phương trình, hệ phương trình không chứa căn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (209.58 KB, 11 trang )
1/ Giải hệ phương trình : ﾧ (2)
Giải: (2) ( ﾧ.
Đặt ﾧ Khi đó (2) ( ﾧ ( ﾧ hoặc ﾧ
( ﾧ; ﾧ; ﾧ; ﾧ
x 4 − 4 x 2 + y 2 − 6 y + 9 = 0
2
2
x y + x + 2 y − 22 = 0
2
2
( x − 2) + ( y − 3) 2 = 4
2
u 2+xv2 u2−=2 420= u 2
( x − 2 + 4)(
y−x3xx=+==−3)
−22+ x − 2 − 20 = 0
−v 3u==+02vv2) = 8
u.v+y4(
yyy===5533
2) Giải phương trình:
(1)
2 x−
x
5.3
t =3
Giải: Đặt .
(1) ( ﾧ ( ﾧ
5t 2 − 7t + 3 3t −31 = 0
8 x3xy 3=+log
273= 18 y 3
5
Giải: pt (*) ( ﾧ.
4 x2 y + 6 x3 =3y 2
5
Đặt a = 2x; b = ﾧ. (*) ( ﾧ
(2xx)3a=++−3blog
=÷33 = 18
( Hệ đã cho có nghiệm: (x:y) = ﾧ
3− 5
=
6 ab∈
y, y13+ 5 ; 6 ÷
x; 2 + 13+ y÷
4/ Giải hệ phương trình: ﾧ (x, y
(
y
+
x
)
=
4
y
3
÷
22x+. 5 2÷
4 3
x+ 4÷ = 3 3 − 5
ﾧ ) (*)
(x + y1)( y + x y− 2) = y
3/ Giải hệ phương trình: ﾧ(*)
xx==−12
x2 + 1
Giải:
(*) ( ﾧ hoặc
+ y + x −2 = 2
x2 + 1
=1
5/ Giải phương trình: 3x.2x = 3x y
y = 52
⇔
y
2
+ 2x + 1
x + 1 ( y + x − 2) = 1
y + x − 2 =1
y 3 x (2 x − 1) 1
Giải: PT ( ﾧ (1). Ta thấy ﾧ
=
2
x
+1
x=
không phải là nghiệm của (1).
2
Với ﾧ, ta có: (1) ( ﾧ ( ﾧ
x11+ 1
x x 2 x2+
3 3− x= ≠ = 0
Đặt ﾧ.
+x12−x21− 1x
3
x 2x 2
f (x) = 3 −
=3 −2−
Ta có: ﾧ
2x −1 6
2 x − 11
x
′
> 0, ∀x ≠
Do đó f(x) đồng biến trên các f ( x ) = 3 ln 3 +
2
11(2
x1−11)
2
; ÷÷; +∞ ÷
−∞; −∞
÷;, +∞
khoảng ﾧ và ﾧ ( Phương
22 22
trình f(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm
trên từng khoảng ﾧ.
x = 1
x =
x = 1, x = −1
x 2 + 1 + ∈
y (R
x + y) = 4 y
2
( x + 1)( x + y − 2) = y
x2 + 1
+ x+ y−2=2
y
2x 2 + 1
u=x + 12( x, +
v= x+ y−2
2 1 y − 2) = 1
u +yvyx= +
⇔= u1 = v = 1
2
y (R
x + y) = 4 y
xuv+=11+y∈
2
+ xy +− y2 −= 2)
1 =y
( x +x1)(
2
x +1
+ x+ y−2=2
y
u 2+x2vx+=21+
21
u=x + 1 ( x, +
v⇔=y u1−
x=
+2)vy==−112
uvy=y1 y
x + y − 2 = 1
x 2 + 5 x + y = 9
2
2
y3 x=39+−xx2yy−=+592x−
xyx+ −
6 x52x = 18
Ta thấy ﾧ là các nghiệm của f(x) 4
3
2
x + 4 x −x5=x 1− 18 x + 18 = 0
= 0. Vậy PT có 2 nghiệm ﾧ.
⇔
6/ Giải hệ phương trình: ﾧ
(x, y
x = −3
x = −1 ± 7
ﾧ)
Giải: y = 0 không phải là nghiệm. Hệ
PT ( ﾧ
+ Đặt ﾧ.
Ta có hệ ﾧ ( ﾧ
7/ Giải hệ phương trình: ﾧ
(x, y ﾧ)
Giải: y = 0 không phải là nghiệm. Hệ PT ( ﾧ
Đặt ﾧ. Ta có hệ ﾧ ( ﾧ
==> Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5).
