Chương 1

Các kiến thức cơ bản
1.1

Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ

1. Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm có khoảng cách
không đổi tới một điểm cố định, gọi là tâm của hình cầu. Đoạn thẳng nối điểm
bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính. Đoạn thẳng đi qua tâm nối 2
điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đường kính.
2. Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn.

B
C
D

A
O

Giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng nào đó, O là tâm hình cầu.
Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộc giao tuyến và nối OD, CD. Vì OC
vuông góc với mặt phẳng nên góc OCD là góc vuông; do đó CD =

√

OD2 − OC 2 .

Do O và C cố định nên OC là hằng số; OD cũng là hằng số vì bằng bán kính hình
cầu vậy nên CD cũng là hằng số. Như vậy mọi điểm trên giao tuyến đều cách C
một khoảng không đổi, tức C là tâm của đường tròn giao tuyến.

2

Các kiến thức cơ bản
3. Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếu mặt phẳng
đó đi qua tâm hình cầu, gọi là đường tròn nhỏ nếu mặt phẳng không đi qua tâm
hình cầu. Như vậy bán kính đường tròn lớn bằng với bán kính hình cầu.
4. Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng
chứa đường tròn; hai điểm đầu của đường kính gọi là các cực của đường tròn.
Khoảng cách từ các cực của đường tròn lớn đến mặt phẳng chứa đường tròn là
bằng nhau. Các cực của đường tròn nhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặt phẳng
chứa đường tròn; chúng được gọi tương ứng là cực gần và xa.
P

T

S
F

R

D

C
E
O


B
A

B

X
Y
Q

Trên hình vẽ, EAB là một đường tròn lớn, vì mặt phẳng chứa nó đi qua tâm O
của hình cầu. Giả sử QOP là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng
(EAB ). Lấy điểm R tùy ý trên OP , vẽ mặt phẳng qua R và song song với (EAB )
giao với hình cầu theo đường tròn nhỏ F CD. Các điểm P , Q là các cực của đường
tròn lớn EAB và đường tròn nhỏ F CD.
Giả sử P CAQ là đường tròn lớn đi qua các cực P , Q và cắt F CD, EAB lần lượt
tại C và A; P DB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua P , Q. Khi đó ta nói
tại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau: Vẽ tiếp tuyến P S , P T tương
ứng với các cung P A, P B ; hiển nhiên P T song song với OB , P S song song với OA.
Góc SP T gọi là góc cầu tại P tạo bởi 2 cung đường tròn lớn P A, P B và nó bằng
với góc AOB .
5. Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến cực của nó luôn bằng nhau Giả sử




1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ

3

O là tâm của hình cầu, AB là đường tròn bất kì, C là tâm, P và P là các cực của

√
đường tròn. Lấy D thuộc đường tròn; nối CD, OD, P D. Khi đó P D = P C 2 + CD2 ;
P C và CD không đổi do đó P D cũng không đổi. Giả sử có đường tròn lớn qua P

và D thì dây cung P D không đổi, tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P và
D là hằng số khi D chạy trên đường tròn AB .

P
B
C
D

A
O

P

6. Cung của đường tròn lớn tính từ cực tới bất kì điểm nào trên đường tròn bằng 900

P

B
C

O
A

Giả sử P là cực của đường tròn lớn ABC thì cung P A có số đo bằng 900 .
Thật vậy: dễ thấy P O vuông góc với (ABC ) vì P là cực của (ABC ), do đó góc
P OA bằng 900 , nghĩa là sđ P A bằng 900 .


7. Góc trương ở tâm hình cầu của một cung đường tròn lớn nối các cực của 2 đường
tròn lớn bằng góc giữa 2 mặt phẳng chứa các đường tròn đó.




4

Các kiến thức cơ bản
A

B

O

M
D

C

N

E

Giả sử O là tâm của hình cầu, CD, CE là các đường tròn lớn giao nhau tại C , A
và B lần lượt là các cực của CD, CE .
Vẽ đường tròn lớn qua A và B , cắt CD, CE tại M và N . Khi đó AO vuông góc
với OC , BO vuông góc với OC nên OC vuông góc với mặt phẳng (AOB ), do đó
OC vuông góc với OM , ON . Như vậy M ON là góc giữa 2 mặt phẳng (OCD) và


(OCE ). Hơn nữa:
AOB = AOM − BOM = BON − BOM = M ON

8. Hai đường tròn lớn chia đôi nhau Vì mặt phẳng chứa các đường tròn lớn đi qua
tâm của hình cầu, tức là đường nối các giao điểm chính là đường kính của hình
cầu và mỗi đường tròn lớn chỉ có duy nhất một đường kính, do đó các đường tròn
đó được chia thành 2 phần bằng nhau bởi các giao điểm.
9. Các đường tròn lớn đi qua các cực của một đường tròn lớn cho trước được gọi là
các đường tròn phái sinh (secondaries circle). Trong hình vẽ C là cực của ABM N ,
do đó CM và CN là các phần của các đường tròn phái sinh; góc giữa CM và CN
bằng số đo cung M N ; như vậy, góc giữa 2 đường tròn lớn bằng số đo cung chúng
chắn trên đường tròn lớn mà chúng là các đường tròn phái sinh.
10. Cung tròn trên mặt cầu
Hai điểm A, B bất kì trên đường tròn sẽ chia đường tròn thành 2 cung. Cung có
số đo nhỏ hơn gọi là cung tròn nhỏ, cung có số đo lớn hơn gọi là cung tròn lớn.
Sau đây ta chỉ xét cung tròn nhỏ.




