 .

13


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức


SVTH: Danh Huy

Chứng minh bổ đề
Ta có thể giả sử y1, y2 ,...., yn độc lập tuyến tính và chứng minh bổ đề bằng quy nạp.
Với n  1: y1  0 . Chọn a1  E sao cho y1  a1   1, x  E ta có:

y1  x  y1  x  a1   y1  x   y1  x  y1  a1   0
 x  y1  x  a1  y11  0   N1 .

Hoặc tồn tại a  N1 sao cho y0  a   1, y1  a   0 hoặc y0  a   0, a  N1 . Nếu





y0  a   0, a  N1 thì y0 x  y1  x  a1  0, x  E  y0  x   y0  a1  y1  x  , x  E

hay y0   y1 .
Giả sử kết quả đúng cho n  1  1 . Khi đó, mỗi i  1,..., n tồn tại ai  E sao cho
yi  ai   1, y j  ai   0 với mọi j  i .
n

n

Từ đó với mọi j  i, x  E ta có x   y j  x  ai  I yi1  0   N . Do đó, hoặc tồn
i 1

i 1

tại a  N , y0  a   1 , và hiển nhiên y1  a   y2  a   .....  yn  a   0 hoặc




y0  a  , a  N . Trong trường hợp này, x  E, y0  x 



n

n

i 1

i 1



n

 y  x  a   0 ta được
i 1

i

1

y0  x    y0  ai  yi  x  tức là y0   i yi .

Chứng minh định lý
Vì với tôpô   E, F  thì f liên tục f  F  F  E' . Mặt khác, y  E' , do y liên

tục theo tôpô   E, F  nên y1, y2 ,...., yn  F và   0 sao cho:





y  x   a  1 trên một lân cận có dạng U  x : sup yi  x   1 .
1i  n

Nếu tồn tại a  F sao cho y  a   1 và y1  a   y2  a   .....  yn  a   0 thì a U và

y  a   1 . ( mâu thuẫn)
n

Vì vậy, theo bổ đề 1.4.4., y   i yi  F  E '  F . Vậy F  E ' .
i 1

14


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

Rõ ràng   E, F  là tô pô yếu nhất của cặp đối ngẫu  E, F  .
1.7.Pôla
1.7.1.Định nghĩa pôla
Cho  E, F  là một cặp đối ngẫu và A  E . Ta gọi pôla của A trong F là tập






A0  y  F : sup y  x   1 .
xA

1.7.2.Mệnh đề
i)

A0 là tập tuyệt đối lồi và   E, F  đóng;

ii) A  B thì B 0  A0 ;
iii)   A   
0

iv)

U A 
 I



0

1

A0    K ,   0  ;

  A0 ;
 I


Chứng minh
i) y1 , y2  A0 , 1 , 2  K , 1  2  1 ta có









sup  1 y1  2 y2  x   sup 1 y1  x   sup 2 y2  x   1  2  1
xA

xA

xA

 1 y1  2 y2  A0 tuyệt đối lồi.





Lại có: A0   y  F : y  x   1 là giao của các tập   E, F  - đóng nên A0 là
xA

  E, F  -đóng.





ii) Ta có B0   y  F : sup y  x   1 , A0   y  F : sup y  x   1 nên B 0  A0 .
yB
yA





iii) y    A  sup y  x   1  sup y   x   1
0

x A

xA

sup  y  x   1   y  A0  y  
xA



iv) Vì A  A ,   I nên A   A 
I
 I 
0

15


0

1

A0


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

0



 A   A0  .
I
 I 
0

Giả sử y 
I

A0 ta có y  x   1, x  A ,   I tức là:
0



sup y  x   1  y   A  nên
x A

 I 
 I



A   A0 
I
 I 

0

0

0



Vậy
A   A  .
I
 I 
0

1.8.Song pôla
1.8.1.Định nghĩa
Cho  E, F  là một cặp đối ngẫu. Với mọi A  E thì A0  F . Do  F, E  cũng là

 

một cặp đối ngẫu nên A00  A0


0

chứa trong E . Ta gọi A00 là song pôla của A .

Nhận xét: với mọi x  A : y  x   1, y  A0 nên x  A00 do đó A  A00 .
1.8.2.Định lý song pôla
cho cặp đối ngẫu  E, F  và A  E . Khi đó, song pôla A00 là bao   E, F  - đóng,
tuyệt đối lồi của A .
Chứng minh
Rõ ràng theo nhận xét ở định nghĩa thì A00 là   E, F  - đóng, tuyệt đối lồi và chứa
A.

Giả sử B là bao   E, F  - đóng, tuyệt đối lồi và chứa A .
Ta có B  A00 .
Nếu a  B . y  F sao cho y  a   1 và y  x   1, x  B . Do A  B nên

y  B0  A0  a  A00 . Vậy A00  B  A00  B .

