TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐỀ THI THỬ - KÌ THI THPT QUỐC GIÁ NĂM 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

SỐQuốc
137Nghĩa)
(Gõ lại ĐỀ
bởi Trần

-------------------------

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y  x 3  ( m  1) x 2  (m  1) x  1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm có hoành
1 
độ thuộc đoạn  ;2  .
2 
Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình:

 x 
1  sin x  cos x  2 cos    .
2 4
3

Câu 3. (1,0 điểm) Tính tích phân:

I


1

ln( x 2  1)
dx .
x3

Câu 4. (1,0 điểm)
1) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện:
2
z  5z  5 z  0 .
2) Một công ty có 10 mẫu sản phẩm khác nhau đôi một cần được kiểm tra, trong đó có 3
mẫu thuộc cùng lô thứa nhất, 3 mẫu thuộc cùng lô thứ hai và 4 mẫu thuộc cùng lô thứ
ba. Chọn ngẫu nhiên 5 mẫu trong 10 mẫu để kiểm tra. Tính xác suất để trong 5 mẫu
được lấy ra có 2 mẫu thuộc lô thứ nhất và 3 mẫu thuộc lô thứ ba.
Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(5; 5; 0) và đường thẳng
x 1 y 1 z  7
d:


2
3
4
Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông tại C và BC  29 .
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAC vuông
  600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
góc với đáy và là tam giác cân tại S, góc SBC
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp
đường tròn (K). Gọi M là trung điểm của AC; G, E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC
4


 23 
 53 
và ABM. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết E  ; 11 , G  2;  và K  2;  .
3

 3 
 5
x

1

 5   2  x 29
Câu 8. (1,0 điểm) Giải phương trình:      
.
10
2 5
Câu 9. (1,0 điểm) Cho các số dương a, b. Chứng minh bất đẳng thức:

a 2  b2
a  b  ab 
2
––––Hết––––
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh ………………………………………….Số báo danh……………………

791


ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Câu

ĐÁP ÁN

Điểm

1. (1,0 điểm): Học sinh tự giải
2. (1,0 điểm): Tìm các giá trị của m …
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với Ox:
x 3  (m  1) x 2  (m  1) x  1  0  ( x  1)( x 2  mx  1)  0 (1)

1
Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tạ ít nhất một điểm có hoành độ thuộc  ;
2
1 
(1) có nghiệm thuộc đoạn  ; 2  .
2 


2  khi và chỉ khi


x2  1
1 
Xét x   ; 2  thì (1) 
 m (2) . Ta cần tìm m sao cho (2) có nghiệm thuộc
1
x
2 
(2,0đ)

1 
đoạn  ; 2  .
2 
x2  1
x2  1
1 
Đặt f ( x) 
, với x   ; 2  . Ta có f '( x) 
và phương trình f '( x)  0
x
x
2 
1 
có nghiệm x  1   ; 2  .
2 
5
5
1 5
Ta có: f    , f (1)  2 , f (2)  . Suy ra max f  x   và min f  x   2
2
2
2 2
5
1 
Do đó phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn  ; 2  khi và chỉ khi 2  m 
2
2 

0,25


0,25

0,25

(1,0 điểm) Giải phương trình …

x
x
x
x 
 x  
 x 
 2sin cos  2cos      2 cos  1 .cos     0
2
2
2
2 
2 4 
2 4

Pt  2 cos2
2
(1,0đ)

x

3
3



 2 cos 2  1  0
 x  2  k 2
 x  2  k 2



k  
 cos  x     0
 x     k 4
 x    k 4
  2 4 


2
2

0,25

(1,0 điểm) Tính tích phân …
Ta có:
I 

1
2

0,25

3

3


12
dx
1
 1 

2
1 ln( x  1)d  x 2    2  3 ln 2  ln 2   1 x( x 2  1)  6 ln 2 

3
(1,0đ) Ta có: J 

3


1

dx

x( x 2  1)

0,25

3

x 
1
1  x  x2  1  dx 

3



1

1
1
 ln 4  ln 2   ln 3  ln 2
2
2
1
1
1
Vậy: I  ln 2  ln 3  ln 3  ln 2
6
2
3
 ln 3 

792

dx 1

x 2

3


1

2


d ( x  1)
x2 1

3

dx
2
 1)

 x( x
1

0,25


1. (0,5 điểm): Tìm tập hợp điểm …
Đặt z  x  yi , ta có z  x  yi . Do đó:
2

z  5 z  5 z  0  x 2  y 2  5 x  5 yi  5 x  5 yi  0  ( x  5)2  y 2  25

0,5

Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 5 và
tâm là I(5; 0)
2. (0,5 điểm): Tính xác suất …

