www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

PGS.TS LÊ ANH VŨ - TS. TRÀN Lưu CƯỜNG
TS. HUỲNH CÔNG THÁI - TS. NGUYỄN PHÚC SƠN

rv

Bí Quyết

^

V

ot í

PHÁT HIỆN RA “M A N ^âỐ I”
ĐẺ LỰA CHỌN CÁCH GIẢI HÍẾU QUẢ NHẤT

ĐỀ THI Đ\A■
y ÌrlỌ■C
CÂU VI. HÌNH hỊ0 XOY & XOYZ
CUỐN 4.

^

„

,

01. CáGjỹaì lầm dễ bị mắc phải
02. cầfeh khắc phục để đạt điểm tối đa
O ậ ^h â n tích đặc điểm bài toán để tìm cách giải hiệu quả nhất
1&. Bình luận & nhận xét để học sinh nắm rõ từng góc cạnh của bài toán

NHÀ XUÁT BÀN ĐẠI HỌC sư PHẠM
TP. HÒ CHÍ MINH


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

PGS.TS LÊ ANH VŨ - TS. TRÀN Lưu CƯỜNG
TS. HUỲNH CÔNG THÁI - TS. NGUYỄN PHÚC SƠN

rv

Bí Quyết

V

ot í

PHÁT HIỆN RA “M A N ^âỐ I”
ĐẺ LỰA CHỌN CÁCH GIẢI HÍẾU QUẢ NHẤT

ĐỀ THI Đ\A■
y ÌrlỌ■C
CÂU VI. HÌNH hỊ0 XOY & XOYZ

CUỐN 4.

$

.

.

01. CáGjỹaì lầm dễ bị mắc phải
02. cầfeh khắc phục để đạt điểm tối đa
O ậ ^h â n tích đặc điểm bài toán để tìm cách giải hiệu quả nhất
1&. Bình luận & nhận xét để học sinh nắm rõ từng góc cạnh của bài toán

NHÀ XUÁT BÀN ĐẠI HỌC sư PHẠM
TP. HÒ CHÍ MINH


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

Phàn 1.
HÌNH HỌC TRONG MẶT
PHẲNG OXY
fy
§1. ĐƯỜNG THẲNG
O
.6
N KIẾN THỨC THIẾT YẾI
I. Vectơ đặc trưng eử^đường

thẳng:
1. Vectơ chỉ phươnâ>^(VTCP) của
đường thẳng Ạ l|jiỂ ctơ có giá song
song với A.
2. Vectơ pháp ậtíyen (VTPT) (còn gọi
là pháp
của đường thẳng A
là vectc&£0 giá vuông góc với A.
A


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

Nhân
m xét:
y ũ là vectơ chỉ phương của A, n
là vectơ pháp tuyến của A thì
ũ .n = 0
0*y
Do đó: nếu ũ = (a; b) thì ií^ ịb ;
-a) hay n = (-b; a).
.<ỷỵr
y Một đường thẳng
số các
vectơ chỉ phươngJềong song
nhau
'
và5 có

■' vôộểô
"ôềố các vectơ
pháp tuyến //J$iau.
II. Các dạng phiPQ?)gtrình đường thẳng:
1. Phương0«ưính tổng quát của
đường thang:
Đườngphẳng d có pháp vectơ ri =
( A ; ^ với À + B2 * 0 có phương
"
~ A ( x - x 0) + B ( y - y 0) = 0
trình là: (Nếu d qua M(xn; yn))
Ax + By + C = 0


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

2. Phương trình tham số:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
ả
= (ái; a2) và qua M(x0; y0) co
ịx = xn+a,t
Ay
phương trình là: ị
0
[y = ĩo + a 2

R) t là tham số.
V


3. Phương trình chíEự^tắc: Đường
thẳng d có v e c ^ chỉ phương
ã
= (ai; a2) vàọ^qua M(x0; y0) có
cr
phương trìnhlậ;
0=
0
a1
a2
• Quy | lc ; Nếu mẫu số bằng 0 thì
tử s6$ang 0.
• phương trình đường thẳng qua

đ(xÀ, Ya);
ịả.

x

B(xb; yB) có phương trình

-X ạ _ y - y A

' XB ~ XA

yB- y A


www. docsachtructuyen. vn


Hotline: 08 668 595 22

4. Phương trình đoạn chắn:
Đường thẳng d cắt trục Ox tại
A(a; 0) và cắt Oy tại B(0; b) có
phương trình là: —+ — = 1

Qq^\ V
5. Php&ng trình theo
hệ số góc:
^ Định nghĩa hệ số góc:
Đường thẳng d tạo với trục Ox góc a
thì hệ số của d là: k = tana
m


