TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - MẶT

1)

Tính các tích phân
y
I = ∫ ds ; x = t 4 ; y = t 3 0.5 ≤ t ≤ 1
x
L

a)

Giải.
1

1

y
16t 6 + 9t 4
1
I = ∫ ds = ∫
dt =
16t 2 + 9d(16t 2 + 9)
∫
x
t
32 0.5
L
0.5

=

(

1
16t 2 + 9
48

)

31
2

=

0.5

(

1
125 − 13 13
48

)

I = ∫ x 3 zds ; x = 2sin t; y = t;z = 2cos t;0 ≤ t ≤

b)

L


π
2

Giải.

I = ∫ xy 4 ds ;

c)

L

Với L là nửa bên trái đường
π
2

I = ∫ x zds = 16 5 ∫ sin t cos t dr = 4 5 sin t
3

L

3

0

4

π
2
0


=4 5

2
2
g x + y = 16

Giải.
π
π
−
≤
t
≤
2
Đặt x = 4cos t ; y = 4sin t với 2
1

1


π
2

I = ∫ xy 4 ds = 46
L

−

I = ∫ xe yz ds


d)

4
6 1
5 π/2
6 1
cos
t
sin
tdt
=
2.4
.
sin
t
=
2.4
.
∫
0
5
5
π

L

2

Với L là đoạn thẳng nối (0;0;0) đến (1;2;3)


Phương trình đường thẳng x = t; y = 2t;z = 3t (0 ≤ t ≤ 1)
1

I = ∫ xe ds = 14 ∫ te6t dt =
yz

L

2

0

14 6t
e
12

2

1
0

=

14 6
(e − 1)
12

1.Tìm tọa độ trọng tâm của dây đinh ốc trụ x = 2cos t, y = 2sin t, x = 3t

2)


0 ≤ t ≤ 2π với mật độ ρ = cosnt .
Giải.
XG =
Từ

ρ
ρ
ρ
xdS
Z
=
zdS
Y
=
ydS
m = ρ ∫ dS
G
G
m L∫
m L∫
m L∫
L
;
;
và

Vì đinh ốc trụ nên 0 ≤ t ≤ 2π
2π


m = ρ ∫ dS = ρ ∫ 13dt = 2πρ 13
L

0

2π

ρ
1
ρ
1
X G = ∫ xdS =
. 13 ∫ 2cos tdt = 0 = YG ZG = ∫ zdS =
mL
mL
2π
2π 13
0
;

2π

∫ 3tdt = 3π
0

Vậy tọa độ trọng tâm ( X G ,YG , ZG ) = (0,0,3π)
2
2
2.Tìm tọa độ trọng tâm của và khối lượng của dây mảnh x + y = 4 với x ≥ 0


với mật độ ρ = cosnt
Giải.
2

2


π
π
−
≤
t
≤
2
Đặt x = 2cos t ; y = 2sin t với 2
π
2

m = ρ ∫ 2dt = 2ρπ
−

XG =

YG =

π
2

;


ρ
1
xdS
=
m L∫
2π

π
2

∫
−

4cos tdt =

π
2

ρ
1
ydS =
∫
mL
2π

2
π

π
2


∫ 4sin tdt = 0
−

π
2

( XG , YG ) = 

2 
,0 ÷
π 

Vậy tọa độ trọng tâm

r
F
Cho trường vectơ = (P;Q) có hướng là những đường tròn đồng tâm với tâm

3)

là gốc tọa độ,xác định

I = ∫ Pdx + Qdy
L

mang dấu gì ? Khi L được xác định:

a) L là là đoạn thẳng thẳng từ (−3, −3) đến (3,3)
b) L là là đoạn thẳng thẳng từ (−3, −3) đến (−3,3)

c) C là vòng tròn đ/ hướng ngược kim đồng hồ với bán kính 3, tâm tại gố tọa độ.
Giải.

Từ

rr
I = ∫ Pdx + Qdy = ∫ F.vds
L

L

và

rr r r
rr
F.v = F v cos F, v

( ) ở đó vr là vec tơ chỉ phương của

tiếp tuyến,nên
3

3


a)

rr

I = ∫ Pdx + Qdy = 0


·
π
F, v ) =
(
2
vì góc

I = ∫ Pdx + Qdy ≥ 0

·r r
F, v

L

b)

vì góc

L

I = ∫ Pdx + Qdy <0

c)

vì góc

L

4)


( )

nhọn

·r r
F, v = π

( )

Tính các tích phân
I = ∫ e x −1dx + xydy ; x = t 2 ; y = t 3 0 ≤ t ≤ 1

a)

L

Giải.
1

(

I = ∫ e x −1dx + xydy = ∫ 2te t
L

0

I = ∫ xydx + (x − y)dy

b)


L

2

−1

+ 3t 7

)


dt =  e t


1

2

3t 8 
11 − 8e−1
−1
+
÷ =
8 ÷
8

0

với L là đường gấp khúc nối từ (0;0) đến (2;0) rồi đến


(3;2).
Giải.
Phương trình đường từ (0;0) đến (2;0): y = 0

(0 ≤ x ≤ 2)

Phương trình đường từ (2;0) đến (3;2): y = 2x − 4 ( 2 ≤ x ≤ 3)
2

3

0

2

I = ∫ xydx + (x − y)dy = ∫ 0dx + ∫
L

5)

