Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

MUÏC LUÏC


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

*ÑAÏI SOÁ
CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC - BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).

1)

3x − 1

2)

5 − 2x

3)

5)

3− x
7x + 2

6)

x +3
7−x

7)

9)

x2 − 2

x 2 − 3x + 7

10)

1
7x − 14
1
2x − x

2

4)

2x − 1

8)

x2 + 3

6x − 1 + x + 3

12)


Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đưa một thừa số ra ngoài và vào trong dấu căn.
1) 2 5 − 125 − 80 + 605
3)

2) 2 27 − 6

1
33
1
48 − 2 75 −
+5 1
2
3
11

4) ( 28 − 2 3 + 7) 7 + 84
6) ( 27 − 3 12 + 2 6) : 3 3

5) 5 a − 4b 25a 3 + 5a 16ab 2 − 2 9a
7) ( 28 − 2 14 + 7) × 7 + 7 8
Bài 2: Thực hiện phép tính.
a) Trục căn thức ở mẫu
2+ 2
15 − 5
;
;
1)
1+ 2
1− 3

2)

p−2 p

a− a
;
1− a

p −2

;

8) (15 50 + 5 200 − 3 450): 10

2 3− 6
;
8 −2
a + ab
;
a+ b

b) Thực hiện phép tính vận dụng công thức
1)

4 3
+
75
3 5

15 − 6

;
35 − 14

x + xy

10 + 15
;
8 + 12

10 + 2 10
8
+
;
5 + 2 1− 5

y + xy

x x+y y
x+ y

−

(

x− y

)

2


A2 = | A |

9+4 5 + 9−4 5

2) 11 − 6 2 − 3 − 2 2

(

)

5) 15 − 216 + 33 − 12 6

6) a + 4 a − 2 + 2 + a − 4 a − 2 + 2 (a ≥ 6)

7)

3− 2 2 − 6+ 4 2

8)

9)

x −1− 2 x − 2 − x −1 + 2 x − 2

10)

x + 3 + 4 x −1 − x + 8 − 6 x −1

12)


a 2 (a − 2) 2 với a < 0

11) 9(3 − a) với a > 3
c) Thực hiện phép tính bằng cách tính A2 rồi suy ra A

3+ 5

)

4) 3 − 2

2

7+4 3 ;

(

3) 11 + 6 2 − 11 − 6 2

7 − 2 10

m + 2 m −1 − m − 2 m −1

1)

4− 7 − 4+ 7

2)

4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5


3)

7 − 33 − 7 + 33

4)

9 + 17 − 9 − 17 − 2

5)

4 + 15 − 4 − 15 − 2 − 3

6)

6 − 35 + 6 + 35 − 14

8)

2+ 3 + 2− 3

7) A = 12 − 3 7 − 12 + 3 7
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
GV: Trần Đình Hoàng

2

Trường THCS Nhơn Hải



Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
1)
3)

2 3− 6
216  1
−

÷×
3 ÷
 8−2
 6

 14 − 7
15 − 5 
1
2) 
+
:
÷
÷
1− 3  7 − 5
 1− 2

5 − 2 6 + 8 − 2 15

4)

7 + 2 10
 5 + 5  5 − 5 

5)  1 −
÷
÷
÷
÷
 1 + 5  1 − 5 
1
2 x
1
+
−
7) A =
với x > 0; x ≠ 1
x + x x −1 x − x
a a − 8 + 2a − 4 a
10) B =
a−4

(
11)

5 a −3

+

a −2
với a ≥ 0, a ≠ 4

x+ y


)

)

1
5
8+4
4

2

 x−y
x x −y
−

x−y
x y+y x  x− y
2
 a −1
a +1  
2 
+
13) 
÷1 −
÷ với
a −1 ÷
 a +1
  a +1 

 a −2

a > 0
a + 2 
4 
−
a
−
12) 
với
÷


÷
a −2÷
a
a ≠ 4
 a +2


 2a + 1
  a + a3
a
−
−
a

÷
14)  3
÷
÷
÷

 a −1 a + a +1   1 + a

3
1 

+
16) P = 
÷. x − 2
x +1 
 x− x −2
với x ≥ 0 và x ≠ 4 .
 a + a  a − a 
18) M =  1 +
÷
÷ 1 − a − 1 ÷
÷,
a
+
1



víi a > 0 vµ a ≠ 1
20) A =

(

 3 125 10 − 4 5 
−
6) 