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

Phương trình đường thẳng d:
y = k { x - x 0) + yQ
y = kx + m
Chú ý: Đường thẳng X = a
không có hệ số góc.
'•V
/ỵ
(hoảng cách


v

y

. ẻp

Khoảng cách từ?M(XM; Ỵ m ) đến
đường thẳng Ạ ^ x + by + c = 0 là

\la2 + b 2
n°Ầ
Kl^ểầng cách giữa hai đường
tỊpẳng di, d2 song song là khoảng
^cách từ một điểm M bất kỳ thuộc
đường thẳng này đến đường
thẳng kia.


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

IV. Góc:
* Góc tạo bởi hai vectơ ã và b bất
■

kỳ là cos(ẫ,ò) = a'k

fy


o
---------V ,XỶ
* Nếu ã và b lần lượtJà t^ v e c tơ
chỉ phương của h a i t h ẳ n g di,
I

II \

r

I

I

\

II w

cos$> = COS.^ ,« 5 ) = cos(á,5) =
Nív'

.'■■■

^

b

-o° ■
(Cựy<9Ò°)
« í*


Chú ý: Ta có thể tính góc tạo bởi
hai đường thẳng dựa vào hai
vectơ pháp tuyến.


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

V. Phương trình đường phân giác
của hai đường thẳng cắt nhau:
Cho hai đường thẳng cắt nhau:
ch: aiX + biy + Ci = 0

ó*

và d2: a2x + b2y + c2 = 0
thì phương trình phân g iá í^ủ a gĩc
tạo bởi d i, d2 là V ;
a^x + ò / + Cị
V

a ?

+ Ử

<=> ti - ±Ỉ2
* Cách vi


f

#

+ b2y + c 2
ử

phương trình đường

Phân giác Phân giác
góc nhọn
góc tù
aậằ2 +bifcfc> 0
ti = —Ỉ2
ti = Ỉ2
3-|32 + bib2 ti = —Ỉ2
ti = Ỉ2
<0
Dấu ịìĩlu
Ợ- \


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

BI LÀM CHỦ CÁC DẠNG TOÁN VÀ
PHƯƠNG PHẦP GIẢI
*


Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN TÌM
TOẬ ĐỌ CỦA CÁC ĐIỂM ĐẶp
BIỆT TRONG TAM GIÁC
^
1. Các điểm đặc biệt troỊf|j tam
giác ABC gồm:
^
+ Trọng tâm
V
+ Trực tâm
+ Chân đường ptaển
giác trong
ơo

/

.ịếbhân dường phân giác ngoài
+ Tâm đường tròn ngoại tiếp
+ Tâm đường tròn nội tiếp
+ Tâm đường tròn bàng tiếp


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

Bài toán 1: Toạ độ trọng tâm AABC
+ Gọi G(xg; Y g ) là trọng tâm AABC
■


thì:

■

■

x<3 = 3 (x4 + xs + x c)
1

rv
o
o

y s = x ( y đ + y s + / c) ,< /
^
Tính chất trung tu y ế n ^
_

,

AG = 2GM = - A M ^
3 0\
Bài toán 2: Toat^íọ trọng tâm AABC
+ Gọi H(xH;^Ố là trực tâm AABC thì
f—

-*

ọ —— -


AH.BC = 0
<
BH.AC = 0
+ Giải hệ trên ta tìm được H.
■

■


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

Bài toán 3: Toạ độ tm đường tròn
í IA2 _ /D2
ngoại tiếp AABC thì
1IA2 = IC 2
+ Giải hệ trên ta tìm I. L
Bài toán 4: Toạ độ chân đâpơng
.phân giác trong góc A
+ Gọi D(xd; Y d )
c^tn đường
..
,
J £ Ỉ0 B
AB
phân giác t r o n g v f y — = ——
''ỵỉkS''
•

