BÀI TẬP ÔN THI

TOÁN CAO CẤP

Biên Soạn

ThS. LÊ TRƯỜNG GIANG

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20, tháng 11, năm 2015


Mục lục
Trang
Chương 1
1.1
1.2

34
50

Dạng Toàn Phương

55
70
73

Giới hạn và liên tục của hàm một biến

73
92
96

Đạo hàm và vi phân của hàm một biến

109

Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Chương 7
7.1
7.2

34

Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Chương 6
6.1
6.2

1
25

55

Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 5

5.1
5.2

Không gian vectơ

Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 4
4.1
4.2

Hệ phương trình tuyến tính

Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3
3.1
3.2

1

Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2
2.1
2.2


Ma trận - Định thức

Tích phân

124

Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
i


Chương 8
8.1
8.2

139

Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Chương 9
9.1
9.2

Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Phương trình vi phân

155


Bài tập có hướng dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Phụ lục: Cơ sở Logic

171

Tài liệu tham khảo

178

ii


Chương 1

Ma trận - Định thức
1.1

Bài tập có hướng dẫn


1 −2 x − 1


1. Cho A =  −3 0
1

4
1

5







1
−2 3






 và B =  −3
0
1 . Tìm x, y để A = B?



4 y+1 5
Hướng dẫn giải



 x−1=3
 x=4
A=B⇔

⇔
 y=0
 1=y+1








1 3 1
2 1 4








2. Cho A =  1 1 0  và B =  1 4 0 . Tính A + B; A − B?




4 3 2
1 3 9
Hướng dẫn giải



3 4

5



A+B = 2 5 0

5 6 11

−2 3







 ; A − B =  0 −3 0


−3 0 7











1

1






1 1 2






3. Cho A =
và B =  3 0 1 . Tính AB?


4 1 0
2 4 3




2 1 4


Hướng dẫn giải






1 1 2


13 18 17
2 1 4 

 3 0 1 
AB = 
=


7 4 9
4 1 0
2 4 3









4. Cho A = 

2 −1
2

1



 và B = 

1
3


. Tìm ma trận X thỏa AX = B?

Hướng dẫn giải

Đặt X = 

a
b


, ta có


AX = B ⇔ 


⇔ 

2 −1
2

1

2a − b





a
b


=





=
1

1
3








2a + b
3


 2a − b = 1
 a=1
⇔
⇔
 2a + b = 3
 b=1
 
1
Vậy X =  .
1




2 0 1







5. Cho A =
và B =  3 1 2 . Tính


1 2
0 −1 0


2 1



a) f (A) = 2A2 − 4A + 3I2
2


b) f (B) = B 2 − 5B + 3I3
Hướng dẫn giải
a) Ta có

2A2 = 

2 1
1 2




2 1








 = 2

5 4

1 2
 

4 5

2 1
−8 −4
=

−4A = −4 
1 2
−4 −8

 

1 0
3 0
=

3I3 = 3 

0 1
0 3


5 4

⇒ f (A) = 
4 5





=

10
8

8
10




b) Ta có









4 −1 2
2 0 1
 

 

2   3 1 2  =  9 −1 5
 

−3 −1 −2
0 −1 0
0

 
−10 0 −5
0 1

 

 
1 2  =  −15 −5 −10  ;

 
−1 0
0
5
0

 

0
3 0 0
 

 

0  =  0 3 0 ;
 

1
0 0 3


−3 −1 −3




⇒ f (B) = B 2 − 5B + 3I3 =  −6 −3 −5 


−3 4
1
2 0


B2 =  3 1


0 −1

2


−5B = −5  3

0

1 0


3I3 = 3  0 1

0 0

1




;


6. Cho A là ma trận vuông cấp 2 thực thỏa A2 − 2A + I2 = 0. Với mỗi n ∈ N, đặt
B = I2 + A + A2 + ... + A2015 . Tính B?
Hướng dẫn giải
3