8/ Giải hệ phương trình: ﾧ
Giải: Hệ PT (
(
9/ Giải hệ phương trình: ﾧ
8 x 3 y3 + 27 = 7 y 3
(1)
Giải:
Từ (1) ( y ( 0. Khi đó Hệ 2t8=x 3xy
3
3
y + 272 = 7 y
4 xy +3 26 x2 = y 2 3 (2)
PT ( ﾧ ( ﾧ
4t =+y6t
84tx +y27+=6 xy
(ﾧ
t = xy
31 131 3 9
( Với ﾧ: Từ (1) ( y = 0
t x==− t t;==t −=
=÷
; y =; t 4
(loại). ( Với ﾧ: Từ (1) ( ﾧ
223 4 222
2
( Với ﾧ: Từ (1) ( ﾧ
3 9 3
x = 2 3 t =2; y = 3 4 ÷
10/ Giải hệ phương trình:
2 y 2 − 4x 2= 1 3 2
3
3
2
2
Giải: Ta có:
2 x − y = ( 2 y − x ) ( 2 y3 − x )3 ⇔ x + 2 x y + 2 xy 2 − 5 y 3 = 0
2 x − yy = =0 2 y − x
Khi thì
hệ VN.
3
32
x
xyy ≠≠00 x
được:
÷ + 2 ÷ + 2 ÷− 5 = 0
ty3y+=2xt 2 + y2t − 5x=0y⇔
t =1
Đặt , ta có :
t
=
⇔
⇔
x
=
y
=
1,
x = y = −1
11/ Giải hệ phương trình:
2
31 2x 3 − y 3y = 4 xy
y
=
2
Giải: Ta có : .
x y2 =2 9 ⇔ xy = ±3
x y 3 = 93
( Khi: ﾧ, ta có: ﾧ và ﾧ
−y 3y=) 3== −427
x3 .x( −xy
2
Suy ra: ﾧ là các
X − 4 X − 27
x3=; ( 0− ⇔
y 3 ) X = 2 ± 31
nghiệm của phương trình: ﾧ
Vậy nghiệm của Hệ PT là:
ﾧ hoặc ﾧ.
x = 3 2−
+ 31, y = − 3 2 +
− 31
3
3−27
• Khi: ﾧ, ta có: ﾧ và ﾧ
−− y=3 )−==
4
xx3 . (xy
3
Suy ra: ﾧ là nghiệm
X 2 + 4 X + x27
( PTVN )
; =−0y 3
của phương trình: ﾧ
12/ Giải hệ phương trình: ﾧ
3
y
+ 22 = 1
2
2
2
Giải: Điều kiện: ﾧ
x ≠ 0,
x y+≠y0, −x 1 + y x− 1 ≠ 0
Đặt ﾧ. Hệ PT trở thành: 3 2 2 2 2 2 3x 2 x
+ =u1x= x+ y+ y+4− 1;
== 1
(1)
⇔ uy+=vv22
ﾧ
u v
y
u + 1 + 4v = 22
u = 21 − 4v
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
v = 3
3
2
2
ﾧ
+ = 1 ⇔ 2v − 13v + 21 = 0 ⇔
7
v =
21
−
4
v
( Nếu v = 3 thì u = 9, x 2 + y 2 − 1 = 9v
2
x 2 + y 2 = 10
x = 3
x = −3
ta có Hệ PT: ﾧ
⇔
⇔
∨
x
x = 3y 7
y = 1
y = −1
( Nếu ﾧ thì u = 7, = 3
y
v
=
ta có Hệ PT:
2
ﾧ
2
2
2
2
2
2
y
=
4
x
+
y
−
1
=
7
y = −4
x
+
y
=
8
So sánh điều
53 ∨
53
⇔
⇔
7
kiện ta được 4 x = 7
x = 2 y
x = 14 2
x = −14 2
nghiệm của Hệ y 2
53
53
PT.
13/ Giải hệ phương trình: ﾧ
x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y
2
2y ≠ 0 2
Giải: Từ hệ PT ( ﾧ.
y ( x + y ) = 2 x + 7x y + 12+ x + y = 4
Khi đó ta có: ﾧ
x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y
y
2
⇔
.
Đặt ﾧ
2
2
x
+
1
x2 + 1
x
+
y
y ( x + y ) = 2 x u+=7 y + 2 , v =
2
Ta có hệ: ﾧ
u+v = 4
uy = 4 − v ( x + y ) −v2= 3, u ==17
y
⇔
2 v = 3, u =1 ⇔
2
( Với ﾧ
v − 2u = 7
v + 2v − 15 = 0
v = −5, u = 9
Ta có hệ:ﾧ.
x2 + 1 = y
x2 + 1 = y
x2 + x − 2 = 0
x = 1, y = 2
⇔
⇔ 5, u = 9 2 ⇔
( Với ﾧ ta có hệ: x + y=x 23 + 1 =9yy= 3 − xv2 =+ 1−=
x + 9 x + x46==−02, y = 5
⇔
9y =
⇔3 − x
ﾧ,
x + y = −5
y = −5 − x
y = −5 − x
Hệ này vô nghiệm.