÷
5 −2 ÷
 15

2+ 3+ 6+
8) A =
2+ 3+

(a ≠ 4)

(

3+ 2 3 2+ 2
+
− 2+ 3
3
2

y
÷
÷

a > 0

a ≠ 1

15) B = (2 − 3) 26 + 15 3 − (2 + 3) 26 − 15 3

)


a b +b a
1
:
ab
a− b
víi a > 0, b > 0 vµ a ≠ b.

17) Q =

3
1  x −9

+
19) A = 
với x > 0, x ≠ 9
÷×
x +3
x
 x −3 x

3 a + 1 a2 + 2 a + 8
−
a−4
a +2

21) A =

1
2 x
1

+
−
với x > 0; x ≠ 1
x + x x −1 x − x

Dạng 3: So sánh hai số.
Bài 1: Ap dụng tính chất: Với Với a ≥ 0, b ≥ 0. Ta có a < b ⇒ a < b . Hãy so sánh
a) 2 và 3
b) 6 và 41
c) 2 và 1 + 2
d) 1 và 3 − 1
e) 3 12 và 11
f) 3 123 và 5
g) 5 3 6 và 6 3 5
Bài 2: - Ap dụng tích chất: Với a > 0, b > 0. Ta có a2 < b2 ⇒ a < b.
- Để chứng minh a < b ta chứng minh a2 < b2 .
Hãy so sánh
a) 3 2 và 2 3
b) 8 + 5 và 7 + 6
c) 7 − 2 và 1
d)

2005 + 2007 và 2 2006

e) 6 + 20 và 1 + 5

f)

2 + 3 + 2 − 3 và


2 +1

g) So sánh 9 + 16 và 16 + 9 . Tổng quát: Với a > 0, b > 0, chứng minh a + b < a + b
h) So sánh 169 − 25 và 169 − 25 . Tổng quát: Với a > 0, b > 0, chứng minh a − b > a − b
Bài 3: So sánh bằng phương pháp khác.
a)

7 + 15 và 7

k) Với n ≥ 0, CMR:
2007 − 2006 và
GV: Trần Đình Hoàng

b) 10 + 5 + 1 và
n +1 − n =

c)

35

15 − 2 10
và 15
3

d)

23 − 2 19
và
3


27

1
. Từ đó hãy so sánh:
n +1 + n

2006 − 2005
3

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
2

1− a a
1− a 
+ a ÷

÷ 1 − a ÷
÷ = 1 với a > 0 và a ≠ 1
 1− a


a
b
2b
−

−
= 1 với a ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b
a− b
a + b a−b

a)
b)

a+ b
a− b
2b
2 b
−
−
=
với a ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b
2 a −2 b 2 a +2 b b−a
a− b

c)
d)

9 − 17 . 9 + 17 = 8
2

a a +b b
 a + b 
≥
≥
≠

− ab ÷
e)

÷ a − b ÷
÷ = 1 với a 0, b 0, a b
 a+ b


 a +1
 1
a −1
2
P = 
−
+4 a ÷
=
f)
÷
a +1
 a −1
 2a a a − 1
5+3 5 3+ 3
+
− 5 +3 = 3
g)
5
3 +1
Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.

1

1
a2 +1   1 
+
−
1 + ÷ với a > 0 và a ≠ 1
a) 
2 ÷
 2 + 2 a 2 − 2 a 1− a   a 

(

)

ĐS : 1

 2 xy
x− y  2 x
y
+
×
+
b) 
÷
với x > 0, y > 0 và x ≠ y
÷
y− x
 x − y 2( x + y)  x + y
c) B = x y − y
xy


x (
−

x+ y

)