2

A2 − 2A + I2 = 0 ⇔ (A − I2 ) = 0 ⇔ A = I2 = 

1 0
0 1


;

B = I2 + A + A2 + ... + An = I2 + I2 + ... + I2 = (n + 1) I2





2 1 −1




7. Cho D =  1 2 −1 . Tính D2015 ?


2 2 −1

Hướng dẫn giải




D





1 1 −1
1 0 0

 

 
=  1 1 −1  +  0 1 0

 
2 2 −2
0 0 1

D2015 = (A + E)

2015




 = A + E; A2 = 0;


0

1
= C2015
E 2015 + C2015
E 2014 A


2016 2015 −2015




= E + 2015A =  2015 2016 −2015 


4030 4030 −4031

8. Tính các định thức của các ma trận sau
4



A=


2 −1
3 −2


;



1 0 −3




B =  2 1 1 ;


−1 2 0


1 0 −3 1




 −2 1 1 0 
;
C=


 1 2 −1 3 


−3 1 1 0


1 2 3 4





2 3 4 1
;
D=


3 4 1 2


4 1 2 3

2014 0 2019 a


 2015 0
b
0
E=

 2016 c 2017 2018

d 0
0
0






.




Hướng dẫn giải
5


|A| =

2 −1

= 2 (−2) − (−1) 3 = −1;

3 −2
1

0 −3

2

1

1

−1 2

0


|B| =

0 −3 1

1
|C| =

= 0 + 0 + (−12) − 3 − 2 − 0 − 17

−2 1

1

0

d3 :=d3 +(−3)d1

=

2 −1 3

1

−3 1

1

0 −3 1


1

0

−2 1

1

0

−2 2

8

0

−3 1

1

0

−2 1 1
= (−1)

1+4

.1. −2 2 8
−3 1 1


= 6.
1 2 3 4
|D| =

2 3 4 1

10 10 10 10
2

3

4

1

3 4 1 2

3

4

1

2

4 1 2 3

4

1


2

3

1

1

1

1

0

1

2

−1

3 4 1 2

0

1

4 1 2 3

0 −3 −2 −1


=

1 1 1 1
= 10

= 10

2 3 4 1

= 10

1 1

1

1

0 1

2

−1

0 0 −4
0 0

4

= 10


−2 −1

1 1

1

1

0 1

2

−1

0 0 −4

0
−4

0 0

= 160.

6

0

0
−4



|E| =

2014 0 2019

a

2015 0

0

b

2016 c 2017 2018
d

0
4+1

= d(−1)

0

0

0 2019

a


0

0

b

− dc(−1)

3+1

2019 a
b

c 2017 2018
= abcd.

9. Tính định thức sau

D=

x21 + 1

x1 x2

x1 x3

x1 x4

x1 x2


x22 + 1

x2 x3

x2 x4

x1 x3

x2 x3

x23 + 1

x3 x4

x1 x4

x2 x4

x3 x4

x24 + 1

Trong đó x1 , x2 , x3 , x4 lần lượt là 4 nghiệm của đa thức

f (x) = x4 − 2x3 − 1005x2 + 1

.

Hướng dẫn giải
7


0


x1 +

1
x1

x2
1
x2

=

= x21 x22 x23 x24

x4

x1

x2

x3 +

x1
1
1+ 2
x1


x2

x3

1
1
x22

1

1

1

1

1+

1

1

1

1
x23

x4
x4 +


1

1+

0

1
x3

1

1

1
1 1+ 2
x1

= x21 x22 x23 x24

x3

x2 +

1

= x21 x22 x23 x24

x4

x1

D = (x1 x2 x3 x4 )

x21 x22 x23 x24

x3

1
1+

1
x24

0

0

0

1

1

1

1

1

1
x22


1
x4

1

1

1+

1

1

1

1+

1

1

1

1

1
x23

1

1+

1
x24

1 −1 −1 −1 −1
1
1 2 0
0
0
x1
1
1 0
0
0
x22
1
1 0
0
0
x23
1
1 0
0
0
x24
1 + x21 + x22 + x23 + x24 −1 −1 −1 −1
1
0
0