(1; 2), ( −2; 5)
Kết luận: Hệ đã cho có hai
nghiệm: ﾧ.
14/ Giải hệ phương
2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2 + y ( x 2 − 2 x + 1) = 6
trình:
ﾧ
=1
log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4)
Khi , chia 2 vế cho ta
(
)
(
)
Giải: Điều kiện: ﾧ − xy − 2 x + y + 2 > 0, x 2 − 2 x + 1 > 0, y + 5 > 0, x + 4 > 0
(*)
2log1− x [(1 −0x)(
0 <22+ y+(1 y− ≠x)1= 6 ⇔ log1− x ( y + 2) + log 2 + y (1 − x) − 2 = 0 (1)
log1− x ( y + 5) − log 2 + y ( x + 4) = 1
log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4)
= 1 (2)
Hệ (ﾧ
Đặt ﾧ thì (1) trở thành: ﾧ
Với ﾧ ta có: ﾧ.
1
log 2+ y (1 − x)2 = t
t+ −2=0⇔
(t − 1) = 0 ⇔ t = 1.
1t− x = y + 2 ⇔
t =y1 = − x − 1 (3)
x− x=+0 4 = 1 ⇔ − x + 4 = 1 − x ⇔ x 2 + 2 x = 0
log1− x (− x + 4) − log1− x ( x + 4)= 1 ⇔ log
⇔1−x
x+4
x x=+−42
Thế vào (2) ta có ﾧ ﾧ
yx==−01
( Với ﾧ ( ﾧ (không thoả (*)).
xy==−12
( Với ﾧ( ﾧ (thoả (*)).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ﾧ. x = −2, y = 1
15/ Giải hệ phương trình: ﾧ.
x 3 + 4 y = y 3 + 16 x
3
x + 4 y =2 y3 + 16 x 2
Giải: ﾧ
+ x ) (1)
12+ y2 = 5(1
22
Từ (2) suy ra ﾧ (3).
– +5 xx )= 4
(2)
1 + y =y 5(1
3t 22 − 7t2+23 3t − 1 =3 0
3 x(5
Thế vào (1) được: ﾧ ﾧ ﾧ
–
5
x
y
–16
x
=
0
x + y – 5 x ) .y = y + 16 x
0 =0
( ﾧ hoặc ﾧ
x 2 – 5xxy=–16
⇒
yyx2=⇔
==±042
( Với ﾧﾧ ﾧ ﾧ ﾧ.
( Với ﾧ ( ﾧ (4).
x 2 – 5xy
x 2 –16
− 16 = 0
y= 2
Thế vào (3) được: ﾧ
x 2 − 16 5 x 2
4
4= 4
(ﾧ( ﾧ(ﾧ (ﾧ.
1132
x –32
124 xx2x45+=+x256
256
x3)
==100
0 x2
x 2÷
=x(−y215=–x−
–125
Vậy hệ có 4 nghiệm:
x = −1 ( y = 3)
(x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)
16) Giải phương trình: .(*) 4 x − 2 x +1 + 2 2 x − 1 sin 2 x + y − 1 + 2 = 0
Giải:
(
(2
x
(
))
− 1 + sin 2 + y − 1
x
2
) (
)
(
)
2 x − 1 + sin 2 x + y − 1 = 0(1)
+ cos 2 + y − 1 = 0 ⇔
x
cos 2 + y − 1 = 0(2)
2
(
x
)
(
Ta có: (*) ⇔
Từ (2) ⇒ .
sin 2 x + y − 1 = ±1
Khi , thay vào (1), ta được: 2x = 0
sin 2 x + y − 1 = 1
(VN)
Khi , thay vào (1), ta được: 2x = 2 ⇔ sin 2 x + y − 1 = −1
x = 1.
Thay x = 1 vào (1) ⇒ sin(y +1) = -1
π
y = −1 − + kπ , k ∈ Z
⇔.
