Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Quang Tuấn – GV trường THPT Hàn Thuyên
1. Kiến thức cơ bản
1.1. Đại số tổ hợp
1.1.1. Quy tắc cộng:
Có n1 cách chọn đối tượng A1.
n2 cách chọn đối tượng A2.
A 1 ∩ A2 = ∅
⇒ Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2.
1.1.2. Quy tắc nhân:
Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2.
⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2.
1.1.3. Hoán vị:
− Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.
− Số hoán vị: Pn = n!.
1.1.4. Chỉnh hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
n!
k
− Số các chỉnh hợp: An =
(n − k )!
1.1.5. Tổ hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần
tử.
n!
k

− Số các tổ hợp: Cn =
k !(n − k )!
k
n −k
k −1
k
k
− Hai tính chất: Cn = Cn , Cn−1 + Cn−1 = Cn
1.1.6. Nhị thức Newton
n

(a + b) n = ∑ Cnk a n−k b k = Cn0 a n + Cn1a n−1b + ... + Cnnb n
k =0

k n −k k
− Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cn a b
n
0
1
2 2
n n
− Đặc biệt: (1 + x) = Cn + xCn + x Cn + ... + x Cn
1.2. Xác suất

1.2.1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển: P ( A ) =
+ 0 ≤ P(A) ≤ 1

ΩA
Ω


+ P ( Ω) = 1, P ( ∅) = 0

1.2.2. Tính xác suất theo các quy tắc:
80


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

a) Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
c) Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:
P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
2. Các dạng toán
2.1. Bài toán đếm:
Ví dụ 1. Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
Lời giải
Gọi số cần tìm là abcde ( a ≠ 0 )
Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: A52 cách
3 vị trí còn lại có A43 cách
Suy ra có A52 A43 số
Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.
Xếp 3 có 4 cách
3 vị trí còn lại có A43 cách
Suy ra có 4.A43 số

Vậy số các số cần tìm tmycbt là: A52 A43 − 4. A43 = 384
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai
chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.
Lời giải
Từ giả thiết bài toán ta thấy có C52 = 10 cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0
đứng đầu) và C53 =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có C52 . C53 = 100 bộ 5 số được chọn.
Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả C52 . C53 .5! = 12000 số.
Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là C41 .C53 .4! = 960 .
Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.
Lời giải
Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là C126
Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối
81


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là: C76
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là: C96
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là: C86
Số cách chọn thoả mãn đề bài là: C126 − C76 − C96 − C86 = 805 (cách)
Ví dụ 4. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm
phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439.
Lời giải
Nếu n ≤ 2 thì n + 6 ≤ 8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không
vượt qua C83 = 56 < 439 (loại). Vậy n ≥ 3

Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh
CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:
Cn3+6 − C33 − Cn3 =

( n + 4 ) ( n + 5 ) ( n + 6 ) − 1 − ( n − 2 ) ( n − 1) n = 439
6

6

⇔ (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540
⇔ n2 + 4n – 140 = 0
Từ đó tìm được n = 10.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010.
2) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên
đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n ≥ 2 ). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã
cho. Tìm n.
3) Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
2.2. Nhị thức Newton:
n

1 

Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức  2.x +
÷,
x


biết rằng


An2 − Cnn+−11 = 4n + 6
Lời giải
Giải phương trình An2 − Cnn+−11 = 4n + 6 ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n ∈ N.
Phương trình tương đương với n(n − 1) −

(n + 1)!
n(n + 1)
= 4n + 6 ⇔ n(n − 1) −
= 4n + 6
2!( n − 1)!
2

⇔ n2 – 11n – 12 = 0 ⇔ n = - 1 (Loại) v n = 12.
12

1 

Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:  2x +
÷ .
x

82


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015
k


12 − k

k
12

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk +1 = C (2 x)
k

Hay Tk+ 1 = C k ( 2 x ) 12 −k .x − 2 = C k .212−k.x
12
12

24−3 k
2

 1 

÷ ; k ∈ N, 0 ≤ k ≤ 12
 x

.

k ∈ N , 0 ≤ k ≤ 12
⇔ k = 8.
Số hạng này không chứa x khi 
24
−
3
k
=

0

Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 = C128 24 = 7920
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 .
Lời giải
Điều kiện n ≥ 4
n

k 2 k n−k
Ta có ( x + 2 ) = ∑ Cn x 2
2

n

k =0

Hệ số của số hạng chứa x8 là Cn4 2n− 4
Hệ số của số hạng chứa x8 là Cn4 2n− 4
Ta có: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49
⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7
Nên hệ số của x8 là C74 23 = 280
Ví dụ 3 (ĐH). Cho khai triển đa thức: ( 1 − 2 x )

2013

= ao + a1 x + a2 .x 2 + ... + a2013 .x 2013

Tính tổng: S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 2014 a2013
Lời giải

Ta có: x(1 − 2 x) 2013 ′ = a + 2a x + 3a x 2 + ... + 2014a

(

)

0

1

2

2014

x 2013 .