Hãy chứng tỏ

(

)

I = ∫ 2x sin ydx + (x 2 cos y − 3y 2 )dy
L


3

 2x 3

2x 2 − 4x + 8 − 2x dx = 
− 3x 2 + 8x ÷
÷
 3
2

không phụ thuộc đường

lấy tích phân,từ đó tính tích phân khi L là đường bất kỳ nối (-1;0) đến (5;1).
Giải.
4

4


′
x 2 cos y − 3y 2 ) = ( 2x sin y ) ′y ⇔ 2x cos y = 2x cos y ∀x, y
(
x
Xét
Chọn đường nối (-1;0) đến (5;1)là đường đi từ (- 1,0) đến (5,0) sau đó đến (5,1).
5

1

∫ 0dx + ∫ (25cos y − 3y


I=

−1

2

)dy = 25sin1 − 1

0

∫

I=
6)

(1 − x 2 )dy + 2xydx
(1 − x 2 )2 + y2

»
AB

Hãy chứng tỏ tích phân

lấy tích phân ở trong miền đơn liên D ⊂ ¡

2

không phụ thuộc đường


− { (±1;0)} ,từ đó tính tích phân khi cung

» là đường bất kỳ không cắt Ox nối A(0;0) đến B(1;1).
AB
Giải.

′

′
1 − x2
2xy
=

2 2
2
2 2
2
(1
−
x
)
+
y
(1
−
x
)
+
y


y

x
⇒ −2x (1 − x 2 ) 2 + y 2  + 4x(1 − x 2 ) 2 = 2x (1 − x 2 ) 2 + y 2  − 4xy 2

luôn đúng

» là đường tròn x 2 + y2 = R 2
Chọn AB
I=
Khi R < 1 thì

∫

(1 − x 2 )dy + 2xydx

»
AB

(1 − x 2 )2 + y 2

=0
vì theo Green.

Khi R > 2 thì

Ñ
∫

I=


C ∪ C1 ∪ C −1

I=

∫

x +y =R
2

2

−Ñ
∫ −
C1

Ñ
∫

C −1

(1 − x 2 )dy + 2xydx
2

(1 − x 2 ) 2 + y 2

= i∫

C1


(1 − x 2 )dy + 2xydx
(1 − x 2 ) 2 + y 2

+

i∫

C−1

(1 − x 2 )dy + 2xydx
(1 − x 2 ) 2 + y 2

Trong đó C±1 là đường kín đủ nhỏ bao (±1,0) tương ứng
5

5


1 − x 2 = ε cos t

Ta có thể viết pt đường kín  y = ε sin t
khi 0 ≤ t ≤ 2π và ε đủ nhỏ

i∫

(1 − x 2 )dy + 2xydx
(1 − x 2 ) 2 + y 2

C1


I=

∫

»
AB

=

i∫

(1 − x 2 )2 + y 2

C −1

(1 − x 2 )dy + 2xydx
(1 − x 2 ) 2 + y 2

(1 − x 2 )dy + 2xydx

∫
0

ε (cos 2 t + sin 2 t)
ε2

= 2π

= 4π


Tìm giá trị α để tích phân

7)

=

2π 2

I = ∫ (1 + y + y 2 sin 2x)dx + (x + αycos 2 x)dy
L

không phụ thuộc đường lấy tích phân.
Giải.

( 1 + y + y2 sin 2x ) ′y = ( x + αycos2 x ) ′x ∀x, y
⇔ 1 + 2ysin 2x = 1 − αysin 2x ⇔ α = −2 (∀x, y)

r r
r
Tính công do trường lực F = xi + (y + 2) j dịch chuyển một vật dọc theo cung

8)

xycloit x = t − sin t; y = 1 − cos t;0 ≤ t ≤ 2π
Giải.

r r r
Từ công thức tính công của trường F = Pi + Q j dọc theo L
A = ∫ (P cos α + Qsin α)ds = ∫ Pdx + Qdy
L


L

r
(cos
α
,sin
α
)
=
n
ở đó
là vec tơ tiếp tuyến

tại (x,y) của đường L.

Nên
6

A = ∫ xdx + (y + 2)dy =
L

2π

∫ [ (t − sin t)(1 − cos t) + (3 − cos t)sin t ] dt = 2π

2

0


6


r
F
Tính công do trường lực = (xz; yx; yz) dịch chuyển một vật dọc theo đường

9)

x = t 2 ; y = − t 3 ;z = t 4 0 ≤ t ≤ 1

Giải.
A = ∫ (Pcos α + Qcos β + R cos γ )ds = Ñ
∫ Pdx + Qdy + Rdz
L

L

r
(cos
α
,cos
β
,cos
γ
)
=
n
Trong đó
là vec tơ tiếp tuyến tại (x,y,z) của đường L.

1

(

)

A = ∫ xzdx + yxdy+yzdz = ∫ 2t 7 + 3t 7 − 4t10 dt =
L

0

5 4 23
− =
8 11 88

r
2 3 2 3
10) Tính công do trường lực F = (x y ; y x ) dịch chuyển một vật từ A(0;0) đến

B(2;1).
Giải.
Chọn đường đi từ A(0;0) đến B(2;1) là đường

y=

x
2 với (0 ≤ x ≤ 2) .

