Chương 1:

Chuổi Fourier

P1.1: Cho tín hiệu tuần hoàn:

9π (V) (0 < t < 2T / 3)
u(t) = 
3π (V) (2T / 3 < t < T )
T = 125.66 ms

a) Vẽ dạng u(t) theo t trong khoảng – T < t < 2T ?
b) Tín hiệu có tính đối xứng không ?
c) Tính tần số cơ bản (theo rad/s và Hz ) ?
d) Xác định các hệ số chuổi Fourier a0, an và bn dùng công thức
lặp và dùng công thức tổng quát của phần 1.2 (ở slides bài
giảng lý thuyết) ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 1:

1

Chuổi Fourier

P1.2: Cho biết tính đối xứng
nếu có ? Tìm chuổi Fourier
lượng giác ? Suy ra chuổi
Fourier dạng sóng hài của
tín hiệu f(t) ?

P1.3: Tìm chuổi Fourier dạng mũ phức của tín hiệu tuần hoàn
x(t) có chu kỳ T = 4s và hàm mô tả trong một chu kỳ :

x(t) = t (0 < t < 4)
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

2


Chương 1:

Chuổi Fourier

P1.4: Cho hàm f(t) định nghĩa: f(t) = 0 ( 0 < t < 2) và f(t) = 1
( 2 < t < 4) . Vẽ dạng f(t) và tìm chuổi Fourier côsin và chuổi
Fourier sin biểu diễn cho f(t) ?
P1.5: Dòng điện i(t) qua cuộn cảm L = 2H là tín hiệu tuần
hoàn có tính đối xứng :
i(t), A
1

a) Tìm chuổi Fourier
lượng giác của i(t) ?

dạng
–1

T/2
0 T/4


t
T

b) Dùng công thức ZL = jωL trong miền tần số, tìm uL(t) ?
c) Dùng công thức uL = Ldi/dt trong miền thời gian tìm uL(t) ?

3

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 1:

Chuổi Fourier

1 ( −2 < t < −1)

f(t) = 0 (−1 < t < 1)
 −1 (1 < t < 2)
Vẽ f(t) theo t trong khoảng – T < t < 2T

và tìm chuổi Fourier dùng công thức lặp ?

P1.6: Cho tín hiệu tuần hoàn có chu
kỳ T = 4s và hàm mô tả trong chu kỳ:

P1.7: Xác định hệ số
chuổi Fourier dạng mũ
phức Cn cho tín hiệu i(t)
đối xứng nửa sóng :


i(t), A
8
2
0
-2

T/2
4

12

20

28

t(ms)
36

-8
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

4


Chương 1:

Chuổi Fourier

P1.8: Cho tín hiệu f(t):

a) Tìm hệ số a2 và b2 của
chuổi Fourier dạng
lượng giác ?
b) Xác định biên độ và pha của thành phần hài có tần số ω = 10
rad/s ?
c) Dùng 4 thành phần hài khác 0 đầu tiên trong chuổi Fourier
để tính f(π/2) ?
d) Chứng minh rằng :

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 1:

5

Chuổi Fourier

P1.9: Cho tín hiệu tuần hoàn f(t):
a) Cho biết tính đối xứng của tín hiệu ?
b) Tìm hệ số a3 và b3 của chuổi Fourier dạng lượng giác ?
c) Tìm trị hiệu dụng của tín hiệu dùng 5 hài khác 0 đầu tiên
trong chuổi Fourier của f(t) ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

6


Chương 1:


Chuổi Fourier

P1.10: Đối với mỗi tín hiệu sau, xác định các hệ số chuổi
Fourier dạng lượng giác ? Vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín
hiệu ?

7

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 1:

Chuổi Fourier

P1.11: Cho tín hiệu tuần hoàn chu kỳ 2π có hàm mô tả trong
chu kỳ: f(t) = t ( – π < t < π).
a) Tìm chuổi Fourier phức của f(t) ?
b) Tìm chuổi Fourier dạng lượng giác của f(t) ?
c) Dùng câu b) chứng tỏ rằng:
π
4

∞

−1)
= ∑ ((2n
−1)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM


n +1

n =1

8


Chương 1:

Chuổi Fourier

P1.12: Cho tín hiệu tuần hoàn chu kỳ T = 2 có hàm mô tả trong
chu kỳ: f(t) = 1 – t2 ( – 1 < t < 1).

a) Tìm chuổi Fourier dạng lượng giác của f(t) ?
b) Tìm chuổi Fourier dạng mũ phức của f(t) ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

9


Chương 2:

Biến đổi Fourier

P2.1: Dùng bảng tra và các tính chất
của biến đổi Fourier, tính F(ω) :
(a) f(t) = u(t – 1 ) – u(t – 2)
(b) f(t) = 4δ(t + 2)

(c) f(t) = e–4tu(t)
(d) f(t) = e–4tu(t – 2)
(e) f(t) = 2cos2(t)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 2:

1

Biến đổi Fourier

P2.2: Dùng định nghĩa biến đổi Fourier, xác định F(ω) cho các
tín hiệu :

 − A (−τ / 2 < t < 0)

a) f(t) =  A (0 < t < τ / 2)
0 (elsewhere)

(t < 0)
0
b) f(t) =  − at
 te (0 < t ); a > 0

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

2



Chương 2:

Biến đổi Fourier

P2.3: Dùng định nghĩa biến đổi Fourier
và cách biểu diễn tín hiệu không tuần
hoàn thành tổng các hàm xung đơn vị,
xác định F(ω) ?

P2.4: Dùng định nghĩa biến đổi Fourier
và cách biểu diễn tín hiệu không tuần
hoàn thành tổng các hàm xung đơn vị,
xác định F(ω) ?

Em

e(t)

– τ/2 0

τ/2

-4

10
-2
0

t


e(t)
t(s)
2
- 10

4

3

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 2:

Biến đổi Fourier

P2.5: Cho tín hiệu f(t) như hình vẽ.
a) Xác định f’(t) ?
b) Tìm biến đổi Fourier của f’(t) ?
c) Suy ra F(ω) = F{f(t)} ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

1

f(t)
t(s)

–1

0


1

4


Chương 2:

Biến đổi Fourier

P2.6: Cho 2 tín hiệu như hình vẽ.
a) Xác định F{f1(t)} ?
b) Tìm f2’(t) và biến đổi
Fourier của nó ?
c) Suy ra F2(ω) = F{f2(t)} ?

0,5

f1(t)
t(s)

–2

0

1

2

f2(t)

t(s)

–2

0

2

-1

5

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 2:

Biến đổi Fourier

P2.7: Cho tín hiệu tuần hoàn f(t) :
a) Biểu diễn f(t) ở dạng chuổi
Fourier phức ?
inω t
b) Tìm biến đổi Fourier: F{e 0 }
c) Suy ra F(ω) = F{f(t)} ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

…

1


–3T –2T –T 0

f(t)

…
t(s)

T 2T 3T

6


Chương 2:

Biến đổi Fourier

P2.8: Cho R1 = 1Ω, R2 = 3Ω, L = 1H, j(t) = 50cos(3t) A, xác định
hàm truyền trong miền tần số H(jω) = I(ω)/J(ω) ? Dùng biến
đổi Fourier tìm dòng điện i(t) ? Kiểm tra lại kết quả nếu dùng
phương pháp vectơ biên độ phức ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 2:

7

Biến đổi Fourier


P2.9: Cho R1 = R2 = 2Ω, L = 1H, e(t) = 10[u(t) – u t – 2)]V, xác
định hàm truyền trong miền tần số H(jω) = V(ω)/E(ω) ? Dùng
biến đổi Fourier tìm điện áp v(t) ? Cho biết giá trị v(t = 1s) ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

8


Chương 2:

Biến đổi Fourier

P2.10: Cho i(t) = sign(t) A, xác định hàm truyền trong miền tần
số H(jω) = I0(ω)/I(ω) ? Dùng biến đổi Fourier tìm dòng điện
i0(t) ? Kiểm tra lại kết quả nếu dùng phương pháp toán tử
Laplace ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

9


Chương 3:

Biến đổi Laplace

P3.1: Tìm biến đổi Laplace của các tín hiệu:

a) 2e 4t b) 2t 2 − e − t


c) 6sin2t − 5cos 2 t d) (sint − cos t) 2

P3.2: Tìm biến đổi Laplace của các tín hiệu:

a) t 3e −3t

b) 2e3t sin(4t)

c) e −4t cosh(2t) d) 5cos(t)δ ( t − 2)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 3:

1

Biến đổi Laplace

P3.3: Tìm biến đổi Laplace của các tín hiệu:

a) f(t) = −20e −5(t − 2) u(t − 2)
b) f(t) = (8t − 8)[u(t −1) − u(t − 2)] + (24 − 8t)[u(t − 2) − u(t − 4)] + (8t − 40)[u(t − 4) − u(t − 5)]

P3.4: Tìm biến đổi Laplace của các tín hiệu:

0 (0 < t < 2)
a) f(t) = 
4 (t > 2)


2t (0 < t < 5)
b) f(t) = 
1 (t > 5)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

2


Chương 3:

Biến đổi Laplace

P3.5: Tính:

{∫ (τ
b) £ {∫ (e
a) £

t

0
t

0

3

}
cos(ωx)dx}


+ 2sin τ )dτ

− ax

d

c) £  ( e − at sin(ωt ) 
 dt

3

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 3:

Biến đổi Laplace

P3.6: Cho tín hiệu không tuần hoàn f(t):
a) Biểu diễn f(t) thành tổng các hàm
xung đơn vị ?
b) Xác định biến đổi Laplace của f(t) ?

f(t)
3
2
1
0

t(s)

1

3

P3.7: Cho tín hiệu không tuần hoàn f(t):
a) Biểu diễn f(t) thành tổng các hàm
xung đơn vị ?
b) Xác định biến đổi Laplace của f(t) ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

5 6

f(t)
5
t(s)
0

2

4


Chương 3:

Biến đổi Laplace

P3.8: Cho tín hiệu :

2t 2 khi 0 < t < 3


f(t) =  t + 4 khi 3 < t < 5
9
khi 5 < t


a) Vẽ dạng f(t) theo t ?
b) Xác định ℒ{f(t)} ?

5

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 3:

Biến đổi Laplace

P3.9: Cho tín hiệu không tuần hoàn f(t):
a) Xác định ℒ{f(t)} ?
b) Tính f’(t) ? Suy ra ℒ{f’(t)} ?
c) Tính f’’(t) ? Suy ra ℒ{f’’(t)}

f(t)
16
8 12 16 t(s)
0

4

-16


Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

6


Chương 3:

Biến đổi Laplace

P3.10: Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu không tuần hoàn :

7

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 3:

Biến đổi Laplace

P3.11: Vẽ dạng f(t) theo t và
xác định ℒ{f(t)} biết :

0 khi 0 < t < 1

f(t) =  2 khi 1 < t < 3
0 khi 3 < t


P3.12: Vẽ dạng f(t) theo t và

xác định ℒ{f(t)} biết :

khi 0 < t < 1
t

f(t) = 2 − t khi 1 < t < 2
0
khi 2 < t


Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

8


Chương 3:

Biến đổi Laplace

P3.13: Tìm biến đổi Laplace của dãy xung tuần hoàn :

P3.14: Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu tuần hoàn :
f(t)
1
t(s)
0

1

2


3

4

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

9


Chương 4:

Biến đổi Laplace ngược

P4.1: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau
dùng bảng tra gốc - ảnh :

s

a)

8s + 20

c)

3s −14

b)

(s +1)5


(s 2 − 4 s +8)

3s + 2

d)

(s 2 −12 s + 32)

(4s 2 +12 s + 9)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 4:

1

Biến đổi Laplace ngược

P4.2: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau
dùng bảng tra gốc - ảnh và các tính chất của biến đổi :

a)

c)

−2 s
2 e
s
1


−2 s
e
+3 s + 2
s

s

2

b)
d)

−3 s
e
+4

8
s

2

−3 s
e
− 2 s +5
1

s

2


Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

2


Chương 4:

Biến đổi Laplace ngược

P4.3: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau
dùng phương pháp phân tích thành tổng các phân số có mẫu số
là thừa số trong mẫu số của F(s) ?

a)

b)

3s +16

c)

s2 − s − 6

27 −12s

d)

2


(s + 4)(s + 9)

s
2

(s − 2s + 2)(s 2 + 2 s + 2)
−s
−2 s
(
e
+
4
e
)
+ 6 s +8
1

s

2

3

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 4:

Biến đổi Laplace ngược

P4.4: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau

dùng phương pháp khai triển Heaviside ?

a)

b)

3s2 + 2
( s +1)( s − 2)( s − 4)

2 s 2 − 9 s +19
( s + 3)( s −1)

2

c)
d)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

6 s −4
( s 2 − 4 s + 20)
s −1
( s + 3)( s 2 + 2 s + 2)

4


Chương 4:

Biến đổi Laplace ngược


P4.5: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau:

a)

s+4
s ( s + 2)

b)

6 s 2 + 26 s + 26
( s +1)( s + 2)( s + 3)

c)
d)

e−4 s
( s + 2)
7 s 2 + 63 s +134
( s + 3)( s + 4)( s + 5)

5

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 4:

Biến đổi Laplace ngược

P4.6: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau:


a)

b)

