Đáp án đề thi môn toán vòng 1 chuyên KHTN năm 2013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (373.75 KB, 4 trang )
TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN
NĂM 2013
MÔN: TOÁN (VÒNG 1)
Câu I. (3 điểm)
1) Điều kiện:
1
x 2. Phương trình đã cho tương đương với
3
2 x 3 2 (3x 1)(2 x) 9 3 x 2 5 x 2 3 x
3x 2 5 x 2 x 2 6 x 9 (3 x 0) 4 x 2 11x 7 0 x 1, x
7
4
Đối chiếu với điều kiện ta thu được nghiệm:
7
x 1, x .
4
2) Hệ phương trình tương đương với
1
1 9
x y
y
x 2
1 3 x 1 x 1 y 1 2
4 2
y
y
x
Đặt
1
1
u x , v y ta thu được
y
x
9
9
v 2 u
u v 2
1 3 u uv 2
9 3u u 9 u
4 2
4 2
2
9 3u 9u
9
u 2 u 2 3u 0
4 2
2
4
1 3
x
3
2
3
y 2
u
u 0
2
2
y 1 3
v 3
x
3y
3y
y
2
xy 1
3x x y 3
2
2
2
y
xy 1 3x
1
y 1, x
2
y 3y 2 0
2
y 2, x 1.
Suy ra:
Vậy hệ có 2 nghiệm ;
2
1
1 và 1; 2
Page | 1
TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.
Câu II. (3 điểm)
1) Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
a
b
b
c
c
a 3
1
1
1
ab bc bc ca ca a b 4
ac
ba
cb
3
(a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b) 4
3
ac(a c) ba(b a) cb(c b) (a b)(b c)(c a )
4
ac(a c) ba(b a) cb(c b) 6abc
ac(a c) b 2 (a c) (ba 2 abc) c 2b abc 8abc
(a c)(ac b 2 ab bc) 8abc
(a c)(c b)(b a) 8abc. (đpcm)
Cách 2:
Đặt
a
b
c
, y
, z
ab
bc
ca
b
c
a
1 x
, 1 y
, 1 z
ba
bc
ca
1
Từ điều kiện suy ra xyz và thu được
8
xyz (1 x)(1 y )(1 z ) 1 ( x y z ) ( xy yz zx) xyz
2 xyz 1 ( x y z ) ( xy yz zx)
3
x y z xy yz zx (đẳng thức cần chứng minh)
4
x
2) Ta có abcde abc00 de abc 100 de
abc(101 1) de
abc 101 abc de
Suy ra abcde chia hết cho 101 abc de abc (10d e) chia hết cho 101.
99999
9
990
101
101
Vậy số có 5 chữ số lớn nhất chia hết cho 101 là 990 101
999
99
Ta có 101 n 9999 n
101
Vậy số có 5 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 101 là 100 101
Số các số có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu của bài toán là: 990 100 1 891.
Đáp số: 891 số.
Ta có 101 m 99999 m
Page | 2
TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.
Câu III. (3 điểm)
E
A
F
M
O
N
B
C
D
1) Ta có góc nội tiếp bằng nhau BDM BCF (1) và BMA BFA suy ra
180 BMA 180 BFA hay BMD BFC 2 .
Từ (1) và (2) suy ra BDM và BCF đồng dạng (g.g). Ta có điều phải
chứng minh.
2) Từ AD là phân giác BAC suy ra DB DC vậy DE vuông góc với BC tại
trung điểm N của BC . Từ 1) BDM
biến đổi sau
BCF ta có
DM BD
. Vậy ta có
CF BC
DA 2 DM 2 BD CD DE
3 .
CF
CF
BC CN CE
Ta lại có góc nội tiếp ADE FCE (4) .
Từ (3) và (4) suy ra EAD EFC suy ra EFC EAD 90 . Vậy
EF AC .
Page | 3
TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.
Câu IV. (1 điểm) Với là số thực dương ta có
d 3 a3
b3
dab
3 3 2
3 3
3
3
3
3
d
b
c
dbc
3 3 2
3 3
3
3
3
3
d
c
a
dca
3 3 2
3 3
3
a3 b3 c3 abc
2
3 2
Cộng bốn đẳng thức trên ta thu được
1
1
2
d 3 3 2 a3 b3 c3 2 (dab dbc dca abc).
3
3
2
1
4
4
2 2 3 4 3 3 6
Ta tìm 0 sao cho
3
3 3
9
3
1
1
Chọn x ta thu được
2
x
3
1
1 3
1
x x 6
2
x 2
x
x 6 12 x3 1 0
1 3 1 3
1 3
1
x 3 x x 6
2
x 2
x 2
x
Ta có nghiệm dương là x 3 6 35 , x 3 6 35
1
2
3
6 35 3 6 35
Với xác định như trên ta thu được
d3
4 3 3 3
1
9
a b c 2 9d 3 4 a 3 b 3 c 3 2
9
Đẳng thức xảy ra khi a b c 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
3
, d=3
3
6 35 6 35
3
2
.
1
.
3 2
3
36
3
36
6 35 3 6 35
2
Page | 4