0
0
x21
1
0
0
0
0
x22
1
0
0
0
0
x23
1
1
0
0
0
x24
8


= 1 + x21 + x22 + x23 + x24
2

= 1 + (x1 + x2 + x3 + x4 ) − 2 (x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 )
= 1 + σ12 − 2σ2 = 1 + 4 − 2 (−1005) = 2015


10. Tính định thức của các ma trận sau







A=










B=











C=





1

2

2

2

3
..
.

3
..
.

2015 2015
a1 x

x

x a2 x
x
..

.

x a3
.. ..
. .

x

x

x

x1 a2 a3
a1 x2 a3
a1 a2 x3
.. .. ..
. . .
a1 a2 a3

3

4

. . . 2015





3

4
. . . 2015 


3
4
. . . 2015  ;

..
..
.. 
...
.
.
. 

2015 2015 . . . 2015

... x


... x 


... x ;

. . . .. 
. 

. . . an


. . . an


. . . an 


. . . an  .

. . . .. 
. 

. . . xn

Hướng dẫn giải
9


det A =

1

2

3

4

. . . 2015


2

2

3

4

. . . 2015

3
..
.

3
..
.

3
..
.

4
..
.

. . . 2015
..
...
.


2015 2015 2015 2015 . . . 2015

=

1

2

3

4

. . . 2015

1

0

0

0

...

0

2
..
.


1
..
.

0
..
.

0
..
.

...
...

0
..
.

2014 2013 2012 2011 . . .

0

= 2015

1

0


0

0

... 0

2

1

0

0

... 0

3
..
.

2
..
.

1
..
.

0
..

.

... 0
. . . ..
.

2014 2013 2012 2011 . . . 1
= 2015.

10


a1 x

x ... x

x a2 x . . . x
det B =

x
..
.

x a3 . . . x
.. .. . .
.
. ..
. .

x


x

x . . . an

1 1

1

1 ...

0 a1 x
=

x ... x

0 x a2 x . . . x
0 x
.. ..
. .

x a3 . . . x
.. .. . .
.
. ..
. .

0 x

x


x . . . an

1

1

1

...

1

0

0

...

0

0

...

0

a3 − x . . .
..
...

.

0
..
.

1

−x a1 − x
=

1

−x

0

a2 − x

−x
..
.

0
..
.

0
..
.


0

0

−x

0

. . . an − x

n

(ai − x)

1+x

1

1

1

...

1

0

a1 − x


0

0

...

0

0

0

a2 − x

0

...

0

0
..
.

0
..
.

0

..
.

a3 − x . . .
..
...
.

0
..
.

0

0

0

i=1

=

n

=

n

(ai − x)


1+x
i=1

(ai − x);
i=1

11

0

. . . an − x


x1 a2 a3 . . . an
a1 x2 a3 . . . an
det C =

a1 a2 x3 . . . an
.. .. .. . .
.
. ..
. . .
a1 a2 a3 . . . xn
1

0

0

1


...

0

1 x1 a2 a3 . . . an
=

1 a1 x2 a3 . . . an
1 a1 a2 x3 . . . an
.. .. .. .. . .
.
. ..
. . . .
1 a1 a2 a3 . . . xn
1

−a1

1 x1 − a1
=

−a3

...

−an

0


0

...

0

0

...

0

x3 − a3 . . .
..
...
.

0
..
.

1

0

x2 − a2

1
..
.


0
..
.

0
..
.

0

0

0

−a1

−a2

−a3

...

−an

0

x1 − a1

0


0

...

0

0

0

x2 − a2

0

...

0

0
..
.

0
..
.

0
..
.


x3 − a3 . . .
..
...
.