⇔ (1 − 2 x) 2013 − 4026 x(1 − 2 x)1012 = a0 + 2a1 x + 3a2 x 2 + ... + 2014a2013 x 2013 (*).
k
k
Nhận thấy: ak x = ak (− x) do đó thay x = −1 vào cả hai vế của (*) ta có:

S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 2014 a2013 = 1343.32213
Ví dụ 4 (ĐH). Cho khai triển: ( 1 + 2 x )

10

(x

2


+ x + 1) = ao + a1 x + a2 x 2 + ... + a14 x14 . Hãy tìm giá trị
2

của a6 .
Lời giải
1
3
Ta có x 2 + x + 1 = (2 x + 1) 2 +
nên
4
4
83


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

( 1 + 2x)

10

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

1
3
9
(1 + 2 x)14 + (1 + 2 x)12 + (1 + 2 x)10
16
8
16


( x 2 + x + 1) 2 =

Trong khai triển ( 1 + 2x )

hệ số của x 6 là: 26 C146 ; Trong khai triển ( 1 + 2x )

14

12

hệ số của x 6 là:

26 C126
Trong khai triển ( 1 + 2x )
Vậy hệ số a6 =

10

hệ số của x 6 là: 26 C106

1 6 6 3 6 6 9 6 6
2 C14 + 2 C12 + 2 C10 = 41748.
16
8
16

2
4
6
100

+ 8C100
+ 12C100
+ ... + 200C100
Ví dụ 5 (ĐH). Tính giá trị biểu thức: A = 4C100
.

Lời giải
Ta có: ( 1 + x )

100

0
1
2
100 100
= C100
+ C100
x + C100
x 2 + ... + C100
x

(1− x)

100

0
1
2
3
100 100

= C100
− C100
x + C100
x 2 − C100
x 3 + ... + C100
x
(2)

Lấy (1)+(2) ta được: ( 1 + x )
Lấy

đạo

hàm

100 ( 1 + x ) − 100 ( 1 − x )
99

99

100

+ ( 1− x)
hai

100

(1)

0

2
4
100 100
= 2C100
+ 2C100
x 2 + 2C100
x 4 + ... + 2C100
x

vế

theo

ẩn

x

ta

được:

2
4
100 99
= 4C100
x + 8C100
x 3 + ... + 200C100
x

2

4
100
+ 8C100
+ ... + 200C100
Thay x=1 vào => A = 100.299 = 4C100

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 1 3
+
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
 x

10


x ÷ với x > 0.


0
1
2
2012
C2012
C2012
C2012
C2012
+
+
+L +
2) Tính tổng: T =

1
2
3
2013
0
1
2 2
3
2012
C2012 2C2012 2 C2012 23 C2012
22012 C2012
−
+
−
+ ... +
3) Tính tổng S =
.
1.2
2.3
3.4
4.5
2013.2014

2.3. Xác suất:
Ví dụ 1. Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy
ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng
một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.
Lời giải
4
Số phần tử của không gian mẫu là Ω = C16 = 1820 .

Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu
vàng”. Ta xét ba khả năng sau:
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C41C53
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C41C52C71
84


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C41C51C72
1 3
1 1 2
1 2 1
Khi đó Ω B = C4C5 + C4C7C5 + C4C7 C5 = 740 .

Xác suất của biến cố B là P ( B ) =

ΩB
740 37
=
=
.
Ω 1820 91

Ví dụ 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó
có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K).
Lời giải
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là: C552 = 2598960

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc
1 bộ là: 13. C34 = 52
Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài
52
13
=
.
2598960 649740
Ví dụ 3. Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số:
0,1,2,3,4,5,6,7. Lấy ngẫu nhiên một số trong E. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5.
Lời giải
thuộc 1 bộ là:

Giả sử abcde ∈E ⇒ a ≠ 0 ⇒có 7 cách chon a;
&
Chọn bcde có A 7 4 ⇒ n( E ) = 7 A 7 4 = 5880

e = 5
⇒ n(Ω) = 5880; abcde ∈ E và abcdeM5 ⇔ 
⇒ Trong E có : A 7 4 + 6A 36 = 1560
e = 0
Số chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A)=1560
1560 13
P( A) =
=
5880 49
Ví dụ 4. Cho tập E = { 1, 2,3, 4,5} . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số
đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.
Lời giải
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là: 5.4.3 = 60

Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là
60 − 24 = 36 .
Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên
bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta
có:
1
1
1
C36
C36
C1 C24
13
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 1 1 + 24
=
.
1
1
C60C60 C60C60 25
85


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

13 12
=
.
25 25
Ví dụ 5. Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9.

Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt
qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
Lời giải
Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.
Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là P = 1 − P ( A ∪ B ) = 1 −

Ta có: B = A1 ∪ (A1A 2 ) ∪ (A1 A 2 A 3 )
Suy ra: P(B) = P(A1 ) + P(A1A 2 ) + P(A1 A 2A 3 )
P(A1 ) = 0,9

Trong đó: P(A1A 2 ) = P(A1 ).P(A 2 / A1 ) = 0,1.0, 7

P(A1 A 2 A 3 ) = P(A1 ).P(A 2 / A1 ).P(A 3 / A1 A 2 ) = 0,1.0,3.0,3

Vậy: P(B) = 0,9 + 0,1.0, 7 + 0,1.0,3.0,3 = 0,979
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Từ các chữ số của tập T = { 0;1;2;3;4;5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số
khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất
một số chia hết cho 5.
2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học
sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A.
3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số
trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ.
4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu
đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.

CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2
86



Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

1. Kiến thức liên quan
1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

Nguyên hàm mở rộng
∫ a.dx = ax + C , a ∈ ¡

xα +1
+ C , α ≠ −1
α +1

1 ( ax + b)α +1
α
(
ax
+
b
)
dx
=
.
+C

∫
a
α +1
dx
1
∫ ax + b = a .ln ax + b + C
1 ax +b
ax +b
e
dx
=
.e
+C
∫
a
1 aα x + β
α x+ β
a
dx
=
.
+C
∫
α ln a
1
∫ cos(ax + b)dx = a .sin(ax + b) + C
1
∫ sin(ax + b)dx = − a .cos(ax + b) + C
1
1

∫ cos2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C
1
1
dx
=
−
cot (ax + b) + C
2
∫ sin (ax + b)
a

dx

∫ x = ln x + C , x ≠ 0
∫ e dx = e + C
x

x

ax
+C
ln a
∫ cos xdx = sin x + C
x
∫ a dx =

∫ sin xdx = − cos x + C
1

∫ cos


2

x

dx = tan x + C

1
∫ sin 2 x dx = −cotx + C
1.2. Công thức tích phân
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a )

a

1.3. Phương pháp đổi biến số
b

1.3.1. Dạng 1 : Tính I =

∫ f [ ϕ ( x)]ϕ ( x)dx
'


a

+ Đặt t = ϕ ( x) ⇒ dt = ϕ ' ( x).dx
x
t
⇒ I=

ϕ (b )

∫

ϕ (a)

f (t ).dt = F (t )

a
ϕ (a)

b
ϕ (b)

ϕ (b)
ϕ (a)

b

1.3.2. Dạng 2 : Tính I =

∫ f ( x)dx bằng cách đặt x = ϕ (t )
a


87

+ Đổi cận :


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

 π π
a 2 − x 2 : Đặt x = asint, t ∈  − ;  (a>0)
 2 2
1.4. Phương pháp tích phân từng phần
Dạng chứa

* Công thức tính :

b

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ udv = uv −∫ vdu
b


a

 u = ...

du = ...dx





a

(lay
dao
(lay
nguyen

⇒
 Đặt 
dv = ...
v = ...

ham)
ham)

Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:
* Loại 1:
b
 ∫ P( x).sin f ( x).dx

a
 b
⇒ u = P( x) , trong đó P( x) là đa thức bậc n.
 ∫ P( x).cos f ( x).dx
a
b
 ∫ P( x).e f ( x ) .dx
 a
b

*Loại 2: ∫ P( x).ln f ( x).dx ⇒ u = ln f ( x)
a

1.5. Tính chất tích phân

b

a

a

∫[
a
b

Tính chất 3:

b

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ,


Tính chất 1:
Tính chất 2:

b

k: hằng số

b

b

f ( x) ± g ( x ) ] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
a

c

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a

a

( a < c < b)

c


1.6. Diện tích hình phẳng
1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
b

S = ∫ f ( x) dx
a

Lưu ý:
 f ( x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) thì

88

(*)


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015
b

b

S = ∫ f ( x) dx =

∫ f ( x)dx

a

a


 f ( x) = 0 có 1 nghiệm c ∈ (a; b) thì
b

S = ∫ f ( x) dx =
a

c

b

a

c

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:
b

S = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx (**)
a

Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức
(*).
1.7. Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:
b


V = π ∫ f 2 ( x)dx
a

Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
1

2 / B = ∫ 2 ( e + 3) dx

1 / A = ∫ (2x+e )dx

x

0

3 / C = ∫ ( sinx+ cos x ) dx

x

0

 x2 + 2 x + 3 
4 / D = ∫
÷dx
3
x
1


Lời giải

0

π

4

1

π

1

x

5 / E = ∫ ( x − sin 2 x ) dx
0

1

1

0

0

1/ A = ∫ ( 2 x + e ) dx = ∫ 2 xdx + ∫ e x dx = x 2 + e x = 1 − 0 + e − 1 = e
x


0

1

1

1

2 / B = ∫ 2 ( e + 3) dx = ∫ ( 2e ) dx +3∫
x

0

x

x

0

1

1

0

0

( 2e )
2 x dx =


x 1

1

2x
 2e − 1  3
+3
=
÷+
ln 2e
ln 2 0  ln 2e  ln 2
0

0

π

π

π

0

0

0

3 / C = ∫ ( sinx + cos x ) dx = ∫ sinxdx + ∫ cos xdx = − cos x 0 + sin x 0 = 2
π


π

4

4
5
1
−
1
4
x 3
2 − 32
3 −2 4
−3 
2
4 / D = ∫  + 3 + 3 ÷dx = ∫  + x + 3x ÷dx = ln x 1 − x
+
x
=
1
x x
x 
x
3
−2

