Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – PHẦN 2
Thầy Đặng Việt Hùng (ĐVH) – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là
x + y − 3 = 0 . Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC lên AC là E(1; 4). BC có hệ số góc

âm và tạo với đường thẳng AC góc 450. Đườg thẳng AB tiếp xúc với (C ) : ( x + 2)2 + y 2 = 5 . Tìm phương
trình các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi K là điểm đối xứng của E qua AI.
Ta có: EK : x − y + 3 = 0 ⇒ trung điểm của EK
có toạ độ là: ( 0;3) ⇒ K ( −1; 2 ) .
Do K ∈ ( C ) ⇒ AB tiếp xúc với ( C ) tại K.

Đường tròn ( C ) tâm J ( −2;0 ) . Khi đó AB qua
K và vuông góc với JK
Do vậy: AB : x + 2 y − 3 = 0
Giả sử: AC : a ( x − 1) + b ( y − 4 ) = 0 ( a 2 + b 2 > 0 ) . Ta có: cos ( AC ; AI ) = cos ( AB; AI )

⇔

a+b
2 a +b
2

2

=

3
2
⇔ 9 ( a 2 + b 2 ) = 5 ( a + b ) ⇔ ( 2a − b )( a − 2b ) = 0 .
10

Với 2a = b ⇒ nAC (1; 2 ) / / AB ( loai ) .

 −1 10 
Với a = 2b ⇒ nAC ( 2;1) ⇒ AC : 2 x + y − 6 = 0 ⇒ EI : x − 2 y + 7 = 0 ⇒ I  ;  .
 3 3

k
⇔
k


⇔ 10

2k − 1

1
2
⇔ 5 ( k 2 + 1) = 2 ( 2k − 1)
2
k + 1. 5
−13
+l

=3
10
3
⇒ BC : 3 x − y + l = 0 . Mặt khác d ( I ; AC ) = d ( I ; BC ) ⇒
=
1
= − ( loai )
3 5
10
3
 10 2 + 13

10 2 + 13
=0
l =
 BC : 3 x − y +
3
3


2 = 3l − 13 ⇔
⇒
 −10 2 + 13 
−10 2 + 13
=0
l =
 BC : 3 x − y +
3
3




Gọi BC : y = kx + l ( k > 0 ) . Ta có: cos ( BC ; AC ) =

2

=

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trinh đường cao AH và trung tuyến
AM lần lượt là: x − 2 y − 13 = 0 và 13 x − 6 y − 9 = 0 . Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác ABC
là I (−5;1) . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Lời giải
Ta có A = AH ∩ AM ⇒ A ( −3; −8 )

Đường thẳng IM qua I ( −5;1) và song song với
đường thẳng AH ⇒ IM : x − 2 y + 7 = 0
Ta có M = AM ∩ IM ⇒ M ( 3;5 )

Đường thẳng BC qua M ( 3;5 ) và vuông góc với
đường thẳng AH ⇒ BC : 2 x + y − 11 = 0
Do B ∈ BC : 2 x + y − 11 = 0 ⇒ B ( t ;11 − 2t )
Ta có IB = IA ⇒ ( t + 5 ) + (10 − 2t ) = 85

2

2

t = 2 ⇒ B ( 2; 7 ) ⇒ C ( 4;3 )
⇔ 5t 2 − 30t + 40 = 0 ⇔ 
t = 4 ⇒ B ( 4;3) ⇒ C ( 2; 7 )
Vậy A ( −3; −8 ) , B ( 2;7 ) , C ( 4;3) hoặc A ( −3; −8 ) , B ( 4;3) , D ( 2; 7 )

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 1 . Chứng minh rằng từ
điểm M bất kỳ trên đường thẳng d : x − y + 3 = 0 luôn kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C). Gọi hai
tiếp điểm A, B. Tìm tọa độ điểm M để khoảng cách từ J (1;1) đến đường thẳng AB bằng

3
2

Lời giải
Đường tròn ( C ) có tâm I (1; 2 ) , bán kính
R =1

Ta có d ( I , d ) =

2
2

= 2 > R ⇒ từ điểm M

bất kì trên đường thẳng d : x − y + 3 = 0 luôn
kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn ( C ) .
Gọi M ( t ; t + 3) và A ( x; y ) là tọa độ tiếp điểm