0
..
.

0

0

0

1
n

1+
i=1

=

n

=

−a2


1+
i=1

ai
xi −ai

ai
xi −ai

. . . xn − an

0

. . . xn − an

n

(xi − ai ).
i=1

11. Cho dãy số thực {a0 , a1 , ..., an } lập thành một cấp số cộng có công sai là d.
12


Tính định thức sau

D=

a0


a1

a2

. . . an−1

a1

a0

a1

. . . an−2 an−1

a2
..
.

a1
..
.

a0
..
.

. . . an−3 an−2
..
..
...

.
.

an−1 an−2 an−3 . . .
an

an−1 an−2 . . .

a0

a1

a1

a0

Hướng dẫn giải

D =

a0

d

d

...

d


d

a1

−d

d

...

d

d

a2
..
.

−d −d . . .
..
.. . .
.
.
.

d

d

d


d

an−1 −d −d . . . −d
an
a0

d −2d
=

=

=

d

−d −d . . . −d −d
d

d

...

d

d

0

...


0

0

−2d . . .
..
...
.

0

0

d

d

d
..
.

0
..
.

d

0


0

. . . −2d

d

0

0

...

0

−2d

a0 + n2 d

d

d

...

d

d

0


−2d

0

...

0

0

0
..
.

0
..
.

−2d . . .
..
...
.

0

0

d

d


0

0

0

. . . −2d

0

0

0

...

n

0

0

n

0
−2d

a0 + n2 d (−2d) = (−1) (2a0 + nd) 2n−1 dn .
13


an


12. Tính định thức sau
a1

a2

a3 . . . an

−x1

x2

0

Dn =

0
..
.

...

0

−x2 x3 . . .
..
.. . .

.
.
.

0
..
.

0

0

0

. . . xn

Hướng dẫn giải
+ Ta có
a1

a2

a3 . . .

−x1

x2

0


0
..
.

Dn =

an−1

an

...

0

0

−x2 x3 . . .
..
.. . .
.
.
.

0
..
.

0
..
.


xn−1

0

0

0

0

...

0

0

0

. . . −xn−1 xn

−x1

= an (−1)

n+1

0
..
.


x2

...

0

−x2 x3 . . .
..
.. . .
.
.
.

0
..
.

0

0

0

...

0

0


0

. . . −xn−1

a1

a2

a3 . . . an−1

−x1

x2

0

2n

+xn (−1)

0
..
.

0

−x2 x3 . . .
..
.. . .
.

.
.

0
..
.

0
xi + xn Dn−1 .
i=1

+ Ta có
14

xn−1

...

n−1

= an

0

0

0

. . . xn−1



D2 =

a1

a2

= a1 x2 + x1 a2 ;

−x1 x2
a1

D3 = −x1
0

a2

a3

x2

0

= a1 x2 x3 + x1 a2 x3 + x1 x2 a3 ;

−x2 x3

.......................
n


Dn = a1 x2 x3 ...xn + x1 a2 x3 ...xn + .... + x1 x2 x3 ...an =

n

aj
j=1

xi

(1)

i=1 (i=j)

+ Ta chứng minh (1) theo phương pháp quy nạp
• Với n = 1, 2, 3 thì (1) hiển nhiên đúng.
n−1

n−1

• Với n > 3, giả sử (1) đúng đến n−1, khi đó ta có Dn−1 =

xi .

aj
j=1

i=1 (i=j)
n

n


• Ta đi chứng minh (1) đúng đến n, tức là Dn =

xi .

aj
j=1

i=1 (i=j)

Thật vậy, ta có

j=1

i=1

i=1

xi

aj

xi + xn

xi + xn Dn−1 = an

n−1

n−1


n−1

n−1

Dn = an

i=1 (i=j)

= x1 x2 x3 ...an + xn (a1 x2 x3 ...xn−1 + x1 a2 x3 ...xn−1 + .... + x1 x2 x3 ...an−1 )
n

n

xi

aj

=
j=1

.