1
1
1
4


89


Sở GD&ĐT Bắc Ninh
π

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015
π

π

π

π

1 2
1
π2
5 / E = ∫ ( x − sin 2 x ) dx = ∫ xdx − ∫ sin 2 xdx = x + cos 2 x =
2 0 2
2
0
0
0
0
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
6

1 / I = ∫ x x + 3dx

1

1

2x + 1
dx
0 1 + 3x + 1

2/ J = ∫

e
 1
2ln x + 1
3 / K = ∫ 
+
x x ( ln x + 1)
1


÷
÷dx


ln 2

4/ L =

∫
0


1 

x+ x
÷dx
2e + 1 


Lời giải
6

1 / I = ∫ x x + 3dx
1

• Đặt x + 3 = t ta được x + 3 = t 2 ⇒ dx = 2tdt
• Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2; x = 6 ⇒ t = 3
3

3

232
2 5
3
• Khi đó I = ∫ ( 2t − 6t ) dt =  t − 2t ÷ =
5
5
2
2
4

2


1

2x + 1
dx
0 1 + 3x + 1

2/ J = ∫

t2 −1
2
⇒ dx = tdt
• Đặt 3 x + 1 = t ta được x =
3
3
• Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2
2
2
2 2t 3 + t
2  2
3 
28 2 3
dt = ∫  2t − 2t + 3 −
− ln
• Khi đó J = ∫
÷dt =
9 1 1+ t
9 1
t +1
27 3 2

 1
2ln x + 1 
3 / K = ∫ 
+
÷dx
x x ( ln x + 1) ÷
1

e
1
dx ta được kết quả K1 = 2
• Tính K1 = ∫
x
1
dx
• Đặt ln x = t ta được dt =
x
x
=
1
⇒
t
=
0;
x
=
e
⇒ t =1
• Đổi cận
e


(

1

)

e −1

1
2t + 1
dt = ( 2t − ln ( t + 1) ) = 2 − ln 2
0
t +1
0

• Khi đó K 2 = ∫
•

Vậy ta được K = K1 + K 2 = 2 e − ln 2
ln 2

4/ L =



∫  x + 2e
0

1

x


÷dx
+1

90


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

ln 2

• Tính L1 =

1

∫ xdx ta được kết quả I = 2 ln

0
ln 2

• Tính L2 =

∫ 2e

1
x


0

+1

2

2

dx

• Đặt e = t ta được e x dx = dt
• Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2
2
2
dt
5
6
= ( ln t − ln ( 2t + 1) ) = ln 2 − ln = ln
• Khi đó L2 = ∫
1
t 2t + 1)
3
5
1 (
x

•

Vậy ta được L = L1 + L2 =


1 2
6
ln 2 + ln
2
5

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
π
4

π

1 / I = ∫ ( 1 − sin 3 x ) cos xdx

2/ J = ∫
π
6

0

1
dx
2
sin x cos 4 x

π

3 / K = ∫ ( sinx + x ) sin xdx
0


Lời giải
π
2

1/ I = ∫ ( 1 − sin 3 x ) cos xdx
0

• Đặt sin x = t ⇒ dt = cos xdx
π
• Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1
2
1

 t4 
3
• Khi đó I = ∫ ( 1 − t 3 ) dt =  t − ÷ =
4 0 4

0
1

π
4

2/ J = ∫
π
6

1

dx
sin x cos 4 x
2

−1
dx
sin 2 x
π
π
• Đổi cận x = ⇒ t = 3; x = ⇒ t = 1
6
4
• Đặt cot x = t ⇒ dt =

3

2

π

3

3

1

• Khi đó J = ∫ 1 + 2 ÷ dt =
t 
1 


2 1
8 3 4

 2 1 
∫1 1 + t 2 + t 4 ÷dt =  t − t − 3t 3 ÷ 1 = 27 + 3

π

π

3 / K = ∫ ( sinx + x ) sin xdx = ∫ sin xdx + ∫ x sin xdx
2

0

π

0
π

0

1 − cos 2 x
1
dx = π
2
2
0

2

• Đặt K1 = ∫ sin xdx = ∫
0

91


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

π

•

K 2 = ∫ x sin xdx
0

•

u = x
du = dx
⇒

dv = sin xdx v = − cos x

•

K 2 = − x cos x 0 + ∫ cos xdx = π + sinx 0 = π

π


π

π

0

* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có
luỹ thừa cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
dx
- Nếu tích phân chứa
thì đặt t = ln x .
x
- Nếu tích phân chứa e x thì đặt t = e x .
dx
- Nếu tích phân chứa
thì đặt t = x .
x
dx
1
- Nếu tích phân chứa 2 thì đặt t = .
x
x
- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t = sin x .
- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t = cos x .
dx
- Nếu tích phân chứa