1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ

5

O
α

B


A

Cung tròn nhỏ của đường tròn nhỏ trên mặt cầu được gọi là cung đường tròn nhỏ
(đôi khi gọi là cung cầu nhỏ). Độ dài của cung cầu nhỏ AB kí hiệu là l

AB

. Cung

tròn nhỏ trên mặt cầu được gọi là cung đường tròn lớn (đôi khi gọi là cung cầu
lớn). Độ dài của cung cầu lớn AB kí hiệu là L

AB

.

11. Qua tâm và 2 điểm A, B tùy ý trên mặt cầu chỉ vẽ được duy nhất một mặt phẳng
(trừ trường hợp 2 điểm đó là các điểm đầu, và điểm cuối của đường kính), do vậy
chỉ có duy nhất một cung cầu lớn qua 2 điểm A, B . Ngược lại, có vô số cung cầu
nhỏ qua 2 điểm trên mặt cầu.
Định lý 1. Đường đi ngắn nhất giữa 2 điểm trên mặt cầu là theo cung cầu lớn.
Chứng minh

Giả sử σ : [a, b] −→ S là đường cong cho dưới dạng tham số

trên mặt cầu S với σ (a) = A, σ (b) = B . Trong tọa độ Đề Các σ viết dưới dạng
σ (t) = x(t), y (t), z (t) . Khi đó độ dài của σ được tính bởi công thức:
b

(x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt(∗)


l(σ ) =
a

Trong hệ tọa độ cầu ta có: x(t) = R sin θ cos ϕ; y (t) = R sin θ sin ϕ; z (t) = R cos θ ,
trong đó θ = θ(t), ϕ = ϕ(t).
Ta tính rồi thay các đạo hàm x (t), y (t), z (t) vào công thức (*) ta nhận được:
b

l(σ ) =

R
a

b

(θ )2 + sin2 θ(ϕ )2 dt ≥

ˆ =AB
Rθ dt = R(θ(b) − θ(a)) = R BOA

a

Dấu "=" xảy ra khi ϕ (t) = 0 hoặc sin2 θ(t) = 0 với mọi t, tức là đi theo cung cầu
lớn AB .
12. Số đo cung đường tròn nhỏ và số đo cung đường tròn lớn trương cùng một góc ở
tâm. Giả sử ab là cung đường tròn nhỏ, C là tâm đường tròn, P là cực, O là tâm
hình cầu. Qua P vẽ đường tròn lớn P aA và P bB , gặp đường tròn lớn cực là P tại





6

Các kiến thức cơ bản
2 điểm A, B ; nối Ca, Cb, OA, OB . Khi đó Ca, Cb, OA, OB đều vuông góc với OP ,
vì mặt phẳng aCb, AOB vuông góc với OP nên Ca song song với OA, Cb song song
với OB .

P

b

C
a
O

B

A

Như vậy góc aCb bằng góc AOB , suy ra
arcab
arcAB
arcab
Ca
Ca
=
⇒
=

=
= sin P Oa
radiusCa
radiusOA
arcAB
OA
Oa

1.2

Kinh độ và vĩ độ trên Trái Đất

• Trong nhiều bài toán thực tế Trái đất được xem như 1 quả cầu tuyệt đối với bán

kính khoảng 6400km, quay xung quanh 1 trục nối 2 cực từ trường trái đất N, S .
N gọi là cực bắc, S gọi là cực nam. Đường tròn lớn nằm trong mặt phẳng vuông

góc với NS gọi là xích đạo. Mặt phẳng chứa đường xích đạo gọi là mặt phẳng xích
đạo. Nó chia mặt cầu thành 2 bán cầu gọi là bán cầu bắc và bán cầu nam.

• Các mặt phẳng song song với mặt phẳng xích đạo cắt mặt cầu theo giao tuyến là

các đường tròn nhỏ, gọi là các vĩ tuyến. Các vĩ tuyến ở bán cầu bắc gọi là vĩ tuyến
bắc, ở bán cầu nam gọi là vĩ tuyến nam.




1.2 Kinh độ và vĩ độ trên Trái Đất


7
N

M

G

X

H
J
O

K

W

ϕ

Y

λ
L

E

S
• Qua 2 cực nam, bắc có vô số các đường tròn lớn. Hai cực này chia các đường tròn

lớn thành 2 nửa, mỗi nửa đường tròn lớn đó gọi là 1 kinh tuyến. Đặc biệt, kinh

tuyến đi qua đài thiên văn Greenwich được quy ước là kinh tuyến gốc; trên hình
(1.2) đó là N GKS .
• Giả sử kinh tuyến N HLS cắt xích đạo tại L. Số đo góc KOL được gọi là kinh độ

của kinh tuyến N HS . Nó bằng số đo cung KL nằm trên xích đạo và bằng số đo
góc cầu cực KN L. Kinh độ kí hiệu là λ và được đo từ O0 đến 1800 đông hoặc tây
so với kinh tuyến gốc (theo hướng mũi tên gần K ).
Trên hình (1.2), kinh độ của N XS khoảng 1000 E (east), kinh độ của N M S khoảng
600 W(west). Các điểm nằm trên cùng kinh tuyến thì có cùng kinh độ.
Qui ước: Trái đất quay từ tây sang đông (W−→E), tức là khi một người đứng
ở tâm trái đất, đầu hướng về phía bắc nhìn về xích đạo thì chiều quay ngược chiều
kim đồng hồ.
• Để xác định chính xác vị trí của 1 điểm trên mặt cầu, ta cần xác định vị trí của

điểm đó trên kinh tuyến qua nó. Điều này được thực hiện nhờ tham chiếu đến xích
đạo. Xét điểm J trên kinh tuyến N HS . Kinh tuyến qua J cắt xích đạo tại L và
số đo góc LOJ , hay cung tròn lớn LJ được gọi là vĩ độ của J , kí hiệu là ϕ. Nếu
J nằm giữa xích đạo và cực bắc N thì ta nói J có vĩ độ bắc (N), nếu J nằm giữa

xích đạo và cực nam S thì ta nói J có vĩ độ nam (S).




