 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình 

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của tốn học nói chung
và chương trình tốn phổ thơng nói riêng. Quan điểm hàm số cần được qn
triệt trong tồn bộ chương trình tốn ở trường trung học phổ thơng. Các bài
tốn khó về hàm số, phương trình, bất phương trình thường có mặt trong
các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp... Lý thuyết về hàm số,
phương trình, bất phương trình và hệ phương trình được trình bày khá rõ
ràng trong SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý
hợp nhất năm 2000, sách phân ban năm 2006) và một số sách tham khảo
khác.
Tốn học nói chung và Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan
trọng trong đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác. SGK Đại số
lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và
sách phân ban năm 2006 ) đã trình bày rất rõ về định nghĩa và các tính chất
của hàm số; phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình. Để giúp
học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 có thể tìm hiểu sâu hơn về hàm số
và ứng dụng của nó làm cơ sở để tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như ứng
dụng trong thực tế cuộc sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm
của mình tơi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào việc giải phương
trình ; bất phương trình và hệ phương trình đó là:
Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình ; bất
phương trình và hệ phương trình.
Đây là l vấn đề được rất nhiều người đề cập đến. Trong phạm vi đề tài
của mình tơi chỉ xin nêu ra một số bài tốn mới và một số bài tốn trong
chương trình cũng như trong các đề thi mà một số đáp án được giải bằng
phương pháp khác.
Trong q trình biên soạn đề tài này chắc sẽ khơng tránh khỏi những

thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội
đồng chun mơn của nhà trường để các đề tài sau của tơi được tốt hơn. Tơi
xin chân thành cảm ơn.


 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình 

VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH ; BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
I/ Cơ sở lý thuyết:
 SGK Đại số 10 đã định nghĩa phương trình và bất phương trình một
ẩn như sau:
Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định Df , g(x) với tập xác định Dy. Đặt
D = D f ∩ D y . Ta đặt vấn đề tìm các giá trị a ∈ D
sao cho:
f ( a) = g (a ), ( f(a) > g(a) ) .
Khi đó ta nói rằng đẳng thức f(x) = g(x) là một phương trình (bất đẳng
thức f(x) > g(x) là một bất phương trình) một ẩn.
Số thực a được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương
trình), D là tập xác định của phương trình (bất phương trình).
Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Định nghĩa trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số,
phương trình và bất phương trình.
 Tính đơn điệu của hàm số:
a.Định nghĩa:
- Hàm số f được gọi là đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ
khi ∀x1 , x 2 ∈ (a; b); x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .
- Hàm số f được gọi là nghịch biến ( giảm ) trên khoảng (a;b) khi và
chỉ khi ∀x1 , x 2 ∈ (a; b); x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .

b.Tính chất:
Tính chất 1:
Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì
f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇔ x1 = x 2 ; ∀x1 , x 2 ∈ (a; b) ( suy ra từ định nghĩa ).
Tính chất 2:
Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì phương trình
f ( x) = 0 có khơng q một nghiệm trong khoảng (a;b).
Chứng minh:
a) Trường hợp hàm số f tăng trong khoảng (a;b)
Giả sử có hai số x1 , x 2 ( x1 < x 2 ) sao cho f ( x1 ) = f ( x 2 ) = 0( *) . Điều (*) này
gặp phải mâu thuẩn, vì

x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 )

∀x1 ∈ (a; b), x 2 ∈ (a; b)

f tăng trong khoảng (a;b)).
b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b).
Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn.

(do hàm số


 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình 

Vậy phương trình f(x) = 0 khơng thể có nhiều hơn một nghiệm trên
khoảng (a;b).
II/ Các ví dụ:
Ví dụ 1:Giải phương trình:

1
log 5 ( x 2 − 3x + 2 + 2) +  
2

3x− x2 −1

= 257 (1)

Lời giải:
Đặt u = x 2 − 3x + 2
thay vào (1) ta có :

( x ≤ 1, x ≥ 2) , suy ra u ≥ 0 và x 2 − 3x = u 2 − 2 ,

1−u 2

1 2
= 257 ⇔ log (u + 2) + 2u = 257 (2) .
5
2
1 2
Đặt f (u ) = log5 (u + 2) + 2u , vì f’(u) > 0, ∀u ∈ [ 0;+∞ ) nên f đồng biến
2
1
trên [0;+∞) . Mặt khác f (3) = log 5 5 + 29 = 257.
2
1
log (u + 2) +  
5
 2


Vì vậy,
(2) ⇔ f (u ) = f (3) ⇔ u = 3 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 3 ⇔ x =

