BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ TRANG

HỆ SỐ HẤP THỤ CỦA MỘT LỚP
PHÂN TỬ GỒM BA CHẤM LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lê Minh Thư

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp
đỡ của các thầy cô, các anh chị và các bạn trong lớp cao học, tôi đã hoàn
thành luận văn của mình. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới
TS. Lê Minh Thư. Thầy luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi nhất cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ bộ môn Vật lí lí thuyết
cũng như các thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp cao học Vật lí K23 , đã nhiệt tình
giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Mặc dù đã cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Kính mong sự góp ý, chỉ bảo của các quý thầy cô, cùng các bạn đọc để luận
văn của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Trang


MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH VẼ


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự tiến bộ trong công nghệ bán dẫn hiện đại trong những năm gần đây
cho phép chúng ta có khả năng chế tạo và nghiên cứu các tính chất của các
cấu trúc nano bán dẫn như các giếng lượng tử (Quantum Wells), các dây
lượng tử (Quantum Wires), các chấm lượng tử (Quantum Dots) và các vòng
lượng tử (Quantum Rings) với nhiều hình dạng, kích thước và thành phần cấu
tạo khác nhau [10,11,13-18,24,25,30,31]. Các hệ thấp chiều này tạo nên các
hiệu ứng giam cầm điện tử và lỗ trống theo một chiều, hai chiều và cả ba
chiều dẫn đến các tính chất khác so với bán dẫn khối thông thường [16,10,11,13]. Các cấu trúc nano bán dẫn nói trên đóng một vai trò quan trọng
trong sự phát triển của vật lý mới và nhiều ứng dụng khác nhau trong quang
học, quang tử học và thông tin lượng tử [8,9,12,19-23]. Các chấm lượng tử và
phân tử chấm lượng tử bán dẫn được xem như giống các nguyên tử và phân tử
nhân tạo. Tuy nhiên, khác với các phân tử thực, các phân tử chấm lượng tử
với những cấu trúc (hình dạng, kích thước, khoảng cách giữa các chấm) nhất
định cho phép thay đổi sự định xứ của hàm sóng của điện tử và lỗ trống giam
cầm trong chúng bằng điện trường hoặc từ trường bên ngoài. Các phân tử
chấm lượng tử đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi vì
nó là những ứng cử viên rất hấp dẫn trong việc chế tạo các siêu vật liệu có cấu
trúc nano [8,9,19-23], bit lượng tử ứng dụng trong máy tính lượng tử [11-13].
Sự phát triển của công nghệ chế tạo các cấu trúc nano bán dẫn cho phép chế

tạo các phân tử gồm các chấm lượng xếp chồng dọc theo trục z [11,13,31] với
các chấm trong phân tử có nhiều hình dạng khác nhau như hình ellipxôit, hình
nón, hình thấu kính. Hệ số hấp thụ của một lớp các chấm lượng tử có dạng
hình cầu hoặc ellipsoid đơn giản đã được tính toán trong các bài báo [29] và
[32]. Các tác giả trong bài báo [26] và [27] cũng đã khảo sát tính chất quang
của một lớp các phân tử gồm hai chấm lượng tử [26] và ba chấm lượng tử
1


[27]. Tuy nhiên, trong bài báo [27], các tác giả mới chỉ quan tâm đến trường
hợp phân tử gồm ba chấm lượng tử khi khoảng cách giữa các chấm chưa đủ
lớn dẫn đến có sự xen phủ hàm sóng của điện tử và lỗ trống giữa các chấm.
Trong luận văn này chúng tôi sẽ nghiên cứu và mô phỏng hệ số hấp thụ của
một lớp các phân tử gồm ba chấm lượng tử có sự ảnh hưởng của từ trường
ngoài khi khoảng cách giữa các chấm trong phân tử ba chấm lượng tử thay
đổi từ giá trị rất nhỏ đến giá trị lớn. Một lớp phân tử chấm lượng tử được tạo
nên từ các phân tử gồm ba chấm lượng tử InAs/GaAs xếp chồng lên nhau dọc
theo trục z, các chấm lượng tử này có hình dạng thấu kính với độ cao và bán
kính khác nhau đáng kể. Từ trường ngoài đặt lên hệ hướng theo trục z, trùng
với hướng mọc của hệ. Sự không đồng nhất về mặt hình học của phân tử
chấm lượng tử theo trục z tạo ra những sự khác biệt của các trạng thái năng
lượng của điện tử dưới ảnh hưởng của từ trường ngoài, điều này cũng sẽ ảnh
hưởng tới hệ số hấp thụ của một lớp các phân tử ba chấm lượng tử. Trong
luận văn này, chúng tôi sẽ khảo sát sự thay đổi của hệ số hấp thụ của một lớp
phân tử gồm ba chấm lượng tử khi thay đổi độ lớn từ trường ngoài hướng
theo trục z ứng với khoảng cách giữa chấm lượng tử ở giữa có bán kính lớn
với hai chấm có bán kính nhỏ trong phân tử gồm ba chấm lượng tử lần lượt là
d1=20 nm, d2=10 nm và d3=5 nm. Các kết quả tính toán cũng sẽ được so sánh
với các tính toán và mô phỏng của các tác giả khác.
2. Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi giải phương trình Schrodinger để tìm trạng
thái (năng lượng và hàm sóng) của điện tử và lỗ trống giam cầm trong phân tử
gồm ba chấm lượng tử trong từ trường ngoài với các khoảng cách khác nhau
giữa các chấm trong phân tử gồm ba chấm lượng tử. Ảnh hưởng của từ trường
ngoài và khoảng cách giữa các chấm lên sự định xứ của điện tử và lỗ trống
trong các chấm được sẽ được tính toán chi tiết.