16


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

1.9.Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu
1.9.1. Định nghĩa
Cho  E1 ; F1  và  E2 ; F2  là các cặp đối ngẫu. A : E1  E2 là một ánh xạ tuyến tính.
Khi đó ánh xạ At : E2  E1 , xác định bởi At  y   y A, y  E2 gọi là ánh xạ liên

hợp của ánh xạ A .
Cho E và F là hai không gian lồi địa phương. Khi đó ánh xạ đối ngẫu của ánh xạ
tuyến tính liên tục A : E  F là ánh xạ A' : E '  F ' xác định bởi
A '  y   y A, y  F ' .

17


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

CHƯƠNG II: ĐỐI NGẪU CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN QUEN THUỘC
2.1.Không gian đối ngẫu của không gian C(S)
2.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là không gian tôpô. Kí hiệu C(S) là không gian tất cả
các hàm liên tục f : S  K trên không gian Hausdorff compact với chuẩn cho bởi
công thức:





f  sup f  s  : s  S

2.1.2. Mệnh đề. Không gian C(S) là không gian định chuẩn với chuẩn cho bởi






công thức f  sup f  s  : s  S với mọi f  C  S  .
Chứng minh
Để chứng minh không gian C(S) là không gian định chuẩn ta thử 3 điều kiện của
chuẩn.









1) Với mọi f  C  S  ta có f  sup f  s  : s  S  0 là hiển nhiên và f  0
.
2) Với mọi  , f  C  S  ta có





 f  sup  f  s  : s  S   sup f  s  : s  S   f .





3) Với mọi f , g  C  S  ta có f  g  sup f  s   g  s  : s  S










 sup f  s  : s  S  sup g  s  : s  S  f  g .

Không gian C(S) thỏa mãn 3 điều kiện của chuẩn. Vậy C(S) là không gian định
chuẩn.
2.1.3. Định nghĩa. Giả sử  là một   đại số những tập hợp con của một tập
hợp X. Hàm số  :   0;   gọi là một độ đo nếu
1)     0;
2)  là  - cộng tính, tức là nếu A1, A2 ,.... là một họ đếm được những tập hợp đôi


một rời nhau thuộc  thì    Ai      Ai  .
 i 0  i 1

18


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

2.1.4. Định nghĩa. Giả sử  là độ đo trên X,  là Borel nếu mọi tập borel là 
đo được.
2.1.5. Định nghĩa. Giả sử  là độ đo trên X,  là borel chính quy nếu nó là độ

đo borel và đối với mọi A  X tồn tại tập borel B  X sao cho A  B và

  A    B  .
Ký hiệu rca(X) là tập các độ đo borel chính quy trên X.
2.1.6. Định lý. Nếu S là không gian tôpô Hausdorff compact thì giữa C '  S  và
rca  S  không gian banach các độ đo  borel chính quy trên S, tồn tại một đẳng

cấu đẳng cự mà trong đó những phần tử tương ứng x   C '  S  và   rca  s  thỏa
mãn đẳng thức:
x   f    f  s d   s  , f  C  S 

1

S

Chứng minh
1) Ta chứng minh mỗi f  C  S  khả tích đối với độ đo  borel chính quy trên S.
Thật vậy, vì f  s  compact nên có thể phủ f  s  bởi các tập mở G1, G2 ,....., Gn mà
đường kính mỗi Gi nhỏ hơn   0 cho trước.
j 1

Đặt Ai  Gi , Aj  G j   Gi , j  1,2,...., n.
i 1

Nếu Aj   thì chọn số  j  Aj . Nếu Aj   thì coi  j  0 . Vì G j mở nên

f 1  G j  cũng mở. Do vậy tập Bj  f 1  Aj  thuộc miền xác định của hàm  .
n

Hơn nữa hàm f   a j B j là  - đơn giản, ở đó  B j là hàm đặc trưng của B j , và

j 1





sup f  s   f  s  : s  S   .

Do đó hàm f là giới hạn hội tụ đều của dãy các hàm  - đơn giản. Vì v   , S   
nên f là hàm  - khả tích. Trong đó v   , S  là biền phân của độ đo  trên S mặt
khác

 f s  d  x  
S

f v   , S  , nên công thức x   f    f  s d   s  xác định một
S

19


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

dạng tuyến tính liên tục trên C(S), nghĩa là thuộc C’(S), tương ứng với độ đo  và

x  v  , S    .
2) Ta chứng minh


x    v  , S  .
Thật vậy, cho   0 và bởi định nghĩa của v   , S  ta tìm được các tập con

E1, E2 ,...., En của S rời nhau từng đôi một thuộc miền xác định của  sao cho
n

 E
j 1

j

     v  , S   

Giả sử Ci là các tập đóng của Ei sao cho v  , Ei  Ci  


n

, còn G1 , G2 ,....., Gn  là

các tập mở từng đôi một không giao nhau chứa các tập E1,...., En sao cho

v  , Gi  Ci  


n

Theo định lý Uysohn tồn tại hệ  f1 , f2 ,...., fn  các hàm liên tục trên S sao cho
0  fi  s   1, fi  s   0 nếu s  Gi và fi  s   1 nếu s  Ci .