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:

x=

3 ± 33
2

3 ± 33
2

4x 2 + 1
log
= x 6 − 3x 2 + 2 (*)
Ví dụ 2 :Giải phương trình:
2007 x 6 + x 2 + 3

Lời giải:

Đặt u = 4 x 2 + 1 ≥ 1; v = x 6 + x 2 + 3 ≥ 3
Ta có :

u
= v − u ⇔ log
u + u = log
v+v
2007 v

2007
2007
⇔ u.2007u = v.2007 v
(3)
Xét hàm số: f (t ) = t.2007t trên [2;+∞)
(*) ⇔ log

Ta có f ' (t ) = 2007 t (1 + t. ln 2007) > 0, ∀t ∈ [2;+∞) => hàm số đồng biến
trên [2;+∞) nên từ phương trình (3) suy ra u = v,
hay 4 x 2 + 1 = x 6 + x 2 + 3 ⇔ x 6 − 3x 2 + 2 = 0


 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình 

X =1
2 ≥ 0 ⇒ X 3 − 3X + 2 = 0 ⇔ 
X
=
x
Đặt
 X = −2 (loạ )


Với X = 1 ⇒ x = ±1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = ±1
Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình:
 x − y = sin x − sin y (*)



cos 2 x + sin 2 y + cos x + sin y + 1 = 0


(4)

Lời giải:
Ta có (*) ⇔ x − sin x = y − sin y (5). Đặt f (t ) = t − sin t , với t ∈ R
f ' (t ) = 1 − cos t ≥ 0, ∀t ∈ R . Vậy hàm số tăng trên R do đó,
( 5) ⇔ f ( x) = f ( y) ⇔ x = y , thế vào (4) ta có phương trình :
cos 2 x + sin 2 x + cos x + sin x + 1 = 0

⇔ sin x + cos x + 2 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
⇔ sinx + cosx + 2cosx(sinx + cosx) = 0
⇔ (sin x + cos x)(2 cos x + 1) = 0
π
* sin x + cos x = 0 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z )
4
1
2π
* 2 cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = − ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ Z )
2
3
π
2π
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm: x = y = − 4 + kπ và x = y = ± + k 2π
3

(k ∈ Z )

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:


2 x + 1 = y 3 + y 2 + y


3 2
2 y + 1 = z + z + z

3
2
2 z + 1 = x + x + x


(6)

Lời giải
Xét hàm số : f (t ) = t 3 + t 2 + t , với
(6)

2 x + 1 = f ( y )

⇔ 2 y + 1 = f ( z )
2 z + 1 = f ( x)


t∈R.

Khi đó:

Ta có : f ' (t ) = 3t 2 + 2t + 1 > 0, ∀t ∈ R ⇒ hàm số f(t) đồng biến trên R.
• Nếu x < y thì f(x) < f(y)

⇔ 2 z + 1 < 2 x + 1 ⇔ z < x ⇒ f ( z ) < f ( x) ⇒ 2 y + 1 < 2 z + 1 ⇔ y < z .


 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình 

Từ đó, suy ra: x < y < z < x . Điều này vơ lý.
• Nếu y < x thì f(y) < f(x)

⇔ 2 x + 1 < 2 z + 1 ⇔ x < z ⇒ f ( x) < f ( z ) ⇒ 2 z + 1 < 2 y + 1 ⇔ z < y

Từ đó, suy ra: y < x < z < y . Điều này vơ lý.
Do đó , hệ chỉ có thể có nghiệm x = y = z .
Thế vào hệ ta được:

2 x + 1 = x3 + x 2 + x ⇔ x3 + x 2 − x − 1 = 0
⇔ ( x − 1)( x 2 − 1) = 0
x = 1 = y = z

⇔

 x = −1 = y = z

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (1;1;1) hoặc ( -1;-1;-1).
 Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp này cần đặc biệt
lưu ý sự liên tục của hàm số đặc trưng trên tập xác định của chúng.
Chẳng hạn đối với bài tốn:
Giải hệ phương trình:

1

1

x − x = y − y

2 y = x 3 + 1


(I) (Đề thi ĐH khối A năm 2003)

Rất nhiều học sinh giải bài tốn theo hướng :
Đặt

1
1
f (t ) = t − ⇒ f ' (t ) = 1 + 2 > 0∀t ∈ R
t
t

nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế

vào phương trình còn lại trong hệ đề giải.
Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng
phương pháp này, bởi vì hàm số

f (t ) = t −

1
t

có


f ' (t ) = 1 +

1
> 0∀t ∈ R
t2

hàm f(t) gián đoạn tại t = 0.
Nhận xét: Với f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ D f và y = f(x) liên tục trên