8

Các kiến thức cơ bản
• Mỗi điểm A trên mặt cầu Trái đất được xác định duy nhất thông qua kinh độ λM

và vĩ độ ϕM của nó.

• Ví dụ 1. Hãy xác định các điểm sau trên mặt cầu:
A(ϕA = 200 30 42 N ; λA = 140 41 26 W ), B (ϕB = 180 25 49 N ; λB = 720 41 26 E ),
C (ϕC = 480 21 37 S ; λC = 280 17 46 W ), D(ϕD = 600 20 41 S ; λD = 540 38 11 E ),
H (ϕH = 620 30 N ; λH = 1680 24 42 E ),G(ϕG = 800 19 25 S ; λG = 1570 54 36 W ).




Chương 2

Tam giác cầu
2.1

Khái quát về tam giác cầu

2.1.1

Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản

1. Cho 3 điểm A, B, C trên mặt cầu tâm O bán kính R. Ta gọi phần mặt cầu giới hạn
bởi 3 cung tròn lớn AB, BC, AC là tam giác cầu ABC , các điểm A, B, C được gọi
là đỉnh của tam giác cầu.
A
t
t
O

C

B

B

2. Nối OA, OB, OC kéo dài ta được tam diện Oxyz đỉnh O. Các góc ở đỉnh BOC =
số đo BC = a, AOC = số đo AC = b, BOA = số đo AB = c là các cạnh của tam giác
cầu, viết tắt là a =BC ,b =AC ,c =AB .
3. Giả sử At là tiếp tuyến của AB tại A, At là tiếp tuyến của AC tại A (các tiếp
tuyến hướng từ A về B , C ); khi đó tAt là góc tại đỉnh A của tam giác cầu. Đó
chính là góc nhị diện cạnh OA tạo bởi 2 mặt phẳng (OAC ) và (OBC ). Tương tự
ta cũng xác định được 2 góc còn lại tại B và C .




10

Tam giác cầu
Vậy tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là: 3 cạnh a, b, c và 3 góc A, B, C đối diện lần
lượt với các cạnh.
4. Quy ước: Số đo của các cạnh trong tam giác cầu luôn nhỏ hơn 1800 hay π .
A

F

C
B
D

E

Trong hình vẽ cung ADEB lớn hơn nửa vòng tròn, và có thể xem ADEB , AC và

BC là các cạnh của tam giác cầu với các góc là A, B , C . Tuy nhiên theo quy ước

trên ta không xét tam giác cầu loại này; ở đây tam giác với các góc A, B , C được
hiểu là tam giác với 3 cạnh AF B , BC và CA.
5. Với quy ước trên dễ dàng dẫn đến kết quả sau: trong tam giác cầu số đo của góc
bất kì luôn nhỏ hơn 1800 .
6. Trung tuyến của tam giác cầu là cung tròn lớn nối đỉnh tam giác cầu với trung
điểm cạnh đối điện với đỉnh ấy.
7. Đường vuông góc (hay đường cao) của tam giác cầu kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối
diện là 1 cung tròn lớn nối đỉnh ấy với 1 điểm H trên cạnh đối diện sao cho góc
cầu cực tại H tạo bởi cung tròn lớn ấy và cạnh đối diện là 90◦ . Trong tam giác cầu
có thể có 2 hay 3 góc vuông và có thể có vô số đường cao kẻ từ một đỉnh.
1
π
π
mặt cầu có 3 góc A = B = C = và 3 cạnh a = b = c = . Có vô
8
2
2
số đường cao kẻ từ các đỉnh.
• Ví dụ 2.

2.1.2

Tính chất của tam giác cầu

1. Với mỗi tam giác cầu ABC có một góc tam diện đỉnh là tâm cầu O cạnh OA, OB, OC .





2.1 Khái quát về tam giác cầu

11

2. Tổng 2 cạnh bất kì bao giờ cũng lớn cạnh còn lại, tức là: a + b > c, a + c > b, b + c > a
3. Tổng của 3 cạnh tam giác cầu luôn nhỏ hơn chu vi của đường tròn lớn
Thật vậy, tổng 3 góc tại đỉnh O của tam diện OABC luôn nhỏ hơn 3600 , do đó:
AB
BC
CA
+
+
< 2π ⇒ AB + BC + CA < 2π × OA
OA
OA OA

4. Tính chất các góc của tam giác cầu: π < A + B + C < 3π , A + B − C < π ,
A + C − B < π ,B + C − A < π .

5. Tổng 3 góc của tam giác cầu lớn hơn 1800 và nhỏ hơn 5400 .
Giả sử A, B , C là các góc của tam giác cầu; a , b , c là các cạnh của tam giác cầu
cực. Theo trên ta có: a + b + c < 2π ⇔ π − A + π − B + π − C < 2π ⇔ A + B + C > π .
Vì mỗi góc A, B , C đều nhỏ hơn π nên A + B + C < 3π .
6. Đại lượng = A + B + C − π là thặng dư cầu. Khi đó với tam giác cầu ABC trên
mặt cầu bán kính R thì diện tích tam giác cầu SABC cầu = R2 ( đo bằng radian).
7. Trong tam giác cầu đối điện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại, tức là:
a > b ⇔ A > B.