thì đặt t = tan x .
cos 2 x
dx
- Nếu tích phân chứa
thì đặt t = cot x .
sin 2 x

Ví dụ 3. Tính các tích phân
π
2

a) I = x sin xdx
∫
0

e

b) J = ∫ x ln xdx
1

Lời giải
π
2

a) I = x sin xdx
∫
0

u = x
du = dx

⇒
 
dv = sin xdx v = − cos x

92

1

c) K = ∫ xe x dx
0


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

π
2

π
2
0

π

 I = − x cos x + cos xdx = 0 − 0 + sinx 2 = 1
∫
0
0


e

b) J = ∫ x ln xdx
1

1

du
=
dx

u = ln x
x
⇒
 
2
dv = xdx v = x

2
e

e

e

e

x2
x
x2

x2
e2 + 1
 J = ln x − ∫ dx = ln x −
=
2
2
2
4 1
4
1
1
1
1

c) K = ∫ xe x dx
0

u = x
du = dx
⇒
 

x
x
dv = e dx v = e
 K = xe

x 1
0


1

1

− ∫ e x dx = e − e x = 1
0

0

Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
2
ln 4
 x

1 − x2 
1 
1 / I = ∫  x2 +
dx
2
/
J
=
e
+

÷dx
÷
3
∫
x

x
+
x
e +2

1
0 
Lời giải
2
2
2
 2 1 − x2 
1 − x2
2
1/ I = ∫  x +
dx
÷dx = ∫ x dx + ∫
x + x3 
x + x2
1
1
1

2

3/ K = ∫
1

x2 − 1
ln xdx

x2

2

2

1
7
Tính I1 = ∫ x dx = x 3 =
3 1 3
1
2

2

2

1− x
dx = ∫
x + x3
1
1

I2 = ∫

2

Vậy I = I1 + I 2 =

1


1
+
x
2
−
1
2 d
÷
4
x
1



x2
dx = − ∫
dx = − ln  + x ÷ = ln
1
1
5
x
1
1
+x
+x
x
x

7

4
+ ln
3
5

93


Sở GD&ĐT Bắc Ninh
ln 4

2/ J =

∫
0

ln 4
ln 4
 x
1 
1
x
dx
e + x
÷dx = ∫ e dx + ∫
x
e +2
e +2

0

0

ln 4

J1 =

∫ e dx = e
x

x ln 4
0

0

ln 4

J2 =

1

∫

ex + 2

0

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

=3


dx; t = e x ⇒ t 2 = e x ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx =

2
dt
t

2

2

2
3
 t 
⇒ J2 = ∫
dt = ln 
÷ = ln
t t + 2)
2
 t + 2 1
1 (
Vậy J = J1 + J 2 = 3 + ln
2

3/K = ∫
1

3
2

x2 −1

ln xdx
x2

1

u = ln x
2
du
=
dx
2

1
11





x
2
⇒
⇒
K
=
x
+
ln
x
−

x
+
Đặt 

x −1

÷

÷ dx
∫
1
x
x
dv
=
dx



x
1
1

v = x +
x2


x
2


2

1
1
5
3


⇒ K =  x + ÷ln x −  x − ÷ = ln 2 −
x
x 1 2
2


1
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.
b) y = x 2 , y = −2 x + 3 và hai đường thẳng x =0, x=2.
c) y = x 2 , y = x + 2
Lời giải
a) y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2.
 Trên [0; 2] ta có x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ [0;2]
 Diện tích của hình phẳng đã cho:
2

S=∫
0

2


1
8
x dx = x 3 =
3 0 3
2

b) Đặt f1 ( x) = x , f 2 ( x) = −2 x + 3
2

 x = 1 ∈ [0;2]
2
2
Ta có: f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 ⇔ x − ( −2 x + 3) = 0 ⇔ x + 2 x − 3 = 0 ⇔ 
 x = −3 ∉ [0;2]
 Diện tích hình phẳng đã cho
94


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

2

S = ∫ | x 2 + 2 x − 3 | dx
0

1

2


= ∫ ( x 2 + 2 x − 3)dx + ∫ ( x 2 + 2 x − 3)dx
0

1

1

2

 x3

 x3

=  + x 2 − 3x ÷ +  + x 2 − 3x ÷
 3
0  3
1
=

1
8
1
5 7
− 2 + + 4 − 6 − −1 + 3 = + = 4
3
3
3
3 3


 x = −1
2
2
c) Ta có: x − ( x + 2) = 0 ⇔ x − x − 2 = 0 ⇔ 
x = 2
Diện tích hình phẳng
2

 x3 x 2

8
1 1
9
S = ∫ | x − x − 2 | dx =  − − 2x ÷ = − 2 − 4 + + − 2 =
3 2
2
 3 2
 −1 3
−1
2

2

Ví dụ 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn
bởi y = 1 − x 2 , y = 0
Lời giải
 Ta có: 1 − x 2 = 0 ⇔ x = ±1
b

2

 Áp dụng công thức: V = π ∫ f ( x)dx
a

1

1


2x 3 x5 
+ ÷
 Ta có: V = π ∫ (1 − x ) dx = π ∫ ( 1 − 2x + x ) dx = π  x −
3
5  −1
−1

−1
2 2

1

2

4

 2 1  
2 1 
4 2  16π

= π 1 − + ÷−  −1 + − ÷ = π  2 − + ÷ =
3 5 

3 5  15

 3 5  
Bài Tập tự luyện
Bài 1: Tính các tích phân sau
1

1. ∫ ( x + x + 1)dx
3

0

π
2

4. ∫ (2sin x + 3cosx + x) dx
π
3

e

1 1
2
2. ∫ ( x + + 2 + x )dx
x x
1

2

3.


