tổ hợp ôn thi học sinh giỏi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (126.05 KB, 4 trang )
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Biên soạn: Trần Quốc Đại
01267.666.375
PHẦN II : NHỊ THỨC NEWTON
Bài 1: Cho
P ( x ) = ( 2 − 3x )
21
.
a/ Tìm số hạng chứa x15 trong khai triển của P(x)
số mũ của x
.
b) Tìm số hạng thứ 11 trong khai triển theo chiều giảm dần
c/ Tìm số hạng đứng chính giữa trong khai triển của P(x).
Bài 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức (
10
a)
12
1
x+ 4 ÷
x
b)
c)
( 2x − 3y)
P( x ) = ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + ... + ( 1 + x )
Bài 5: Cho
a/ Tìm a45
P( x ) = ( 5 − 2 x )
10
14
. Tìm số hạng chứa x13 trong khai triển của P(x).
S1 = a0 + a1 + a2 + ... + a100
P( x ) = ( 1 − 2 x ) + ( 1 − 2 x ) + ( 1 − 2 x )
Khai triển và rút gon P(x) ta được
b/ Tính
11
.
P( x ) = ( 5 − 2 x )
c/ Tính tổng
S1 = a0 + a1 + a2 + ... + a12
(x
2
11
c/Tính
12
.
( 1 − 2x + x )
( 1 + 2 x + 3x )
2 10
Bài 9: Tìm hệ số của x3 trong khai triển
Bài 10: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
( 1 + 2x )
.
12
.
1000
Bài 11: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
.
.
2 50
Bài 8: Tìm hệ số của x60 trong khai triển của
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a100 x100
12
.
− 2x )
100
S2 = a0 − a1 + a2 − a3 + ... + a98 − a99 + a100
P( x ) = ( 1 − 2 x ) + 2 ( 1 − 2 x ) + 3 ( 1 − 2 x )
Bài 7: Tìm hệ số của x16 trong khai triển
1
.
. Khai triển và rút gon P(x) ta được
b/ Tính tổng
2
2
−3x + ÷
x
25
10
a/ Tìm a10.
d)
100
10
Bài 6: Cho
6
3 4
2x − 2 ÷
x
Bài 3: Tìm số hạng của x12y13 trong khai triển của
Bài 4: Cho
)
5
2 3
x − 4 ÷
x
9
x≠0
1
1 + x ÷
5
.
.
12
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a12 x12
1
1
1
1
S1 = a0 − a1 + 2 a2 + ... − 11 a11 + 12 a12
2
2
2
2
.
.
.
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Biên soạn: Trần Quốc Đại
01267.666.375
10
Bài 12: Cho khai triển nhị thức:
Hãy tìm số hạng
ak
1 2
9
10
+ x ÷ = a0 + a1 x + ... + a9 x + a10 x .
3 3
lớn nhất.
( 1 + 2x) ( 1 − x)
12
Bài 13: Tìm số hạng chứa x25 trong khai triển của
Bài 14: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của:
15
1 + x 2 ( 1 − x ) 8
PHẦN III : ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON
A/ DÙNG PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH HỆ SỐ CHỨA XK ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
Bài 1: chứng minh
a)
b)
Cm0 .Cnk
1
+ Cm
.Cnk −1 + Cm2 .Cnk − 2
+ ... + Cmm .Cnk − m
= Cmk + n ,
0 ≤ m ≤ k ≤ n.
k , m, n ∈ N
(Cn0 )2 + (C1n )2 + (Cn2 )2 + ... + (Cnn )2 = C2nn .
Cn0 .Cnk + Cn1 .Cnk +1 + Cn2 .Cnk +2 + ... + Cnn−k .Cnn =
c)
(2n)!
(n − k )!(n + k )!
0 ≤ k ≤ n.
k, n ∈ N
B/ DÙNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON VỚI CÁCH CHỌN ĐỐI SỐ X ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Nhắc lại kiến thức SGK:
1. C no = C nn = 1
n!
2. C =
( n − k )!k!
k
n
Ta chứng minh thêm:
5. k .Cnk = n.Cnk−−11. (1 ≤ k ≤ n)
6.