2


Chúng tôi mô phỏng hệ số hấp thụ của một lớp các phân tử gồm ba chấm
lượng tử và khảo sát chi tiết sự ảnh hưởng của từ trường ngoài và khoảng
cách giữa các chấm lượng tử trong phân tử gồm ba chấm lượng tử lên hệ số
hấp thụ của một lớp các phân tử gồm ba chấm lượng tử.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là một lớp phân tử gồm ba chấm lượng tử
InAs/GaAs được xếp chồng lên nhau theo phương z cũng là hướng mọc của hệ.
Khảo sát chi tiết ảnh hưởng của từ trường ngoài lên các trạng thái của điện
tử và lỗ trống giam cầm trong phân tử gồm ba chấm lượng tử InAs/GaAs khi
khoảng cách giữa các chấm lượng tử trong phân tử gồm ba chấm lượng tử
thay đổi. Sự thay đổi độ lớn của từ trường ngoài và khoảng cách giữa các
chấm lượng tử trong phân tử dẫn đến sự thay đổi hệ số hấp thụ của một lớp
các phân tử ba chấm lượng tử InAs/GaAs.
Trong khuôn khổ của lí thuyết bán dẫn, chúng tôi sử dụng phương pháp
khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian trong gần đúng một vùng của điện tử và lỗ
trống giam cầm trong các cấu trúc nano bán dẫn. Chúng tôi giải phương trình
Schrodinger tìm trạng thái của điện tử và lỗ trống bằng phần mềm mô phỏng
COMSOL Multiphysics [33].
4. Đóng góp của luận văn
Trong tài liệu [27] các tác giả đã khảo sát sự ảnh hưởng của từ trường

ngoài lên sự định xứ của điện tử và lỗ trống khi khoảng cách giữa các chấm
lượng tử trong phân tử ba chấm lượng tử là d=10 nm và d=12 nm. Với khoảng
cách này giữa hai chấm, sự xen phủ hàm sóng trong các chấm là đủ lớn chỉ
đối với điện tử nhưng vẫn rất nhỏ đối với lỗ trống. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ
khảo sát sự ảnh hưởng của từ trường ngoài lên sự định xứ của điện tử và lỗ
trống khi khoảng cách giữa các chấm lượng tử trong phân tử ba chấm lượng
tử là đủ lớn và rất nhỏ. Khi khoảng cách giữa các chấm lượng tử trong phân

3


tử gồm ba chấm lượng tử là đủ lớn thì sự xen phủ của hàm sóng của điện tử
và lỗ trống ở các chấm là rất nhỏ. Khi từ trường ngoài thay đổi thì sẽ làm thay
đổi sự định xứ của hàm sóng của điện tử và lỗ trống giam cầm trong phân tử
ba chấm lượng tử. Trong khi đó khi khoảng cách giữa các chấm là rất nhỏ thì
sự xen phủ hàm sóng của cả điện tử và lỗ trông là rất mạnh và điều này sẽ xảy
ra ngay cả khi từ trường bằng không, và khi độ lớn của cảm ứng từ của từ
trường ngoài thay đổi thì nó hầu như không làm thay đổi sự định xứ của điện
tử và lỗ trống trong phân tử gồm ba chấm lượng tử. Những tính chất này
thuần túy mang bản chất lượng tử của hệ và sẽ có có ảnh hưởng tới hệ số hấp
thụ của một lớp phân tử gồm ba chấm lượng tử.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng với Hamiltonian
trong gần đúng một vùng để tìm trạng thái của điện tử và lỗ trống giam cầm
trong phân tử ba chấm lượng tử.
Phương trình Schrodinger cho điện tử và lỗ trống trong gần đúng một
vùng được giải bằng phương pháp lặp phi tuyến [28] sử dụng phần mềm mô
phỏng COMSOL Multiphysics [33].
Khi có được hàm sóng và năng lượng của điện tử và lỗ trống, sử dụng mô
hình lai gián đoạn/liên tục [29,32] cho phép chúng tôi tìm được độ phân cực

của các phân tử gồm ba chấm lượng tử riêng biệt. Sau đó, dùng các công thức
Vlieger [29,32] cho phép chúng tôi mô phỏng hệ số hấp thụ của một lớp các
phân tử gồm ba chấm lượng tử.
Các tính toán số trong luận văn, chúng tôi sử dụng phần mềm tính toán số
Mathematica, các phần mềm vẽ đồ thị Origin và Sigma Plot, phần mềm mô
phỏng COMSOL Multiphysics [33].
6. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, cụ thể luận văn gồm 3 chương
như sau:

