Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

2 xy 3 x + 4 − 16 = 2 y 2 − 9 y 3 x + 4
Câu 1: Giải hệ phương trình 
2 + y x − 4 = 2 xy − 12 y + 4 x − 4
Lời giải
ĐK: x ≥ 4
(*)
Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn (1)
Với y ≠ 0 thì (1) ⇔ 2 x x + 4 −

Đặt u = x + 4, v =

16 2
= − 9 x + 4.
y3 y

2
⇒ 2u ( u 2 − 4 ) − 2v3 = v − 9u ⇔ 2u 3 + u = 2v 3 + v
y
⇔ 2 ( u 3 − v3 ) + ( u − v ) = 0 ( u − v )  2 ( u 2 + uv + v 2 ) + 1 = 0
2
⇔ ( u − v ) ( u + v ) + u 2 + v 2 + 1 = 0 ⇔ u = v



2
2
⇒ x+4 = ⇒ y =
.
y
x+4

Thế vào (2) ta được 2 + x − 4.

2
2
2
= 2 x.
− 12.
+4 x−4
x+4
x+4
x+4

⇒ x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2

( x + 4 )( x − 4 )

(3)

Đặt t = x + 4 + x − 4 ≥ 8 = 2 2 ⇒ t 2 = 2 x + 2 x 2 − 16.
t = 4
Khi đó (3) thành t = t 2 − 12 ⇔ t 2 − t − 12 = 0 ⇔ 
 t = −3
Kết hợp với t ≥ 2 2 ta được t = 4 thỏa mãn ⇒ x + 4 + x − 4 = 4


 x ≥ 4
 x ≥ 4
 x ≥ 4
⇔
⇔
⇔

 2
2
2
2 x + 2 x − 16 = 16
 x + x − 16 = 8
 x − 16 = 8 − x
4 ≤ x ≤ 8
4 ≤ x ≤ 8
2
⇔ 2
⇔ x = 5 ⇒ y = thỏa mãn hệ đã cho.
2 ⇔ 
3
64 − 16 x = −16
 x − 16 = ( 8 − x )
 2
Đ/s: ( x; y ) =  5; 
 3
 xy 3 3 + x − 1 = 3 y 2 − 6 y 3 3 + x
Câu 2: Giải hệ phương trình 
15 y − 3 xy + 6 y 3 − x = 3 + 4 3 − x


Lời giải
ĐK: −3 ≤ x ≤ 3
(*)
Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn (1)
Với y ≠ 0 thì (1) ⇔ x 3 + x −

1 3
= − 6 3 + x.
y3 y

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Đặt u = 3 + x , v =

Facebook: LyHung95

1
⇒ u ( u 2 − 3 ) − v 3 = 3v − 6u ⇔ u 3 + 3u = v3 + 3v
y
⇔ ( u 3 − v3 ) + 3 ( u − v ) = 0 ⇔ ( u − v ) 3 ( u 2 + uv + v 2 ) + 3 = 0
2
 

v  9v 2
⇔ ( u − v ) 3  u +  +
+ 3 = 0 ⇔ u = v
2
4


 
1
1
⇒ 3+ x = ⇒ y =
.
y
3+ x

15
3x
6 3− x
−
+
= 3+ 4 3− x
3+ x
3+ x
3+ x

Thế vào (2) ta được

⇒ 15 − 3x + 6 3 − x = 3 3 + x + 4
⇔3

(

( 3 + x )( 3 − x )

)


3 + x − 2 3 − x = 15 − 3 x − 4

Đặt t = 3 + x − 2 3 − x ⇒ t 2 = 3 + x + 4 ( 3 − x ) − 4

⇒ 15 − 3x − 4
t = 0
Khi đó (3) thành 3t = t 2 ⇔ 
t = 3

( 3 + x )( 3 − x )

(3)

( 3 + x )( 3 − x )

( 3 + x )( 3 − x ) = t 2 .
(4)

Với −3 ≤ x ≤ 3 ⇒ t = 3 + x − 2 3 − x ≤ 3 + 3 + 0 < 3.
Do đó (4) ⇔ t = 0 ⇒ 3 + x − 2 3 − x = 0 ⇔ 3 + x = 2 3 − x
 −3 ≤ x ≤ 3
9
30
−3 ≤ x ≤ 3
thỏa mãn hệ đã cho.
⇔
⇔
⇔x= ⇒ y=
5
12

