hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (419.24 KB, 28 trang )
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
Chúc các em ôn tập và thi đạt kết quả tốt.
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
oo
1)
Chương 1 Ma trận - Định Thức - Hệ phương trình tuyến tính
1 3 3 1
Cho hai ma trận A 2 4 4 2
3 5 5 3
2 1 1 2
B 1 2 2 1
0 1 1 0
Hãy thực hiện các phép tính: A B; A B; 2 A B; At ; At B t ; At Bt
Đáp số:
3)
1 2 2 1
Cho hai ma trận A 2 3 4 2
1 4 3 2
Đáp số:
3
4
At Bt
4
3
1 2
2 3
B
2 4
1 2
AB; Bt At
Hãy thực hiện các phép tính:
4)
1 2 2 1
A B 1
2 2 1 ;
3 4 4 3
3 4 4 3
A B 3 6 6 3 ;
3 6 6 3
0 14
A.B 2 25 ;
3
22
0 2 3
Bt At ( AB)t
.
14 25 22
Hãy thực hiện các phép tính sau:
1.
1 2 3 1
1 1 2 1
2 1 1 2
Đáp số:
9
6 ;
5
3.
1
3 2 3 1
2
Đáp số:
11
5.
1 0 1
0 1 0
0 0 1
n
Giải
1 0 n
Dự đoán A 0 1 0 (1)
0 0 1
Với n = 1, công thức (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với n k , ta có:
n
3 3
6 6
.
6 6
3 3
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
A
k 1
1 0 k 1 0 1 1 0 k 1
A . A 0 1 0 0 1 0 0 1
0 , như vậy (1) đúng với n k 1
0 0 1 0 0 1 0 0
1
k
Theo phương pháp quy nạp toán học ta kết luận công thức (1) đúng với mọi n .
n
7.
1 1
0 1
9.
2 1
3 2
Đáp số:
n
Đáp số:
n
5)
6)
cos x sin x
10.
Đáp số:
sin x cos x
Hãy tính định thức của các ma trận sau:
1 1
n chẵn
;
0 1
2 1
n lẻ
3 2
cos nx sin nx
sin nx cos nx
1.
1 2 3
A 1 1 2
2 2 3
Đáp số:
A 1;
3.
1 3 6
C 1 1 2
8 5 4
Đáp số:
C 56
5.
1 a bc
E 1 b ca
1 c ab
Đáp số:
E a b a c c b
Hãy tính định thức của các ma trận sau:
1.
3.
5.
7)
1 n
0 1
2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
Hd:
4 3 2 1
3 4 1 2
2 3 4 1
1 2 3 4
1
1
1
1
1
1
cos c cos b
1 cos c
1
cos a
1 cos b cos a
1
2 1 1 1
1 2 1 1 c1 c2 c3 c4
1 1 2 1
1 1 1 2
5 1 1 1
5 2 1 1
5 1 2 1
5 1 1 2
5 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
5;
Đáp số: 80 (cộng 4 cột vào cột đầu, ...)
Đáp số: 2 cos a 1 cos b 1 cos c 1 ;
Tính định thức của các ma trận vuông cấp n :
2
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
1.
x
0
y
x
0 .. 0
y .. 0
..
..
.. .. ..
0
y
0
0
0 .. y
0 .. x
Hd: Khai triển định thức theo cột 1
x y 0 ... 0
y
0 x y ... 0
x
n
A x 0 0 x ... 0 (1) y 0
... ... ... ...
0 0 0 ... x
1
1
3.
2
0
3 .. n
3 .. n
C 1 2
0 .. n
Đáp số:
0
y
0
0
...
...
x
y ...
0
0
0 x n (1)n y n .
... ... ... ...
0 0 0 ... y
C n!
.. .. .. .. ..
1 2 3 .. 0
8)
Tính hạng của các ma trận sau:
1.
3.
1
2
A
3
4
2 1 2 1
3 2 3 2
4 3 4 3
5 4 5 4
1 1 0 .. 0
0 1 1 .. 0
C .. .. .. .. ..
Đáp số: r A 2 ; Hd: cột 3 - cột 1; cột 5 - cột 1; cột 4 - cột 2
Đáp số: Nếu n chẵn r C n , nếu n lẻ r C n 1
0 0 0 .. 1
1 0 0 .. 1
5.
9)
1
2
E
3
4
3 1 3 1
5 2 5 2
7 3 7 3
9 4 9 4
Đáp số:
r E 2 (Hd: tương tự câu 1.)
Tùy theo giá trị của tham số m tìm hạng của các ma trận sau:
1.
1 a 1 2
A 2 1 a 4
1 5 1 1
Đáp số: r A 3 a (Hd: Áp dụng biến đổi sơ cấp hoặc tính
3
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
3.
1
C a
2
a
1
b
b
2
1
c
c 2
Đáp số: nếu a b c thì r C 1 , nếu a b c hoặc
a c b hoặc b c a thì r C 2 , nếu b c a thì r C 3 .
10)
11)
Tìm ma trận nghịch đảo nếu có của các ma trận sau:
1.
cos a sina
A
sin a cos a
3.
1 2 3
C 3 4 3
2 2 1
5.
0
1
E
1
1
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Đáp số:
cos a sin a
A1
sin a cos a
Đáp số:
1 2 3
C 1,5 2,5 3
1 1 1
Đáp số:
2 1 1 1
1 1 2 1 1
E 1
3 1
1 2 1
1 1 2
1
Đáp số:
1 2 3 5 1 1
X
3 4 5 9 2 3
Đáp số:
1 2 3 2
3 2
X
.
5 6 5 4
5 4
1
Giải các phương trình sau:
1
1.
1 2
3 5
X
3 4
5 9
3.
3 2 1 2
X
5 4 5 6
5.
1 2 3
1 3 0
1 2 3
3 2 4 X 3 1 3 Đáp số: X 3 2 4
1 0
1 0
2
3 4 4
2
7.