4


Chương I: Giới thiệu tổng quan.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu về các cấu trúc nano bán dẫn,
chấm lượng tử bán dẫn, phân tử chấm lượng tử bán dẫn.
Chương II: Phương pháp tính toán.
Chương này trình bày về: Phương pháp khối lượng hiệu dụng,
Hamiltonian của điện tử và lỗ trống trong gần đúng một vùng, giải phương
trình Schrodinger tìm trạng thái của điện tử và lỗ trống giam cầm trong các
cấu trúc nano bán dẫn bằng phần mềm COMSOL Multiphysics. Chúng tôi tìm
độ phân cực của các cấu trúc nano bán dẫn từ mô hình lai gián đoạn/liên tục.
Sử dụng các công thức Vlieger để tính hệ số hấp thụ của một lớp phân tử gồm
ba chấm lượng tử bán dẫn.
Chương III: Kết quả mô phỏng và thảo luận.
Chương 3 trình bày các kết quả mô phỏng về năng lượng chuyển dời
quang, bình phương độ lớn tích phân phủ giữa hàm sóng của lỗ trống và điện
tử giam cầm trong phân tử gồm ba chấm lượng tử InAs/GaAs, ảnh hưởng của
từ trường ngoài lên hệ số hấp thụ của một lớp các phân tử gồm ba chấm lượng
tử InAs/GaAs khi khoảng cách giữa các chấm lượng tử trong phân tử lần lượt

là d1=20 nm, d2=10 nm và d3=5 nm.

5


CHƯƠNG I
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1.1. Sơ lược lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn
Trong tinh thể các điện tử chuyển động không hoàn toàn tự do. Đó là do
trong tinh thể, các nguyên tử sắp xếp một cách tuần hoàn, đều đặn nên các
điện tử trong nguyên tử sẽ chuyển động trong trường thế tuần hoàn của mạng
tinh thể. Để xác định trạng thái và phổ năng lượng của điện tử trong trường
thế tuần hoàn của mạng tinh thể ta phải giải phương trình Schrodinger trong
gần đúng một điện tử [1,2,4,6]:
 2 2



 − 2m ∇ + U ( r )ψ k ( r ) = Eψ k ( r )








(1.1)




với U ( r ) = U ( r + R ) là thế năng tuần hoàn của mạng tinh thể, R là vectơ mạng.
Khi giải bài toán này cho ta một bức tranh khái quát về sơ đồ vùng năng
lượng: gồm các vùng năng lượng được phép và ngăn cách giữa các vùng năng
lượng được phép là các vùng năng lượng cấm. Bức tranh vùng năng lượng
này có tính tuần hoàn [1,2,4,6].
Đối với các điện tử hóa trị liên kết yếu với các nguyên tử ở nút mạng, thế
năng tuần hoàn của mạng tác động lên electron ta xem như là một nhiễu loạn.
Với phép gần đúng điện tử liên kết yếu, sự tạo thành các vùng năng lượng liên
quan đến sự phản xạ Bragg của sóng điện từ tại biên các vùng Brillouin. Vùng
năng lượng đó liên tục khi nó nằm trong một vùng và gián đoạn tại biên vùng
[1,2,4,6].

6


Đối với các electron nằm sâu trong các lớp bên trong của vỏ nguyên tử,
liên kết của electron với nguyên tử mạnh, nó không thể nào bứt ra khỏi
nguyên tử. Với phép gần đúng liên kết mạnh, các vùng năng lượng được tạo
thành do sự tách các mức năng lượng nguyên tử gây ra bởi tương tác giữa các
nguyên tử.
Đối với tinh thể có kích thước hữu hạn chứa N nguyên tử thì mỗi vùng có
N mức con, khoảng cách giữa các mức con tỉ lệ nghịch với số nguyên tử trong
tinh thể. Khi năng lượng tăng thì bề rộng của vùng cho phép tăng nhưng bề
rộng vùng cấm giảm [1,2,4,6].
Các điện tử làm đầy các mức năng lượng trong các vùng cho phép tuân
theo nguyên lí Pauli và nguyên lí năng lượng cực tiểu. Số điện tử trong tinh
thể hữu hạn nên điện tử làm đầy các vùng từ thấp lên cao. Vùng năng lượng
được phép phía trên cùng trống hoàn toàn hoặc được lấp đầy một phần thì gọi
là vùng dẫn. Ngăn cách giữa vùng dẫn và vùng hóa trị là vùng cấm. Có N

vùng năng lượng được phép, ngăn cách giữa các vùng năng lượng cấm.
Nhưng chung quy lại ta rút gọn về 3 vùng [1,2,4,6]:
* Vùng hóa trị: là vùng có năng lượng thấp nhất theo thang năng lượng, là
vùng mà điện tử bị liên kết mạnh với nguyên tử và không linh động.
* Vùng dẫn: vùng có mức năng lượng cao nhất, là vùng mà các điện tử sẽ linh
động (gần giống như các điện tử tự do) và điện tử ở vùng này sẽ là điện tử
dẫn, có nghĩa là chất sẽ có khả năng dẫn điện khi có điện tử tồn tại trên vùng
dẫn. Tính dẫn điện tăng khi mật độ điện tử trên vùng dẫn tăng.
* Vùng cấm: là vùng nằm giữa vùng hóa trị và vùng dẫn, không có mức năng
lượng nào do đó điện tử không thể tồn tại trên vùng cấm.