2
Kết luận: Phương trình có nghiệm:
π
(
(
(
)
)
)
1; −1 − + kπ , k ∈ Z ÷
2
)
∈xR +
2
2
17/ Giải hệ phương trình:
(x, y )
Giải:
Hệ phương trình tương đương với ﾧ x 2 + 1
yx 2 ++1( x + y − 2) = 2
Đặt ﾧ
u =
,v = x + y − 2
Ta có hệ ﾧ
Suy ra ﾧ.
u 2+ vyx=2 2+ 1
x
+
1
= =v 1= 1
y=−u12)
==> Giải hệ trên ta được nghiệm của uv = 1( xy+⇔
y
hệ phưng trình đã cho là (1; 2), (-2; 5)
x + y − 2 = 1
18/ Giải phương trình : 3
2
log
(
x
+
2)
−
3 = log 1 (4 − x)8 + log 1 ( x + 6)8
1 1
Giải: bất phương trình:
1
2
2
4
4 ) > log (
4)
log
(
x
+
4
x
−
5
2
1
(1)
2
x
+
7
2
)∪
(1 +;−∞5) ∪ (1;+∞)
Đk:
(−∞
x 2 + 4x ⇒
− 5 x>∈0(−7;−x5∈
2
4 x − 5) > log2 (⇔
2
Từ (1)
⇔ log 2 ( x 2 +
+ 4 x −15 > x 2 + 14 x + 49
−−7x2 log
x +⇒7 log
> 02 ( x 2+ 4x x+−7)x5)>⇔
>
2
Kết hợp điều
− 27
x+7
−27 x ∈ (−7;
)
kiện: Vậy BPT ⇔ −10 x > 54 ⇔ x <
5
5
có nghiệm:
19/ Giải hệ phương trình :
x 3 + y 3 = 1
Giải:
2
2
3
x y + 23xy +3 y = 2
3
3
x + y = 1
x + y = 1
(1)
y. Ta có:
2
≠3 0 3
2 x 3 +3 y 3 = ⇔
1
(
3
)
2 ±
x⇔+ y − x 2 y − 2 xy 2 = 0
(2)
Đặt : (4) có dạng : x y + 2 xy + y 3= 2
2 x1,
=
t
2t3 – t2 – 2t + 1 = 0 t = t = . 2 x − x −y22 x + 1 = 0
( 4)
3 3
a) Nếu t = 1 ta có hệ
1
yx + y = 1 y
3 x = y =
b) Nếu t = -1 ta có hệ hệ vô
x 3 + y⇔
3
=1
2
x = y
⇔
x
=
−
y
1
3.log
25
2
1 33
x 3 + y 3 = 1
x
=
,
2 3
y
=
2
x
y=
23 3
3
nghim.
c) Nu t = ta cú h
20/ Gii phng
3.25 x 2 + ( 3x 10) 5 x2 = x 3
trỡnh:
3.5 x 2 1 5 x 2 + x 3 = 0
5 x2 3.5 x2 11 + x 3x.52x2 1 13 3.5 x 2 1 = 0
Gii:
= x + 3
2 5
(1) 5x23=(.52)x
x1==20+ log(15 ) = 2 log5 3
3
x32
5 + x 3 = 0 ( 2)
V trỏi l hm ng bin v phi l hm nghch bin m (2) cú nghim x = 2 nờn l nghim duy
nht.
2 log 5 3
Vy Pt cú nghim l: x = v x = 2
log x (cos x sin x) + log 1 (cos x + cos 2 x) = 0
21/ Gii phng trỡnh:
0 < x 1 x
Gii: iu kin: .
cos
xk 2
sin x > 0 x = + k 2
sin
2
x
=
x
+
+
Khi ú Pt .
cos
2
x
=
x
cos
k 22
x = cos x +
2cos
x
=
+
x
+
cos
2
x
> 0 2
Kt hp vi iu
2
6
3
kin ta c:
2 x = x + k 2
x = + k 2
22/ Gii phng
6
3
2
trỡnh: .
x > 3
Gii: iu kin: Bin i theo x 1 0 < x 1.
logarit c s 2 thnh phng
x > 0
trỡnh
(
( ) ( )(
) ()
)
x = 1 ( loaùi )
log 2 ( x + 3 ) ( x 1) = log 2 ( 4 x ) x 2 2 x 3 = 0
x = 3.