2 3 1 9 7 6 2 0 2
4 5 2 X 1 1 2 18 12 9
5 7 3 1 1 1 23 15 11
1
1
1 3 0 1 17 1
3 1 3 5
38 2
3 4 4 4
32 1
1 1 1
Đáp số: X 1 2 3
2 3 1
(Hd: Nghiệm của pt AXB C là X A1CB 1 nếu A và B khả nghịch.)
9.
12)
0 1 1
3 5
1 0 1 X 2 1
1 1 0
1 4
Đáp số:
0 0
X 1 4 (Hd: AX B X A1B )
2 1
Hãy tìm hạng và ma trận nghịch đảo nếu có của các ma trận sau
1.
5 1
A
9 1
Đáp số:
A 4 0 r A 2; A1
1 1 1
.
4 9 5
3.
17 6
A
45 16
Đáp số:
3
8
A 2 0 r A 2; A1
22,5 8,5
4
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
13)
5.
1 1 0
A 0 1 1
1 0 1
Đáp số:
7.
1 1 0
A 0 1 1
1 0
1
Tương tự câu 5.
A 0;
1 1
1 0 r A 2
0 1
Giải các hệ phương trình sau
1.
2 x1 x2 3 x3 9
3 x1 5 x2 x3 4
4 x 7 x x 5
1
2
3
Hd:
Áp dụng biến đổi sơ cấp:
2 1 3 9
2 1 3 9
A 3 5 1 4 ... 0 1 1 5 r ( A) r ( A) . Hệ vô nghiệm
4 7 1 5
0 0 0 12
3.
2 x1 7 x2 3 x3 x4 6
3 x1 5 x2 2 x3 2 x4 4
9x 4 x x 7 x 2
1
2
3
4
Hd:
5.
2 7 3 1 6
Áp dụng biến đổi sơ cấp: A 0 11 5 110 r ( A) r ( A) 2 4
0 0 0 0 0
x1 9 4 8
Nghiệm của hệ là x4 11 5 10
x , x ; , R
2
3
3 x1 4 x2 x3 2 x4 3
6 x1 8 x2 2 x3 5 x4 7
9 x 12 x 3 x 10 x 13
1
2
3
4
Hd:
3 4 1 2 3
Áp dụng biến đổi sơ cấp: A 0 0 0 1 1 r ( A) r ( A) 2 4
0 0 0 0 0
Nghiệm của hệ là
x1 ; x2 ; x4 1
x3 1 3 4
, R
5
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
7.
14)
2 x1 3 x2 5 x3 7
3 x1 x2 3 x3 3
8 x 2 x 9 x 4
1
2
3
Đs:
146 339
42
;
;
217
217 217
x1; x2 ; x3
Giải và biện luận hệ các hệ phương trình sau
x1 x2 x3 1
ax1 bx2 cx3 d
2
2
2
2
a x1 b x2 c x3 d
1.
Giải
1
D a
1
b
1
c (b a )(c a )(c b)
a2
b2
c2
a, b, c đôi một khác nhau, hệ có nghiệm duy nhất.
x1
x2
x3
3.
D
Dx2
D
Dx3
a b c , ta có hệ
1
A a
a 2
Dx1
1
a
a2
D
(b d )(c d )
(b a )(c a )
(d a )(c d )
(b a )(c b)
(d a )(d b)
(c a )(c b)
x1 x2 x3 1
ax1 ax2 cx3 d
2
2
2
2
a x1 a x2 c x3 d
1 1 1 1
1
1
c d 0 0 c a
d a
.
2
2
c d 0 0
0 (d c)(d a )
Nếu d = c: hệ có vô số nghiệm: ( ; ; 1) ( tùy ý)
Nếu d = a : hệ có vô số nghiệm: ( ; 1 ; 0) ( tùy ý)
Nếu d a; d c : hệ vô nghiệm.
Tương tự với các trường hợp a c b và b c a .
ax1 x2 x3 1
x1 bx2 x3 1
x1 x2 cx3 1
Giải
a b c 1 , a 1; b c 1; b 1; a c 1; c 1; a c 1 : hệ có vô số nghiệm
(đơn giản)
6
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
0; 0; 1 ; tương tự khi
a 1; b 1; c 1 hệ có nghiệm
a 1; b 1; c 1 : Giải x1; x2 theo x3 từ hệ , rồi thay vào ta được:
x1
1 b c 1 ; x
A
2
1 c a 1 ; x
A
3
a 1; c 1; b 1; ...
1 b a 1
A
với đk: A a b c 3abc 2 0
5.
Khi a b c 3abc 2 0 : hệ vô nghiệm.
ax1 x2 x3 1
x1 ax2 x3 a
2
x1 x2 ax3 a
Giải
7.
a 1
x1 a 2
1
Với a 1; a 2 : hệ có nghiệm duy nhất: x2
.
a
2
(a 1)
x3 (a 1)(a 2)
Với a 1 : hệ có vô số nghiệm: ( x; y; 1 x y ) với x; y R .
Với a 2 : hệ vô nghiệm.
x1 x2 (a 1) x3 a 2 3a
3
2
x1 ( a 1) x2 x3 a 3a
4
3
( a 1) x1 x2 x3 a 3a
Giải
x1 a 3 2a 2 a 1
Với a 0; a 3 : hệ có nghiệm duy nhất: x2 2a 1
.
2
x3 2 a
Với a 0 : hệ có vô số nghiệm:
Với a 3 : hệ có vô số nghiệm:
x; y; x y với
x; x; x
x; y R .
với x R .