2

− 4 xy

x− y

với x > 0, y > 0 và x ≠ y

ĐS : 0

a − 2   a3 + a − a − 1 
÷ với a > 0, a ≠ 1
÷
÷
÷
a


a a +b b

2 b
− ab ÷: ( a − b ) +
e) E = 

với a > 0 , b > 0 a ≠ b
÷
a+ b
 a+ b

a a −1 a a +1 
1  a +1
a −1
+
− a −
+
÷ với a > 0, a ≠ 1
f) F =
÷
a− a
a+ a 
a  a −1
a +1÷



ĐS : 1

2+ a

−
d) C = 
 a + 2 a +1 a −1

ĐS : 2


Dạng 5: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
a2 + a
2a + a
−
+ 1.
Bài 1: Xét biểu thức A =
a − a +1
a
a) Rút gọn A.

b) Biết a > 1, hãy so sánh A với

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
a2 +1
Bài 2: Cho biểu thức : A =
+
2 + 2 a 2 − 2 a 1− a2
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
1
b) Tìm giá trị của a ; biết A <
3
 x −2
x + 2  (1 − x) 2

⋅
−
.
Bài 3: Xét biểu thức P = 


x
−
1
2
x
+
2
x
+
1



A.

c) Tìm a để A = 2.

1

GV: Trần Đình Hoàng

1

4

(KQ: A =

a
)
1+ a


Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
.
Bài 4: Xét biểu thức Q =
x −5 x +6
x −2 3− x
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên.
2
3
3 
 x−y
x
−
y
x
−
y
+ xy

:
−
Bài 5: Xét biểu thức H = 
 x− y

x−y 
x+ y

a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H ≥ 0.
c) So sánh H với

(

)

H.

3x + 9x − 3
x +1
x −2
−
+
.
x+ x −2
x + 2 1− x
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên.
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+

−
.
Bài 7: Xét biểu thức P =
x + 2 x − 3 1− x
x +3
1
2
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho P = .
c) So sánh P với .
2
3
Bài 8: Cho biểu thức:


a
a 
a
a
+
: 
+
A = 
÷
÷
÷
÷ với a và b là các số dương khác nhau.
 a + b b − a   a + b a + b + 2 ab 
a + b + 2 ab
a+ b

a) Rút gọn biểu thức A –
.
(KQ: A =
)
b−a
b− a
Bài 6: Xét biểu thức M =

b) Tính giá trị của A khi a = 7 − 4 3 và b = 7 + 4 3 .
 a + a  a − a 
÷ 1 −
÷
Bài 9: A =  1 +
÷
÷
a
+
1
a
−
1



a) Tìm các giá trị của a để A có nghĩa
c) Tìm a để A = −5 ; A = 0

b) Rút gọn A
d) Tìm a để A3 = A


 a
1  a − a a + a 
−
−
÷
÷
Bài 10: M = 
÷
a − 1 ÷
 2 2 a  a + 1
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M = 4

với a > 0 , a ≠ 1

c) Tìm giá trị của M khi a = 6 − 2 5 + 6 + 2 5
x − 3 2 x −1
x−2
−
+
x −2
x −1 x − 3 x + 2
a) Tìm điều kiện để Q có nghĩa và rút gọn Q
b) Tìm x để Q ≥ 2

Bài 11: Q =

3 a +1 a + 2 a + 8
−
với a ≥ 0, a ≠ 4

a−4
a −2
a +2

a +1
a −1
1 
−
+4 a÷
. a +
÷ với x>0 ,x ≠ 1
÷
a −1
a +1
a


Bài 12: Rút gọn biểu thức A =

Bài 13: Cho A= 

a) Rút gọn A

(

5 a −3

c) Tìm x ∈ ¢ để Q ∈ ¢

)(


b) Tính A với a = 4 + 15 .
GV: Trần Đình Hoàng

2

+

)(

10 − 6 .

4 − 15
5

)

( KQ : A = 4a )

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
1   a +1 
 1
−
Bài 14: Cho biểu thức: K = 2 
÷ (với a > 0, a ≠ 1 )
÷:  2
a   a − a ÷

 a −1

a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tìm a để K = 2012 .
Bài 15: Cho A =

( KQ : K = 2 a )

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
x + 2 x − 3 1− x
x +3

a) Rút gọn A.

b) Tìm GTLN của A.