1
1
Cnk =
Cnk++11. (0 ≤ k ≤ n )
k +1
n +1
và thêm công thức quen thuộc:
7. Cno + Cn1 + C n2 + ... + Cnn = 2 n
Bài 1:
2
3. C nk = C nn −k
4. C nk + C nk +1 = C nk++11
0≤k ≤n
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
a/ Chứng minh
b/ Tính tổng
c/ Tính tổng
S = Cn0 − C1n + Cn2 + ... + (−1)n Cnn .
S = Cn0 − C1n + Cn2 + ... + ( −1) k Cnk
Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1
(k ≤ n; n > 1).
và xét 2 trường hợp : k=n và k
S = C21n +1 + C22n +1 + C23n+1 + .... + C2nn +1
Bài 2: Chứng minh
Bài 3: Chứng minh
Bài 4: Chứng minh
Bài 5: Chứng minh
Cn0 + 3C1n + 32 Cn3 + ... + 3n Cnn = 4 n
0
2
2016
1
3
2015
C2016
+ C2016
+ ... + C2016
= C2016
+ C2016
+ ... + C2016
1 − 10.C21n + 102.C22n − 103.C23n + ... − 102 n−1C22nn−1 + 102 n = 81n.
C20n + C22n 32 + C24n 34 + ... + C22nn 32n = 22n −1.(22 n + 1)
0
2
4
2004
C2004
+ 22 C2004
+ 24 C2004
+ ... + 22004 C2004
=
Bài 6: Chứng minh
Bài 7: Chứng minh
Bài 8: Chứng minh
HD:
HD:
(1 + x )2 n + (1 − x )2 n
32004 + 1
2
HD:
(1 + x )2004 + (1 − x )2004
1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + .... + ( n − 1).n.Cnn = ( n − 1)n2 n − 2
( k − 1)kCnk = (k − 1)nCnk−−11 = (n − 1)nC nk−−22 .
12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 ... + n 2Cnn = n (n − 1)2n −2 + n 2 n −1
k 2C nk = ( k − 1)kC nk + kC nk = (n − 1)nC nk−−22 + nC nk−−11.
Bài 10: Chứng minh
1 o 1 1 1 2
1
1
Cn + Cn + Cn + ... +
Cnn =
2n +1 − 1) .
(
1
2
3
n +1
n +1
S=
Bài 11 : Tính tổng:
HD:
1
1
Cnk =
Cnk++11.
k +1
n +1
1 1 1 3
1 2 n−1
C2 n + C 2 n + ... +
C2 n .
2
4
2n
CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
3
, với x = 3
Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + n.Cnn = n.2n −1
Bài 9: Chứng minh
HD
01267.666.375
2 n = Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn .
hướng dẫn : sử dụng
d/ Tính tổng
Biên soạn: Trần Quốc Đại
, với x = 2
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1) Chứng minh
Biên soạn: Trần Quốc Đại
Cnn−−11Cn1 + Cnn−−12Cn2 + … + Cn0−1Cnn = C2nn−−11 , ∀n ∈ N *
1. ( C1n ) + 2. ( C 2n ) + ... + n. ( C nn ) = nC 2n −n1−1 , ∀n ∈ N *
2
2) Chứng minh
3) Chứng minh
4) Tính tổng
S =C
6) Tính tổng
n≥2
0
2015
, gọi
+ 2C
an
1
2015
là hệ số của x trong khai triển
+ …+ 2016C
(5 + x ) n
2015
2015
0
2
2
4
4
6
98
100
S = C100
.C100
+ C100
C100
+ C100
.C100
+ ..... + C100
.C100
8) Cho khai triển
a) Tính tổng
(1 + x + x 2 + ... + x14 )15 = a0 + a1 x + .... + a210 x
S = a0 + ... + a210
b) Chứng minh
9) Chứng minh
4
2
1
1
1
1
+
+
+ ...
2010!.1! 2009!.2! 2008!.3!
1006!.1005!
5) Với mỗi số tự nhiên
10) Tìm n biết
2
Cn1Cn0 + Cn2Cn1 + ... + CnnCnn −1 = C2nn+1 , ∀n ∈ N *
S=
7) Tính tổng
01267.666.375
C150 a15 − C151 a14 + ...... − C1515a0 = −15
C20n + 2C22n + 3C24n + ... + (n + 1)C22nn = 22 n −1 + 22 n −2 , ∀n ∈ N *
1024(n + 2) = C20n + 2C22n + 3C24n + ... + ( n + 1)C22nn
.Tìm n để
52 53 54
5n
+ + + ... + = 48
a2 a3 a4
an