7
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
Hàm số - Đạo hàm - Vi phân
Chương 2
1)
2)
3)
Tìm miền xác định của các hàm số sau
1.
y 1 x
5.
y log 2
9.
y ln e x e x
x
1 x
Đs: D = (-∞; 1]
3.
y arcsin
Đs: D = [0; 1]
7.
y
2x
1 x2
x2 1
4 x2
Đs: D = R
Đs: D = (-2; 2)
Đs: D = (0; +∞)
Tìm tập giá trị của các hàm số sau
1.
y 3sin x 4cos x
Đs:
3
Ry [ 5; 5] (Hd: y 5sin a x với a arccos )
5
3.
y sin 6 x cos 6 x
Đs:
Ry [0; 1]
5.
y arctan
Đs:
Ry ;
4 4
7.
y ln 1 x 2
Đs:
Ry [0; )
9.
y 2 x
Đs:
Ry [0; 4 2]
2
2x
1 x2
x
1
Hd: x 2 x ;
4
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
1.
y x arcsin x
Đs: hàm chẵn (hình H1)
3.
y sin 2 x cos3 x
Đs: hàm không chẵn, lẻ (hình H2)
5.
y
x3
1 x4
Đs: hàm lẻ (hình H3)
H1
H2
H4
H3
H5
7.
y
e x e x
2
Đs: hàm lẻ
9.
y
e x e x
e x e x
Đs: hàm lẻ (hình H5)
(hình H4)
8
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />4)
6)
8)
Xác định chu kỳ tuần hoàn của các hàm số sau (nếu có)
2
3 1
Hd : y cos 4 x
4 4
1.
y sin 4 x cos 4 x
Đs:
chu kỳ
3.
y sin 2 x cos3 x
Đs:
chu kỳ 2
5.
ln 1 cos x
Đs:
chu kỳ 2
7.
y cos 2 x
Đs:
chu kỳ
9.
y sin 2 x cos 4 x
Đs:
chu kỳ
2
Tìm các giới hạn sau:
x2 1
x 1
1.
lim
3.
lim sin x 1 sin x
x0
x
Đs: 1 (Hd: đặt t x ; x 0 t 0 )
xx 1
x 0 x ln x
7.
lim
9.
x
lim
x
2
Đs: 0
sin x tan x
x0
x3
lim
5.
Đs:
1
2
Đs: 1 (Hd: đặt t x x ; x 0 t 1 )
1
x2
1
x x2
(Hd: Xét ln
)
2
Đs: 1
Tính đạo hàm của các hàm số sau
1 x
tại x 1 ;
1 x
Đs:
y ' 1
Đs:
y'
1
4
1.
y
3.
y ln
5.
y arcsin
7.
y xln x
9.
y ln
11.
y sin ln x cos ln x tại x 1 ;
Đs: y ' 1 1
13.
y x arcsin x
ln x
arcsin x
Đs: y ' x arcsin x
2
x
1 x
15.
y ln
1 sin x
1 cos x
1 x2
1 x2
1 sin x
1 sin x
x ln x 1
tại x 1 ;
x ln x 1
sin x cos x 1
1 sin x 1 cos x
Đs: khi x 0; y '
Đs:
y ' 2 x ln x 1 ln x
Đs:
y'
x
2
, y ' 0 2; y ' 0 2;
x 1 x 2
1
cos x
Đs: y '
2 ln x 1
x 2 ln 2 x 1
( y chỉ xác định khi x ln x 1 0 x 1,763 nên dĩ nhiên không tồn tại y ' 1 )
9
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
9)
10)
11)
12)
17.
y arcsin x arccos x
Đs: y ' 0 x
1.
Cho y
3.
Cho y ln
5.
Cho y x sin x , tính y 2010
(phải áp dụng ct Newton - Leibniz (không học))
7.
Cho y x ln x , tính y 2010
Đs:
x2
, tính y 8
1 x
x 1
, tính y 2010
x 1
8!
(1 x)9
Đs:
y
Đs:
y (2010)
8
y (2010)
2009!
2009!
2010
( x 1)
( x 1)2010
2008!
x 2009
Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1
1 x2
1 1
1 1
1
n!
1
n!
n
n
y n 1
1
n 1
n 1
2 x 1 2 x 1
2
2
x 1
x 1
1.
y
Hd: y
3.
y 2 x 2 x
Đs:
y 2 x ln n 2 1 2 x ln n 2
5.
y x 2 ln x
Đs:
y n 1
7.
y x3 ln x
Hd: tương tự câu 5.
9.
y x 2e x
Hd: áp dụng công thức Newton - Leibniz (ngoài giới hạn chương trình)
n
n
n3
2. n 3 !
1
x
n 2
n 3
Tính vi phân các hàm số sau:
2
1.
sin x
y
1 cos x
3.
y sin 3 2 x 1
5.
y x arctan x
7.
y 1 1 2x
9.
y ln x x 1 tại x 1
sinx
dx
(1 cos x) 2
Đs:
dy 2
Đs:
dy 6sin 2 2 x 1 cos 2 x 1 dx
3
dx
2 4
tại x 1
Đs: dy
tại x 0
Đs: dy 12dx
3
Đs: dy
1
dx ( y không khả vi tại x 0 )
2
Tính các tổng sau
2
3
n 1
1 n 1 x n nx n 1
Đs:
S
S 1 2 x 2.3 x 2 3.4 x 3 ... (n 1)nx n 1
Đs:
S 1 x.
S Cn1 x 2Cn2 x 2 ... kCnk x k ... nCn x n
Đs:
S nx x 1
1.
S 1 2 x 3 x 4 x ... nx
3.
5.
1 x
2
d 2 x 2 x n 1
dx 2 1 x
n 1
10
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />13)
14)
Áp dụng vi phân tính gần đúng:
Hd: Xét f x 3 x tại x0 1; x 0,02
1.
3
3.
arcsin 0,02
0,98
Hd: Xét f x arcsin x tại x0 0; x 0,02
Chứng minh:
1.
ab
ab
tan a tan b
2
cos b
cos 2b
(*) 0 b a
2
Hướng dẫn
3.