5. ∫ (e + x)dx
0

95

x + 1dx

1

1

x

∫
1

6.

∫ (x
0

3

+ x x )dx


Sở GD&ĐT Bắc Ninh
2


7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
1

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015
π
2

1
8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx
x
π

1

x
2
9. ∫ (e + x + 1)dx
0

3
e2

3

10.

∫ (x

3


7x − 2 x − 5
dx
11. ∫
x
1

+ 1).dx

−1
4

13.

∫ (x

2

2

 1 1
14. ∫  2 + 3 ÷dx
x
x 
1

− 4)dx

−3



1
16. ∫  4 x − 3 2
3 x
1
8

2

12.

∫ x( x − 3)dx

−2
2

x2 − 2x
dx
15. ∫
x3
1


÷dx


Bài 2: Tính các tích phân sau
π
2

1. ∫ sin xcos xdx

3

2

2.

π
3

∫

1 + 4sin xcosxdx

1

4. ∫ x 1 − x dx
2

5.

0

π
2

7. ∫ e

2
3. ∫ x x + 1dx
0


sin x

1

x2

∫

x3 + 1

0

dx

cosxdx

8. sin 2 x(1 + sin 2 x)3dx
∫

0

1

9

cos x

∫ 6 − 5sin x + sin


x
13. ∫ e

2

+2

2

x

dx

11.

∫
4

14.

0

1

16. ∫ x x + 1dx
0

ln 5

dx

19. ∫ x
e + 2e − x − 3
ln 3
1 − x 2 dx

0

1 + ln x
dx
x

∫
1

2 2

5
3 6
9. ∫ x (1 − x ) dx
0

12.

17. ∫ x

2

x + 5dx
3


1 + 4sin x .cos xdx

15.

sin(ln x)
dx
x
1

∫

8

18.

1

∫x

x2 + 1

3

20. ∫ e dx
23.

∫
0

0


1

π
6

e

1

1

∫

x
dx
x −1

e

xdx

x

∫ (1 + 3x ) dx
1

0

π

6

6.

0

π
2

π
4

22.

1

0

1

12.

π
6

−x

π
3


sin x
dx
3
x

0

∫ cos

1

1

∫
0

21.

0

1
4− x

2

dx

24.

0


Bài 3: Tính các tích phân sau

96

1

∫1+ x

2

dx

dx


Sở GD&ĐT Bắc Ninh
1.

π
2

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015
1

∫ x cos

2

2. ∫ e sin xdx

x

xdx

0

0

1

4. ∫ xe dx

5.

0

π
2

∫ x ln xdx

6. ( x 2 + 1)sin xdx
∫

1

π
2

0


π
2

7. ( x + cos 2 x)sin xdx
∫

1

8. e 2 x sin 3xdx
∫

0

0

1

3. (2 x − 1)cosxdx
∫
0

e

x

π
2

2x

9. ∫ ( x − 2)e dx
0

e

10. ∫ x ln(1 + x )dx

11. ∫ (2 x + 2) ln xdx

2

0

1

2

12.

π
2

∫ x cos x dx
0

1

13. ∫ (2 x + 7) ln( x + 1) dx

2x

14. ∫ ( x − 2)e dx

0

0

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
2
a) y = − x 3 + x 2 − , trục hoành, x = 0 và x = 2.
3
3
2
b) y = x + 1, x = −1, x = 2 và trục hoành.
c) y = x3 − 12 x, y = x 2
d) y = x 3 − 1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2.
e) y = x 2 − 4 x, y = 0, x = 0, x = 3
3π
2
x
g) y = e , Ox, x = 0, x = 3
f) y = sinx, y=0, x=0, x=

Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục
hoành:
a) y = x 2 − 4 x, y = 0, x = 0, x = 3
b) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π
c) y = tan x, y = 0, x = 0, x =

π

4

d) y = 2 − x 2 , y = 1
1
e) y = ln x, x = , x = e, y = 0
e

97


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2
1. Kiến thức liên quan
1.1. Một số phép toán vectơ
uuur
1. AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A )
uuur
2
2
2
2. AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A )
r r
r
r
3. a ± b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 )
r

4. k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 )
r
5. a = a12 + a22 + a32
6.
7.
8.
9.

a = b
r r  1 1
a = b ⇔ a2 = b2
a = b
3
 3
rr
a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
r r
r
r
a
a a
a cp b ⇔ a = k .b ⇔ 1 = 2 = 3
b1 b2 b3
r r
rr
a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0

rr a
10. [a, b] =  2
 b2


a3 a3
,
b3 b3

a1 a1 a2 
,
÷
b1 b1 b2 

11. M là trung điểm AB
 x + xB y A + y B z A + z B 
M A
,
,
÷
2
2 
 2
12. G là trọng tâm tam giác ABC
 x + xB + xC y A + yB + yC z A + zB + zC 
G A
,
,
,÷
3
3
3