7


Khoảng cách giữa đáy vùng dẫn và đỉnh vùng hóa trị gọi là độ rộng vùng
cấm, hay năng lượng vùng cấm. Tùy theo độ rộng vùng cấm lớn hay nhỏ mà
chất có thể là dẫn điện hay không dẫn điện. Theo lý thuyết vùng năng lượng
của vật rắn ta có thể lý giải một cách đơn giản cấu trúc vùng năng lượng và
tính chất dẫn điện của kim loại, chất bán dẫn, điện môi như sau [1,2,4,6]:
• Kim loại: có vùng dẫn và vùng hóa trị phủ lên nhau không có vùng cấm
ngăn cách giữa hai miền này. Do đó luôn luôn có điện tử trên vùng dẫn,
điện tử ở miền hóa trị sẵn sàng di chuyển dưới tác dụng của điện trường
ngoài, ngay cả khi điện trường ngoài yếu, để tham gia vào việc dẫn
điện.
• Điện môi (chất cách điện): Vùng cấm có độ rộng lớn (5eV ÷ 10eV) .
Do đó các điện tử ở miền hóa trị không thể nhảy mức lên vùng dẫn.
Chất cách điện hoàn toàn không dẫn điện dưới tác dụng của điện
trường ngoài.
• Chất bán dẫn: Vùng dẫn trống hoàn toàn , electron muốn tham gia vào
quá trình dẫn điện thì phải chuyển từ vùng dẫn lên vùng hóa trị thông

qua vùng cấm. Chất bán dẫn có vùng cấm có một độ rộng xác định
khoảng 0 ≤ Eg ≤2eV ÷ 3eV.

Hình 1.1. Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng của điện môi (a), chất bán dẫn (b)
và kim loại (c) .

8


Như đã trình bày ở trên cấu trúc vùng năng lượng của chất bán dẫn gồm
có 3 vùng: vùng dẫn, vùng hóa trị và vùng cấm. Độ rộng vùng cấm xác định
trong khoảng 0 ≤ Eg ≤ 2eV ÷ 3eV. Ở không độ tuyệt đối (0K), mức Fermi
nằm giữa vùng cấm, có nghĩa là tất cả các điện tử tồn tại ở vùng hóa trị, vùng
dẫn hoàn toàn không có điện tử, do dó chất bán dẫn không dẫn điện. Khi tăng
dần nhiệt độ, các điện tử sẽ nhận được năng lượng nhiệt (kB.T với kB là hằng
số Boltzmann) nhưng năng lượng này chưa đủ để điện tử vượt qua vùng cấm
nên điện tử vẫn ở vùng hóa trị. Khi tăng nhiệt độ đến mức đủ cao, sẽ có một
số điện tử nhận được năng lượng lớn hơn năng lượng vùng cấm và nó sẽ nhảy
lên vùng dẫn và chất rắn trở thành dẫn điện. Khi nhiệt độ tăng lên, mật độ
điện tử trên vùng dẫn sẽ tăng lên do đó tính dẫn điện của chất bán dẫn tăng
dần theo nhiệt độ (hay điện trở suất giảm dần theo nhiệt độ). Một cách gần
đúng, có thể viết sự phụ thuộc của điện trở suất của chất bán dẫn vào nhiệt độ
như sau [6]:
(1.2)
Ngoài ra, tính dẫn của chất bán dẫn có thể thay đổi nhờ các kích thích
năng lượng khác ví dụ như ánh sáng. Khi chiếu sáng các điện tử sẽ hấp thụ
năng lượng từ photon và có thể nhảy lên vùng dẫn nếu năng lượng đủ lớn.
Đây chính là nguyên nhân dẫn đến sự thay đổi về tính chất của chất bán dẫn
dưới tác dụng của ánh sáng (quang – bán dẫn). Các chất bán dẫn sở dĩ rất hữu
ích bởi chúng có thể đóng mở dòng điện. Điều này thực hiện bằng cách đặt

vào một hiệu điện thế nhỏ cung cấp năng lượng cho các điện tử vượt qua khe
năng lượng trống giữa vùng hóa trị và vùng dẫn. Tuy nhiên, độ rộng của khe
năng lượng này (độ rộng này có thể quy định thế đóng mở) lại là một thuộc
tính nội tại của chất bán dẫn không thể thay đổi và chỉ có thể thay đổi bằng
cách thay đổi thành phần hóa học hoặc cấu trúc của vật liệu [6].
9


1.2. Hệ thấp chiều.
1.2.1.Giới thiệu các hệ thấp chiều.
Một hệ bán dẫn thấp chiều là một hệ lượng tử trong đó các hạt mang điện
dịch chuyển tự do theo hai chiều, một chiều hoặc không chiều. Kích thước
của hệ này vào cỡ bước sóng De Broglie của hạt mang điện nên các tính chất
vật lí của hệ thay đổi rất lý thú [2,3,5].
Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa trên số hướng không gian mà
hạt mang điện có thể chuyển động tự do. Từ đó ta có các hệ bán dẫn thấp
chiều sau [3,5]:
+ Hệ giếng lượng tử: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt theo một
hướng và chuyển động tự do theo hai hướng còn lại.
+ Hệ dây lượng tử: Trong hệ này các hạt mang điện bị nhốt theo hai hướng
và chuyển động tự do theo một hướng còn lại.
+ Hệ chấm lượng tử: Trong hệ này các hạt mang điện bị giam nhốt theo cả
ba hướng và không thể chuyển động tự do theo bất kì hướng nào.