15)
Với a = b thì bất đẳng thức kép trở thành đẳng thức.
1
tan a tan b
1
Với b < a, (*)
2
cos b
ab
cos 2b
1
Xét hàm f x tan x có f ' x
. Áp dụng định lý Lagrange cho f trên
cos 2 x
tan a tan b
1
đoạn b; a thì tồn tại c b, a sao cho
f '(c )
ab
cos 2 c
1
1
1
. Từ đó suy ra đpcm.
c b, a nên b c a
2
2
cos b cos c cos 2 a
1
2005
1
ln
2005
2004 2004
Hướng dẫn Áp dụng định lý Lagrange cho f x ln x trên đoạn 2004; 2005
Chứng minh m thì phương trình x 3 3 x m 0 không thể có 2 nghiệm khác nhau trong (0,1).
Hướng dẫn
Giả sử tồn tại m để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1; x2 thỏa: 0 x1 x2 1 .
Xét f ( x) x3 3x m trên [x1 , x2 ] là hàm liên tục và khả vi trong ( x1 , x2 ) , vì
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 nên theo định lý Rolle, tồn tại c ( x1, x2 ) (0,1) sao cho:
f '(c) 3c 2 3 0 . Điều này là không thể. Mâu thuẫn này cho ta đpcm.
16)
Chứng minh: Nếu phương trình a0 x n 1 a1 x n 2 ... an 1 0 có nghiệm x x0 0 thì phương
trình na0 x n 1 (n 1)a1x n 2 ... an 1 0 cũng có nghiệm x x1 thỏa mãn 0 x1 x0 .
Hướng dẫn: Xét hàm f ( x) a0 x n a1x n 1 ... an 1 x trên [0, x0 ] là hàm liên tục và khả vi trong
(0, x0 ) , đồng thời f (0) f ( x0 ) 0 nên theo định lý Rolle, tồn tại x1 (0, x0 ) sao cho
f '( x1 ) 0 hay phương trình f '( x) 0 có nghiệm x1 (0, x0 ) (đpcm).
17)
Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đúng với mọi x 0
1.
( x 1)ln( x 1) arctan x
Giải
Xét hàm
f ( x) ( x 1) ln( x 1) arctan x với x [0, ) có
11
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />1
x2
ln(
x
1)
0 x 0
x2 1
x2 1
Vậy f đồng biến trên [0, ) f ( x) f (0) 0 x 0 (đpcm)
f '( x) ln( x 1) 1
3.
x
arctan x x
x 1
2
x
arctan x .
x2 1
Chứng minh:
1
1 x2
2x2
2
2
0 x 0
2
x 1 ( x 1)
( x 1)2
Chứng minh: arctan x x . Tương tự như trên
f '( x)
5.
Xét hàm
f ( x) arctan x
x
với x 0 có
x2 1
2
2 x arctan x ln(1 x 2 ) ( x R ) .
Hướng dẫn
Xét hàm f ( x) 2 x arctan x ln(1 x 2 ) x R .
Do f ( x ) là hàm chẵn nên ta chỉ cần chứng minh f ( x) 0 với x 0 .
Ta có:
2x
2x
2
2arctan x 0 x 0 .
x 1 x 1
f '( x) 2arctan x
2
Vậy f ( x) f (0) 0 x 0
7.
1 x ln( x x 2 1) x 2 1 ( x R)
Hướng dẫn
Xét f ( x) 1 x ln( x x 2 1) x 2 1 là hàm chẵn.
x
f '( x) ln( x x 2 1)
2
x 1
18)
x
ln( x x 2 1) 0 x 0
2
x 1
Chứng minh
1.
1 x2
x
Với 0 x 1 : arccos 1 x 2 arc cot
Giải
Xét f ( x) arccos 1 x 2 arc cot
1 x2
0 x 1 có
x
'
1 x2
x
( 1 x 2 )'
1
1
f '( x)
0 x (0,1)
2
2
1 x2
1 x
1 x2
1 ( 1 x 2 )2
1
x
2
2
f
arc cot1 0 đpcm
arccos
2
4 4
2
Với 1 x 1 thì arcsin x arccos x . Xem ví dụ 1, trang 128.
2
Vậy f x trên (0; 1) . Từ
3.
12
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />19)
Sử dụng quy tắc L'Hospital tìm các giới hạn sau:
tan x x
x sin x
1.
lim
3.
sin x x 2
lim
x 0
x
x 0
Đs: 2
1
1
2x x
5.
lim( x e )
9.
lim
13.
x 0
ln x
x 1 x 1
lim x 2e x
x
Đs: e
Đs:
1
6
e3
sin x
ln
x
lim
x 0
x2
Hd
:
L
e
7.
Đs: 1
11.
Đs: 0
15.
lim x ln x
x 0
x tan x
x 0
x3
lim x 2e x
lim
Đs: 0
Đs:
1
3
x
Đs: 0 nếu x , nếu x .
41)
ft
(1 ft = 0,3048m).
m
Độ cao của quả bóng khi bay lên so với mặt đất tại thời điểm t là S t 16t 2 112t (1)
1.
Khi nào quả bóng đạt độ cao cực đại. Xác định độ cao đó.
Một quả bóng được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 112
2.
Khi rơi xuống, khoảng cách của quả bóng tới mặt đất có cho bởi (1) hay không.
3.
Xác định vận tốc bóng khi tiếp đất.
4.
Xác định vận tốc bóng và gia tốc bóng khi t 1s; t 4 s
Giải
1.
v t S ' t 32t 112 0 t 3,5; S (3,5) 196 m
2.
Phương trình chuyển động (1) không thay đổi trong suốt quá trình!!