1.2. Phương trình mặt phẳng
r
*) Phương trình mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
r
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt n = (A; B; C)
*) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là
x y z
+ + =1
a b c
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm đi qua và 1 véctơ pháp
tuyến.
98


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

*) Vị trí tương đối của hai mp (α1) và (α2) :
° (α ) cắt ( β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
A1 B1 C1 D1
=
≠
° (α ) / / ( β ) ⇔ =
A2 B2 C2 D2
° (α ) ≡ ( β ) ⇔

A1 B1 C1 D1
=

=
=
A2 B2 C2 D2

° (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0
*) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (α) : Ax + By + Cz + D = 0
Ax o + Byo + Cz o + D
d(M,α ) =
A 2 + B2 + C 2
r r
n1 . n2
*) Góc giữa hai mặt phẳng : cos((α ),(β )) = r r
n1 . n2
1.3. Phương trình đường thẳng
r
*) Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)
 x = x o + a1t

d : y = y o + a2 t ( t ∈ ¡ )
z = z + a t
o
3

*) Phương trình chính tắc của d :
d:

x − xo
a

1


=

y − yo
a2

=

z - z0
a3

*) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d’ : Ta thực hiện hai bước
r uur
+ Tìm quan hệ giữa 2 vtcp a d , a d /
 x 0 + a1t = x'0 + a'1t'

+ Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ:  y 0 + a 2 t = y'0 + a'2 t' (I)
z + a t = z' + a' t'
0
3
 0 3
r uur
Hệ (I)
Quan hệ giữa a d , a d /
Vị trí giữa d , d’
Vô số nghiệm
Cùng phương
d ≡ d'
Vô nghiệm
d / /d '

Có 1 nghiệm
d cắt d’
Không cùng phương
Vô nghiệm
d , d’ chéo nhau
*). Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi ϕ là góc giữa d và d’
r uur
ad .ad /
cosϕ = r uur (0o ≤ ϕ ≤ 90o )
ad . ad /
1.4. Một số dạng toán thường gặp
99


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

 Dạng 1: Các bài toán cơ bản( các yếu tố đã cho sẵn)
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, đi qua một điểm và song song với mặt phẳng
cho trước...
• Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước...
• Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm...
• Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng, mặt phẳng...
• Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, đi qua 4 điểm đã cho...
 Dạng 2: Bài toán về phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan
• Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định VTPT
• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
• Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn
• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
• Các dạng toán khác về mặt phẳng
 Dạng 3: Bài toán về phương trình đường thẳng và các vấn đề liên quan
• Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định VTCP
• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác
• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc
• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác
 Dạng 4 Các bài toán tổng hợp
1.5. Phương trình mặt cầu
1.5.1. Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R
(S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 (1)
2

2

2

+/ (S) : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2) ( vôùi a2 + b2 + c2 − d > 0 )
+/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và r = a 2 + b2 + c2 − d
1.5.2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 và ( α) : Ax + By + Cz + D = 0
2

2

2

Gọi d = d(I,(α)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(α).
 d > r : (S) ∩ (α) = ∅

 d = r : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(α ) )

uur r
+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(α) : ta có ad = n (α )
+ H = d ∩ (α)
Gọi H (theo t) ∈ d
H∈ (α) ⇒ t = ? ⇒ tọa độ H

100


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

(S) : ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2
 d < r : (α) cắt (S) theo đường tròn (C): 
(α ) : Ax + By + Cz + D = 0
*Tìm bán kính R và tâm H của đường tròn giao tuyến:
+ Bán kính R = r 2 − d2 ( I ,(α ))
+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(α) )
1.5.3. Các dạng toán cơ bản về mặt cầu
• Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính.
• Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định hệ số của phương trình tổng quát.
• Bài toán khác liên quan đến mặt cầu.
2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x = t
x−2 y−2 z−2


d1 :
=
=
& d 2 :  y = 1 + 2t ( t ∈ R )
2
4
2
z = t

Chứng minh hai đường thẳng song song. Viết phương trình mp(P) chứa 2 đường thẳng trên
Lời giải

ur
uur
• Ta có u1 = ( 2;4;2 ) ; u2 = ( 1;2;1) suy ra hai véc tơ cùng phương.
• Ta có M ( 2;2;2 ) ∈ d1 và M ( 2;2;2 ) ∉ d 2

• Suy ra hai đường thẳng song song
ur
uuuur
ur uuuur


u
=
2;4;2
;
MN
=

−
2;
−
1;
−
2
⇒
u
(
)
(
)
• Ta có 1
 1, MN  = ( 6;0;6 ) với N(0;1;0)
• Phương trình mp(P): x+z-4=0
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 và mặt phẳng
(Q): 5x+2y+5z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và mp(Q) đồng thời
biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) bằng 1.
Lời giải
uur uur uur
n
• Ta có R =  nP , nQ  = ( −4; −30;16 )
• Suy ra phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0
D
=1
• Ta có d ( O; ( R ) ) =
2 293
• Vậy phương trình mp(R) là: −2 x − 15 y + 8 z ± 293 = 0
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC
Lời giải
1.Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
101