AỆ&
=>DB = - m é c
—

■

+ Giải hê tten ta tìm đươc
D.
■


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

Bài toán 5: Toạ độ chân đường
phân giác ngoài A
+ Gọi E(xe; Y e ) là chân đường phân
giác ngoài kẻ từ A thì
EB AB
—
AB —
= —— => EB = ——.Ạ 0
EC AC
AQịỊy
+ Giải hệ trên ta tìm E. Ặp
Bài toán 6: Tìm toạ.đọ tâm đường
tròn nôi tiếp ÀABCA^
ộy'



www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

+ Trong AABD, tìm J là chân
đường phân giác trong B thì J là
tâm đường tròn nội tiếp AABC.
Bài toán 7: Tìm Toạ độ tâm đưộrrg
tròn bàng tiếp góc A
^
+ Tìm D là chân đường ^ â n giác
trong A
v
0O°
+ Tìm K là chân cỊỊ^&ng phân giác
ngoài B trong ^ẦBD thì K là điểm
cần tìm.
X?
2. Luyện g ỉ^ ả ê thỉ Đại Học______
Đề 1: CtatóặBC có A(1; -3); B(-5;
0);
toạ độ các điểm:
a) Tíực tâm AABC
V
fafchân đường phân giác trong A.
ì>’i giải
a) Gọi H(a; b) là trực tâm của AABC
thì



www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

A H 1 BC
BH 1 AC
AH.BC = 0
<=> <
BH.AC = 0
(a-1;ò + 3 ) ( 7 ; - 1 ) ^
<=>
(a + 5;ò)(1;2) =V p
/
V
a=1
o
A
b = -3
&
Vậy H(1;
b) Gọi D(ạpDỊ<ăầ chân đường phân
giác tRắỊg A

DC

AC

DB = - — .DC = -3DC

AC


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

- 5 - a = -3(2 - a)
c> <
- b = -3 (-1 - b)
1

a=—
L
'V
4
<=> <
•<
>
'V
3
a=—
x*
4 V
X
X?
(1 3 N .vv
'V
Väy
D

­
•7
/i ’ /i
v
D i 2: (DH A -J&04)
Cho A (Q ^kife(-V 3; -1). Tim toa
(Jo tr^gstam vä täm cfu’ö’ng trön
n g ^ fli^ p AOAB._____________ ^
^
Lai giäi
^G o i H(a; b) lä tripc täm cüa AOAB
... ÖHÄB = 0 ...................... .
(Hoc sinh tif giäi)
AH.OB = 0


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

• Gọi l(a; b) là tâm đường tròn
/o 2 = IA2
ngoại tiếp AOAB thì
\ i o 2 = IB 2
u\2 ^
ad + b 2 = a2 + /n
(2 - ò)2
<x> <
a2 + b 2 = ỊVã + aj -t$ỉ+ ò)2
V

b=1
7

a=á

^
/

-J>

&

7

\

— T=;1 .

1

J

£
Đề 3: (Đề t$ầ)H D - 2003)
Chò gABC có A (-1; 0), B(4; 0)
vàjSĨ0; m) với m * 0. Tìm toạ độ
trong %tâm G. Tìm m để AGAB
vuôngw __tại
G.

_______
:______
7 \ giải
Toạ độ trọng tâm G ^1;—^
V 3,
■

■

■


www. docsachtructuyen. vn

í

Hotline: 08 668 595 22

m\

• GA =

í

m\

; GB =
’ °3y
V ’ 3 ’
_ v __

AGAB vuông tại G <=> GA.GB = 0
2

rv

C5> —6 + —— = 0 C5> IT1 = ± 3 a/ 6 . . 4 v
c

điểm AB; G ià fÊọng tâm AACM
và I là tâm đys&ng tròn ngoại tiếp
AABC. Chiêng minh IG 1 MC.
--------------------------------- ^
L (

.M ^ 1 ;3 ) vàG ^ ;3
^ Gọi l(a; b) là tâm đường tròn
AAD n ^ í IA2
ngoại
tiêp
AABC
thN t/ - * 2
"
t / 12

= IB


WW W . docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

a2 + (6 - b f = (2 + a)2 + b 2
о <
a2 + (6 - b f = (2 - a)2 + b 2
a=0
fy
a + 3b = 8
, Q
c?
о
a - 3b = -8
t> = - V*
3-'/
V °y
•A>
f 1 1^ — * ^ v

-P

0 ; l

• IG =
■

я

;'Ỉ

;

M &

V3 3 J o<$

< 3 ;

_ 3 )

/G.MŨSỨ3 . - - 3 .- = 0

У
3
3
IG°1 CM (đpcm).
&
Đề ọf(Đề thi Đ H D - 2010)

^ C h o AABC có A(3; -7), trực tâm
H(3; -1), tâm đường tròn ngoại
tiep AABC là l(-2; 0). Tìm toạ độ
С biết Xc > 0.