(Phương trình (1) là hệ quả của định luật 2 Newton: ma F mg ; g 32 ft / s 2 )
Hiển nhiên vận tốc lúc tiếp đất vẫn là 112
4.
v t 32t 112 v 1 80; v 4 16 (vận tốc < 0 ứng với giai đoạn vật rơi trở lại)
a t 32 const
43)
ft
(đề bài ngụ ý không tính lực cản không khí)
m
3.
(tác giả đặt một số câu hỏi không có ý nghĩa lắm về mặt cơ học)
Một người đang đứng ở điểm A trên bờ một dòng sông rộng 1600m. Người này phải bơi qua
sông và đi bộ tới điểm B bên kia sông. Biết B cách điểm đối diện với A qua dòng sông là 4800m.
Biết người đó có thể bơi với vận tốc 3200m/s và đi bộ với với vận tốc 4800m/s. Hãy xây dựng
phương án để người đó tới B với thời gian nhỏ nhất.
Giải
13
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
Giả sử hành trình của người đó là: A C B. Gọi x là khoảng cách HC (km)
0 x 4,8
Hàm mục tiêu (thời gian đi từ A đến B): f x
f ' x
x
2
3, 2 1,6 x
f đạt cực tiểu tại
45)
2
AC BC
1,6 2 x 2 4,8 x
3, 2 4,8
3,2
4,8
1
1,6
0 khi x
1, 43
4,8
1,52 1
x 1, 43 ; f ct 1,37 (giờ)
Trả lời: Người đó bơi tới điểm C cách H 1,43km rồi đi bộ đến B thì thời gian ngắn nhất.
Giả sử số lượng một bầy ruồi đục quả tại thời điểm t là N t N 0ekt ; N 0 là số lượng bầy
ruồi tại thời điểm t 0 , k là hằng số tăng trưởng. Biết số lượng bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9
ngày.
1.
Tìm hằng số k .
2.
Giả sử ban đầu bầy ruồi có 100 con, xác định số lượng bầy ruồi sau 41 ngày.
3.
Sau bao nhiêu ngày thì bầy ruồi có 800 con.
Giải
47)
1.
1
N 9 N 0ek 9 2 N 0 k ln 2 0,077
9
2.
N 0 100 N 41 100e 9
3.
Xét phương trình 100e kt 800 t
1
ln 2 41
2352 con.
1
ln8
ln8
27 ngày.
1
k
ln 2
9
Một loại lon nước giải khát dạng hình trụ và chứa 0,4 lít chất lỏng. Xác định đường kính đáy và
đường cao hình trụ để vật liệu sử dụng làm lon là ít nhất.
Giải
Gọi x là bán kính đáy ( x > 0), y là chiều cao của lon nước (đơn vị: dm)
Thể tích lon:
V x 2 y 0, 4 y
0,4
x2
Hàm mục tiêu (dt xung quanh): S 2 x 2 2 x y 2 x 2 2 x
S ' 4 x
0, 2
0,8
0 khi x 3
0, 40 S đạt cực tiểu tại x 0, 40 ; Sct 3 dm 2
2
x
Khi đó đường kính đáy là d 0,8 dm , chiều cao y
49)
0, 4
0,8
2 x 2
2
x
x
0,4
0,80
0, 42
Điểm B nằm cách đường sắt 60km. Khoảng cách trên đường sắt từ điểm A tới điểm C gần điểm
B nhất là 285km. Cần xây dựng một nhà ga cách điểm C một khoảng là bao nhiêu để thời gian đi
14
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />lại giữa A và B là nhỏ nhất, nếu tốc độ chuyển động trên đường sắt là 52km/h và tốc độ chuyển
động trên đường nhựa là 20km/h.
Giải
Tương tự như bài 43. Đặt x CM (km)
Ta có hàm mục tiêu (thời gian đi B M A):
f x
f ' x
60 2 x 2 285 x
20
52
x
2
20 60 x
f đạt cực tiểu tại
2
60
1
0 khi x
25 (km)
2
52
52
1
20
x 25 ; thời gian đi nhanh nhất: f ct 8,25 (giờ)
Cần xây nhà ga cách điểm C 25km.
15
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
Chương 3
1)
2)
Dùng các tính chất và bảng nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau
5.
tan
5)
2
x2 3
1 x
dx x 2.ln
C
1 x
x2 1
x x 2 1 dx
x dx tan x x C
sin 2 x
1
dx ln 1 cos 2 x C
1 cos 2 x
2
3.
5.
1 1 1 x3
ln
C
3 1 1 x3
x 1 x3
7.
xe
9.
dx
xdx
3
1 3x
2
13
1 3x 2
4
2
11.
C
x2
dx
1 2
x 1
3
3
2
C
1 x2
e C
2
2
ln x dx 2 x ln x 2 x C
Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp đổi biến
dx
3
2
3 x 1 3 3 x 1 3ln
x 1 2
1.
1
3.
4sin x 3cos x 5
5.
3
dx
1 ln x
2
dx
x
3
dx
1 ex
x 1 1 C
1
C
x
tan 2
2
1 ex 1
ln
3
1 ln x 3 C
1 ex 1
C
Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp tích phân từng phần
1.
x ln x
3.
x
5.
x sin
2
2
dx
1 2 2
1
1
x ln x x 2 ln x x 2 C
2
2
4
sin xdx x 2 cos x 2 x sin x 2cos x C
2
xdx
1 2 1
1
x x sin 2 x cos 2 x C
4
4
8
Cho I n cos n x dx . Lập công thức liên hệ giữa In và In - 2
1
n
Đáp số: I n sin x cos n 1 x
6)
3.
Hãy tính các tích phân bất định
7.
4)
1
44 7
4
1 2 x x d x 7 x 4 C
x
x
1.
1.
3)
Nguyên hàm và tích phân
n 1
In2
n
Tính các tích phân bất định sau
1.