3 + x = 4 ( 3 − x )
5x = 9
 9 30 
Đ/s: ( x; y ) =  ;

 5 12 

 x3 − y 3 + 6 y 2 − 12 x − 16 = 0
Câu 3: Giải hệ phương trình 
2
2
2
 x 4 − x − 3 4 y − y − 3 y + 10 − x = 0
Lời giải:
ĐK: −2 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 4 . Xét PT(1) ta có: x − 12 x = y 3 − 6 y 2 + 16
3

⇔ x3 − 12 x = ( y − 2 ) − 12 ( y − 2 ) . Do −2 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 4 nên x; y − 2 ∈ [ −2; 2]
3

Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 12t ( t ∈ [ −2; 2]) ta có: f ( t ) = t 3 − 12t
Lại có: f ' ( t ) = 3t 2 − 12 ≤ 0 ∀t ∈ [ −2; 2] do vậy hàm số nghịch biến trên [ −2; 2] .
Do vậy f ( x ) = f ( y − 2 ) ⇔ x = y − 2 thế vào PT(2) ta có:

PT ( 2 ) ⇒ x 4 − x 2 − 3 4 − x 2 − 3x − x 2 + 4 = 0 ⇔ ( x − 3) 4 − x 2 = x 2 + 3x − 4
Đặt u = 4 − x 2 ≥ 0 ta có: u 2 + ( x − 3) u − 3x = 0 ⇔ u ( x + u ) − 3 ( x + u ) = 0

u = 3 ( vn )
⇔ ( u − 3)( x + u ) = 0 ⇔ 
 x = −u = − 4 − x 2


x ≤ 0
⇔ x = − 2 ⇒ y = 2− 2
Với x = − 4 − x 2 ⇔  2
2 x = 4
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

(

Facebook: LyHung95

)

Vậy HPT đã cho có nghiệm duy nhất là: ( x; y ) = − 2; 2 − 2 .

(

)

 x3 − 4 x + 3 y 2 − 1 + y = y 3

Câu 4: Giải hệ phương trình 
 x 1 − x 2 − 2 y − y 2 = 3 x 2 + 2 y − 3
Lời giải:
ĐK: x ∈ [ −1;1] ; y ∈ [ 0; 2] . Khi đó xét PT(1) ta có: x3 − 4 x = y 3 − 3 y 2 − y + 3
⇔ x 3 − 4 x = ( y − 1) − 4 ( y − 1) . Do y ∈ [ 0; 2] ⇒ ( y − 1) ∈ [ −1;1] .
3


Xét hàm số: f ( t ) = t 3 − 4t ( t ∈ [ −1;1]) ta có: f ' ( t ) = 3t 2 − 4 < 0 ∀t ∈ [ −1;1] .
Khi đó ta có : f ( x ) = f ( y − 1) ⇔ x = y − 1 thế vào PT(2) ta có:

PT ( 2 ) ⇒ x 1 − x 2 − 1 − x 2 = 3 x 2 + 2 x − 1 . Đặt u = 1 − x 2 ta có:

( x − 1) u = 2 x 2 + 2 x − u 2 ⇔ u + 2 x + 2 x 2 − ux − u 2 = 0 ⇔ ( u + 2 x ) + ( 2 x + u )( x − u ) = 0 .
 1 − x 2 = −2 x
⇔ ( u + 2 x )( x − u + 1) = 0 ⇔ 
 x + 1 = 1 − x 2

x ≤ 0
−1
1
⇔x=
⇒ y = 1−
.
Với 1 − x 2 = −2 x ⇔  2
5
5
5 x = 1
 x ≥ −1
 x = 0; y = 1
⇔
Với x + 1 = 1 − x 2 ⇔  2
.
 x = −1; y = 0
2 x + 2 x = 0

1 

 −1
Vậy nghiệm của PT là: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( −1; 0 ) ; 
;1 −
 .
5 
 5

 4 − x ( x − 1) + y 3 = 3 y 2 − 2
Câu 5: Giải hệ phương trình 
.
2
2
3 x x − 3 − 7 2 y − y + 2 x − 6 x = 3

Lời giải :
ĐK : 4 ≥ x ≥ 3; y ∈ [ 0; 2] . Ta có :
Khi đó : PT (1) ⇔

(4 − x)

3

4 − x ∈ [ 0;1] ; ( y − 1) ∈ [ −1;1] .