2.1.3


Tam giác cầu cực

1. Tam giác cầu cực. Cho ABC là một tam giác cầu, A là cực của BC cùng phía với
A, B là cực của CA cùng phía với B , C là cực của AB và nằm cùng phía với C .

Khi đó A B C được gọi là tam giác cầu cực của ABC .
Chú ý Vì mỗi cạnh của tam giác cầu đều có 2 cực, do đó sẽ có 8 tam giác
cầu được tạo nên bởi các đỉnh là các cực đó. Tuy nhiên chỉ có tam giác A B C tạo
bởi quy tắc trên được gọi là tam giác cầu cực. Tam giác ABC gọi là tam giác gốc
tương ứng với tam giác A B C .
2. Nếu A B C là tam giác cầu cực của ABC thì ABC là tam giác cầu cực của A B C .
A

A

E
B

C

D
B
C



12

Tam giác cầu

3. Các cạnh và các góc của tam giác cầu cực lần lượt là phần bù của các góc và các
cạnh của tam giác gốc.
Giả sử B C cắt AB , AC lần lượt tại D và E . Do A là cực của B C nên số đo
góc tại A bằng số đo DE . Hơn nữa B E , C D đều có số đo bằng 900 , do đó số đo
DE + B C bằng 1800 , tức là góc trương B C tại tâm cầu và góc A là bù nhau. Có

thể chỉ ra C A là phần bù của B , A B là phần bù của C theo cách tương tự.
Do ABC là tam giác cầu cực của A B C nên cũng dễ dàng suy ra BC , CA, AB là
phần bù của A , B , C .
Nếu kí hiệu A, B, C , a, b, c lần lượt là các góc và các cạnh của tam giác cầu ABC
còn A , B , C , a , b , c là các góc và các cạnh của tam giác cầu cực thì ta có:
A = π−a,

B = π−b,

C = π−c,

a = π−A,

b = π−B,

c = π−C.

4. Tam giác cầu cân có các góc ở đáy bằng nhau
Giả sử tam giác ABC có AC = BC , O là tâm hình cầu. Kẻ tiếp tuyến tại A và
B tương ứng với cung AC và cung BC ; chúng cùng cắt OC tại điểm S , dễ thấy
AS = BS .
S

C


B

T
A
O

Kẻ tiếp tuyến AT , BT tại A và B với cung AB ; khi đó AT = T B ; nối T với S . Xét
tam giác SAT , SBT có SA, AT , T S lần lượt bằng SB , BT , T S ; do đó hai tam giác
bằng nhau, từ đó suy ra các góc ở đáy của tam giác cầu bằng nhau.
5. Nếu hai góc của một tam giác cầu bằng nhau thì hai cạnh đối diện bằng nhau
Vì tam giác gốc có hai góc bằng nhau nên tam giác cầu cực sẽ có hai cạnh bằng
nhau. Theo trên trong tam giác cầu cực 2 góc đối diện với cạnh đó sẽ bằng nhau.




2.2 Các định lý cơ bản

13

Vậy suy ra trong tam giác gốc hai cạnh đối diện với hai góc bằng nhau là bằng
nhau.
6. Trong tam giác cầu cạnh đối diện với góc lớn hơn là lớn hơn
Giả sử trong tam giác cầu ABC , góc ABC lớn hơn góc góc BAC : khi đó cạnh
AC lớn hơn cạnh BC . Từ B ta kẻ BD sao cho góc ABD bằng góc BAD, tức là
BD = AD, và BD + DC > BC ; do đó AD + DC > BC ⇒ AC > BC .
B

C


A
D

7. Trong tam giác cầu góc đối diện với cạnh lớn hơn là lớn hơn.
Dễ dàng chứng minh nhờ tam giác cầu cực và theo kết quả trên.

2.2
2.2.1

Các định lý cơ bản
Định lý hàm số sin

Trong tam giác cầu ABC thì
sin a
sin b
sin c
=
=
sin A sin B
sin C
A

O

C

C

B


Chứng minh

H
B

Xét tam giác cầu

ABC trên mặt cầu tâm O bán kính OA = R. Hạ

AH ⊥ OBC và AB ⊥ OB . Khi đó HB ⊥ OB , hay ∠AB H = B . Tương tự kẻ AC ⊥ OC

tại C ta sẽ có ∠AC H = C . Trong tam giác vuông AB O có AB = R sin c,

AHB có

AH = AB sin B = R sin c sin B . Trong tam giác vuông AC O có AC = R sin b,

AHC có




14

Tam giác cầu

AH = AC sin C = R sin b sin C . Từ đó ta có R sin c sin B = R sin b sin C . Với 0 < B, C < π

nên suy ra

sin b
sin c
=
sin B
sin C
Hoàn toàn tương tự ta có kết quả:
sin a
sin b
sin c
=
=
sin A sin B
sin C

2.2.2

Định lý cosin thứ nhất

Trong tam giác cầu ABC thì
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
A
M
E

O

C


N
B

Chứng minh
OA rồi trong

Xét tam giác cầu ABC trên mặt cầu tâm O. Lấy điểm M bất kỳ trên
AOC kẻ M N ⊥ OA, trong