i=1 (i=j)

13. Tìm m để ma trận sau khả nghịch


1 1



 1 1
A=

 1 m

m 1

1 m



m 1 


1 1 

1 1

Hướng dẫn giải
15




det A =

1

1


1

1 m 1

m+3 m+3 m+3 m+3

1 m
=

1

1

m

1

1 m 1

1

1

m

1

1

m 1


1

1

m

1

1

1

1

1

1

1

1

1 m 1

0

0

0


m−1

0

0

m−1

0

0

0

= (m + 3)

1 1
= (m + 3)

1 m 1 1
m 1
1
= (m + 3)

1 1

1

0 m−1


1

1

0

0

0

0

m−1

0

0

0

0

m−1

1

1

m−1 0


3

= (m + 3) (m − 1) .


 m = −3
3
.
Để ma trận A khả nghịch ⇔ det A = 0 ⇔ (m + 3) (m − 1) = 0 ⇔
 m=1


−3 4
6


14. Cho A =  0
1
1

2 −3 −4




1

; B = 


0

−1 2
1 2

Hướng dẫn giải
XA = B ⇔ X = BA−1


 −3 4
6
1 −1 2 

=
 0
1
1
0 1 2 
2 −3 −4


7 4 11

=
2 2 3

−1






15. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận
16


. Tìm X thỏa XA = B?



a) 

4 −6





X = 

2 5


;

2 1
1 3





1 0 2


1 −2 −1


.
b) X  2 −1 3  = 


2 1
3
4 1 8

Hướng dẫn giải
a)



4 −6
2

1





2 5


X = 


⇔X=

4 −6
2

1

1 3
−1 






2 5
1 3





=

1/2 23/16
0


1/8




b)


1 0 2


X  2 −1 3

4 1 8





  1 −2 −1 
=

2 1
3


1 0 2
1 −2 −1 


⇔X=
 2 −1 3

2 1
3
4 1 8


−1









=

−9 3 1
−8 1 2

16. Tìm hạng của các ma trận sau







1
1
0 −2
2 −1 0
1






A =  1 −2 −1 0  ; B =  3
1 −1 0



−2 1
1
2
−2 1
2 −1

Hướng dẫn giải
17


















1 1
1
1
0 −2
 d2 :=d2 −d1 

 d3 :=d→

3 +2d2 
A =  1 −2 −1 0 
 0 −3



0 3
−2 1
1
2



1 1
0 −2


d3 :=d3 +d2 
→  0 −3 −1 2 
 ⇒ rankA = 2;


0 0
0
0



2 −1
2 −1 0
1
 d2 :=2d2 −3d1 

 d3 :=d→


3 +d1
B= 3
0 5
1 −1 0 




0 0
−2 1
2 −1

−2

0





−1 2 

1 −2

0

1





−2 −3  ⇒ rankB = 3.

2
0


17. Biện luận theo m hạng của ma trận sau


1 2


2 3
A=

3 4

4 5

3 4





4 5 


5 6 

6 m

Hướng dẫn giải




1 2


2 3
A=

3 4

4 5

1 2


 0 −1
→

0 0

0 0

3 4





1 2





 0 −1
4 5 
→


 0 −2
5 6 


6 m
0 −3


3
4
1




0
−2 −3 
→


0
0
0 



0 m−7
0

3

4

−2

−3

−4

−6

−6 m − 16
2

3









4




−1 −2 −3 


0
0 m−7 

0
0
0

Vậy nếu m = 7 ⇒ rank (A) = 2; nếu m = 7 ⇒ rank (A) = 3.
18




18. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp định thức

A=



1 −2 0
1 2 3








 ; B =  0 1 1  ; C =  1 −1 2 





1
2 −3 3
1 2 1

3 −2
1











Hướng dẫn giải

a) Ta có

|A| = 5
1+1

A11 = (−1)