(a)

(b)

(c)


(d)

Hình 1.2. Các hệ thấp chiều: (a) Hệ ba chiều, (b) Hệ hai chiều, (c) Hệ một
chiều, (d) Hệ không chiều.
1.2.2. Điện tử trong hệ thấp chiều

10


a. Điện tử trong hệ vật liệu khối
Trong hệ ba chiều, vật rắn được xem như tinh thể vô hạn theo cả ba chiều
x, y, z. Giả sử khối 3 chiều với các kích thước theo các phương x, y và z lần
lượt là Lx, Ly, Lz. Trong hệ vật liệu khối, điện tử có thể chuyển động tự do theo
cả ba phương x, y và z, sử dụng điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman
[3,5]:
k x = nx

2π
Lx

k y = ny

2π
Ly

k z = nz

2π
Lz


(1.3)
Phần thể tích trong không gian chiếm bởi một trạng thái riêng rẽ:
2π 2π 2π ( 2π ) 3
×
×
=
L x L y Lz
V

(1.4)

trong đó V là thể tích của hệ.
Mặt khác, ta có năng lượng của điện tử xác định bởi:
E = E0 +

 2k 2
2m

(1.5)

Vậy nên số trạng thái với năng lượng nhỏ hơn E, tương ứng nằm trong hình
cầu bán kính k là (thừa số 2 liên quan đến spin của điện tử):
NT (E) = 2

(4πk 3 / 3)
( 2m) 3 / 2
=
V
( E − E0 ) 3 / 2
3

3
(8π / V )
3π

11

(1.6)


Khi đó ta có mật độ trạng thái là:
1 d
1  2m 
N (E) =
NT (E ) =


V dE
2π 2   2 

3/ 2

( E − E0 )1 / 2

(1.7)

Hình 1.3. (a) Năng lượng của điện tử tự do phụ thuộc vào vectơ sóng k, (b)
Mật độ trạng thái tính theo năng lượng đối với điện tử do
Như vậy năng lượng của điện tử tự do phụ thuộc vào véctơ sóng k theo
hàm parabol, các trạng thái phân bố gần như liên tục được biểu thị bằng các
điểm trên hình 1.3 (a) và mật độ trạng thái phân bố liên tục và tỷ lệ với căn

bậc hai của năng lượng ( E ) (hình 1.3 (b)).
b. Điện tử trong hệ hai chiều (giếng lượng tử)
Trong hệ hai chiều các điện tử có thể vẫn chuyển động hoàn toàn tự do
trong mặt phẳng xy, nhưng chuyển động của chúng theo phương z sẽ bị giới
hạn. Khi kích thước của vật rắn theo phương z là Lz giảm xuống vào cỡ vài
nano mét (nghĩa là cùng bậc độ lớn với bước sóng De Broglie của hạt tải
điện) thì hạt tải điện tự do trong cấu trúc này sẽ thể hiện tính chất giống như
một hạt chuyển động trong giếng thế với thế năng có dạng bức tường cứng
với bờ cao vô hạn hoặc hữu hạn. Với trường hợp giếng thế có bờ cao vô hạn
thì không một điện tử nào có thể ra khỏi vật rắn theo phương z, nên có thể nói

12


điện tử bị giam trong giếng thế. Kích thước của hệ hai chiều theo phương x và
y lần lượt là Lx, Ly. Dùng điều kiện biên tuần hoàn Born-Karman ta có:
k x = nx

2π
Lx

k y = ny

2π
Ly

Khi đó phần thể tích trong không gian

(1.8)


chiếm một trạng thái riêng rẽ là:

2π 2π ( 2π ) 2
=
Lx L y
S

(1.9)

trong đó S là diện tích của hệ .
Mặt khác, ta có năng lượng điện tử xác định bởi:
E = E0 +

 2k 2
2m

(1.10)

Nên số trạng thái với năng lượng nhỏ hơn E tương ứng nằm trong đường tròn
bán kính k là:
NT (E) = 2

πk 2
m
= S 2 ( E − E0 )
2
4π / S
π

(1.11)


Khi đó ta có mật độ trạng thái là:
N (E) =

1 d
m
N T (E ) = 2 θ ( E − E0 )
S dE
π

với θ ( E − E0 ) là hàm bậc thang.

