VÀNH EUCLIDE
Kiến thức:

I.

Định nghĩa. Ta gọi là vành Euclide một miền nguyên X cùng với ánh xạ

Từ tập các phần tử khác 0 của X đến tập các số tự nhiên thỏa mãn:

∀ a, b ∈ X* ,a b
(i)

∀ a, b ∈ X, b ≠ 0

(ii)

kéo theo

δ ( a ) ≤ δ (b)

tồn tại sao cho với hoặc nếuthì

Ánh xạđược gọi là ánh xạ Euclide.
*Ví dụ:
1. Vành số nguyênlà một vành Euclide với ánh xạ

2. Cho K là một trường. Khi đó K cùng với ánh xạ

Với c là một số tự nhiên cho trước, là vành Euclide
3. Vành đa thức một ẩn trên trường K là một vành Euclide với ánh xạ

Bây giờ ta cho một vài kết quả đơn giản của vành Euclide.
Bổ đề 4.1: Đối với hai phần tử khác không x,u của vành Euclide E,
nếu u khả nghịch và trong trường hợp ngược lại.
Chứng minh: Nếu u khả nghịch thì
Và vì vậy . Tính khả nghịch của u tương đương với Bởi vậy nếu u không khả
nghịch thì xu thì xu không là ước của x. Khi đó
Ngoài ra,
nên
1


Từ bổ đề trên dễ dàng suy ra hệ quả sau.
Hệ quả 4.2 Trong vành Euclide E phần tử u khả nghịch khi và chỉ khi , và nếu hai phần
tử a,b liên kết thì
Định lý sau cho ta mối quan hệ giữa lớp vành Euclide và lớp vành chính.
Định lý 4.3. Mọi vành Euclide đều là vành chính.
Chứng minh. Giả sử R là một vành Euclide với ánh xạ

Trước hết, vì R là một vành Euclide nên nó là một miền nguyên. Giả sử J là một ideal
của R. Nếu Nếu thì tồn tại phần tử Đặt

và là phần tử thuộc J* sao cho với mọi Ta sẽ chứng tỏ rằng Thật vậy, vì Bây giờ giả sử
Do và do R là một vành Euclide nên tồn tại sao cho

Trong đó Do⟹ . Nếu thì theo định nghĩa của ta có trái với giả thiết về Vậy , do đó
Điều này chứng tỏ và bởi vậy R là vành chính.
Do vành Euclide là vành chính nên ước chung lớn nhất của hai phần tử khác không
luôn tồn tại. Hơn nữa, ước chung lớn nhất đó có thể tìm được nhờ một thuật toán tương tự
như thuật toán đã trình bày cho vành các số nguyên Z. Trước hết ta có bổ đề sau.
Nhận xét: Vì mọi vành Euclide là vành chính, kết hợp thêm định lý 8.3.2 (trang 45, bài

giảng LÝ THUYẾT VÀNH, TRƯỜNG, thầy Nguyễn Thanh Bình và thầy
Nguyễn Hoàng Xinh): Mọi vành chính đều là vành nhân tử hóa (vành Gauss).
Nên ta được định lý: Mọi vành Euclide là vành Gauss.
Bổ đề 4.4: Trong vành Euclide E

Chứng minh: Thật vậy, gọi I,J lần lượt là các ideal sinh bởi tập hợp Hiển nhiên a thuộc J
nên I ⊂ J . Mặt khác, từ suy ra c thuộc I, và do đó J ⊂ I . Vậy I = J . Theo chứng minh
mệnh đề trên thì I, J theo thứ tự sinh bởi các phần tử (a,b), (b,c) nên hai phần tử này liên
kết và bởi vậy ta có thể chọn ước chung lớn nhất (a,b) của a và b chính là (b,c).
Bây giờ chúng ta có thể trình bày thuật toán để tìm ước chung lớn nhất
của hai phần tử khác không a, b trong vành Euclide E như sau.
2


Nếu thì hiển nhiên
Nếu với thì theo bổ đề vừa chứng minh ta có

Tiếp tục quá trình này sau hữu hạn bước ta được

………………………………………

Quá trình này dừng sau hữu hạn bước do

là một dãy giảm thực sự những số tự nhiên. Bởi vậy theo bổ đề ta được:

nghĩa là ước chung lớn nhất của a, b bằng số dư cuối cùng rn trong thuật toán nói trên.
Thuật toán trên dãy được gọi là thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn nhất của hai
phần tử trong vành Euclide.

Bài tập:


II.

1. Chứng minh các vành sau là vành Euclide:

a)
b) Z;
c) .
2. Chứng minh rằng mỗi trường là một vành Euclide.
3. Giả sử A là một vành Euclide. Chứng minh rằng A là một trường khi và chỉ khi là

hằng với mọi .
Giải:
Giả sử A là một vành Euclide với ánh xạ Euclide:

Nếu A là một trường thì với mọi ta có . Vậy ; mặt khác nên với mọi

3


Bây giờ giả sử là một ánh xạ hằng. Đối với hai phần tử và ta có và thuộc
A sao cho

Và nếu . Do là ánh xạ hằng, nên , nghĩa là mọi đều có nghịch đảo.
4. Giả sử vành A với ánh xạ là một vành Euclide. Chứng minh tồn tại ánh xạ Euclide
Sao cho hoặc .