(KQ:A =

2−5 x
)
x +3

(KQ : A =

x
)
x + x +1


(KQ : A =

x
)
x − x +1

(KQ : Q =

2x
)
x −1

1
2
d) CMR : A ≤ .
2
3
x+2
x +1
1
+
+
Bài 16: Cho A =
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
x x −1 x + x + 1 1− x
a) Tìm x để A =

a) Rút gọn A.
Bài 17: Cho A =


b) Tìm GTLN của A
1
3
2
−
+
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
x +1 x x +1 x − x +1

a) Rút gọn A.

b) CMR :

0 ≤ A ≤1


x +2
x −2 
−
x + x , với x > 0, x ≠ 1
Bài 18: Cho biểu thức Q = 
÷
÷
x
−
1
x
+
2

x
+
1



(

)

a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
2a 2 + 4
1
1
−
−
Bài 19: Cho biểu thức: P =
3
1− a
1+ a 1− a
a) Tìm điều kiện của a để P xác định

(KQ: P =

b) Rút gọn biểu thức P.


x −4
3 ÷  x +2

x 

+
: 
−
Bài 20: Cho A =
÷
 x x −2
x −2÷ 
x
x −2÷



a) Rút gọn A
b) Tính A với x = 6 − 2 5

(

)

2
)
a + a +1
2

với x > 0 , x ≠ 4.\
(KQ: A = 1 − x )

 2x +1

1  
x+4 
−
: 1 −
Bài 21: Cho A=  3
÷
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷  x + x +1 ÷
x
−
1

x
−
1


b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z

a) Rút gọn A.

(KQ: A =

x
)
x −3



1

1  1
2 
+
+
÷:
÷ với x > 0 và x ≠ 1.
 x − 1 x − x   x + 1 x − 1

Bài 22: Cho biểu thức Q = 
a)
b)

Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q với x = 7 – 4 3 .
A=

(KQ:

x +1
)
x

GV: Trần Đình Hoàng

6

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

 x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1 
−
−
: 
−
Bài 23 : Cho A = 
÷
÷ với x ≥ 0 , x ≠ 1
÷
x +1 x −1   x −1
x −1 ÷
 x −1

CMR : A ≤ 1

b) Tính A với x = 6 − 2 5

a) Rút gọn A.

1 
x +1
 1
+
Bài 24: Cho A = 
÷:
x −1  x − 2 x +1
 x− x
a) Rút gọn A.


(KQ: A =

với x > 0 , x ≠ 1

b) So sánh A với 1

1  x −2
 1
+
Bài 25 : Cho biểu thức A = 
÷.
x −2
x
 x +2
a) Tìm điều kiện xác định và tú gọn A.
1
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A >
2
7
c) Tìm tất cả các giá trị của x để B = A đạt giá trị nguyên.
3
 x −2
x + 2  x2 − 2 x + 1
−
Bài 26: Cho A = 
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷
÷.
x

−
1
2
x
+
2
x
+
1


a) Rút gọn A.
c) Tính A khi x = 3 + 2 2

4 x
)
x+4

b) CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
d) Tìm GTLN của A

(KQ: A =

x −1
)
x

(KQ: A =

2

)
x +2

(KQ: A =

x (1 − x )

4
1  x−2 x

+
Bài 27 : Cho A =  1 −
với x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4.
÷:
x +1 x −1  x −1

a) Tìm tìm x để A có nghĩa.
b) Rút gọn A
1
c) Tìm x để A =
2
 x +1 x − 2 x − 3   x + 3
2 
−
:
+
Bài 28: Cho A = 
÷
÷ với x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷

x −1   x −1
x +1 
 x −1
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi x = 0,36
c) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z

x +2
x −2 
−
x + x , với x > 0, x ≠ 1
Bài 29: Cho biểu thức Q = 
÷
÷
 x + 2 x +1 x −1 

(

)

a) Rút gọn biểu thức Q

(KQ: Q =

2x
)
x −1

(KQ: P =


4a −1
)
a2

b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
Bài 30: Cho biểu thức M =

1
x
x+9
+
−
3− x 3+ x x −9

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm các giá trị của x để M > 1
 4a
a  a −1
−
Bài 31: Cho biểu thức: P = 
÷
÷. a 2 với a >0 và a ≠ 1 .
a
−
1
a
−
a



a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P = 3.
Bài 32: Cho biểu thức: B =
GV: Trần Đình Hoàng

2(x + 4)
+
x−3 x − 4

x
−
x +1

8
với x ≥ 0, x ≠ 16.
x−4
7

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

a) Rút gọn B.