AOB kẻ M E ⊥ OA. Khi đó ta có ∠N M E là

góc phẳng nhị diện cạnh OA hay ∠N M E = A.
Xét tam giác vuông M N O có M N = OM tan b, ON =
OM
.
cos c
ON E có: N E 2 = ON 2 + OE 2 − 2ON OE cos a, trong

OM
, trong
cos b

OM E ta có

M E = OM tan c, OE =

Xét

M E 2 − 2M N.M E cos A. Từ đó suy ra:




M N E có: N E 2 = M N 2 +


2.2 Các định lý cơ bản

15

ON 2 + OE 2 − 2ON.OE cos a
OM 2
OM 2
OM OM
+
−2
cos a
2
2
cos b cos c
cos b cos c
1
1
cos a
+
−
2
cos2 b cos2 c
coscos
b cos c
a

2
2
1 + tan b + 1 + tan c − 2
coscos
b cos c
a
1−
cos b cos c
cos b cos c − cos a

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

= M N 2 + M E 2 − 2M N.M E cos A
= OM 2 tan2 b + OM 2 tan2 c − 2OM 2 tan b tan c cos A
= tan2 b + tan2 c − 2 tan b tan c cos A
= tan2 b + tan2 c − 2 tan b tan c cos A
= − tan b tan c cos A
= − sin b sin c cos A

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

⇔

Hai công thức còn lại chứng minh tương tự.
• Ví dụ 3. Một tầu đi từ cảng A đến cảng B biết ϕA = 15◦ 20 30 N, λA = 72◦ 40 15 E, ϕB =


12◦ 15 50 S, λB = 112◦ 50 40 E với vận tốc 12 hải lý/giờ. Tính thời gian hành trình của
tàu.
N

A
W
θ
E

O
A

B

B
S

Giải
Xét tam giác cầu N AB : gọi kinh tuyến qua N A cắt xích đạo tại A , kinh tuyến qua
N B cắt xích đạo tại B , tâm trái đất là O.

Ta có: AOA = ϕA = 15◦ 20 30 ⇒N A= 90◦ −ϕA = 74◦ 39 30 , BOB = ϕB = 12◦ 15 50 ⇒N B =
90◦ + ϕB = 102◦ 15 50 , AN B = λB − λA = 40◦ 10 25 .
Theo định lý cosin thứ nhất: cos AB = cos N A cos N B + sin N A sin N B cos AN B =
0, 663849992. Do 0 ≤AB≤ 180◦ nên AB = 48◦ 24 21 . Trên trái đất ta quy ước 1 hải lý
ứng với 1’. Vậy khoảng cách hai cảng A và B là lAB = 2904, 35 hải lý, suy ra thời gian
hành trình tàu là t =

lAB
= 242h 1 45 .

v




16

Tam giác cầu

2.2.3

Hướng tàu

• Quy ước đường trục tàu là đường thẳng từ lái đến mũi tàu.
• Giả sử một tầu khởi hành từ A đến B . Gọi góc của tiếp tuyến với kinh tuyến tại
A hướng về cực bắc và tiếp tuyến cung tròn lớn AB tại A tính theo chiều thuận

kim đồng hồ là hướng chuyển động của tàu, kí hiệu là HTA , 0 ≤ HTA < 360◦ .
• Các trường hợp riêng

– nếu 0 ≤ HTA ≤ 90◦ : hướng đông bắc
– nếu 90◦ < HTA < 180◦ : hướng đông nam
– nếu 180◦ < HTA < 270◦ : hướng tây nam
– nếu 270◦ < HTA < 360◦ : hướng tây bắc
• Ví dụ 4. Một tầu đi từ cảng A đến cảng B với vận tốc 14 hải lý/giờ. Lượng tiêu

hao nhiên liệu là 300kg/h và tàu cần có lượng dầu dự trữ là 15%. Hỏi tàu cần mang
theo bao nhiêu nhiên liệu để đến được B và cần chuyển động từ A theo hướng nào ? biết
ϕA = 55◦ N, λA = 10◦ E, ϕB = 12◦ 30 N, λB = 8◦ 15 40 W .
N


A

B
B

O
W

θ

A
E

S

Giải
Từ hình vẽ ta thấy tàu đi theo hướng tây nam từ A đến B . Trong tam giác cầu N AB
có: N A= 90◦ − ϕA = 35◦ , N B = 90◦ − ϕB = 77◦ 30 , AN B = λA + λB = 18◦ 15 40 .




2.2 Các định lý cơ bản

17

Theo định lý hàm số cosin thứ nhất: cos AB = cos N A cos N B + sin N A sin N B
cos AN B = 0, 709075816 ⇒AB = 44◦ 50 25 , suy ra lAB = 2690, 414 hải lý, tức là t =
lAB

= 192h 10 20 . Khi đó lượng dầu tiêu hao sẽ là: M = m.t.1, 15 = 66299, 48786kg .
v

Theo định lý hàm số sin:

sin Aˆ

=

sin Nˆ

⇒ sin Aˆ = 0, 433847853 ⇒ A = 25◦ 42 43

sin N B
AB
(loại) hoặc A = 154◦ 17 17 (nhận). Vậy hướng tàu HTA = 105◦ 42 43 .