3.
x
2
x dx
2 ln x 2 ln x 1 C
3x 2
x3 x 1
B
Cx D
C
D
x
A
dx
2
dx A ln x 3 B ln x 3 ln x 2 9 arctan K
4
2
3
9
x 81
x3 x3 x 9
với A
31
29
48
6
;B
;C
; D
108
108
108
108
16
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />dx
5.
cos
7.
8)
9)
4
1
tan x tan 3 x C
3
x
2 xdx
x2 1
ln 2
C
2
x 3x 2
x 2
4
Tính các tích phân sau
x
3.
cos ln x dx 2 cos ln x sin ln x C
5.
sin x
1
dx
ln 2 cos x 2cos2 x 1 C
cos 2 x
2
Tính các tích phân sau
cos x
1
cos x sin x sin x cos x dx x 1 ln cos x sin x C
1.
cos x sin x dx 2
3.
tan
5.
cos x 2 ln 1 sin x C
7.
cos
cos x sin x
2
2
1
x dx tan 3 x tan x x C
3
4
dx
1
dx
3
1 sin x
1
1
tan x 1 tan 2 x ln tan x 1 tan 2 x C (Hd: Đổi biến: t tan x )
2
2
10) Tính các tích phân sau
1.
x
3.
4
3
dx
x 1
44 3 4
x ln
3
3
x3
2
dx
4x 4x 3
x 2 x 1 dx
4
x3 1 C
1
5
4 x 2 4 x 3 ln 2 x 1 4 x 2 4 x 3 C
4
4
1
3
1
2 x 1 x 2 x 1 ln x x 2 x 1 C
4
8
2
5.
7.
tan
9.
1
tan 2 x ln cos x C
x 2
x cos x
1 x
1
dx
cot x C
3
2
2 sin x 2
sin x
arccos x
1
1 1 1 x2
dx
arcco
s
x
ln
C
x
2 1 1 x2
x2
dx
11.
15)
3
Tính các tích phân sau
1.
3.
5.
arcsin x dx x.arcsin x
1
0
3
0
10 2 1
x
x sin x
1 1 sin x
2
dx
ln
ln 2 3
3
cos 2 x
cos
x
2
1
sin
x
3
1
e /2
1
1 x2
/2
1
x
e
cos ln x dx cos ln x sin ln x
e /2 1
2
2
1
17
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />7.
9.
dx
1
x 2 x
1
2
1
2
1
x 1
1
1
1
1
ln x 2 arctan ln 3 arctan
8
2 1
8
4
2
4 8
2
ln x
3 1
dx ln 2 2 ln 2
x3
16 8
(tích phân từng phần 2 lần)
16) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1.
2
y 0; y x 1 ; y 5 x
S
1
1
3.
x 1
5
2
dx 5 x dx
1
32
3
y 2 8 x 16; y 2 24 x 48
Hướng dẫn: Đổi vai trò x , y ta được các đường: x 2 8 y 16; x 2 24 y 48
S
24
24
5.
y 3x 2 ; y 8x 2 ; 4 x y 0
S
0,5
4
3
17)
1 2 1 2
32
6
2 x x 2 dx
8 24
3
0
4 x 3x dx 8x
2
2
0,5
3 x 2 dx 55
54
Tính độ dài cung của các đường sau
1
2
1.
y ln 1 x 2 ; 0 x
3.
y ln x;
5.
y x x 2 arcsin x
3x 8
Hd: y '
1
2 x
1 x2
1
2
L
dx ln 3
2
2
0
1 x
1 x
2
Hd: y '
1
L
x
Hd: Miền xác định của y : 0 x 1 ; y '
20)
8
3
1 x2
1 3
dx 1 ln
x
2 2
1 1
1 x
L
dx 2
0
x
x
Tính các tích phân suy rộng sau nếu nó hội tụ
3.
0
x3e x dx
Nguyên hàm của f x x 3e x là F x x 3 3 x 2 6 x 6 e x
Hd:
Do đó
5.
I lim F x F 0 6
x
dx
0
x x2 1
Hd: Áp dụng phương pháp tích phân hàm hữu tỉ ta tính được
4
F ( x)
dx
1 x2 x 1
3
2x 1
3
2x 1
ln 2
arctan
arctan
4
2
x x 1 4 x x 1 6
3 6
3
18
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />I lim F x F 0
Do đó:
7.
x
ln x
dx
x2
1
Hd: F x
9.
3
6
ln x
1
1
dx ln x (tích phân từng phần)
2
x
x
x
I lim F x F 1 1
x
arctan x
dx
x2
1
F x
Hd:
arctan x
1
x
dx arctan x ln
x2
x
1 x2
1
ln 2
4 2
22) Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau
I lim F x F 1
x
2
1.
3.
25)
1
2
e x
dx .
x2
ln 1 x 2
Hội tụ.
dx
Phân kỳ.
Hd: 0 e
Hd:
x2
e x
1
1 2 2
x
x
ln 1 x 2
1
x
x
x
Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau
dx
1
1.
3 x x 1 x 2 . Hội tụ. Hd: x x 1 x 2
3.
1
1
1
sin dx .
x
Phân kỳ: Hd: Khi x thì
khi x 2
1
3
x 2
1
t
3
2
, mà
dt
1
t
3
2
hội tụ.
1
1 1
0 và sin ~
x
x x
19
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
Hàm số nhiều biến số
Chương 4
1)
Tìm miền xác định của các hàm số:
1.
f ( x, y )
x2 y2 .
MXĐ D f ( x , y )
2
| x y x x y x (hình H1)
H1
3.