Df

thì

 f ( x) = f ( y )
x = y
⇔

 F ( x; y ) = 0
 F ( x; y ) = 0

Ví dụ 5: Giải bất phương trình

2
 
3

sin 2 x

+ 3cos 2 x − log 2005 ≥ 0

6

(Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi bảng B:NH 2005- 2006)
Lời giải:

nhưng


 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình 

 2
 
 3

sin 2 x

 2
⇔ 
 3

2
+ 3cos 2 x − log 2005 ≥ 0 ⇔  
6
3

sin 2 x

sin 2 x


2
3cos x
+
≥ log 2005
6
2x
sin
3

2
sin 2 x
31−sin x
1
 2
+
≥ log 2005 ⇔  
+ 3.
≥ log 2005
6
6
2x
2
3

sin
2
sin
3
3


Đặt t = sin 2 x, t ∈ [ 0;1]

Bất phương trình trở thành:
t

t

t

t

 2
1
  + 3.  ≥ log 2005
6
 3
9

Hàm f (t ) =  2  + 3. 1  nghịch biến với ∀t ∈ [ 0;1] ⇒ f (t ) ≤ f (0) = 4
 3

9

Mà log 6 2005 > 4 .
Suy ra, bất phương trình đã cho vơ nghiệm.
Ví dụ 6: Cho f ( x) = 2.25 x − (2m + 1)10 x + (m + 2)4 x . (7)
Tìm m để f ( x) ≥ 0, với ∀x ≥ 0
Lời giải:
Ta có:


f ( x) ≥ 0

2

với

∀x ≥ 0

x
 5  x 
5
⇔ 2   − (2m + 1)  + m + 2 ≥ 0, ∀x ≥ 0
2
 2  

x
5
2
⇔ 2t − (2m + 1)t + m + 2 ∀t =   ≥ 1
 2
2t 2 − t + 2
⇔
≥ m, ∀t ≥ 1 ⇔ min f (t ) ≥ m
2t − 1
[1;+∞)
2
Đặt f (t ) = 2t − t + 2 , ∀t ≥ 1
2t − 1
3


t=
2

4t − 4t − 3
⇒ f ' (t ) =
=0⇔ 2
2
t = − 1
( 2t − 1)

2

Bảng biến thiên:
t

−∞

−

1
2

1
2

1

3
2


5
2

+∞


 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình 

f’(t)

+

0

-

-

0

+
+∞

f(t)

Vậy

m≤


5
2

là kết qủa cần tìm.

Bài tập tương tự:
1. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:
x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0 (Đại học, cao đẳng khối D – 2004)
2. Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2

(Đại học, cao đẳng khối B – 2004)
3.Giải phương trình:

log 2

2x + 1
= x 2 − 4x
2
( x − 1)

(Đề thi HSG tình QNgãi năm 2001)
4. Giải phương trình: log 2007 ( x + 1) = 2007 x − 1
5. Tìm m để bất phương trình (4 + x)(6 − x) ≤ x 2 − 2 x + m đúng
6. Giải đất phương trình

x( x 8 + 2 x + 16) > 6(4 − x 2 )

(5)


7. Giải bất phương trình

5 x + 12 x > 13 x

(7)

8. Giải hệ phương


tgx − tgy = y − x

trình: 2 x + 7 y = 4π
 π
π
− < x , y <
2
 2

(*)



∀x ∈ [ − 4;6]


 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình 

Nói về ứng dụng các tính chất của hàm số khơng chỉ có các ứng dụng
tơi đã trình bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vơ cùng rộng lớn.

Tuy nhiên với khn khổ của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tơi chỉ
nêu ra một ứng dụng trên.
Trong những năm qua tơi đã vận dụng phương pháp trên cho đối
tượng học sinh khá giỏi của trường THPT Ba Tơ trong các đợt bồi dưỡng
học sinh giỏi và luyện thi đại học cao đẳng và thấy rằng học sinh tiếp thu
tương đối chủ động ; đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong q trình giải
các dạng bài tập ở trên.
Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tơi, mong đóng góp cùng
đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của hàm số
trong chương trình tốn học phổ thơng làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối
cấp cũng như nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này.

Quảng Ngãi, tháng 3 năm 2007


 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình 

Nhận xét, đánh giá của HĐCM trường THPT Ba Tơ:
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
............................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................

.............................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
................................................................................................................
Nhận xét, đánh giá của HĐCM Sở GD&ĐT Quảng Ngãi.
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
............................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
................................................................................................................