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22
U

Đẻ ý:

Xa

, ■ ■
?■

ìyi giải

= XH = 3

> phương trình đường thẳng BC
là: y = m
o0^
___

'

'L

Lấy B(a; m) và C(b; m) với<^ i> 0
A

B

■£>ỵ

----------------------------- :

(P '
BH iM Ỏ o . BHÃỖ = 0
s>

<ặf{3 - a)(b - 3) - (1 + m)(m + 7) = 0
(1)
IA2 = IB‘
74 = (a + 2)2 + m2
• <
<=> <
74 = (b + 2)2 + m2 (2)
ỈA2 = lơ

p


WW W . docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

b = -a - 4 thế vào (1 ) ta được:
(3 - a)(-a - 7) - (1 + m)(m + 7) = 0
C5> a2- m2+ 4a - 8m - 28 = 0
fy
,
\{a + 2 f + m 2 = l A
с
• Giải hệ Г
L
.Ар
[а 2 - т2 + 4а - 8m^2Í8
_

<х>

а2 + 4а + т2 = 70

^

V

ẶỸ

а2 + 4а - т2 - 8гцъ?28
__ л

=> m2 + 4 m - 2 1 # и
“ c f5
+ Với т =

~~ _
|_/77 = -7

vào (2) ta được:

ь =0о2 - Тб5 (do b > 0)
= 3 jS ^ - 2 - ^ ; 3 j
^V ớ i m = -7 thế vào (2) ta được: b =
3 (do b > 0) => C(3; -7) (loại)
Vậy с |-2 -л /б 5 ;з | là điểm cần tìm.


WW W . docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

3. Đê luyện tập củng cố kỹ năng giải
toán
Đề 6: (Đề thi ĐH В - 2003)
Cho AABC vuông cân tại A. ^ế t
M(1; -1) là trung điểm B.Q,°ỡvà
2
G —;0 là trọng tâm.
tân Tieft toạ độ
J

'

V

V: sỷ

'

'

các điểm của AABQ;
Hướng dẫn
^
• AAABC
G --đ
A D L r có
СО О
là trong tâm^ên в

А вщ ,ё в м ^> А
м с
• AABÆPcân tại A nên GM 1 ВС
^°BC: X - Зу - 4 = о
.И -ấy В(3а + 4; а) => С(-За - 2;
-2-а)
•
ААВС vuôn
tai
A
nên
ABAC= о


WW W . docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

Đê 7: Cho ЛАВС CÓ A(1 ; -1), B(5; -3)
và điểm С G Oy, trọng tâm
G G Ox. Tìm С và G.
Hướng dân
• C(0; a) và G(b; 0)
_

хя+ XD

• Giải hê ị
{УА+ У в + У с = 0 а
Đề 8: Cho AABC.^èo A(-1; 7),

B(4; -3) và C H ; ty*
Tìm tâm đ ư ^ig tròn nội tiếp
AABC.
vỷhĩ
Hướng dẫrị(f <$?
• Gọi Qjfä; b) là chân đường phân
từ А
до --»

4^

АП
=>D -1 ;--г
2

В

D

С


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

• Trong tam giác ABD tìm J là chân
đường phân giác trong góc B
=> J(-1; 2). Đây là tâm đường tròn
nội tiếp AABC.

l
Đề 9: Cho AABC có A(0;
và C(4; 3) ^
4?
a) Tìm điểm D sao

5)

2ÃD = 4 Ã B -3 ặ Ỗ
b) Tìm toạ đo^Viân đường phân
giác tron^kẻ từ c .
Đề 10: Chợ#?(-1; 3), B(0; 4); C(3; 5)
và D ( y & v
QỊãĩPiro^ìinh rằng: ABCD là tứ
^giác nọi tiếp. Viết phương trình
^ đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.


www. docsachtructuyen. vn

Hotline: 08 668 595 22

i Dạng 2:
1) BÀI TOÁN TÌM HÌNH CHIẾU VÀ
ĐIÊM ĐỐI XỨNG
2) ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT 3 $ l
XỨNG
'
1. Các bài toán
'3?

>
<<5>
Bài toán 1: Cho điểm Ạfvà đường
thẳng d. Tìm điểm H vjể" hình chiếu
của A lên d.
. sỹ?
o Phương pháp:Cách 1:
^
Viết plgếơng trình đường thẳng
AH qjaầ A và 1 d
+ ỔỈCU hê tao bởi
I ắ h va d => H