2


x5
26 8
A = ∫ x y dx + y x dy = ∫ dx =
=
4
24
3
L
0
2 3

2 3

11) Mô tả các tập mở liên thông

{ (x; y) : x > 0, y > 0} ; { (x; y) : x ≠ 1} ; { (x; y) :1 < x

2

}

+ y2 < 9

Giải.

{ (x; y) : x > 0, y > 0} góc thứ nhất của mặt phẳng tọa độ không kể các trục.

{ (x; y) :1 < x 2 + y2 < 9} :miền vành khăn giữa 2 đường tròn x 2 + y2 = 9 và
x 2 + y 2 = 1 (không kể biên) { (x; y) : x ≠ 1} = ¡


7

2

− { x = 1}
7


12) Tính các tích phân đường theo hai cách:+trực tiếp;+Green
a)

2
3
I=Ñ
∫ xy dx + x dy
L

với L là biên hình chữ nhật

ABCD:A(0;0),B(2;0),C(2;3),D(0;3)
Giải.
Cách 1
I=Ñ
∫ xy dx + x dy =
2

3

L


∫

∫

+

AB

∫

+

BC

∫

+

CD

DA

2

3

0

0


0

0

2

3

= ∫ 0dx + ∫ 8dy + ∫ 9xdx + ∫ 0dy = 6

Cách 2

(

)

2

3

0

0

(

2

)


(

)

2
I=Ñ
∫ xy dx + x dy = ∫∫ 3x − 2xy dxdy = ∫ dx ∫ 3x − 2xy dy =∫ 9x − 9x dx =6
2

3

L

G

2 3
I=Ñ
∫ xydx + x y dy

b)

L

2

2

0

với L là biên của tam giác ABC:A(0;0).B(1;0),C(1;2)


Cách 1
I=Ñ
∫ xydx + x y dy=
2 3

L

∫

AB

+

∫

+

BC

∫

CA

1

2

0


0

0

= ∫ 0dx+ ∫ y dy+ ∫ (2x 2 + 16x 5 )dx = 4 −
3

1

10 2
=
3 3

Cách 2
1

2x

0

0

1

5
2
I=Ñ
∫ xydx + x y dy = ∫∫ (2xy − x)dx = ∫ xdx ∫ (2y − 1)dy = ∫ (8x − 2x )dx =
2 3


L

I=
c)

3

G

Ñ
∫ (5x

»
AB

4

+ 4y)dx − (4y3 + 3x)dy

3

0

2
3

2
2
x
=

a
−
y
với là cung
từ -a đến a (a>0)

π
π
(
−
≤
ϕ
≤
)
2
2
Cách 1 Đặt x = a cos ϕ ; y = a sin ϕ và

8

8


Ñ
∫ (5x

I=

4


+ 4y)dx − (4y3 + 3x)dy

»
AB

=

π
2

∫  −a ( 5a

π
−
2

4

)

(

)

cos 4 t + 4a sin t sin t − a 4a 3 sin 3 t + 3a cos t cos t  dt


π
2



3a 2 
7a 2 π
2
= ∫  −2a −
 dt = −
2
2

π
−

2

Bổ sung vào đường x = 0 − a ≤ y ≤ a theo chiều từ (0,a) đến (0.-a)

Cách 2
I=

Ñ
∫ (5x + 4y)dx − (4y + 3x)dy = −
4

3

»
AB

∫∫


a

(3 + 4)dxdy −

∫

4y3dy = −

−a

x 2 + y2 ≤ a 2
x ≥0

7 πa 2
2

13) Tính các tích phân đường theo công thức Green theo hướng dương
a)

y
y
I=Ñ
∫ e dx + 2xe dy
L

với L là hình vuông có các cạnh x = 0; x = 1; y = 0; y = 1

Giải.
1


1

0

0

y
I=Ñ
∫ e dx + 2xe dy = ∫∫ e dxdy = ∫ dx ∫ e dy = e − 1
y

y

L

b)

y

G

3
3
I=Ñ
∫ y dx − x dy
L

2
2
với L là đường tròn x + y = 4


Giải.
I=Ñ
∫ y dx − x dy = −3
3

L

3

∫∫

x 2 + y2 ≤ 4

2π

2

0

0

(x + y )dxdy = −3 ∫ dϕ∫ r 3dr = −24π
2

2

Với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ và (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 2)
9


9


c)

3
3
I=Ñ
∫ y dx − x dy
L

với L gồm đoạn từ (-2;0) đến (2;0) và nửa trên đường tròn

x 2 + y2 = 4

Giải.
I=Ñ
∫ y dx − x dy = −3
3

∫∫

3

L

x 2 + y2 ≤ 4

π


2

0

0

(x + y )dxdy = −3∫ dϕ∫ r 3dr = −12π
2

2

Với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ và (0 ≤ ϕ ≤ π;0 ≤ r ≤ 2)

I=Ñ
∫ (y + e

d)

x

)dx + (2x + cos y 2 )dy
với L là biên của miền giới hạn

L

2
2
bởi các parabol y = x ;x = y

Giải.