.1 = 1;

A12 = (−1)

2+1

.1 = −1

2+2

A21 = (−1)

A−1

1+2

. (−2) = 2;
A22 = (−1) .3 = 3
T

T 

A11 A12
1 −1
1/5 2/5

1 
 = 1
 =

= |A|
5
A21 A22
2 3
−1/5 3/5

b) Ta có
|B| = −2
B11 = −1;

B12 = 1;

B13 = −1;

B21 = 4;

B22 = −2;

B23 = 0;

B31 = −1; B32

B
 11
1 
B −1 = |B|

 B21

B31

−1 1

1 
= −2
 4 −2

−1 −1

= −1;

B33 = 1;
T

B12 B13

B22 B23






B32 B33
T 
−1
1/2 −2 1/2





0  =  −1/2 1
1/2


1/2
0 −1/2
1
19








c) Ta có
|C| = 1
C11 = 3;

C12 = 1;

C13 = −1;

C21 = 6;


C22 = 3;

C23 = −1;

C31 = −4; C32 = −2; C33 = 1;
T

C
C12 C13

 11

1 
C −1 = |C|
 C21 C22 C23 


C31 C32 C33

T 

3
6 −4
3
1 −1








1
= 1 6
3 −2 
3 −1  =  1




−1 −1 1
−4 −2 1
19. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp Gauss


1 2 3




A =  0 1 1 ;


1 2 1


1 −2 0





B =  1 −1 2  ;


2 −3 3


1 2 −3




C =  2 1 −2  ;


2 −1 0


1 1
1
1




 1 1 −1 −1 
.
D=



 1 −1 1 −1 


1 −1 −1 1

Hướng dẫn giải
20


a) Ta có


1


(A| I3 ) =  0

1

1 2 3


→ 0 1 1

0 0 −2

1 2 3


→ 0 1 1


0 0 1

1 2 0


→ 0 1 0

0 0 1

1 0 0


→ 0 1 0

0 0 1

1 0 0

2 3





1 1 0 1 0

2 1 0 0 1

1 0 0



0 1 0

−1 0 1

1 0
0


0 1
0 

1/2 0 −1/2

−1/2 0 3/2


−1/2 1 1/2 

1/2 0 −1/2

1/2 −2 1/2


−1/2 1
1/2  = I3 | A−1

1/2
0 −1/2


b) Ta có


1


(B| I3 ) =  1

2

1
d2 :=d2 −d1 
d3 :=d3 −2d1 
→
 0

0

1
d1 :=d1 −4d3 
d2 :=d2 −2d3 
→
 0

0

−2 0
−1 2
−3 3

−2 0
1

2

1

3

0 0
1 0
0 1

1 0 0





0 1 0

0 0 1


1 0 4
1 0 0
 d1 :=d1 +2d2 
−d

 d3 :=d→

3
2
 0 1 2
−1 1 0 


0 0 1
−2 0 1

3
6 −4


1
3 −2  = I3 | B −1

−1 −1 1
21

−1

2

0





−1 1 0 


−1 −1 1


c)





1 2 −3 1 0 0




(C| I3 ) =  2 1 −2 0 1 0 


0 0 1
2 −1 0


1 0 0
1 2 −3




→  0 −3 4
−2 1 0 



−2 0 1
0 −5 6


1 2
−3
1
0
0




→  0 −3
4
−2
1
0


0 0 −2/3 4/3 −5/3 1


1 2 −3
1
0
0





→  0 1 −4/3 2/3 −1/3
0 


0 0
1
−2 5/2 −3/2


1 2 0 −5 15/2 −9/2




→  0 1 0 −2
3
−2 


0 0 1 −2 5/2 −3/2


1 0 0 −1 3/2 −1/2





→  0 1 0 −2 3
−2  = I3 | C −1


0 0 1 −2 5/2 −3/2

d) Ta có
22