2)
f ( x, y )
x 2 y 2 1 ln(4 x 2 y 2 ) . MXĐ D f ( x , y )
|1 x 2 y 2 4 (H3)
x2 x
2x 1
2 x 2
x
f ' x ( x, y ) 2 ; f ' y ( x, y )
2
2
3
y
y
y
y
y
y
1.
f ( x, y )
3.
f ( x , y ) arctan
y
2 xy
1 x2
f
'
(
x
,
y
)
;
f
'
(
x
,
y
)
x
y
2
2
1 x2
1 x 2 y 2
1 x 2 y 2
Chứng tỏ hàm số f ( x , y ) y x sin
y
f
f
thỏa mãn x 2
xy
yf ( x, y ) .
x
x
y
y
Hướng dẫn: Đặt
g ( x, y ) y x
f
f ( x, y )
x
x2
5)
2
Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số:
y
3)
H3
Cho hàm số
f x, y ln
g
y ln y y
2 yx;
x
x
y
y cot ln
x
x2 y 2 x
x2 y2 x
g 1 ln y yx
y
y
x
f ( x, y )
y
f
y ;
1 ln y cot
x
x
y
. Hãy tính
f x 1; 1 ; f y 1; 1
20
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />Hướng dẫn:
6)
fx
2
2
x y
2
; fy
2x
y x2 y2
f x (1; 1) 2;
f y (1; 1)
2
Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau:
2
y
1.
Đs: dz
z ln tan
ydx xdy
2y
x
x 2 sin
x
3.
7)
z arctan
1, 02 0, 02 2
Đs: 1,004
2z y 2 z 1 2z
Đs:
;
;
0
x 2 x 2 xy x y 2
z y ln x
2 z 2( y 2 x 2 ) 2 z
4 xy
2 z 2( x 2 y 2 )
;
;
x 2 ( x 2 y 2 ) 2 xy ( x 2 y 2 )2 y 2 ( x 2 y 2 )2
Tìm các đạo hàm hỗn hợp cấp 2 của các hàm số sau:
Đs:
1.
z ln tan( x y )
Đs:
2 z
4cos 2( x y )
xy
sin 2 2( x y)
3.
z arctan
x y
1 xy
Đs:
2 z
0
xy
Chứng tỏ rằng hàm số z f ( x).g ( y ) thỏa mãn phương trình: z.
Đs:
13)
0,035
4
z ln( x 2 y 2 )
3.
11)
Đs:
Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:
1.
9)
x y
x y
Tính gần đúng:
1, 02
1.
arctan
0,95
3.
8)
1
Đs: dz 2
y dx x dy
x y2
2 z z z
. .
x y x y
z
z
2 z
f '( x ).g ( y );
f ( x ). g '( y );
f '( x ).g '( y )
x
y
x y
Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
f ( x, y ) e 2 x ( x y 2 2 y )
Đs: cực tiểu là
1
e
tại ; 1
2
2
2.
f ( x, y ) x 4 y 4 x 2 y 2 2 y
Đs: cực tiểu là
9
1
1
tại
;1 và
;1
4
2
2
3.
f ( x, y ) e ( x
2
y2 )
(2 x 2 3 y 2 )
Hướng dẫn
f x, y 0 x, y . Dấu "=" khi
x, y 0,0
nên f có cực tiểu (tuyệt đối) tại 0, 0
Đặt u x 2 0; v y 2 0 thì f F u , v e
u v
2u 3v
Hệ pt Fu 0; Fv 0 vô nghiệm nên F không có cực trị u 0; v 0
21
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />
Xét u 0 , đặt g v F 0, v 3ve v ; g v đạt cực đại tại là
Tương tự, h u F u,0 2ue u đạt cực đại tại là
4.
Kết luận: f đạt cực tiểu tại
2
tại u 1
e
2
3
tại 1; 0 , là tại 0; 1 .
e
e
f ( x, y ) xy ln( x 2 y 2 )
Đs: cực tiểu là
cực đại là
5.
0; 0 , đạt cực đại là
3
tại v 1
e
1
1
1
1 1
tại
và
;
;
;
2e
2e 2e
2e 2e
1
1
1
1
1
tại
và
;
;
2e
2e 2e
2e 2e
f ( x, y ) ( x 2 y 2 ) e ( x
2
y2 )
Đs: cực tiểu là 0 tại 0; 0 ; cực đại là
1
tại mọi
e
x, y
mà x 2 y 2 1
(Hd: Đặt t x 2 y 2 0 và xét hàm F t te t )
6.
f ( x, y ) x 2 y 2 4( x y )
Đs: cực đại là 8 tại 2; 2
7.
f ( x , y ) x y xe y
Đs: không có cực trị.
8.
f ( x, y ) xy
50 20
x
y
Đs: cực đại là 30 tại 5; 2
Phương trình vi phân
Chương 5
1)
Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau:
1.
y 'sinx ylny
Nghiệm tổng quát: y e
3.
1 cos x
C
sin x
(phương trình vi phân biến số phân li)
2 x 2 y 1 dx x y 1 dy 0
Hd: Đặt z y x phương trình biến số phân ly:
dz
z
dx z 1
Tích phân tổng quát: ln y x y 2 x C
5.
xy '
y
x biết
x 1
y
Nghiệm tổng quát: y =
7.
y'
x y
biết
x y2
y
x 1
0
x (ln x x C )
x 1
x0
. (Phương trình tuyến tính)
1
Hd:
22
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />a b 0
Nghiệm của hệ phương trình
là a; b 1; 1 nên đặt
a b 2 0
phương trình đẳng cấp: Y '
x X 1
.
y Y 1
X Y
.
X Y
Tích phân tổng quát: ( x 1) 2 2( x 1)( y 1) ( y 1)2 C 0 .
9.