I=Ñ
∫ (y + e
L

x

1

)dx + (2x + cos y )dy = ∫∫ dxdy = ∫ dx
2

G

0

x

1

x2

0

∫ dy = ∫ (

)

x − x 2 dx =

1

3

14) Dùng công thức Green để tính các tích phân sau theo chiều dương
a)

2
2
I=Ñ
∫ x ydx − y xdy
L

2
2
với L là biên của miền giới hạn bởi x + y = 4

Giải.
I=Ñ
∫ x ydx − y xdy = −
2

2

L

∫∫

x 2 + y2 ≤ 4

2π


2

0

0

(x + y )dxdy = − ∫ dϕ∫ r 3dr = −8π
2

2

với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ và (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 2)

b)

3
I=Ñ
∫ x ydx − xdy
L

2
2
với L là biên của miền giới hạn bởi x + y = 1

Giải.
10

10



3
I=Ñ
∫ x ydx − xdy = −
L

∫∫

(1 + x 3 )dxdy = −π

x 2 + y2 ≤1

(hàm lẻ với biến x,miền lấy tích phân đối xứng)

c)

xy
2
xy
2
2
I=Ñ
∫ (ye + 2x cos y − x y)dx + (xe − x sin y + xy + xy)dy
L

2
2
với L là biên của miền giới hạn bởi x + y − 2x = 0

Giải.
xy

2
xy
2
2
I=Ñ
∫ (ye + 2x cos y − x y)dx + (xe − x sin y + xy + xy)dy
L

∫∫

=

(x −1) + y ≤1
2

2

∫∫

=

(x −1)2 + y2 ≤1

(y+y
(y

2

2


+x

)

− 2x sin y + xye xy + e xy − xye xy − e xy + 2x sin y + x 2 dxdy

2

2π

1

0

0

) dxdy = ∫ dϕ∫ ( r

2

1

)

(

)

+ 2r cos ϕ + 1 rdr = 2π∫ r 2 + 1 rdr =
0


3π
2

Với x = 1 + r cos ϕ ; y = r sin ϕ và (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 1)

I=

Ñ
∫ (−x

2

y − 2x + y)dx + (xy 2 + x − 2y)dy

»
OA

d)

với

»
OA

là cung từ O(0;0) đến

2
2
A(0;2) của đường x + y − 2y = 0(x ≥ 0)


Giải.
Bổ sung vào đường x = 0 (0 ≤ y ≤ 2) theo chiều từ A(0;2) đến O(0;0)
I=

Ñ
∫ (− x

»
OA

11

2

2

y − 2x + y)dx + (xy + x − 2y)dy =

∫∫

x + (y −1) ≤1
x ≥0
2

2

2

(y + x )dxdy − ∫ 2ydy

2

2

0

11


∫∫

=

x 2 + (y −1) 2 ≤1
x≥0
1

(

(y

)

2

+x

2

= π∫ r 2 + 1 rdr − 4 =

0

2

π
2

1

) dxdy − ∫ 2ydy = ∫ dϕ∫ ( r 2 + 2r sin ϕ + 1) rdr − 4
0

−

π
2

0

3π − 16
4

π
π
(
−
≤
ϕ
≤
;0 ≤ r ≤ 1)

2
2
Với x = r cos ϕ ; y = 1 + r sin ϕ và
15) Kiểm tra các trường véc tơ sau đây là trường thế. Tìm hàm f sao cho
r uuuur
F = graff
r
F
a) = (yz;zx; yx)
Giải.
r
F = (P;Q;R) là trường thế khi và chỉ khi
r
 ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P  uurr r
−
,
−
,
−
=
rotF
=
0
⇔
x
−
x,
y
−
y,z

−
z
=
0
(
)
 ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ÷


Hàm thế vị f(x.y.z) được xác định
f (x, y,z) =

∫ yzdx + zxdy + yxdz + C

AB

f (x, y,z) =

chọn A(0,0,0);B(x, y,z)
x

y

z

0

0

0


∫ yzdx + zxdy + yxdz + C = ∫ 0dx + ∫ 0dy + ∫ xydz + C = xyz + C

AB

r
2
F
b) = (2xy; x+2zy; y )

Giải.
r
 ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P  uurr r
−
,
−
,
−
=
rotF
=
0
⇔
2y
−
2y,0,1
+
2y
−
2x

≠
0
(
)
 ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ÷


12

12


r
F = (2xy; x+2zy; y 2 ) không là trường thế.

16) Tính các tích phân mặt
a)

I = ∫∫ x 2 yzdS
S

với S là phần mặt phẳng z = 1 + 2x + 3y xác định trong

{ [ 0,3] × [ 0, 2]}
Giải.
I = ∫∫ x 2 yzdS = 14
S

3


2

0

0

∫∫

x 2 y(1 + 2x + 3y)dxdy

0≤ x ≤3
0≤ y ≤2
3

= 14 ∫ dx ∫ (x y + 2x y + 3x y )dy = 14 ∫ (2x 2 + 4x 3 + 8x 2 )dx = 171 14

b)

2

2 2

0

I = ∫∫ xdS
S

3

2

với S là phần mặt cong y = x + 4z và 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ z ≤ 2

Giải.
2

2

1
I = ∫∫ xdS = ∫∫ x 4x + 17dxdz = ∫ dz ∫ 17 + 4x 2 d(17 + 4x 2 )
80 0
S
0≤ x ≤ 2
2

0≤ z≤ 2

2

(

1
= ∫ 17 +
12 0

c)

3 x =2
4x 2 2
dz


)

x =0

I = ∫∫ (x 2 y + z 2 )dS
S

2

1
33 33 − 17 17
= ∫ 33 33 − 17 17 dz =
12 0
6

(

)

2
2
với S là phần mặt trụ x + y = 9 nằm giữa z = 0;z = 2

Giải.