x
=
3
23/ Gii h phng trỡnh
1
2
2 x + xy y0 = 2
Gii: K :
h a h v dng t
y22xy2 2+xux=2xy12 =2=2 0
==>
u =v2u +u v1y 2 = 0
3 2 7v =
hoc
3+0u =7v = 1
u
=
1
v
2
1
2
v
+
v
u
2
=
y
u = +7 ux2= 2 =u0= v = 1
T ú ta cú nghim ca h
2
2 3y2+
2
(x:y) = (-1 ;-1),(1 ;1), (), ()
2v + v u2 y2,;= 07 +
1
1 + 7
1 7
24/ Gii h phng
log 4 ( x 2 +yv2 =
v
log
(2
x
)
+
1
=
log
)
4
4 ( x + 3 y)
2
2
trỡnh:
Gii :
x
2
x=2
x =
+1)
log
(4
y
+
2
y
2
+
4)
=
log
1
2 xvaứ
vụự
i
>0
tuyứ
yự
4
4
25/ Gii phng trỡnh: log 4 ( xylog
( x + 2) + log 4 ( x 5) + log 1y=1
8 = 0 y ữ
2y =
{
2
Giải: . Điều kiện: x > – 2 và x ( 5 (*)
Với điều kiện đó, ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:
ﾧ
log 2 (x + 2) x − 5 = log 2 8 ⇔ (x + 2) x − 5 = 8 ⇔ (x 2 − 3x − 18)(x 2 − 3x − 2) = 0
x 2 − 3x − 18 = 0
ﾧ
3 ± 17
So điều kiện (*), ta được ⇔ x 2 − 3x − 2 = 0 ⇔x3 =±x6=17−3; x = 6; x = 2
x=
các nghiệm của phương
2
trình đã cho là: ﾧ và ﾧ
26/ Giải hệ phương trình ﾧ
1
log 1 ( y − x ) − log 4 = 1
Giải: Điều kiện: ﾧ
4 y − x > 0 y
Hệ phương
y−x
12 + y 2 y= >25
y−x 1
log 4 ( y − x ) + log4 x =
−1 0log 4
= −1
=
trình ﾧ
y
y
4
⇔
⇔
⇔ y
ﾧﾧ( loại)
x = 3y 2
152 52
x 2 + y 2 = x25= 3 y
x + y 2 = 25
x; y ) = x = 3x y ;+ y =÷25
(
Vậy hệ
⇔ 2
⇔ 210 2 10 ⇔ 2 25
2
phương trình đã cho vô
x + y⇔= 25 9 y + y = 25 y =
10
5
15
nghiệm.
;−
( x; y ) = −
÷
10
10
3
27/ Giải hpt : ﾧ
2
4 xy + 4(( x + y ) − 2 xy )) +
=7
2 log1− x (− 3xy − 2 x + y +2) + log 22+(yx(+x 2y−
) 2 2 x +31) = 6
2
4 xy + 4(( x + y ) − 2 xy )) + ( x + y ) 2 =1 7
4( x + y ) − 4 xy + ( x + y ) 2 = 7
x + 4) = 1
log
(
y
+
5
)
−
log
(
2⇔
++y ( x
1− x x + y +
− y) = 3
1
x
+
y
x + y +
x + y + 1 + ( x − y) = 3
+ ( x − y) = 3
x+ y
x+ y
3
3
2
2
2
2
2
3( x + y ) + (( x + y ) − 4 xy ) + ( x + y ) 2 = 7
3( x + y ) + ( x + y − 2 xy ) + ( x + y ) 2 = 7
⇔
⇔
x + y + 1 + ( x − y) = 3
x + y + 1 + ( x − y) = 3
x+ y
x+ y
3
1
2
2
2
+ ( x − y)2 = 7
3 ( x + y ) +
2
3( x + y ) + ( x + y ) 2 + ( x − y ) = 7
(
x
+
y
)
⇔
⇔
x + y + 1 + ( x − y) = 3
x + y + 1 + ( x − y) = 3
x+ y
x+ y
Giải: ﾧ 28/ Giải hệ phương trình: ﾧ
Giải: ĐK ﾧ
− 4 < x < 1, x ≠ 0
Đưa phương trình thứ nhất của hệ log1− x (2 y+ >y )−+2;log
y ≠2+−y 1(1 − x ) = 2
về dạng ﾧ
t (=x;log
y ) 1=− x((−22+;1y) )
Đặt ﾧ, Tìm được T=1, kết hợp với
phương trình thứ hai của hệ, đối chiếu
với điều kiện trên, tìm được nghiệm ﾧ .
29/ Giải hệ phương trình: ﾧ
8 x 3 y 3 + 27 = 18y 3 (1)
2
Giải: (1) ( y ( 0
2
4 x y + 6 x = y (2) 3
Hệ (ﾧ
8 x 3 + 27
(2 x )3 + 3 3 = 18
33 = 18
3
3
Đặt a = 2x; b = ﾧ. Ta có hệ:
ay + b = 18 a + b y=÷
2 ab(a + b)⇔
y⇔ ab = 1
=
3
4 x + 6 x2 = 1
2 x.3 2 x + 3 = 3
÷
y
y
y
y
ﾧ
( Hệ đã cho có 2 nghiệm ﾧ
30/ Giải phương trình: ﾧ.
3 − 5 ; 6 , 3 + 5 ; 6
÷
÷
4 5 (33x+− 1)5+1= log
4 3 5 (23x−+ 15)
2 log
1
Giải: ĐK :ﾧ (*)
x> .