2 xy ' y 2 x 2 y 3 0
biết
Nghiệm tổng quát: y 4
11.
x3 y ' y y 2 x2
x y cos
0
x4 C
x2
(Phương trình Bernoulli với n 3 )
x2
C 2 ln x
(Phương trình Bernoulli với n 3 )
y
y
dx x cos dy 0
x
x
y x arcsin ln x C (phương trình đẳng cấp)
Nghiệm tổng quát:
15.
x 1
Nghiệm tổng quát: y
13.
y
x y 2 dx x y 4 dy 0
biết
y
x 1
2
x X 1
Hd: đặt
để đưa pt về dạng pt đẳng cấp.
y Y 3
Tích phân tổng quát: arctan
17.
y'
y 1
2x y2
y
x 1
2
y 3 1 y 3
ln 1
ln x 1 C 0 .
x 1 2 x 1
1
Hd: Coi x x y là hàm ẩn phải tìm phương trình tuyến tính x '
2
y2
x
y 1
y 1
3
Nghiệm tổng quát: x 2 y ( y 1) 2 ln( y 1) C ( y 1) 2 .
2
2
19.
y 2
y'
x y 2 x2
y
x 1
1
Y y 2
Y2
Hd: Đặt
phương trình đẳng cấp Y '
.
XY X 2
X x
Nghiệm tổng quát:
21.
y2
ln y 2 C 0 .
x
x2 y ' y x2 y 2
Tích phân tổng quát: x x 2 y 2 Cx 2 0 (phương trình đẳng cấp)
23
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />23.
y'
2 x3 y y 4
x 4 2 xy 3
Tích phân tổng quát: xy C x3 y 3 (phương trình đẳng cấp)
25.
xy ' y x 2 arctan x
1
Nghiệm tổng quát: y x x.arctan x ln 1 x 2 C (phương trình tuyến tính)
2
27.
xy ' y x cos 2
y
x
x
Nghiệm tổng quát: y x.arctan ln (phương trình đẳng cấp)
C
29.
ydx 2 xy x dy 0
Nghiệm tổng quát là
2)
3)
x
ln y C
y
(phương trình đẳng cấp)
Một phản ứng hóa học biến chất A thành chất B. Tốc độ phản ứng tại mỗi thời điểm tỷ lệ với tích
các khối lượng của chất A và chất B tại thời điểm đó. Tại thời điểm bắt đầu thí nghiệm có 800g
chất A và 200g chất B. Sau 2 giờ chất A còn 400g.
1.
Sau 4 giờ chất A còn bao nhiêu.
2.
Sau mấy giờ thì chất A biến đổi hoàn toàn thành chất B.
Giải
Gọi y t là khối lượng chất A ( kg ) tại thời điểm t (giờ) thì: y ' ky 1 y
Giải pt biến số phân ly này ta được:
Điều kiện đầu: y 0 0,8 C 4 y
1 2
Điều kiện bổ sung: y 2 0, 4 k ln 0,8959 . Vậy:
2 3
1.
Sau 4 giờ chất A còn: y 4 ... 0,1 kg
2.
Khi t thì khối lượng chất A
y
Cekt
1 y
4
4 e kt
y 0 . Khi t 24 h thì y 2.109 kg 0,000002 g
Một bình nước nóng giảm từ 900 xuống 500 trong vòng 30 phút. Hỏi trong bao lâu nó giảm
xuống còn 300. Biết nhiệt độ không khí là 20 0.
Giải
Gọi y t là nhiệt độ nước trong bình tại thời điểm t (phút). Theo quy luật Newton: tốc độ
giảm của y tỷ lệ với độ chênh lệch giữa nhiệt độ nước trong bình và nhiệt độ không khí:
y ' k y 20
Giải pt biến số phân ly này với điều kiện đầu y 0 90 ta được nghiệm riêng:
24
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích
GV: Nguyễn Hải, Email:
Website: />y 20 70ekt
7)
1 3
ln
0,0282
30 7
Từ điều kiện bổ sung y 30 50 ta tính được: k
Giải phương trình y t 20 70ekt 30 ta tìm được: t
1 1
ln 68,90 (phút).
k 7
Giả thiết trong ống cấy vi khuẩn có 400 vi khuẩn xuất hiện cuối giờ thứ nhất và 1600 vi khuẩn
xuất hiện cuối giờ thứ 2. Hãy tìm:
1.
Số vi khuẩn lúc bắt đầu thí nghiệm?
2.
Sau mấy giờ số vi khuẩn lên tới 16 000.
Giải
(Đề bài không nói rõ số lượng vi khuẩn tăng trưởng theo quy luật nào, nhưng với 2 điều kiện đã
cho, ta chỉ có thể áp dụng mô hình tăng trưởng tự nhiên (Natural equation (Mô hình Malthusion))
Gọi số lượng vi khuẩn tại thời điểm t là y t con (đơn vị t là giờ)
Ta có phương trình:
9)
y ' ky y Cekt
Từ đk đầu y 1 400 và đk bổ sung y 2 1600 ta tính được: C 100; k ln 4
Giải phương trình: 16000 100et ln 4 t
ln160
3,66 (giờ)
ln 4
Giải các phương trình vi phân cấp 2 sau:
1.
y '' 2 y ' 5 y sin 2 x ;
Nghiệm tổng quát:
3.
1
y C1 cos x C2 sin x e x
2
y C1 cos 2 x C2 sin 2 x
1 3x 1 2 1
1
e x x
13
4
4
8
y '' 4 y ' 4 y xe x x 2e 2 x
2
1
3
1
1
y e 2 x C1 C2 x e x x e 2 x x 2 x
27
16
128
9
16
Nghiệm tổng quát:
11.
7
5
cos x sin x
74
74
y '' 4 y e3 x x 2 x
Nghiệm tổng quát:
9.
y C1e x C2e6 x
y '' y e x x 1
Nghiệm tổng quát:
7.
4
1
cos 2 x sin 2 x
17
17
y '' 7 y ' 6 y sin x
Nghiệm tổng quát:
5.
y e x C1 cos 2 x C2 sin 2 x
y '' 2 y ' e x x 2 x 3
Nghiệm tổng quát:
y C1e 2 x C2 x 2 x 1 e x ;
Nghiệm riêng:
y e2 x x 2 x 1 e x
biết y 0 2; y ' 0 2
25