{ y = ± 9 − x ;0 ≤ z ≤ 2} xuống mặt y0z được hình chiếu là miền
Chiếu phần mặt
2

13


13


G = { −3 ≤ x ≤ 3 ;0 ≤ z ≤ 2}
I = ∫∫ (x 2 y + z 2 )dS
S

= ∫∫ (x 2 9 − x 2 + z 2 ) 1 +
S

z2

= 6 ∫∫

9−x

G

2

−3

d)

I = ∫∫ zdS
S

dxdz + ∫∫ (− x 2 9 − x 2 + z 2 ) 1 +
S


x
9 − x2

dxdz

3

dx

= 6 ∫ z dz ∫
0

9−x

2

dxdz

2

3

2

x

y
= 32arcsin
= 16π

2
3
0
9−x
2
2
với S là phần mặt paraboloit z = x + y nằm dưới mặt z = 4

Giải.
2
2
chiếu xuống mặt x0y được x + y ≤ 4

∫∫

I=

2

2

2

2

(x + y ) 1 + 4x + 4y dxdy =

x 2 + y2 ≤ 4
2


(

)

(

)

2π

2

0

0

∫ dϕ ∫ r

3

1 + 4r 2 dr

π 2
=  1 + 4r 2
16  5


(

)


5
2

(

3 2
4r 2 2 

=

π 
1 + 4r 2 − 1 1 + 4r 2 d 1 + 4r 2
∫


16 0

=

π  578 17 − 2 34 17 − 2  π 1564 17 + 4 (391 17 + 1) π
−
=

= .
16 
5
3
15
60

 16

−

2
1+
3

)


0

với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ và (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 2)
17) Tính thông lượng của các trường vec tơ qua các mặt định hướng dương
tương ứng:

14

14


r
2
2
2
F
a) = (x, y,z) với S là mặt ngoài của mặt x + y + z = 9
Giải.
I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = 3

S

∫∫∫

dxdydz = 81π

x + y + z ≤9
2

2

2

r
2
2
F
b) = (0, y, − z) với S là phần mặt paraboloit y = x + z với 0 ≤ y ≤ 1
2
2
và hình tròn x + z ≤ 1; y = 1 .

Giải.
I = ∫∫ ydzdx − zdxdy = ∫∫∫ (1 − 1)dxdydz = 0
S

với

V


{

}

V = y ≥ x 2 + z 2 ; x 2 + z 2 ≤ 1, y = 1

r
2
2
F
c) = (xy, yz,zx) với S là phần mặt paraboloit z = 4 − x − y nằm phía trên hình
vuông 0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ 1 và hướng lên trên.
Giải.
I = ∫∫ xydzdy + yzdzdx + zxdxdy = ∫∫ (yx cos α + yz cos β + xz cos γ )dS
S

I=

S

∫∫ ( -yxz′x − yzz′y + xz ) dxdy = ∫∫

x + y ≤4
2

=

∫∫

x + y ≤4


2

x 2 + y2 ≤ 4

2

2

( 2yx

2

)

+ 2y 2 z + xz dxdy

 2yx 2 + 2y 2 (4 − x 2 − y 2 ) + x(4 − x 2 − y 2 )  dxdy



Vì hàm trong tích phâm lẻ theo biến x;y và miền lấy tích phân đối xứng qua các trục
⇒I=
tương ứng

∫∫

x 2 + y2 ≤ 4

2π


2

2y (4 − x − y )dxdy = 2 ∫ sin ϕdϕ∫ (4 − r 2 )r 3dr
2

2

2

0

2

0

64  32π

= 2π  16 − ÷ =
6 
3

15

15


với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ và (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 2)
r
2

2
2
d) F = (xy, −2y,3x) với S là phần mặt x + y + z = 4
Giải.
I = ∫∫ xydzdy − 2ydzdx + 3xdxdy =
S

=

2π

π

0

0

∫ sin ϕdϕ∫ sin

2

2

θdθ ∫ r 3dr −
0

∫∫∫

(y − 2)dxdydz


x + y +z ≤4
2

2

2

64π
64π
=−
3
3

Với
x = r cos ϕ sin θ; y = r sin ϕ sin θ;z = r cos θ (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ θ ≤ π;0 ≤ r ≤ 2) J = r 2 sin θ

r
v
18) Chất lỏng với mật độ 1200 chảy với vận tốc = (y,1,z) .Tìm tốc độ chảy qua
mặt

z=9−

(

)

1 2
x + y2
2

2
4
với x + y ≤ 36 .

Giải.
z=9−

(

)

1 2
x + y2
2
2
4
với x + y ≤ 36 chính là

Tốc độ chảy của chất lỏng qua mặt
r
r
F
=
1200v
= 1200(y,1,z) qua mặt đó
thông lượng của trường

I = 1200∫∫ ydydz + dxdz + zdxdy = 1200 ∫∫ (ycos α + cos β + z cos γ )dS
S


= 1200

S

∫∫

( − yz′x − z′y + z)dxdy = 300

x 2 + y 2 ≤ 36
2π

6

0

0

∫∫

(2yx + 2y + 36 − x 2 − y 2 )dxdy

x 2 + y 2 ≤ 36
6

= 300 ∫ dϕ∫ (r sin 2ϕ + 2r sin ϕ + 36 − r )rdr = 600π∫ (36r − r 3 )dr = 194400π
2

2

0


19) Nhiệt độ tại điểm (x,y,z) trong một chất với hệ số dẫn nhiệt K =6,5 là
16

16


U = 2y 2 + 2z 2 .
2
2
Tìm vận tốc truyền nhiệt vào bên trong qua mặt trụ y + z = 6 khi 0 ≤ x ≤ 4 .