Ta có IA = ( x − 1; y − 2 ) ,

MA = ( x − t ; y − t − 3)

⇒ ( x − 1)( x − t ) + ( y − 2 )( y − t − 3) = 0
⇔ x 2 + y 2 − ( t + 1) x − ( t + 5) y + 3t + 6 = 0 (1)
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Mặt khác A ∈ ( C ) ⇒ ( x − 1) + ( y − 2 ) = 1 ⇔ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 4 = 0 ( 2 )
2

2

Lấy ( 2 ) − (1) ta được ( t − 1) x + ( t + 1) y − 3t − 2 = 0 ⇒ AB : ( t − 1) x + ( t + 1) y − 3t − 2 = 0
Ta có d ( J , AB ) =

t+2

3
⇒
2

( t − 1)

2


+ ( t + 1)

2

=

3
⇔
2

t+2
2t 2 + 2

=

3
2
⇔ 4 ( t + 2 ) = 9 ( 2t 2 + 2 )
2

t = 1 ⇒ M (1; 4 )

⇔ 14t − 16t + 2 = 0 ⇔  1
 1 22 
t= ⇒M ; 
 7
7 7 
2


 1 22 
Vậy M (1; 4 ) hoặc M  ; 
7 7 

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD có diện tích bằng 50, đỉnh C (2; −5) ,
 −1 
AD = 3BC , biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm M  ;0  , đường thẳng AD đi qua N (−3;5) . Viết
 2 
phương trình đường thẳng AB biết đường thẳng AB không song song với các trục tọa độ.

Lời giải
1
 1 

AB qua M  − ; 0  ⇒ AB : a  x +  + by = 0
2
 2 


AD qua N ( −3;5 ) và vuông góc với AB

⇒ AD : b ( x + 3) − a ( y − 5 ) = 0
Ta có AB = d ( C , AD ) =

BC = d ( C , AB ) =

5a + 10b
a 2 + b2

5

a − 5b
2
a2 + b2

3
⇒ AD =

5
a − 5b
2
a2 + b2

Ta có

S ABCD

a 2 − 4b 2
5a + 10b 5a − 10b
1
= 50 ⇔ AB. ( BC + AD ) = 50 ⇔ 2 AB.BC = 50 ⇔
.
= 50 ⇔ 2
=2
2
a + b2
a 2 + b2 a2 + b2

 a 2 + 6b 2 = 0 ( l )
 2a 2 + 2b 2 = a 2 − 4b 2
⇔ a 2 − 4b 2 = 2a 2 + 2b 2 ⇔  2

⇔
⇔
 2
2
2
2
2
2
a
+
2
b
=
4
b
−
a
3
a
=
2
b


• Với a 3 = b 2 chọn a = 2, b = 3 ⇒ AB : 2 x + 3 y +

2
=0
2


• Với a 3 = −b 2 chọn a = 2, b = − 3 ⇒ AB : 2 x − 3 y +
Vậy AB : 2 x + 3 y +

a 3 = b 2

 a 3 = −b 2

2
=0
2

2
2
= 0 hoặc AB : 2 x − 3 y +
=0
2
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 5 và đường thẳng
d : x + y + 2 = 0 . Từ điểm A thuộc d kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với (C) tại B và C. Tìm tọa độ

điểm A biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 8
Lời giải:

Gọi ( C ) tâm I, AI ∩ BC = {H } , tham số A ( a; −2 − a )

 AI 2 = ( a − 1)2 + ( a + 4 )2
Ta có 
2
2
2
2
2
 AB = AI − IB = ( a − 1) + ( a + 4 ) − 5
Mặt khác ∆ABI vuông tại B có BH là đường cao nên

( a − 1) + ( a + 4 )
1
1
1
=
+ 2 =
2
2
2
2
BH
AB
IB
5 ( a − 1) + ( a + 4 ) − 5


2


2

5 ( a − 1) + ( a + 4 ) − 5

Suy ra → BH = 
2
2
( a − 1) + ( a + 4 )
2

2

2

( a − 1)2 + ( a + 4 )2 − 5
2
2
2

Lại có AH = AB − BH = 
2
2
( a − 1) + ( a + 4 )