2.2.4

Định lý hàm số cosin thứ hai

Trong tam giác cầu ABC thì

cos A = sin B sin C cos a − cos B cos C
cos B = sin A sin C cos b − cos A cos C
cos C = sin A sin B cos c − cos A cos B

Chứng minh

Xét tam giác cầu cực đối A B C của


ABC . Theo định lý hàm cosin

thứ nhất ta có: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
⇒ cos(π − A) = cos(π − B ) cos(π − C ) + sin(π − B ) sin(π − C ) cos(π − a)
⇒ cos A = sin B sin C cos a − cos B cos C

Tương tự ta cũng chứng minh được hai công thức còn lại.

• Ví dụ 5. Một tầu chạy từ A theo hướng 220◦ 12 35 qua kinh tuyến gốc tại B . Biết
ϕA = 18◦ 47 20 N, λA = 22◦ 50 16 E . Hỏi nếu tầu chạy từ B về A thì hướng tầu là bao

nhiêu? Xác định vị trí B .




18

Tam giác cầu
N

A

W

O

B
θ


A

E

B

S

Giải
Xét tam giác cầu N AB ta có: AN B = Nˆ = λA = 22◦ 50 16 , N A= 90◦ −ϕA = 71◦ 12 40 , Aˆ =
360◦ − 220◦ 12 35 = 139◦ 47 25 . Theo định lý cosin thứ hai: cos B = sin A sin N cos N A
ˆ = 38◦ 19 24 . Vậy hướng tàu chạy từ B về A thì hướng
− cos A cos N = 0, 784522461 ⇒ B
tàu là: HTB = 38◦ 19 24 .
sin N B
sin N A
sin N A sin Aˆ
=
⇒ sin N B =
= 0, 985625645,
sin Aˆ
sin Bˆ
sin Bˆ
suy ra N B = 80◦ 16 25 (loại) hoặc N B = 99◦ 43 35 (nhận). Vậy ϕB = 9◦ 43 35 S, λB = 0◦ .
Theo định lý hàm số sin:

2.2.5

Định lý hàm số cotang


Trong một tam giác cầu ta xét 4 yếu tố liên tiếp gồm 2 cạnh, một góc xen giữa 2 cạnh
ấy và góc đối diện với cạnh thứ nhất trong hai cạnh, tức là viết theo thứ tự: cạnh, góc,
cạnh, góc đối diện cạnh thứ nhất, chẳng hạn:aBcA, cBaC , aCbA, . . ..
A
b
c
a

C

B




2.2 Các định lý cơ bản

19

Trong tam giác cầu ABC ứng với 4 yếu tố liên tiếp aBcA thì
cot a sin c − sin B cot A = cos c cos B.
Chứng minh

Trong tam giác cầu ABC ta có:
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B
sin b
sin a
sin a
=

⇒ sin b =
sin B.
sin B
sin A
sin A

Mặt khác cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A.
Từ đó suy ra cos a = cos c[cos a cos c + sin a sin c cos B ] +
⇔ cos a

sin a sin B
sin c cos A
sin A

= cos a cos2 c + sin a sin c cos c cos B + sin a sin c sin B cot A

⇔ cos a − cos a cos2 c = sin a sin c[cos c cos B + sin B cot A]
⇔ cos a(1 − cos2 c)

= sin a sin c[cos c cos B + sin B cot A]

⇔ cos a sin2 c

= sin a sin c[cos c cos B + sin B cot A]

Vì 0 < a, c < π nên sin a sin c = 0. Chia 2 vế cho sin a sin c ta được:
cot a sin c

= cos c cos B + sin B cot A


cos c cos B = cot a sin c − sin B cot A
Chứng minh tương tự ta cũng được các công thức với 4 yếu tố khác.
• Ví dụ 6. Một tầu chạy từ cảng A đến cảng B theo hướng HTA = 120◦ 40 25 , biết
ϕA = 5◦ 20 45 S, λA = 170◦ E, λB = 172◦ W . Nếu tầu chạy với vận tốc 13 hải lý/giờ thì

thời gian hành trình là bao lâu? Tính ϕB
N

E

θ

W

O
A

B

A
B
S



20

Tam giác cầu
Giải


Trong tam giác cầu SAB có SAB 180◦ − HTA = 59◦ 19 35 , SA= 90◦ − ϕA = 84◦ 39 15 , S =
360◦ − (λA + λB ) = 18◦ .
Với cặp 4 yếu tố liên tiếp sAbS theo định lý cotang: cot s sin b−sin A cot S = cos A cos b ⇒
sin A cot S + cos A cos b
cot s =
= 2, 706376903. Khi đó AB = s = 20◦ 16 45 .
sin b
Với 4 cặp yếu tố liên tiếp SB, S, b, A ta cũng có: cot SB sin b−sin S cot A = cos b cos S ⇒
sin S cot A + cos b cos S
cot SB =
= 0, 273083354 ⇒SB = 74◦ 43 33 , tức là lAB = 1216, 75
sin b
l
hải lý. Vậy t = AB = 93h 35 46 , ϕB = 90◦ − SB = 15◦ 16 27 .
v

2.3
2.3.1

Các công thức theo góc, cạnh chia đôi
Công thức góc chia đôi

Theo định lý cosin thứ nhất: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A, suy ra:
cos A