Giải.
Dòng nhiệt tại (x, y,z) tạo thành trường vec tơ
r
uuuur
F = −6,5gradU(x, y,z) = −6,5(4x,0,4z)
Vậy vận tốc truyền nhiệt vào bên trong chính là thông lượng của trường
V = −6,5∫∫ 4xdydz + 4zdxdy
r
uuuur
F = −6,5gradU(x, y,z) = −6,5(0,4y,4z) qua mặt đó
S
với S
2
2
là mặt trụ y + z = 6 khi 0 ≤ x ≤ 4 và phân lấy phía trong mặt S.

Bổ sung vào S hai mặt


{

} theo hướng cùng với chiều dương của trục 0x và

{

} theo hướng cùng với chiều âm của trục 0x

S1 = x = 0; y 2 + z 2 ≤ 6

S2 = x = 4; y 2 + z 2 ≤ 6

V = −6,5∫∫ 4xdydz + 4zdxdy
S

= −6,5

∫∫

S ∪S1 ∪S2

= 6,5

∫∫∫

4ydxdz + 4zdxdy + 6,5∫∫ 4ydxdz + 4zdxdy + 6,5∫∫ 4ydxdz + 4zdxdy
S1

S2


8dxdydz

y2 + z 2 ≤ 6
0≤ x ≤ 4

= 6,5 × 192π = 1248π

17

17


20) Dùng Công thức Stoke để tính tích phân,trong đó L được định hướng ngược
I=Ñ
∫ Pdx + Qdy + Rdz

L
chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống.Tức là tính
với
r
F = (P,Q,R)
r
2
2
2
F
a) = (x + y , y + z ,z + x ) với L là tam giác ABC : A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) .

Giải.
2

2
2
I=Ñ
∫ (x + y )dx + (y + z )dy + (z + x )dz = −2 ∫∫ zdydz + xdzdx + ydxdy
SABC

L

Do vai trò x,y,z tương đương hoán vị vòng quanh ta có
I = −6

∫∫

0 ≤ x ≤1
0 ≤ y ≤1− x

1

1− x

0

0

ydxdy = −6 ∫ dx

∫

1


1

ydy = −3∫ (1 − x) 2 dx = (1 − x)3 = −1
0

0

r
2
2
F
b) = (2z,4x,5y) với L là giao của mặt trụ x + y = 4 và mặt phẳng z = x + 4 .
Giải.
I=Ñ
∫ 2zdx + 4xdy + 5ydz = ∫∫ 5dydz + 2dzdx + 4dxdy
L

=

∫∫

S

(5cos α + 2cos β + 4cos γ)dS =

x 2 + y2 ≤ 4

∫∫

(−5 + 4)dxdy = −4π


x 2 + y2 ≤ 4

r
2
2
2
2
2
F
c) = (x z, y x, z ) với L là giao của mặt trụ x + y = 9 và mặt phẳng

y + x + z = 1.
2
2
2
2
2
2
2
I=Ñ
∫ x zdx + y xdy + z dz = ∫∫ x dzdx + y dxdy = ∫∫ (x cos β + y cos γ)dS
L

18

S

S


18


=

∫∫

2

2

(x + y )dxdy =

x + y2 ≤9

2π

3

0

0

∫ dϕ∫ r dr =
3

81π
2

(với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ ;0 ≤ ϕ ≤ 2π ;0 ≤ r ≤ 3 )

r
2
2
2
F
d) = (y − z,z − x, x − y) với L là giao mặt x + y = a và mp
x z
+ = 1;a > 0,h > 0
a h
.
Giải.
I=Ñ
∫ (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz = −2 ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
L

S

= −2 ∫∫ (cos α + cos β + cos γ )dS = −2
S

∫∫

x 2 + y2 ≤ a 2

h

 + 1÷dxdy = −2πa(h + a)
a



r
2 3
2
2
F
e) = (x y ,1, −z) với L là giao của mặt trụ x + y = 1 và mặt phẳng z = 0 .
2 3
2 2
I=Ñ
∫ x y dx + dy − zdz = −3∫∫ x y dxdy
L

S

3
= −3 ∫∫ x y dxdy = −
4
x + y ≤1
2 2

2

2

2π

1

5
∫ sin 2ϕdϕ∫ r dr = −

0

2

0

π
8

(với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ ;0 ≤ ϕ ≤ 2π ;0 ≤ r ≤ 1 )
r
x
2 y
2 z
2
F
21) Tính công do trường lực = (x + z , y + x , z + y ) sinh ra khi một chất
điểm chuyển động dưới ảnh hưởng của nó dọc theo biên của phần mặt cầu
x 2 + y 2 + z 2 = 4 nằm ở góc phần tám thứ nhất, theo chiều ngược kim đồng hồ khi

nhìn từ bên trên.
Giải.