2

Vì 8 = S ∆ABC = 2 S ABH = AH .BH ↔ AH 2 .BH 2 = 64

2


3

2
2
2
2
2
2
5 ( a − 1) + ( a + 4 ) − 5 ( a − 1) + ( a + 4 ) − 5 
5 ( a − 1) + ( a + 4 ) − 5
⋅
 = 64 ↔ 
 = 64 (*)
Điều này ↔ 
2
2
2
2
2
2 2
( a − 1) + ( a + 4 ) 
( a − 1) + ( a + 4 )
( a − 1) + ( a + 4 )


2

3  25 25 
2
2


Đặt ( a − 1) + ( a + 4 ) = t  → t = 2  a +  +
≥ 

2
2
2 




(*) ↔

5 (t − 5)
t

2

3

(

)

= 64 ↔ 5t 3 − 139t 2 + 375t − 625 = 0 ↔ ( t − 25 ) 5t 2 − 14t + 25 = 0 ↔ t = 25

 A (1; −3)
a = 1
2
2

Điều này ↔ ( a − 1) + ( a + 4 ) = 25 ↔ 
→
 a = −4  A ( 4; −6 )
Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu là A (1; −3 ) hoặc A ( 4; −6 )

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-2; 1), điểm A thuộc trục tung, điểm C
thuộc tia Ox và góc BAC bằng 30 độ. Bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng

5 . Xác định

tọa độ điểm A và C.

Lời giải:

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Theo định lý hàm sin trong ∆ABC →

BC
sinBAC

FB: LyHung95

= 2 R → BC = 5

C ( 0; 0 )
c = 0

2
Gọi C ( c; 0 ) → 5 = BC 2 = ( c + 2 ) + 1 ↔ 
→
c = −4 C ( −4;0 )

 AB = ( −2;1 − a )
Gọi A ( 0; a ) , với C ( 0; 0 ) → 
. Ta có:
 AC = ( 0; − a )

(
(

)

 A 0; 12 + 1
 a = 12 + 1
↔
↔
2

2
( a − 1) + 4. a
 a = − 12 + 1  A 0; − 12 + 1
a ( a − 1)

3
= cos BAC =
2


)

 AB = ( −2;1 − a )
Với C ( −4;0 ) → 
.
AC
=
−
4;
−
a
(
)

a ( a − 1) + 8
3
Ta có:
= cos BAC =
↔ a 4 − 2a3 + 5a 2 + 32a + 16 = 0
2
2
( a − 1) + 4. a 2 + 16

( (

)( (

)

↔ a2 +


12 − 1 a + 8 − 2 12 a 2 −

)

)

12 + 1 a + 8 + 2 12 = 0

  1 − 12 + 6 12 − 19 

 A  0;

1 − 12 + 6 12 − 19
a =

2
 

2

↔
↔

  1 − 12 − 6 12 − 19 
 a = 1 − 12 − 6 12 − 19
 A  0;


2


2
 


 1 − 12 + 6 12 − 19 
 1 − 12 − 6 12 − 19 
 ; C ( −4;0 ) ∨ A  0;
 ; C ( −4;0 )
Vậy A  0;




2
2




A 12 + 1 ; C ( 0; 0 ) ∨ A 12 − 1 ; C ( 0;0 ) là các điểm cần tìm.

(

)

(

)


Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C thuộc ∆ : x − 2 y − 1 = 0 , đường
thẳng BD có phương trình 7 x − y − 9 = 0 . Điểm E(-1; 2) thuộc cạnh AB sao cho EB = 3EA. Biết rằng B có
tung độ dương. Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D.