=

⇒ 1 − cos A =
A
⇒ 2 sin2

=

2

Đặt p =

a+b+c

2
Thay vào ta được

⇒

⇒

2 sin2

⇒

sin2

a+b−c

2

A

2

A


2

=
=

= p − c,
A

sin

2

=

Lại có
cos A

=

⇒ 1 + cos A =
A
⇒ 2 cos2
=

2

⇒

2 cos2


⇒

cos

A

2

A

2

=
=

cos a − cos b cos c
sin b sin c
sin b sin c + cos b cos c − cos a
sin b sin c
cos(b − c) − cos a
sin b sin c
b−c−a
b−c+a
−2 sin
sin
2
2
sin b sin c
a+b−c

a+c−b
sin
sin
2
2
sin b sin c
a+c−b

2

=p−b

sin(p − b) sin(p − c)
sin b sin c
cos a − cos b cos c
sin b sin c
sin b sin c − cos b cos c + cos a
sin b sin c
cos a − cos(b + c)
sin b sin c
a+b+c
a−b−c
−2 sin
sin
2
2
sin b sin c
sin p sin(p − a)
sin b sin c




2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi

21

Vậy ta có:
tan

A

2

sin(p − b) sin(p − c)
sin p sin(p − a)

=

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
tan

2.3.2

B

2

sin(p − a) sin(p − c)
;
sin p sin(p − b)


=

tan

C

2

sin(p − a) sin(p − b)
sin p sin(p − c)

=

Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi

Theo công thức tang ta có
tan

⇒ tan

⇔ tan

⇔ tan

⇔ tan

⇔ tan

⇔ tan


A+B

2

A+B

2

=

2

=

A+B

2
A+B

2
A+B

2

=

=

=


=

2

+ tan

1 − tan

A

B

tan

2

B

sin(p − b) sin(p − c)
sin p sin(p − a)

sin(p − b) sin(p − c)
+
sin p sin(p − a)
1−

A+B

=


A

2
sin(p − b) sin(p − c)
+
sin p sin(p − a)
1−

A+B

2

tan

sin(p − b) sin(p − c)
sin p sin(p − a)

2
sin(p − a) sin(p − c)
sin p sin(p − b)
sin(p − a) sin(p − c)
sin p sin(p − b)
sin(p − a) sin(p − c)
sin p sin(p − b)
sin(p − a) sin(p − c)
sin p sin(p − b)

sin(p − c)
sin p


sin(p − b)
sin(p − a)
+
sin(p − a)
sin(p − b)
sin(p − c)
1−
sin p
sin(p − c) sin(p − b) + sin(p − a)
sin p
sin(p − a) sin(p − b)
sin p − sin(p − c)
sin p
2p − a − b
a−b
cos
sin p sin(p − c) 2 sin
2
2
2p − c
c
sin(p − a) sin(p − b)
2 cos
sin
2
2
a−b
c
a−b

cos
C sin 2 cos 2
2 · cot C
cot ·
=
a+b
c
a+b
2
2
cos
sin
cos
2
2
2

Tương tự ta cũng có:
tan

A+C

2

=

cos
cos

a−c


2

a+c

· cot

B

2

;

tan

B+C

2

=

2


cos
cos

b−c

2


b+c

2

· cot

A

2


22

Tam giác cầu

2.4

Giải tam giác cầu

2.4.1

Khái quát chung

1. Bài toán: Tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là 3 cạnh a, b, c, 3 góc A, B, C . Tam
giác cầu hoàn toàn xác định khi biết 3 trong 6 yếu tố cơ bản ấy. Giải tam giác
cầu tức là xác định 6 yếu tố cơ bản của tam giác cầu khi biết các giả thiết về
tam giác cầu ấy. Khi giải tam giác cầu thường đưa về giải các phương trình lượng
giác có vô số nghiệm, do đó ta phải lựa chọn nghiệm thích hợp với điều kiện của
tam giác cầu, phù hợp với thực tế của bài toán đặt ra. Khi đó ta dựa vào các

điều kiện: 0 < a, b, c < π ;
a;

a < b + c;

3π ;

0 < A, B, C < π ;

c < a + b;

A + B − C < π;

b < a + c;

B + C − A < π;

|a − b| < c;

|a − c| < b;

0 < a + b + c < 2π ;

|b − c| <

π < A+B+C <

A + C − B < π.

2. Dạng cơ bản

• Giải tam giác cầu biết 3 cạnh (hay 3 góc).
• Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy.
• Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và 1 góc đối diện với một trong 2 cạnh ấy.

3. Phương pháp: Ta thường sử dụng 2 phương pháp để giải các bài toán trên
• Giải trực tiếp: dựa vào các yếu tố đã cho tính trực tiếp các yếu tố chưa biết

mà không cần thông qua các yếu tố trung gian.
• Giải gián tiếp: Đưa về giải tam giác cầu cực, tính các yếu tố qua các kết quả

trung gian (thường mắc sai số tích lũy).

2.4.2

Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh

Cho tam giác cầu ABC biết 3 cạnh a, b, c, cần tính 3 góc A, B, C .
Ta có thể tính trực tiếp từ định lý cosin thứ nhất
cos A =

cos a − cos b cos c
sin b sin c

hay tính gián tiếp có thể sử dụng logarit theo
tan

A

2


=

sin(p − b) sin(p − c)
sin p sin(p − a)



2.4 Giải tam giác cầu

23

Các góc khác cũng được tính tương tự.
Chú ý Với tam giác cầu biết 3 góc A, B, C ta đưa về giải tam giác cầu trực đối biết
a = π−A,b = π−B ,c = π−C được A , B , C , từ đó suy ra: a = π−A ,b = π−B ,c = π−C .
• Ví dụ 7. Giải tam giác cầu ABC biết: a = 75◦ 46

b = 60◦ 30 25

c = 82◦ 47 .