10( s 2 +119)
( s + 5)( s 2 +10 s +169)

s2 + 4 s +5
( s + 3)( s 2 + 2 s + 2)

c)
d)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

(4 s 2 + 7 s +1)
s ( s +1) 2
4 s 2 + 7 s +13
( s + 2)( s 2 + 2 s + 5)

6


Chương 4:

Biến đổi Laplace ngược

P4.7: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau:


a)
b)

s2 + 4 s
s 2 +10 s + 26
40
( s 2 + 4 s + 5)2

768

c)

( s 2 + 6 s + 25)2

2 s3 +8 s 2 + 2 s − 4

d)

( s 2 + 5 s + 4)

7

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 4:

Biến đổi Laplace ngược

P4.8: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau:


a)

5 s 2 + 29 s + 32
( s + 2)( s + 4)

c)

10 s 2 +85 s + 95
( s 2 + 6 s + 5)

b)

16 s3 + 72 s 2 + 216 s −128

d)

5( s 2 +8 s + 5)

( s 2 + 2 s + 5)2

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

( s 2 + 4 s + 5)

8


Chương 4:

Biến đổi Laplace ngược


P4.9:
a) Xác định và vẽ dạng f(t) khi
0 < t < 4s biết :

1
F(s) = [2 − 5e − s + 8e −3s ]
s
b) Xác định và vẽ dạng f(t) biết :

(1 + 3e −2 s )(1 − e −3 s )
F(s) =
s2
c) Xác định và vẽ dạng f(t) biết :

F(s) =

2(1 − e− s )
s(1 − e −3s )

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 4:

9

Biến đổi Laplace ngược

P4.10: Tìm z(t) = x(t)*y(t) ? (Dấu * ký hiệu tích chập)
a) z(t) = u(t)*et ?

b) z(t) = et*et ?
c) z(t) = u(t)*cost ?
d) z(t) = u(t – 1)*t ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

10


Chương 4:

Biến đổi Laplace ngược

P4.11: Tìm y(t) = h(t)*x(t) ?
a) h(t) và x(t) như hình a ?
b) Lặp lại câu a) nếu x(t)
như hình b ?
c) Lặp lại câu a) nếu h(t)
như hình c ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 4:

11

Biến đổi Laplace ngược

P4.12: Tìm z(t) = x(t)*y(t) ?


Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

12


Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE
P5.1: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân:

y '+ 2 y = e−t + e−2t
Với điều kiện biên : y(0) = 1 .
P5.2: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân:

y '− y = e−t u(t − 3)
Với điều kiện biên : y(0) = 0 .
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

1

Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE
P5.3: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân:

t 0 < t < 1
y '+ y = 
0 1 < t

Với điều kiện biên : y(0) = 0 .

P5.4: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân:

y ''+ 4 y = u(t − 2)

Với điều kiện biên : y(0) = 0, y’(0) = 1 .

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

2


Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE
P5.5: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân:

y ''+ 4 y = 9t
Với điều kiện biên : y(0) = 0, y’(0) = 7 .

P5.6: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân:

y ''− y = 8cos t
Với điều kiện biên : y(0) = 1, y’(0) = – 1 .

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

3

Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE
P5.7: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân:

y ''− 3 y '+ 2 y = 4t + 12e−t
Với điều kiện biên : y(0) = 6, y’(0) = – 1 .

P5.8: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân:


y ''− 4 y '+ 5 y = 125t 2
Với điều kiện biên : y(0) = 0, y’(0) = 0 .

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

4


Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE
P5.9: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân:

y ''+ 4 y =

{

1 ( 0 < t < 1)
0 (1 < t )

Với điều kiện biên : y(0) =
0, y’(0) = 1 .

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

5

Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE
P5.10: Dùng biến đổi Laplace tìm x(t) và y(t) :

 x '+ y ' = t


−t
 x ''− y = e
Với điều kiện biên: x(0) = 0, x’(0) = – 2, y(0) = 0 .

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

6


Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE
P5.11: Dùng biến đổi Laplace tìm x(t) và y(t) :

 x '− y '− 2 x + 2 y = 1

=0
 x ''+ 3 x + y
Với điều kiện biên: x(0) = 0, x’(0) = 0, y(0) = 0 .

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

7

Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE
P5.12: Cho hệ phương
trình vi phân:

 2 x '+ 3 x = y '+ 3 sin t

 2 y '+ 3 y = x '


Với điều kiện biên: x(0) = 0, y(0) = 0 .
a) Tìm Y(s) ?
b) Suy ra y(t) khi t > 0 ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

8