Lời giải:
Gọi K là giao điểm của BD và CE. Khi đó ta có:

KE BE 2
2
=
= ⇒ KE = − KC . Gọi K ( t ; 7t − 9 ) ; C ( 2v + 1; v ) ta
KC CD 3
3
3

 11
−1 − t = − 4 ( 2v + 1 − t )
t =
 11 
có 
⇔
7 ⇒ C ( 5; 2 ) ; K  ; 2 
7 
11 − 7t = −3 ( v − 7t + 9 )
v = 2

4
Khi đó gọi B ( u; 7u − 9 ) .
Ta có: BE.BC = 0 ⇔ ( u + 1)( u − 5 ) + ( 7u − 11)( 7u − 11) = 0 ⇔ u = 2 ( do yB > 0 )
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016



Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Do vậy B ( 2;5 ) . Lại có: BE = 3EA ⇒ A ( −2;1) ⇒ D (1; −2 ) .
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3; –1). Tọa độ điểm
E(–1; –3) thuộc đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh B. Đường thẳng AC qua F(1; 3). Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kinh AD với D(4; –2).
Lời giải:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có: CH / / BD ⊥ AB và BH / / CD
do vậy BHCD là hình bình hành suy ra M là trung điểm của BC đồng
thời là trung điểm của HD.
Khi đó H ( 2; 0 ) suy ra PT đường cao BH là: x − y − 2 = 0 .

Do vậy AC : x + y − 4 = 0 và CD: x − y − 6 = 0
Suy ra C = CD ∩ AC ⇒ C ( 5; −1) ⇒ B (1; −1) ⇒ BC : y = −1 .
Khi đó AH : x = 2 ⇒ A ( 2; 2 ) .
Vậy A ( 2; 2 ) ; B (1; −1) ; C ( 5; −1)

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M (5;7) nằm trên cạnh BC. Đường
tròn đường kinh AM cắt BC tại B, cắt BD tại N (6; 2) , đỉnh C thuộc đường thẳng d : 2 x − y − 7 = 0 . Tìm
tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2.

Lời giải:
Ta có tứ giác ABMN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM
do vây ANM = 900 . Mặt khác AMN = ABN = 450 (cùng chắn
AN )
Do đó ∆ANM vuông cân tại N. Ta có: AN : x − 5 y + 4 = 0 .

Gọi A ( 5t − 4; t ) . Khi đó: AN = MN ⇔ ( 5t − 10 ) + ( t − 2 ) = 16
2

2

⇔ t = 3 ∨ t = 1 ⇒ A (1;1) ( do xA < 3) . Gọi C ( u; 2u − 7 )
Lại có: NA = NC ⇔ ( u − 6 ) + ( 2u − 9 )
2

2

u = 7
= 26 ⇔ 
13
u = ( loai )
5


Do vậy C ( 7; 7 ) ⇒ K ( 4; 4 ) ⇒ AC : x − y = 0; BD : x + y − 8 = 0
Lại có: BC : x = 7 ⇒ B ( 7;1) ⇒ D (1; 7 ) .
Vậy A (1;1) ; B ( 7;1) ; C ( 7;7 ) ; D (1;7 ) .

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; 5) và điểm M(0; -2) là trung điểm
cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C. Đường phân giác của góc DME cắt
đường cao hạ từ đỉnh A tại điểm I(0; 3). Tìm toạ độ các đỉnh B, C biết rằng điểm B có hoành độ âm
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


FB: LyHung95

Lời giải:
Gọi K là trung điểm AH (H là trực tâm ∆ABC ), J là tâm
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có:
Vì ADH = AEH = 90o → ADHE nội tiếp ( K ; KD )
Suy ra KD = KE
Lại có tứ giác EDCB nội tiếp ( M ; MD ) → MD = ME
Suy ra MK là trung trực của DE
→ MK là phân giác góc DME → K ≡ I
Vì I là trung điểm AH → H (1;1)
Mà ta có AH = 2 JM → J ( −1;0 )
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là:

( C ) : ( x + 1)

+ y 2 = 25
Phương trình BC qua M vuông góc AH là
BC : x − 2 y − 4 = 0
Tọa độ B, C là nghiệm hệ:
2

 x = 4; y = 0
 x − 2 y − 4 = 0
 B ( −4; −4 )
→
→
( xB < 0 )

2

2
( x + 1) + y = 25  x = −4; y = −4 C ( 4;0 )
Vậy B ( −4; −4 ) ; C ( 4;0 ) là các điểm cần tìm

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016