Giải
• Cách 1: Tính trực tiếp

cos a − cos b cos c cos 75◦ 46 − cos 60◦ 30 25 cos 82◦ 47
=
sin b sin c
sin 60◦ 30 25 sin 82◦ 47
= 0, 23110787 ⇒ A = 77◦ 41 43 .
cos b − cos a cos c
cos B =

= 0, 479845896 ⇒ B = 61◦ 19 29 .
sin b sin c
cos c − cos a cos b
cos C =
= 0, 05422473162 ⇒ B = 89◦ 41 22
sin a sin b
cos A =

• Cách 2: Tính gián tiếp qua logarit
p=

a+b+c

2
log tan

= 109◦ 31 43 , p − a = 33◦ 45 43 , p − b = 49◦ 1 18 , p − c = 26◦ 44 43 .

1
[log sin (p − b) + log sin (p − c) log sin p − log sin (p − a)]
2
2
= −0, 093992535

A

=

⇒ A = 77◦ 41 43 .


Hoàn toàn tương tự ta cũng được B, C .
• Ví dụ 8. Giải tam giác cầu ABC biết: A = 65◦ 23 ,

B = 72◦ 19 30 ,

C = 92◦ 47 18 .

Giải
• Cách 1: Tính gián tiếp theo tam giác cầu trực đối A B C của tam giác ABC
a = 114◦ 37 , b = 107◦ 40 30 , c = 87◦ 12 42

cos a − cos b cos c
= −0, 422182071 ⇒ A = 114◦ 58 20, 5
sin b sin c
⇒ a = 65◦ 01 39, 5 .

cos A =

• Cách 2: Tính trực tiếp theo định lý cosin thứ hai

cos a =

cos A + cos B cos C
= 0, 422181071 ⇒ a = 65◦ 1 39, 49 .
sin B sin C

Tương tự
cos b = 0, 31205052
cos c = 0, 089845346


⇒ b = 71◦ 49 2
⇒ c = 84◦ 50 43




24

Tam giác cầu

2.4.3

Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh
ấy

Cho tam giác cầu ABC với giả thiết biết a, b, C . Tính A, B, c?
Theo định lý cosin thứ nhất: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
Theo định lý hàm cotang ta có:
cot a sin b − sin C cot A = cos b cos C =⇒ cot A =

cot a sin b − cos b cos C
.
sin C

cot b sin a − cos a cos C
.
sin C
Để tính bằng logarit ta dựa trên công thức:

Hoàn toàn tương tự: cot B =


tan

tan

rút ra

A+B

2
A−B

2

=

a−b

2 cot C
a+b
2
cos
2
sin

a−b

2 cot C
a+b
2

sin
2


 A+B = α
 A−B = β

hay từ cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
Xét b =

=

cos

π

2

(0 < b < π )

ta có thể viết:
cos c
= cos a + sin a tan b cos C
cos b

cos c
cos c cos a cos α + sin a sin α
= cos a+sin a tan α hay
=
.

cos b
cos b
cos α
cos b
Sau khi tính α ta được: cos c =
cos(a − α).
cos α
Đặt tan b cos C = tan α ta có:

• Trường hợp nếu biết 1 cạnh và 2 góc kề với cạnh ấy

Giả sử biết a, B, C ta có thể tính trực tiếp hay gián tiếp qua tam giác cầu trực đối A B C .
Khi đó biết: A = π − a, b = π − B, c = π − C . Theo cách tính ở trên ta được: a , B , C ,
từ đó suy ra: A = π − a , b = π − B , c = π − C .
• Ví dụ 9. Giải tam giác cầu ABC biết a = 60◦ , b = 75◦ , C = 45◦

Giải




2.4 Giải tam giác cầu

25

cos c
= cos a +
cos b
sin a tan α với tan α = tan b cos C = 2, 638958 hay α = 69◦ 14 47 . Khi đó:
Theo định lý cosin thứ nhất: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ⇒

cos c cos(a − α)
=
⇒ cos c = 0, 7209 ⇒ c = 43◦ 52 12
cos b
cos α
Ta có: a + b = 135◦ , a − b = −15◦ suy ra

tan

tan

A+B

2
A−B

2

=

=

cos

a+b

2

= 67◦ 30 ,


a−b

2

a−b

2 cot C = 6, 2546 ⇒ A + B = 80◦ 54 59
a+b
2
2
cos
2
sin
sin

= −7◦ 30

a−b

2

a+b

cot

C

2

= −0, 34108 ⇒


A−B

2


 A + B = 161◦ 49 58
⇒
 A − B = −37◦ 40 1

= −18◦ 50

2

Giải hệ ta được: A = 62◦ 4 58 , B = 99◦ 44 59
• Ví dụ 10. Một tàu đi từ cảng A theo hướng HTA = 210◦ . Biết ϕA = 5◦ 24 35 N, λA =

12◦ 47 24 E . Hỏi tàu qua kinh tuyến gốc tại điểm nào?
Giải
N

A

W

O

B
θ


A

E

B

S

Xét tam giác cầu SAB , với B là giao của hành trình tàu với kinh tuyến gốc. Ta có:
λB = 0◦ , SAB = 30◦ , SA= 95◦ 24 35 , ASB = 12◦ 47 24 . Theo định lý cotg: cot SB

sin SA − sin ASB cot SAB = cos SA cos ASB
Khi đó: cot SB = 0, 29280458 ⇒SB = 73◦ 40 47 , tức là ϕB = 16◦ 19 13 S