13

(1.12)


E

N(E)
k

0

2

0

k
(a)


E
(b)

Hình 1.4. (a) Năng lượng của điện tử tự do phụ thuộc vào vectơ sóng
theo hàm prabol, (b) Mật độ trạng thái của hệ hai chiều.
Các điện tử vẫn có thể chuyển động tự do dọc theo các phương x và y,
năng lượng của điện tử tự do phụ thuộc vào kx, ky theo hàm parabol, các trạng
thái (được biểu thị bằng các điểm trên hình 1.4(a) phân bố gần như liên
tục. Trong khi đó, chuyển động của các điện tử theo phương z bị giới hạn,
các điện tử bị giam giữ trong giếng lượng tử. Chỉ có một số nhất định các
trạng thái lượng tử hoá theo phương z là được phép. Mật độ trạng thái đối với
một trạng thái cho trước không phụ thuộc vào năng lượng và có dạng hàm bậc
thang (hình1.4b).
c. Điện tử trong hệ một chiều (dây lượng tử)
Khi kích thước vật rắn co lại theo cả hai chiều y, z, tức là các kích thước
Ly và Lz chỉ cỡ vài nanomet thì các điện tử chỉ có thể chuyển động tự do theo
phương x, còn chuyển động của chúng theo các phương y và z bị giới hạn bởi
các mặt biên của vật. Một hệ như thế được gọi là “dây lượng tử”. Trong hệ
này, các hạt tải điện có thể chuyển động chỉ theo một chiều và chiếm các
trạng thái lượng tử hoá ở hai chiều còn lại. Kích thước của hệ theo phương x
là Lx, điện tử chuyển động tự do theo trục x nên dùng điều kiện biên tuần hoàn
Born-Karman ta có:

14


k x = nx

Thể tích trong không gian


2π
Lx

(1.13)

2π
chiếm bởi một trạng thái riêng rẽ là L
x

Mặt khác, ta có năng lượng của điện tử vẫn được xác định bởi:
E = E0 +

 2k 2
2m

(1.14)

Nên số trạng thái với năng lương nhỏ hơn E tương ứng nằm trong đường tròn
bán kính k là:
k
( 2m )1 / 2
NT (E) = 2
= Lx
( E − E 0 )1 / 2
2π / L x
π

(1.15)


Khi đó ta có mật độ trạng thái là:
N (E) =

1 d
1
NT (E) =
L dE
π

m
( E − E 0 ) −1 / 2
2
2

(1.16)

N(E)

E

k

2

1
E-E 0

0

0


k

E

Hình 1.5. Đồ thị năng lượng (a) và đồ thị mật độ trạng thái (b) của hệ một
chiều.
Như vậy phân bố các trạng thái, cũng như phân bố các mức năng lượng
tương ứng, theo phương song song với trục x là liên tục (Hình 1.5a). Trong
15


khi đó, chuyển động của các điện tử dọc theo hai phương còn lại (phương y và
phương z) bị giới hạn và các trạng thái của chúng có thể tìm được bằng cách
giải phương trình Schrödinger sử dụng mô hình “hạt trong hộp thế” [5]. Kết
quả là các trạng thái và bị lượng tử hóa nhận các giá trị gián đoạn (hình 1.5b).
c. Điện tử trong hệ không chiều (chấm lượng tử)
Khi các hạt tải điện và các trạng thái kích thích bị giam giữ trong cả ba
chiều thì hệ được gọi là một “chấm lượng tử”. Trong một chấm lượng tử
chuyển động của các điện tử bị giới hạn trong cả ba chiều x, y và z, vì thế
trong không gian k chỉ tồn tại các trạng thái gián đoạn (kx, ky, kz), mỗi một
trạng thái trong không gian k có thể được biểu diễn bằng một điểm. Do tính



chất gián đoạn của năng lượng và không phụ thuộc vào vectơ sóng k nên mật
độ trạng thái có dạng hàm Dirac [3,5]:
N ( E )α ∑ δ ( E − Ei )
i


(1. 17)

Hình 1.6. Đồ thị năng lượng (a) và mật độ trạng thái (b) của hệ không chiều.
Như vậy, chỉ có các mức năng lượng gián đoạn là được phép (Hình 1.6a).
Các mức năng lượng này có thể được biểu diễn như các đỉnh δ (delta) trong
hàm phân bố một chiều đối với mật độ trạng thái N (E ) như đã chỉ trên (hình
1.6b).

16


1.3. Chấm lượng tử bán dẫn và phân tử chấm lượng tử bán dẫn.
Chấm lượng tử bán dẫn (Quantum Dots) là các tinh thể nano bán dẫn có
kích thước từ vài nanomet tới vài chục nanomet. Chấm lượng tử giam giữ các
điện tử, lỗ trống và các cặp điện tử - lỗ trống (còn gọi là các exciton) theo cả
ba chiều trong một khoảng cỡ bước sóng De Broglie của các điện tử. Sự giam
giữ này dẫn tới các mức năng lượng của hệ bị lượng tử hóa, giống như phổ
năng lượng gián đoạn của một nguyên tử. Chính vì lí do này mà các chấm
lượng tử còn được gọi là các “nguyên tử nhân tạo” [5]. Các chấm lượng tử
bán dẫn được quan tâm đặc biệt là do hiệu ứng giam giữ lượng tử thể hiện rất
rõ và phụ thuộc mạnh vào kích thước của các hạt. Khi kích thước của chất bán
dẫn giảm dần tới mức kích thước so sánh được với bán kính Borh exciton của
một cặp điện tử - lỗ trống (aB) của chất bán dẫn đó thì điện tử trong chất bán
dẫn đó thể hiện là đã bị giam giữ lượng tử với các chế độ giam giữ yếu, trung
gian và mạnh tùy vào kích thước cụ thể của nó [2,5]. Một trong những biểu
hiện rõ nhất của hiệu ứng giam giữ lượng tử xảy ra trong các chấm lượng tử
là sự mở rộng vùng cấm của chất bán dẫn tăng dần lên khi kích thước của hạt
giảm đi và quan sát được qua sự dịch chuyển về phía các bước sóng xanh hơn
trong phổ hấp thụ [2,5]. Biểu hiện nữa là sự thay đổi dạng của cấu trúc vùng
năng lượng và sự phân bố lại trạng thái ở lân cận đỉnh vùng hoá trị và đáy