− 3 4 − x = y 3 − 3 y 2 + 2 = ( y − 1) − 3 ( y − 1)
3

Xét hàm số: f ( t ) = t 3 − 3t ( t ∈ [ −1;1]) ta có: f ' ( t ) = 3t 2 − 3 < 0 ∀t ∈ [ −1;1] .
Khi đó ta có : f


(

y ≥1
4 − x = f ( y − 1) ⇔ 4 − x = y − 1 ⇔ 
thế vào PT(2) ta có:
2
3 − x = y − 2 y

)

PT ( 2 ) ⇒ 3 x x − 3 − 7 x − 3 + 2 x 2 − 6 x − 3 = 0 ⇔ ( 3 x − 7 ) x − 3 + 2 x 2 − 6 x − 3 = 0 .

Đặt t = x − 3 ( t ≥ 0 ) ta có: ( 3x − 7 ) t + 2 x 2 − 7 x + t 2 = 0 ⇔ 3xt + 2 x 2 + t 2 − 7 ( t + x ) = 0 .

 2 x − 7 = −t = − x − 3 (*)
⇔ ( 2 x + t )( x + t ) − 7 ( x + t ) = 0 ⇔ ( 2 x + t − 7 )( x + t ) = 0 ⇔ 
.
 x + x − 3 = 0 ( loai )
7

13
3
x ≤
.
Khi đó: (*) ⇔ 7 − 2 x = x − 3 ⇔ 
⇔ x = ⇒ y = 1+
2
4
2
2

4 x − 29 x + 52 = 0


Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 13
3
Vậy nghiệm của HPT là: ( x; y ) =  ;1 +
.
2 
4
 x + y − x − y = 4x − y

Câu 6: Giải hệ phương trình 
 x 2 − 9 = 3 y − 3 x + 3 − 2

Lời giải:
Đk: 4 x ≥ y ≥ 0; x ≥ 3; x ≥

y; x − 3y + 3 ≥ 0 .

Khi đó ta có: (1) ⇒ 2 x − 2 x 2 − y = 4 x − y ⇔ y − 2 x = 2 x 2 − y
 y = 0 ⇒ x = 0 ( loai )
 y ≥ 2x
 y ≥ 2x

⇔ 2
⇔
⇔


2
2
2
4 x − 4 xy + y = 4 x − 4 y
4 y + y = 4 xy
 y = 4x − 4

x2 − 9 = 3 x −1 − 2

Với y = 4 x − 4 thế vào PT(2) ta có:

⇔ x −9 −4 = 3
2

(

x −1 − 2

Xét (*) với x ≥ 3 ta có:

)

x = 5
⇔  x+5


=
x −1 + 2
 x 2 − 9 + 4
3
x −1 + 2

( x + 5 )( x − 5) = 3 ( x − 5 )
⇔
x2 − 9 + 4

x+5
x2 − 9 + 4

≥

x+5
>1>
x+4

3
( *)
x −1 + 2

Do vậy PT(*) vô nghiệm
Vậy HPT có nghiệm duy nhất là ( x; y ) = ( 5;16 ) .

 4x − 2 y = x + y − x − y

Câu 7: Giải hệ phương trình 
.

( y 2 + 2 y + 2 ) x ( y + 1) + 1 = x3 − 6 x 2 − x − 17
Lời giải:
ĐK: x ≥

y
≥ 0; x ( y + 1) + 1 ≥ 0; x ≥
2

y

 y = 0; x = 0 ( loai )
y ≥ x
Ta có: PT (1) ⇔ 4 x − 2 y = 2 x − 2 x 2 − y ⇔ y − x = x 2 − y ⇔  2
⇔
 y + y = 2 xy
 y + 1 = 2x
Với y + 1 = 2 x thế vào PT(2) ta có: ( 4 x 2 + 1) 2 x 2 + 1 = x 3 − 6 x 2 − x − 17
⇔ ( 4 x + 1)
2

(

)

2 x + 1 − x − 1 + 3x − 2 x
2

3

2


( 4x
− 16 = 0 ⇔

2

+ 1)( x 2 − 2 x )
MS1

+ ( x − 2 ) ( 3x 2 + 4 x + 8) = 0

 4 x3 + x

⇔ ( x − 2) 
+ 3x 2 + 4 x + 8  = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 3 ( tm ) ( do x ≥ 0 ).
 MS1

Vậy HPT có nghiệm duy nhất là: ( x; y ) = ( 2;3) .