19

19


r
x

2 y
2 z
2
F
Đó chính là lưu số của trường = (x + z , y + x , z + y ) dọc theo biên của tam
2
2
2
giác cầu x + y + z = 4 đỉnh A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2) theo chiều ngược kim

đồng hồ khi nhìn từ bên trên. Áp dụng Stoke rồi sau đó tiến hành bổ sung vào mặt S
các mặt

{

}

{

} theo hướng chiều âm 0x

{

}

S1 = z = 0; x 2 + y 2 ≤ 4; x ≥ 0 ; y ≥ 0

theo hướng chiều âm 0z

S2 = x = 0;z 2 + y 2 ≤ 4;z ≥ 0 ; y ≥ 0

S3 = y = 0;z 2 + x 2 ≤ 4; x ≥ 0 ;z ≥ 0
W=

Ñ
∫ (x

x

theo hướng chiều âm 0y

+ z 2 )dx + (y y + x 2 )dy + (z z + y 2 )dz

ABC


= 2∫∫ ydydz + zdxdz + xdxdy = 2 
 S ∪S ∪∫∫S
S

1

= 2 ∫∫∫ 0dxdydz + 2
V

∫∫

=6

x 2 + y2 ≤ 4
x ≥ 0; y ≥ 0


∫∫

xdxdy + 2

x + y ≤4
x ≥ 0; y ≥ 0
2

∫∫

2

∪ S3

z + y ≤4
z ≥ 0; y ≥ 0

2

2

π
2

2

0

0


2

− ∫∫ − ∫∫ − ∫∫
S1

S2

ydydz + 2

S3

∫∫


÷
÷


zdzdx

z + x ≤4
x ≥ 0;y ≥ 0
2

2

xdxdy = 6 ∫ cos ϕdϕ∫ r 2 dr = 16

22) Dùng Định lý Divergence (Công thức Ostrogragski-Gauss) để tính tích phân

mặt
I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Pdxdy
S

r
F
, nghĩa là tính thông lượng của = (P,Q,R) qua mặt

S.
20

20


r
3 3 3
2
2
2
F
a) = (x , y ,z ) với S là mặt ngoài x + y + z = 1 .

Giải.

I = ∫∫ x 3dydz + y3dzdx + z3dxdy = 3
S

2π

π


1

0

0

0

= 3 ∫ dϕ∫ sin θdθ∫ r 4 dr =

∫∫∫

(x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz

x 2 + y 2 + z 2 ≤1

12π
5

Với
x = r cos ϕ sin θ; y = r sin ϕ sin θ;z = r cos θ (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ θ ≤ π;0 ≤ r ≤ 2) J = r 2 sin θ
r
x
x
2
F
b) = (e sin y,e cos y, yz ) với S là mặt ngoài hình hộp

x = 0, x = 1, y = 0, y = 1,z = 0,z = 2 .

Giải.
I = ∫∫ e x sin ydydz + e x cos ydzdx + yz 2dxdy = ∫∫∫ (e x sin y − e x sin y + 2yz)dxdydz
S

V

1

1

2

0

0

0

= 2 ∫ dx ∫ ydy ∫ zdz = 2
r
2 2 2
2
2
2
c) F = (x , y ,z ) với S là mặt ngoài x + y + z = 1 .

Giải.

I = ∫∫ x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy = 2
S


∫∫∫

(x + y + z)dxdydz = 0

x 2 + y2 + z 2 ≤1

Vì hàm trong tích phâm lẻ theo (x,y,z) và miền lấy tích phân đối xứng qua các trục
tương ứng.
r
2
2
2
2
2
d) F = (x, yz, z ) với S là mặt ngoài x + y + z = a (a > 0)
21

21


Giải.
I = ∫∫ xdydz + yzdzdx + z dxdy =
2

S

∫∫∫

x 2 + y2 + z2


4πa 3
(1 + 3z)dxdydz =
3
≤1

Do hàm trong tích phân lẻ theo biến z và miền lấy tích phân đối xứng qua mặt xOy
nên

∫∫∫

zdxdydz = 0

x + y + z ≤1
2

2

2

r
2
2
2
F
e) = (y − z,z − x, x − y) với S là mặt ngoài nón x + y = z (0 ≤ z ≤ h)
không kể 2 đáy.
Giải.
2
2

2
Bổ sung vào S mặt z = h ; x + y ≤ h hướng lên trên,sau đó áp dụng O - G

I = ∫∫ (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy = −
S

∫∫

(x − y)dxdy = 0

x 2 + y2 ≤ h 2

Do hàm trong tích phân lẻ theo biến x,y và miền lấy tích phân đối xứng nên
r
F
= (3xy 2 , xez ,z3 ) với S là mặt ngoài giới hạn bởi y 2 + z 2 = 1 , x = −1; x = 2 .
f)

I = ∫∫ 3xy 2 dydz + xez dzdx + z3dxdy =
S

2π

2

1

0

−1


0

= 3 ∫ dt ∫ dx ∫ r 3dr =

∫∫∫

y 2 + z 2 ≤1
−1≤ x ≤ 2

( 3y2 + 3z2 ) dxdydz

9π
2

Với y = r cos t;z = r sin t; x = x 0 ≤ t ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 1; − 1 ≤ x ≤ 2
r
F
= (x, y,z) với S là mặt ngoài trụ x 2 + y 2 = a 2 ( −a ≤ z ≤ a) không kể 2 đáy.
g)
Giải.
22