Giải:
Giả sử vành A với ánh xạ là một vành Euclide. Khi đó hoặc là một tập có
thể hữu hạn, hoặc vô hạn. Vì là tập sắp thứ tự tốt và là tập con khác rỗng

của nên có phần tử bé nhất và thừa hưởng thứ tự của .
Nếu hữu hạn gồm phần tử
với ;
Ta có thể lập một ánh xạ như sau: nếu .
Bây giờ xét trường hợp vô hạn. Do mọi bộ phận khác rỗng của đều có phần
tử bé nhất nên là dãy tăng các số tự nhiên sau đây:
Với và Khi đó ta lập ánh xạ bằng cách đặt nếu . Ta chứng minh là ánh xạ
Euclide. Giả sử, với Thế thì , chẳng hạn và với . Suy ra và do đó
Giả sử và . Khi đó : và nếu Giả sử và nếu có , với nên hay

5. Giả sử A là một vành Euclide với ánh xạ Euclide . Chứng minh là phần tử bé nhất

của khi và chỉ khi khả nghịch trong A.
Giải:
Vì 1 là ước của mọi phần tử trong nên với mọi do đó là phần tử bé nhất
trong . Bây giờ nếu thì , suy ra , và là phần tử bé nhất trong .
Đảo lại, giả sử sao cho với mọi . Vì là vành Euclide nên cho 1 và ta có và
thuộc sao cho ; nếu thì . Nhưng điều này không xảy ra được, vậy và do đó
là ước của .
6. Giả sử A là một miền nguyên nhưng không là trường. Chứng minh rằng điều kiện

cần để A là vành Euclide là tồn tại một phần tử không khả nghịch sao cho mọi lớp
của có một đại diện hoặc khả nghịch hoặc bằng 0.
Giải:
4


Giả sử là vành Euclide. Ta có thể lấy ánh xạ Euclide của sao cho là dãy
hữu hạn hay vô hạn. Theo giả thiết của bài toán, không phải là một trường,
nên dãy có ít nhất hai phần tử. Lấy sao cho , suy ra không khả nghịch. Giả

sử là một phần tử tùy ý của . Lấy chia cho ta được

Nghĩa là nếu , hay khả nghịch nếu . Vậy mọi phần tử của có dạng , hoặc
với khả nghịch.
Nói cách khác mọi lớp của có một đại diện hoặc bằng 0 hoặc khả nghịch.

7. Chứng minh vành

Không phải là một vành Euclide. (Người ta có thể chứng minh A là vành chính).

Giải:
Trước hết ta có hai nhận xét sau:
a)
Nếu với và thuộc là một phần tử tùy ý thuộc thì chuẩn của , là một số tự
nhiên. Thật vậy
Mặt khác, nếu có phần ảo khác thì theo các đẳng thức trên .
b)

Các phần tử khả nghịch của là . Thật vậy, giả sử sao cho có để . Thế thì
Theo nhận xét a)
Từ đó
Suy ra và hay
Bây giờ ta chứng minh bài toán bằng phản chứng. Để cho gọn ta đặt , và đặt
Giả sử là một vành Euclide. Ta phải có sao cho mọi của vành có dạng hay
(theo nhận xét b)).
Trước hết không thể không có phần tử ảo, vì nếu không có phần ảo, sẽ có
dạng , và mỗi của vành sẽ có dạng
Như vậy không chạy khắp (vì không khả nghịch nên ).

5



Vậy phải có phần ảo, và do đó theo nhận xét a) thì . Bây giờ ta hãy lấy thế
thì hay .
- Nếu thì , mâu thuẩn với .
- Nếu thì . ( không xảy ra vì không khả nghịch). Như vậy, . Nhưng nên
và . Theo nhận xét a) thì , vậy , mâu thuẩn với có phần ảo.

(Bài tập đề nghị)
8. Giả sử

Tìm ước chung lớn nhất của và trong .
9. Cho A là ideal của vành Euclide X. Chứng minh rằng vành thương là vành Euclide

khi và chỉ khi A là ideal nguyên tố X.
10. a) Chứng minh rằng trường là một vành Euclide.

b)Giả sử A là vành Euclide. Chứng minh rằng A là trường khi và chỉ khi ánh xạ
là ánh xạ hằng (tức là với mọi
11. Giả sử miền nguyên A cùng với ánh xạ là vành Euclide. Chứng minh rằng tồn tại
ánh xạ Euclide sao cho g với n là số tự nhiên nào đó hoặc g
12. Cho X là vành Euclide với ánh xạ Euclide f. Chứng minh rằng:
a) với mọi
b) khi và chỉ khi a khả nghịch trong X.



6