Với điều kiện trên phương trình ⇔ log 5 (3x − 1) 2 + 13= 3 log 5 (2 x + 1)
đã cho ﾧ
ﾧ
⇔ log 5 5(3 x − 1) 2 = log 5 (2 x + 1) 3
= 2. (3x − 2) 2 (8 x − 1) = 0
so đk ta được nghiệm
2 x
⇔ 8 x 3 −⇔
33 x52(3+x36
− 1x) −
=4 (20x ⇔
+ 1)
của phương trình đã cho
x = 2
là ﾧ
⇔
x = 1 x 4 − 4 x 2 + y 2 − 6 y + 9 = 0
31/ Giải hệ phương
8 2
trình: ﾧ.
x y + x 2 + 2 y − 22 = 0
2
(2x+2 (−y2−) 23)+2 (=y 4− 3) 2 = 4
( x − 2)
Giải: Hệ phuong trình đã
2 2
2
cho tương đương với ﾧﾧ
x 2 +−x22
−=20− 20 = 0
( x − 2(+x4)(+y2−) y3 + 3)
2
22
ﾧ * Thay vào hệ phương
u +xv −=2 4= u
trình ta có ﾧ
− 3u =+ v ) = 8
u.v+y 4(
ﾧ hoặc ﾧ
u = 02
Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của xxxvx====−−02222
yy==33
hệ là:ﾧ;ﾧ;ﾧ;ﾧ;
yy==55
32/ Giải hệ phương trình: ﾧ.
1
1
2
x + x + (1 + ) = 4
yy≠ 0 2 y 1
Giải: ĐK ﾧﾧ
1 1
1
2
x + x + y (1 + y ) = 42 x + y 2 + x + y = 4
1 1
Đặt ﾧ
x +x ⇔
+ x+3 =
4 − x3
2
a
=
2
x
x
1
=y4 − xy3 y x 3y + 1 + x2 ( 1 + x ) = 4
Ta có ﾧ
3 a − 4
a 2 + a − 2b y=2 4+ y +a 2y +
= 2b
y 3 a y + ya − 4 = 2b ⇔ a = 2
⇔
⇔
x
2
Khi đó ﾧ
3
3
x =2 yba=− 4) = 4
a
−
4
a
+
4
=
0
b = 1
y
=
1
a − 2ab = 4
a − a(a +
y⇔
KL
1
x=
2 2 + 9x
33/ Giải phương trình log 3 (x 2 + 5x + 6)x ++ log=3 (x
+ 120) = 1 + log 3 8
x
ﾧ
Giải: ﾧ(*)
log 3 (x 2 + 5x + 6) + log 3 (x 2 + 9x + 20) = 1 + log 3 8
1 + log 3 8 = log 3 24
+ Điều kiện :ﾧ , và
x < −5
x 2 + 5x + 6 > 0
x
<
−
3
∨
x
>
−
2
có : ﾧ
⇔
⇔ −4 < x < −3
2
x < −5 ∨ x > −4 2
9x 2++20
2
x+ +
log (x 2 + 5x
6)(x
9x>+020) = log 3 24
(x + 5x
+ 6)(x
x >
−2 + 9x + 20) = 24
⇔ 3
⇔
(x < −5) ∨ (−4 < x < −3) ∨ (x > −2)
(x < −5) ∨ (−4 < x < −3) ∨ (x > −2)
+ PT (*) ﾧ
ﾧ
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 24 (*)
⇔
2
+ Đặt ﾧ, PT (*) trở t = (x + 3)(x
12−⇒
2)(x
5) = t − 2
< 4)
−5)=∨x(−+47x
< x+<
3) ∨(x(x+ >
−2)+(**)
(x +
thành :
t(t-2) = 24 ﾧ
⇔ (t − 1) 2 = 25 ⇔ t = 6 ∨ t = −4
•
t = 6 : ﾧ ( thỏa đkiện 2
x = −1
2
x
+
7x
+
12
=
6
⇔
x
+
7x
+
6
=
0
⇔
x = −6
(**))
•
t = - 4 : ﾧ: vô nghiệm
x 2 + 7x + 12 = −4 ⇔ x 2 + 7x + 16 = 0
+ Kết luận : PT có hai nghiệm
là x = -1 và x = - 6
34/ Cho hệ phương trình ﾧ Giải
x + xy + y = m + 2
2
2
phương trình với m=3
x y + xy = m + 1
Giải: đặt ﾧ ĐK ﾧ
S 2x −+ 4yP=≥S0
,
xy
=
P
Viết lại hệ phương trình dưới ( x + y ) + xy = m +( I2) S + P = m + 2
⇔
dạng ﾧ ﾧ
SP = m + 1
( x + y ) xy = m + 1
Khi đó S,P là nghiệm của phương trình bậc 2
ﾧ
ﾧﾧ
Với m=-3. ta có
ﾧ
ﾧ
t = 1
t 2 − ( m + 2) t + m + 1 = 0 ⇔
t = m +1
f ( u ) =ux2+−yu=+1m + 1( 1)
⇔
2
xy = m + 1
g
u
(
)
⇔ =u − ( m + 1) u + 1( 2 )
x + y = m + 1
u = −1 x = −1; y = 2
2
( 1) ⇔ u − u − 2 = 0⇔
=u1= 2 ⇔ x = 2; y = −1
xy
2
( 2 ) ⇔ u + u + 1 = 0 ⇔ u = −1 ⇔ x = y = −1
Vậy với m=3, hệ phương trình đã cho ( −1; 2 ) , ( 2; −1) , ( −1; −1)
có nghiệm là ﾧ.