vùng dẫn, mà biểu hiện rõ nhất của hiệu ứng giam giữ lượng tử mạnh là các
vùng năng lượng liên tục sẽ trở thành các mức gián đoạn. Một vài ưu điểm
nổi trội về mặt quang học của chấm lượng tử như: tính chất ổn định quang lớn
hơn rất nhiều so với các chất bán dẫn khối truyền thống, thậm chí phát quang
sau nhiều giờ ở điều kiện kích thích [22]. Bên cạnh yếu tố phổ hấp thụ rất
rộng rất thuận lợi trong ứng dụng thì phổ phát xạ cũng hữu ích không kém vì
phổ phát xạ của các tinh thể nano bán dẫn này rất hẹp. Thêm nữa là yếu tố
thời gian sống huỳnh quang của chấm lượng tử dài đây là điều mà các nhà
17


nghiên cứu rất cần để theo dõi từng phân tử riêng biệt với cường độ huỳnh
quang yêu cầu lớn [22]. Và ngoài ra, có thể kể đến cả độ nhạy quang, độ
chính xác và độ sáng chói của chấm lượng tử khi phát quang, ất cả đều nổi
trội, mới mẻ và rất đặc biệt [22]. Chính vì thế chấm lượng tử là một trong
những cấu trúc nano bán dẫn có nhiều ứng dụng trong việc chế tạo các điốt
phát quang hiệu suất cao, pin quang hóa (pin mặt trời), đánh dấu huỳnh quang
sinh học [7]. Không những thế, chấm lượng tử là một trong những ứng cử
viên đầy hứa hẹn cho thế hệ máy tính lượng tử tương lai. Máy tính lượng tử
sử dụng các chấm lượng tử thay cho bóng bán dẫn (transistor) trong máy tính
thường, giúp lưu trữ và xử lý thông tin nhanh hơn hàng triệu lần. Bản chất
“lượng tử” của các hệ có cấu trúc nano còn hỗ trợ bảo mật thông tin an toàn
tuyệt đối. Chỉ một tác động nhỏ như chép trộm dữ liệu cũng làm thay đổi
trạng thái thông tin khiến dễ dàng phát hiện. Có thể nói, nhạy cảm với tác
động của môi trường là điểm mạnh nhưng cũng là nhược điểm gây phức tạp
hóa việc lưu trữ thông tin dưới dạng lượng tử. Các chấm lượng tử đã thu hút
rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học thực nghiệm, lí thuyết bởi vì khác
với các nguyên tử trong thực tế, các chấm lượng tử (“nguyên tử nhân tạo”)
với những hình dạng và kích thước khác nhau dẫn đến sự định xứ của hàm
sóng của điện tử và lỗ trống giam cầm trong chúng cũng khác nhau và điều

này làm cho sự phụ thuộc của trạng thái (năng lượng và hàm sóng) của điện
tử vào thể tích, điện trường và từ trường ngoài của các chấm lượng tử cũng
khác nhau. Sự phát triển của công nghệ chế tạo các cấu trúc nano bán dẫn cho
phép chế tạo các chấm lượng tử và phân tử chấm lượng tử với nhiều hình
dạng khác nhau như hình đĩa, hình ellip, hình nón, và hình thấu kính được
mọc lên từ mặt phẳng xy với chiều cao dọc theo trục z. Giống như các chấm
lượng tử, thiết kế nhân tạo của các phân tử chấm lượng tử bán dẫn cung cấp
cho chúng ta cơ hội để điều khiển và tái định xứ hàm sóng của lỗ trống và