Chọn 1,2 ,....., n là các số phức,  i  1 với   Ei     Ei  .
n

Đặt f0    i fi . Khi đó
i 1

x   f0     2
Và do đó





sup x   f  : f  1   .

3) Ngược lại ta phải chứng minh mỗi x   C '  S  xác định một độ đo borel chính
quy  trên  - đại số các tập con của S sao cho với mọi f  C  S  , đẳng thức
(1) xảy ra.
4) Ta biết rằng C(S) là không gian con của B(S), ở đó B(S) là không gian banach
các hàm bị chặn trên S với chuẩn sup. Bởi định lý Hahn-banach, mỗi x   C '  S 

20


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy

có một mở rộng tuyến tính liên lạc lên B  S  giữ nguyên chuẩn. Ta lại ký hiệu
mở rộng đó là x  . Khi đó dạng


  E   x    E  với E  S
Xác định độ đo khả cộng trên  - đại số tất cả các tập con của S sao cho
 n
 n
 n

X    i  Ei     i   Ei       i  Ei d
 i 1
 i 1

S  i 1

Với mọi hàm đơn giản

2

n

 
i 1

1

Ei

Nhờ triển khai theo định nghĩa Jordan ta có thể viết

  1  2  i  3  4 
Với i là các độ đo khả cộng hữu hạn và i  0 . Do đó có thể coi   0 . Bây giờ ta

sẽ thay độ đo khả cộng hữu hạn  bởi độ đo chính qui khả cộng hữu hạn  trên S
sao cho (2) vẫn xảy ra. Do tính compact của S, theo định lý Alexandrov( cơ sở lý
thuyết hàm và giải tích hàm – Tập I)  là độ đo chính qui khả cộng đếm được,
nghĩa là   rca  S  và (1) xảy ra với mọi f  C  S  và như vậy định lý 1.1 được
chứng minh.
Bậy giờ ta xây dựng độ đo  chính quy khả công hữu hạn. Ta sẽ dùng các kí hiệu
sau: F được dùng để chỉ tập con đóng của S, G là kí hiệu tập mở của S và E là tập
tùy ý của S. Xét các hàm tập hợp 1 và 2 như sau:

1  E   inf   G  , 2  E   sup 1  F  .
G F

FE

Rõ ràng các hàm này không âm và không giảm. Giả sử G1 mở và F1 đóng. Nếu

G  F1  G1
Thì G1  G  F1 và   G1  G     G1     G  .
Cho nên 1  F1     G1     G  .
Vì G là tập mở tùy ý chứa F1  G1 nên

1  F1     G1   1  F1  G1  .

21


GVHD: Ths. Lê Hồng Đức

SVTH: Danh Huy


Nếu E là tập đóng thì từ bất đẳng thức này bằng cách coi G1 là một tập mở tùy ý
chứa F  F1 ta có

1  F1   1  F  F1   2  F1  F  .
Nếu E là một tập con bất kì của S và F1 chạy qua tất cả những tập con đóng của E
thì từ bất đẳng thức trên suy ra

2  E   2  E  F   2  E  F 

 3

Bây giờ t chứng tỏ rằng đối với tập E  S và đối với tập đóng tùy ý F  S xảy ra

2  E   2  E  F   2  E  F 

4

Muốn vậy ta xét các tập đóng rời nhau F1 và F2 . Vì S Hausdorff compact nên tồn tại
những lân cận không giao nhau G1 và G2 của F1 và F2 . Nếu G là một lân cận tùy
ý của F1  F2 thì

  G     G  G1     G  G2 
Và do đó

1  F1  F2   1  F1   1  F2 

 5

Bây giờ giả sử E và F là những tập tùy ý của S, F là tập đóng và giả sử F1 chạy qua
những tập đóng của E  F còn F2 chạy qua những tập đóng của E-F. Khi đó từ

(5) suy ra (4).
Từ (4) và (3) suy ra

2  E   2  E  F   2  E  F 

6 

Với E  S , F đóng.
Vậy hàm 2 được xác định trên đại số các tập con của S và từ (6) suy ra [Cơ sở lý
thuyết hàm và giải tích hàm – tập I) nếu xét hàm  là hạn chế của 2 lên đại số
được sinh ra bởi các tập đóng của S là độ đo khả cộng hữu hạn trên đại số này. Mặt
khác, do  chính quy, nên theo định lý Alexandrov  có thể mở rộng tới hàm tập(
ta cùng kí hiệu là  ) khả cộng đếm được trên  - đại số borel.
Từ định nghĩa 1, 2 và  nếu F là tập đóng ta có

22