3
35/ Giải hệ phương trình sau: ﾧ
4 xy + 4( x 2 + y≠2 ) +
=7
Giải ĐK: x + y ﾧ 0
( x + y)2
⇔2
3
Ta có hệ ﾧ ﾧ
21
3(
x
+
y
)
+
(
x
−
y )2 +
=7
2
x
+
=
3
2
2
1
Đặt u = x + y + ﾧ ( ﾧ) ; v = x
u
≥
2
(
x
+
y
)
3
u
+
v
=
13
x+ y
x+ y
– y ta được hệ : ﾧ
x + y + 1u ++v x=−3y = 3
Giải hệ ta được u = 2, v = 1 do
x+ y u ≥2
( ﾧ)
Từ đó giải hệ ﾧ
1
x+ y+
=2
x + y = 1 x = 1
36/ Giải hệ phương trình: ( x − yx)+ xy2 + y 2⇔=13
⇔
ﾧ
x − y (=x,1 y ∈ ¡ y) .= 0
x − y = 1
2
2
3
Giải: ﾧﾧ
( x(+xxy−3) y+x)xyx−22y−+xy22=y 25
−=y13
= 13
( 1) ( 1' )
⇔
Lấy (2’) - (1’) ta được: x2 y–
⇔
x
−
y
xy
=
6
(
)
y 3 − xy 22 + x 22y − x3 = 25 ( 2 ' )
xy2 = 6 (3)
( x + y ) x − y = 25 ( 2 )
Kết hợp với (1) ta có :
(
)
( ( ) )
(
)
đặt y = - z ta có:
( x − y ) ( x + y ) = 13
( x + z ) ( x( +I ) z )
x + z ) ( x + z ) = 13
Đặt S = x +z ( I ) ⇔ (
( x − y ) xy = 6⇔
2
2
Và P = x.z ta
có :
Ta có: . hệ này có
2
− ( x + z ) xz = 6
(
2
)
( x + z ) xz = −6
2
− 2xz = 13
S S 2 − 2P = 13
S 3 − 2SP = 13 S = 1
⇔
⇔
3=21
xx+=z−
SP
=
−
6
P = −6
SP
=
−
6
z ==3−−26
x.z
nghiệm hoặc
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: ( 3 ; 2) và ( -2 ; -3 )
log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2 x − x 2
37/ Giải phương trình: ﾧ
Giải: (1)ﾧ
x2 + x + 1
1
⇔ log 3
= x ( 2x(≠−
⇔ 3x ( 2 − x ) = x + 1 +
)
2 − xx) 1
Đặt:f(x)= ; g(x)=
x
x
x3+ 1 +
(x0)
x
Dùng pp kshs =>max f(x)=3; min g(x)=3=>PT f(x)= g(x) max f(x)= min g(x)=3 tại x=1
=>PT có nghiệm x= 1
38/ Giải hệ phương trình: ﾧ
( x − 1)( y − 1)( x + y − 2) = 6
( x − 1)( y − 1)( x − 1 + y−x12) += y62 −u2=xuv−x(−
2u y1+−v )3 == 60 ⇔ uv(u + v) = 6
⇔
⇔
2
2
2
2
− 1v 2 − 5 = 0
v =u y +
( x − 1) + ( y − 1) − 5 = 0
(u + v ) − 2uv − 5 = 0
Giải: Hệ ﾧ với ﾧ
Đặt: ﾧ được ﾧ
P.S = 6S = u + v S = 3
⇔ x −1 = 1
u, v là nghiệm của
1 2 P−P
XS =2 −
x5=−=u1.0v= 2 P
=2
phương trình: X2 – 3X + ⇔ X = 2 ⇔ y − 1 = 1 ∨ y − 1 = 2
2=0ﾧ
Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3)
39 / Giải phương
1
1
log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) 8 = 3 log 8 (4 x )
trình: ﾧ.