4
(1,0đ) Số phần tử của không gian mẫu  là n   C 5  252

  10

0,25

Gọi A là biến cố trong 5 mẫu được chọn có 2 mẫu thuộc lô thứ nhất và 3 mẫu thuộc
lô thứ ba. Số phần tử của A là n  A   C32 .C43  12
n  A  12
1
Suy ra xác suất của biến cố A là P  A  


n    252 21

(1.0 điểm) Tìm tọa độ các điểm …

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  (2;3; 4) . Ta có:

 C  d  C (1  2t ; 1  3t; 7  4t )  AC  (6  2t ; 6  3t ;7  4t )
 
 AC  d  AC.u  0  2(6  2t )  3(6  3t )  4(7  4t )  0  t  2  C (3;5; 1)
5

(1,0đ)  B  d  B (1  2t '; 1  3t ';7  4t ')  CB  (4  2t '; 6  3t ';8  4t ')  (t' 2)u
t '  1
2
 BC  29  (t ' 2)2 u  29  
. Suy ra B(1; 2;3) hoặc B(5;8; 5) .
t '  3
 Vậy B(1; 2;3) , C (3;5; 1) hoặc B(5;8; 5) , C (3;5; 1) 1


0,25

0,5

0,25

(1.0 điểm) Tính thể tích khối chóp …
Gọi H là trung điểm của AC, kẻ HK  BC. Khi đó SH  (ABC), BH  AC

1
1
a2 3
và BC  (SHK). Vì vậy VS . ABC  SH .S ABC  SH 
3
3
4
Xét tam giác SBK vuông tại K, ta có:
3a
BK
3a
6
BK  , SB 

0
4
cos 60
2
(1,0đ)
Xét tam giác SHB vuông tại H, ta có:
SH 2  SB 2  BH 2 


6a 2
a 6
 SH 
4
2

A

a 2 3 a 6 a3 2
Vậy VS . ABC 


12
2
8
B
(1.0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác…
FE FM 1
Gọi F là trung điểm của AM. Ta có:

  EM // BC
FB FC 3
Do ABC cân tại A nên KG  BC, suy ra KG  EM.
Vectơ pháp tuyến của EM là
7
(1,0đ)    44  44
n1  GK   0;
   0; 1
 15  15

Suy ra phương trình của EM: y  11 (1)
B
FE MG 1
Ta có:

  EG // FM. Mà KM  AC nên KM  EG
FB MB 3

793

0,25
S

0,25

H
C
60

K

0

0,25

A
F
E K

M


G
C


   2 10  2
Véctơ pháp tuyến của KM là: n2  EG   ;    1;  5 
3 3
3
Suy ra phương trình của KM: x  5 y  51  0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra M (4; 11)




Do BG  2GM nên B(2; 1) . Do BE  2 EF nên F (3;16)




Do MA  2MF nên A(2;21) . Do AC  2 AM nên C (6;1)

0,25

(1.0 điểm) Giải phương trình…
Điều kiện: x  0
x

0,25


1

 5   2 x
Xét hàm số f ( x )       với x  0 .
2 5
1

x

1

x

5 1  2 x 2  5 
5 1  2 x 5
5
8
Ta có f '( x)    ln  2   ln    ln  2   ln  0
2 x 5
5 2
2 x 5
2
 2
(1,0đ)
Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên các khoảng (;0) và (0; ) . Do đó trên mỗi 0,25
khoảng (;0) và (0; ) phương trình f ( x ) 

29
có nhiều nhất 1 nghiệm.
10


29
. Vậy phương trình có hai nghiệm x  1
10
(1.0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức…
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Mặt khác f (1)  f (1) 

2

(a  b)2  ab  2

2

2

2

2

0,25
2

ab(a  b ) a  b
ab(a  b )

 ( a  b) 2  4
2
2

2
2

9
(1,0đ)

 (a 2  b 2 ) 2  8(a 2  b 2 )
 (a  b)4  8ab(a  b )  
 
ab
ab


2

2

2

2

a b

a b a b

    2  8       2  0
b a

b a b a


Vậy bđt đúng với mọi a, b dương, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b
Chú ý: Có thể biến đổi tương đương.
(a  b)4  8ab(a 2  b 2 )  a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab3  b 4  0  (a  b) 4

File này được gõ lại từ file ảnh scan nên không tránh khỏi sai sót. Quý thầy
cô cùng các em học sinh nếu phát hiện sai sót vui lòng báo giúp nhé!

794

0,25