18


điện tử trong phân tử chấm lượng tử khi thay đổi hình dạng, kích thước các
chấm, thay đổi khoảng cách giữa các chấm hay trường ngoài. Đây là điểm
khác biệt với so với các phân tử trong thực tế làm cho các phân tử chấm
lượng tử đã thu hút nhiều sự quan tâm trong các ứng dụng trong bit lượng tử,
chế tạo siêu vật liệu cấu trúc nano mới với tính chất mong đợi không giống
như bất cứ vật liệu có sẵn nào trong tự nhiên. Chúng ta có thể nhận thấy rằng
sự phát triển trong tương lai của máy tính lượng tử, quang học lượng tử, ứng
dụng của các chấm lượng tử trong y-sinh học, chế tạo siêu vật liệu có cấu trúc
nano đặt ra yêu cầu phải nghiên cứu tính chất quang cũng như các tính chất từ
của các cấu trúc nano bán dẫn mà phân tử chấm lượng tử là một trong những
hệ có triển vọng ứng dụng rất lớn. Phân tử gồm ba chấm lượng tử là một hệ
gồm ba chấm lượng tử được đề xuất để điều khiển trạng thái của điện tử và lỗ
trống bằng cách thay đổi khoảng cách giữa các chấm lượng tử, hoặc thay đổi
điện trường, từ trường ngoài áp đặt lên hệ. Phân tử ba chấm lượng tử có thể
có rất nhiều hình dạng khác nhau như hình đĩa, hình cầu, hình elipxôit, hình
nón, hình thấu kính, …

Hình 1.7. Phân tử gồm ba chấm lượng tử bán dẫn.

Trong luận văn này, chúng tôi xét phân tử gồm ba chấm lượng tử có hình
dạng thấu kính (hình 1.7) một trong những hình dạng được cho là rất gần với
thực nghiệm thu được trong thời gian gần đây [11,13,31]. Kích thước của các
19


chấm trong phân tử khác nhau đáng kể. Chấm lượng tử ở giữa có độ cao hC
nhỏ hơn độ cao hS của hai chấm hai bên, trong khi đó thì chấm lượng tử ở
giữa có bán kính đáy ρC lớn hơn rất nhiều bán kính đáy ρS của hai chấm lượng
tử hai bên. Khoảng cách d giữa đáy của chấm lượng tử ở giữa có bán kính lớn
tới đáy của hai chấm có bán kính nhỏ là giống nhau và có thể thay đổi được.
Chúng tôi đưa vào hệ một từ trường ngoài hướng theo trục Oz, cũng là hướng
mọc của cấu trúc (hình 1.7). Các tính toán và mô phỏng được thực hiện trong
mô hình ba chiều với thế giam cầm là thế bức tường cứng có bờ cao hữu hạn.
Chúng tôi tìm trạng thái (năng lượng và hàm sóng) của các điện tử và lỗ trống
từ đó tính được tích phân phủ, hệ số phản xạ, hệ số truyền qua và hệ số hấp
thụ của một lớp các phân tử gồm ba chấm lượng tử. Việc thay đổi từ trường
và khoảng cách giữa các chấm lượng tử trong phân tử gồm ba chấm lượng tử
giúp chúng ta có thể nghiên cứu sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ của lớp vào từ
trường ngoài với các khoảng cách khác nhau giữa các chấm.
Như vậy trong chương I chúng tôi đã trình bày được sơ lược về lý thuyết
vùng năng lượng của vật rắn; các khái niệm hệ thấp chiều , trong các hệ thấp
chiều chúng tôi đưa ra được đồ thị năng lượng và hàm mật độ trạng thái của
điện tử trong từng hệ thấp chiều đó để thấy được sự khác nhau trong từng hệ;
đồng thời giới thiệu một cách tổng quát về chấm lượng tử và phân tử chấm
lượng tử bán dẫn; đưa ra mô hình phân tử gồm ba chấm lượng tử mà chúng
tôi sẽ nghiên cứu.

20



CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN
2.1. Trạng thái của lỗ trống và điện tử giam cầm trong phân tử gồm ba
chấm lượng tử
2.1.1. Phương pháp khối lượng hiệu dụng.
Phương trình Schrodinger của điện tử trong trường tuần hoàn
của tinh thể có dạng [4]

(2.1)











ở đây vectơ mạng Rn = n1a1 + n2 a2 + n3a3 , với n1, n2 và n3 là các số nguyên, và a1






, a 2 , a3 là những vectơ cơ sở của mạng tinh thể, E (k ) là năng lượng riêng



tương ứng với hàm sóng ψ k (r ) .
Khai triển hàm Bloch

theo hệ hàm Wannier

(2.2)

Ở đây N là số ô cơ sở của tinh thể. Các hàm
các điều kiện trực giao chuẩn hóa.

21

và

thỏa mãn


(2.3)

(2.4)
Thực hiện phép biến đổi ngược cho ta
(2.5)

Khác với hàm sóng của điện tử trong nguyên tử, hàm Wannier

trực giao chuẩn hóa. Hàm

chỉ phụ thuộc vào vị trí của điện tử



trong nguyên tử chứ hoàn toàn không phụ thuộc vào vectơ sóng k , mặt khác
hàm này có cực đại tại r = Rn và giảm rất nhanh khi ( r − Rn ) tăng lên tức là nó










định xứ rất mạnh quanh vị trí của nút mạng thứ n, có bán kính vectơ Rn chính
vì vậy hàm Wannier rất phù hợp để mô tả các trạng thái có tính định xứ của
điện tử [4].
Xét điện tử chuyển động trong vật rắn, ngoài thế tuần hoàn
tác dụng của thế

còn chịu

biến đổi chậm trong không gian. Trạng thái của

electron được mô tả bằng hàm sóng
Schrodinger [4]

22

thỏa mãn phương trình