2
4
Giải: Điều kiện:ﾧ
x > −3
Biến đổi theo logarit cơ số 2
x ≠ 1 ⇔ 0 < x ≠ 1.
thành phương trình
x > 0
x = −1 ( loaïi )
log 2 ( x + 3 ) ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔
⇔ x = 3.
x = 3
ﾧ
40/ Giải hệ phương trình sau: ﾧ
y2 + 2
3y =
Giải: điều kiện x>0, y>0. Khi đó hệ 3 x 2 y = y 2 2
x+ 2
2
3xy = x22 + 2
tương đương ﾧ
3x = x + 2
Trừ vế theo vế hai phương trình ta ⇔ x = y2
y
được: (x-y)(3xy+x+y) = 0 ﾧ thay
lại phương trình
Giải tìm được nghiệm của hệ là: (1;1).
41/ giải hệ phương trình : ﾧ log 2 (x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 (xy)
x2 −xy + y2
(x, y ( R)
= 81
3
Giải: điều kiện x, y >
0 ﾧ
(ﾧ(ﾧ(ﾧ (ﾧ
hay ﾧ
log 2 (x 2 + y 2 ) = log 2 2 + log 2 (xy) = log 2 (2xy)
2
2
x − xy + y = 42
==−
y222xy
2= 0
x(x
−x2=y)
+xy
2 yxy
y=4=+=−2y422 = 4
=
−xy
x xy
(
42/ Giải hệ phương
log y − log x = ( y − x ) x 2 − xy + y 2
3
3
trình :
2
2
Giải: Điều kiện : x > 0 ; 2
2
x + y = 4
y>0.
∀
x, y y 2VT(*)
Ta có : >0 ; Xét x > y
3 2> 0 ⇒
2
2
⇒
log
x
<
log
y
⇒
x
−
xy
+
y
=
x
−
+
y >0
(*) vô nghiệm nên hệ vô
3
3
2 VP(*)
4 <0
2
2
nghiệm.
Xét x < y (*) vô nghiệm
VT(*) < 0
⇒ log 3 x > log 3 y ⇒
⇒
nên hệ vô nghiệm.
VP(*)
>
0
2
2
Khi x = y hệ cho ta x =
( x;0y=) 0=⇔2 2; 2
2
y = ( do x, y > 0). Vậy hệ có
2
2 x = 2 y = 4
nghiệm duy nhất
(
)
)
43/ Giải hệ phương trình: ﾧ
xy − 18 = 12 − x 2
Giải hệ: ﾧ
xy − 18 = 12
⇒−xx=2 2⇒ 3121⇒
− 2xy
x2 =
≥ 18
0⇒ x ≤2 3
xy = 9 + y
ﾧ
3
1 2
xy = 9 + y ⇒ x y ≥ 2 3 y ⇒ x ≥ 2 3
3
ﾧ, tương ứng
⇒∈x ∈
− 3− 23;33;23 3
{{
} }
yﾧ
Thử lại, thoả mãn hệ đã cho
Vậy, ﾧ
( x; y ) ∈ {( − 2
)(
3;−3 3 , 2 3;3 3
)}
44/ Giải hệ phương trình
1
log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1
ﾧ
( x, y ∈ ¡ )
4
Giải: Điều kiện: ﾧ ; 2
y − x > 0
2
x + y 1= 25 y > 15
y−x
x = 3 yy − x 1
x
y 4 ( x=; y−)1= x =0log
3 y ;4 5 ÷ = −1
log
y
−
x
=
(
4 ⇔ ) =+3log
⇔
⇔
y
y
y
4
⇔
⇔
⇔
25
2
10
10
2
2
2
2
y =102
2
x 2 + y 2 = x25+ y⇔= 25 9 y x+2 y+ y=2 25
=525
15
x + y = 25
;−
( x; y ) = −
÷
Hệ phương trình ﾧ
10
10
ﾧﾧ(ko thỏa đk)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
45/ Giải hệ phương trình : ﾧ x 2 + y 2 + x + y = 4
2 2 2 22
Giải: (I) ﾧﾧﾧ
4===402
y)
x+y y++1)
y++x++
x( xx+(x
yx(xyy++=+yy1)
⇔
⇔
⇔
ﾧﾧ
x 2xy
+xyy==2−−022hay x + y = − 1
⇔ x + y +⇔x + y + xy = 2
ﾧ hay ﾧﾧ ﾧ V ﾧ V ﾧ V
y=−
=1=−2−2−21y
x
2+xx=
xy= x−
⇔
2 y =2 1−2
ﾧ
xy+x=x −=2222= 0
149/ 1) Giải hệ phương
x 2 x+, yy 2∈+R1
=2
trình: ﾧ
(ﾧ)
x+ y+2
( xy − x − y + 1)( x + y − 2) = 6