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

uuur
uuur
r uuur uuur
• Ta có AB = ( 2; −3; −1) ; AC = ( −2; −1; −1) ⇒ n =  AB, AC  = ( 2;4; −8 )
• Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC
uuur uuur
• Ta có AB. AC = 0 nên M thuộc đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trung điểm I(0;-1;1)
của đoạn BC
• Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình
2 x + 2 y + z − 3 = 0

 x y +1 z −1
 1 = 2 = −4
• Suy ra tọa độ M(2;3;-7)
Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Viết phương trình mặt
phẳng đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng đó bằng 3.
Lời giải
r
r uuur

• Gọi n = ( a; b; c ) ⇒ n. AB = 0 ⇒ a − c = 0
• Phương trình mp có dạng ax+by+cz-a-2b-3c=0
−3c
= 3
• Ta có d ( C ; ( P ) ) =
a 2 + b2 + c2
• Suy ra a=b=c=1 hoặc a=c=1, b=-1
• Phương trình mp(P) là x+y+z-6=0 hoặc x-y+z-2=0
Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), trong đó b,c
dương và mặt phẳng (P): y-z+1=0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt
phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng

1
3

Lời giải
x y z
• Ta có phương trình (ABC) là + + = 1
1 b c
uuuur uur
• Ta có n ABC .nP = 0 ⇔ b = c
• Ta có d ( O; ( ABC ) )

−bc
b 2c 2 + b 2 + c 2

=

1
3


1
2
Ví dụ 6 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
• Suy ra b = c =

102


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

x = 2 + t
x +1 y +1 z −1

d1 :
=
=
& d 2 :  y = 1 − 2t ( t ∈ R )
−1
3
2
 z = −t

Viết phương trình đường thẳng d cắt cả 2 đường thẳng d1 và d 2 đồng thời vuông góc với mp(P):
2x+y-5=0
Lời giải
• Ta có
d ∩ d1 = A ⇒ A ( −1 − u; −1 + 3u;1 + 2u )

d ∩ d 2 = B ⇒ B ( 2 + t ;1 − 2t ; −t )
uuur
⇒ AB = ( t + u + 3; −2t − 3u + 2; −t − 2u − 1)
uuur
uur t = 3
d
⊥
P
⇔
AB
=
k
n
( )
• T a có
P ⇒ 
u = −2
 x = 1 + 2t '

• Suy ra phương trình đường thẳng d là  y = −7 + t ' ( t ' ∈ R )
 z = −5


Ví dụ7: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1). Viết phương trình tham số
của đường thẳng d biết:
a) d qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC.
b) d qua C và vuông góc với mp(ABC).
Lời giải
1 3


a) I là trung điểm BC nên I  −1; − ; ÷.
2 2

uur 
3 1
VTCP: AI =  −1; − ; − ÷.
2 2


 x = −t
 x = x0 + a1t

3


 y = y 0 + a2 t ⇔  y = 1 − t
2
z = z + a t

0
3

1

z
=
2
−
t


2
Phương trình tham số đường thẳng d:
uuur
uuur
b) AB = (−3;0;2), BC = (4; −3; −5)
r uuur uuur
VTCP: n = AB ∧ BC = (6; −7;9)
Phương trình đường thẳng d cần tìm:

103


Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015

 x = x0 + a1t
 x = 1 + 6t


 y = y0 + a2t ⇔  y = −2 − 7t
z = z + a t
 z = −1 + 9t

0
3

 x = −1 + t

Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối của d  y = 3 − t với các đường thẳng:

 z = 3t

 x = 1 + 2t

a) ∆1 :  y = −2t
 z = 3 + 6t

Lời giải

x = 2 + t

b) ∆ 2 :  y = 8 − 2t
 z = 1 + 4t


 x = −1 − 2t

c) ∆ 3 :  y = 4 + t
 z = −1 + 3t


r
a) d có VTCP u = (1; −1;3) .
r
∆1 có VTCP u1 = (2; −2;6) .
1 + 2t = −1 + t '
2t − t ' = −2


Xét hệ phương trình: −2t = 3 − t ' ⇔ −2t + t ' = 3 vô nghiệm.

3 + 6t = 3t '
6t − 3t ' = −3


r
r
Và u1 = (2; −2;6) = 2u
Suy ra: d // ∆1 .
b) Thực hiện tương tự: d và ∆ 2 cắt nhau.
c) Thực hiện tương tự: d và ∆ 3 chéo nhau.
Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-3z+5=0. Viết phương
trình mặt phẳng vuông góc với (P) đồng thời chứa Oy
Lời giải
uur uur r
uur


n
=
n
,
j
⇒
n
• Ta có α  P 
α = ( 3;0;1)
• Phương trình mặt phẳng là: 3x+z=0
Ví dụ 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x = 1+ t
x = 2 + t '



d :  y = 1 − 2t d ' :  y = −1 + t '
z = 2 + t
z = 3 + t '


Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng trên
Lời giải
t = 1
• Ta có hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
suy ra d cắt d’ tại I(2;-1;3)
t ' = 0
104