DE THI HSG TOAN 9 HA NOI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (91.35 KB, 1 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
–––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 14/04/2016
Bài 1 (5 điểm)
3
3
3
3
1. Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn : a + b = 2 ( c − 8d ) .
Chứng minh ( a + b + c + d ) M3
2. Tìm các số nguyên tố x sao cho 2 x + x 2 là số nguyên tố.
Bài 2 (5 điểm)
1. Giải phương trình :
2 x 2 + 11x + 19 + 2 x 2 + 5 x + 7 = 3 ( x + 2 ) .
x + y + z = 3
1 1 1 1
2. Tìm tất cả các bộ ba số (x; y; z) thỏa mãn : + + =
x y z 3
x 2 + y 2 + z 2 = 17
Bài 3 (3 điểm)
3
3
3
3
; 0< y<
;0 < z <
và xy + yz + zx =
4
2
2
2
4x
4y
4z
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =
2
2
3 − 4x 3 − 4 y 3 − 4z2
2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a 2016
b 2016
c 2016
Chứng minh :
+
+
≥ a 2015 + b2015 + c 2015
b+c−a c+ a−b a +b−c
1. Cho ba số x, y, z thỏa mãn: 0 < x <
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (Q ≠ B, C ). Trên tia đối
của tia BA lấy điểm P sao cho CQ. AP = a 2 . Gọi M là giao điểm của AQ và CP.
1. Chứng minh bốn điểm A, B, M, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của của M trên AB, BC, CA.
a. Xác định vị trí của Q để độ dài IK lớn nhất.
b. Chứng minh : MI 2 + MJ 2 + MK 2 không đổi khi Q thay đổi trên cạnh BC.
Bài 5 (1 điểm)
Cho bảng ô vuông kích thước 10 x 10 gồm 100 ô vuông kích thước 1 x 1. Điền vào mỗi
ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô
vuông chung cạnh hoạc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng ô vuông đã
cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần.