22


2
2
2
2

2
2
Bổ sung vào S : z = a ; x + y ≤ a hướng lên trên và mặt z = −a ; x + y ≤ a

hướng xuống dưới,sau đó áp dụng O - G
I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
S

∫∫∫

=3

dxdydz − 2a

x 2 + y2 ≤ a 2
−a ≤ z ≤ a

∫∫

dxdy = 6πa 3 − 2πa 3 = 4πa 3

x 2 + y2 ≤ a 2

r
2
2
2
F
h) = (x, y ,1) với S là mặt ngoài trụ x + y = −2ax (a > 0;0 ≤ z ≤ a) không kể 2


đáy.
Giải.
Bổ sung vào S :

{

} hướng lên trên và mặt

S1 = z = a ; x 2 + y 2 ≤ −2ax

{

}

S2 = z = 0; x 2 + y 2 ≤ −2ax

hướng xuống dưới,sau đó áp dụng O - G

I = ∫∫ xdydz + y 2 dzdx + dxdy
S

∫∫∫

=

x 2 + y 2 ≤−2ax
0≤z ≤a

(1 + 2y)dxdydz − ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy
S1


S2

=

2π

a

a

0

0

o

∫ dϕ∫ rdr ∫ (1 + 2r sin ϕ)dz = πa

3

23) Tính

I = ∫∫ x 3 y 2 + z 2 dydz
S

2
2
2
với S là mặt ngoài giới hạn bởi z + y ≤ x (0 ≤ x ≤ 1) .


Giải.
2
2
Bổ sung vào mặt y + z ≤ 1; x = 1 theo hướng về chiều dương 0x

I = ∫∫ x
S

23

3

y + z dydz = 3∫∫∫ x
2

2

V

2

2π

1

x

0


0

0

y + z dxdydz = 3 ∫ dt ∫ dx ∫ r 4 dr =
2

2

π
5
23


y = r cos t;z = r sin t; x = x 0 ≤ t ≤ 2π 0 ≤ r ≤ x 0 ≤ x ≤ 1
24) Tìm trường véc tơ gradient của các hàm số:
a) f (x, y) = ln(x + 2y)
Giải.
uuuur
 1
2 
gradf (x, y) = 
,
÷
 x + 2y x + 2y 
2
b) f (x, y) = x y − 3x

Giải.
uuuur

gradf (x, y) = (2xy − 3, x 2 )

uuuur
x
y
z
gradf (x, y,z) = 
,
,
 x 2 + y2 + z 2 x 2 + y2 + z 2 x 2 + y2 + z 2

c)
uur
25) Tìm curl hay rot và div của trường véc tơ:
r
uurr
r
a) F = (xy, yz,zx) rotF = (− y, − z, − x) ; divF = x + y + z
r
x
x
F
b) = (e sin y,e cosy, z)
r
uurr
divF = 1 ; rotF = (0,0,0)


÷
÷



r
3 2
3
4
2 2
3
F
26) Chứng tỏ rằng trường = (4x y − 2xy , 2x y − 3x y + 4y ) là trường thế

và dùng điều này để tính tích phân

∫ (4x

3 2

y − 2xy3 )dx + (2x 4 y − 3x 2 y 2 + 4y 3 )dy

L

dọc theo đường L : x = t + sin πt; y = 2t + cos πt (0 ≤ t ≤ 1) .
Giải.
r
uurr r
F = (4x 3 y 2 − 2xy3 ,2x 4 y − 3x 2 y 2 + 4y3 ) là trường thế khi và chỉ khi rotF = 0
24

24



(

⇔ 2x 4 y − 3x 2 y 2 + 4y3

) ′x = ( 4x3 y2 − 2xy3 ) ′y ⇔ 8x3 y − 6xy2 = 8x3 y − 6xy2

Nên tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân,do vậy ta sẽ lấy tích phân trên
AB với A(0,1) và B(1,1)
I = ∫ (4x 3 y 2 − 2xy3 )dx + (2x 4 y − 3x 2 y 2 + 4y3 )dy
L

∫ (4x

=

3 2

y − 2xy3 )dx + (2x 4 y − 3x 2 y 2 + 4y3 )dy

AB
1

= ∫ (4x 3 − 2x)dx = 0
0

27) Xét xem trường véc tơ có là trường thế hay không. Nếu đúng, hãy tìm hàm
thế f ứng với các trường véc tơ
r
r

r
2
F
=
(2x
cos
y
−
ycos
x)i
+
(
−
x
sin
y
−
sin
x)
j
a)
Giải.
r
r
r
uurr r
F = (2x cos y − ycos x)i + ( −x 2 sin y − sin x) j là trường thế khi và chỉ khi rotF = 0

⇔ (2x cos y − ycos x)′y = (− x 2 sin y − sin x)′x luôn đúng ∀(x, y) ∈ ¡


2

Hàm thế vị được xác định (tích phân lấy theo đường gấp khúc)
f (x, y) =

∫ (2x cos y − ycos x)dx + (−x

2

sin y − sin x)dy

AB
x

y

0

0

= ∫ 2xdx + ∫ (− x 2 sin y − sin x)dy = x 2 cos y + cos y + C
Với A(0,0);B(x, y) và C = const
r
r
r
y
x
F
=
xe

i
+
ye
j
b)
25

25