 4x − 2 y − 2 = x + 2 y + 1 − x − 2 y +1

Câu 8: Giải hệ phương trình 
 y 2 − 2 x + 5 + 2 y 2 − 2 x + 8 = 21 y − 17
Lời giải:
17
ĐK : y ≥ ; 2 x ≥ y + 1; x ≥ 2 y + 1; 2 y 2 − 2 x + 8 ≥ 0
21
Ta có: PT (1) ⇔ 4 x − 2 y − 2 = 2 x − 2 x 2 − 4 ( y + 1) ⇔ y − x + 1 = x 2 − 4 ( y + 1)
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016



Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 y + 1 = 0 ( loai )
2
⇔ ( y + 1) − 2 x ( y + 1) + x 2 = x 2 − 4 ( y + 1) ⇔ 
 y + 1 − 2 x = −4 ⇔ y = 2 x − 5
Với y = 2 x − 5 thế vào PT(2) ta có: y 2 − y + 2 y 2 − y + 3 − 21 y − 17 = 0
⇔

(

) (

)

2 y 2 − y + 3 − y − 1 + 3 y − 1 − 21 y − 17 + ( y 2 − 3 y + 2 ) = 0

2
y2 − 3 y + 2 9 ( y − 3 y + 2)
⇔
+
+ ( y2 − 3 y + 2) = 0
MS1
MS 2

 y = 1; x = 3
 1


9
⇔ ( y − 3 y + 2) 
+
+ 1 = 0 ⇔ 
(t / m )
 y = 2; x = 7
MS
MS

1
2


2
2


 7 
Vậy HPT đã cho có 2 nghiệm ( x; y ) = ( 3;1) ;  ; 2   .
 2 


1
y
1+ y

=
−
2

x −
x +1
y
Câu 9: Giải hệ phương trình  ( x + 1)

 8 y + 9 = ( x + 1) y + 2
Lời giải:
Điều kiện: x ≠ −1; y > 0
Từ phương trình ( 2 ) ta có

8 y + 9 − 2 = ( x + 1) y ⇔

8y + 5
8y + 9 + 2

= ( x + 1) y ⇒ x + 1 > 0

Phương trình (1) của hệ phương trình đã cho tương đương
x+

1 + xy + y = 0
1+ y
1
y
1 + xy + y 1 + xy + y
=
+
⇔
=
⇔


2
2
2
y
y
( x + 1) x + 1
( x + 1)
 y = ( x + 1)

Với 1 + xy + y = 0 ⇔ 1 + y ( x + 1) = 0 (loại)
Với y = ( x + 1) ⇒ x + 1 =
2

8y + 9 =

y thay vào phương trình ( 2 ) của hệ phương trình ta có

 y = 5 ⇒ x = 5 −1
2
y y + 2 ⇔ 8 y + 9 = y + 2 ⇔ 8 y + 9 = ( y + 2) ⇔ y 2 − 4 y − 5 = 0 ⇔ 
 y = −1( l )

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) =

(

5 − 1;5

)


4 xy − 1
1
 2y
−
=
2
−
2

y +1
( 2 x + 1)
Câu 10: Giải hệ phương trình  2 x + 1

 2 y + 7 = ( 2 x + 1) y + 1 + 1

Lời giải
1
Điều kiện: x ≠ − ; y > −1
2
Từ phương trình ( 2 ) ta có

2 y + 7 − 1 = ( 2 x + 1) y + 1 ⇔

2y + 6
2y + 7 +1

= ( 2 x + 1) y + 1 ⇒ 2 x + 1 > 0

Phương trình (1) của hệ phương trình đã cho tương đương


Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 4 xy + 2 y + 1 = 0
2y
1
4 xy − 1
4 xy + 2 y + 1 4 xy + 2 y + 1
+
=
+
2
⇔
=
⇔

2
2
2 x + 1 ( 2 x + 1)2
y +1
y +1
( 2 x + 1)
 y + 1 = ( 2 x + 1)
Với 4 xy + 2 y + 1 = 0 ⇔ 2 y ( 2 x + 1) + 1 = 0 (loại)
Với y + 1 = ( 2 x + 1) ⇔ 2 x + 1 =

2

2y + 7 =

y + 1 thay vào phương trình ( 2 ) của hệ phương trình ta có

y + 1 y + 1 + 1 ⇔ 2 y + 7 = y + 2 ⇔ 2 y + 7 = ( y + 2) ⇔ y 2 = 1 ⇔ y = 1 ⇒ x =
2

2 −1
2

 2 −1 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = 
;1
 2


Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016