GV: Trần Đình Hoàng

b) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.

8


(KQ: B =

3 x
)
x +1

Trường THCS Nhơn Hải


Ơn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

CHỦ ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cơ bản:
ax + by = c
(I)
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: 
a ' x + b ' y = c '
- Trong mặt phẳng tọa đợ Oxy, nếu gọi (d1) là đường thẳng ax + by = c và (d2) là đường thẳng
ax + by = c thì điểm chung nếu có của hai đường thẳng ấy có tọa đợ là nghiệm chung của hai
phương trình của hệ (I).
- Đối với hệ (I) ta có:
a b
≠
+ Nếu
thì (d1) cắt (d2) và khi đó hệ (I) có mợt nghiệm duy nhất.
a ' b'
ab' = a' b
a b c
= ≠ ⇔

+ Nếu
thì (d1) // (d2) và khi đó hệ (I) vơ nghiệm.
a' b' c'
ac' ≠ a' c (hoặc bc' ≠ b' c)
+ Nếu

ab' = a' b
a b c
= = ⇔
thì (d1) ≡ (d2) và khi đó hệ (I) có VSN
a' b' c'
ac' = a' c (hoặc bc' = b' c)

B. Các dạng bài tập:
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản:
Bài 1: Giải các hệ phương trình

3x − 2y = 4
1) 
2x + y = 5
3x − 4y + 2 = 0
4) 
5x + 2y = 14

 4x − 2y = 3
2) 
6x − 3y = 5
2x + 5y = 3
5) 
3x − 2y = 14


Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

( 3x + 2 ) ( 2y − 3 ) = 6xy
( 4x + 5 ) ( y − 5 ) = 4xy

2x + 3y = 5
3) 
4x + 6y = 10
4x − 6y = 9
6) 
10x − 15y = 18

( 2x − 3) ( 2y + 4 ) = 4x ( y − 3 ) + 54
( x + 1) ( 3y − 3) = 3y ( x + 1) − 12

1) 

2) 

 x + 2y = 5
3)  2
2
 x + 2y − 2xy = 5
( x + 5)( y − 2) = ( x + 2)( y − 1)
6) 
( x − 4)( y + 7) = ( x − 3)( y + 4)

3 x − 3 y = 3 − 2 3
( x + 1) + 2( y − 2) = 5

4) 
5) 
3( x + 1) − ( y − 2) = 1
 2 x + 3 y = 6 + 2
( x − 1)( y − 2) + ( x + 1)( y − 3) = 4
7) 
( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 1

n
 2m
+
 m + 1 n + 1 = 2
 2 x + y = 2
Bài 3: Giải hệ phương trình 
Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình 
 x + 3 y = −1
 m + 3n = −1
 m + 1 n + 1
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

1
 2
+
 x + 2y y + 2x = 3

1) 
;
4
3


−
=1
 x + 2y y + 2x
2
2
 x + y − 3x + 4y = 1
4)  2
2
3x − 2y − 9x − 8y = 3

GV: Trần Đình Hồng

2
 3x
−
 x +1 y + 4 = 4

2) 
;
2x
5

−
=9
 x + 1 y + 4

3y
 1
+

 x −1 y + 2 = 7

3) 
 2 − 5 =4
 x − 1 y + 2
3 x − 2 − 4 y − 2 = 3
5) 
2 x − 2 + y − 2 = 1

2
 x − 3x = a
nếu  2
 y + 4y = b

9

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
Bài 2: Chia cả hai vế của phương trình (1) cho xy, sau đó đặt ẩn phụ và giải các phương trình sau:
5x + 4y = 3xy

a)  2 5
x − y = 0


 2x + 3y = − xy

b)  6 8

− x + y = 5


12x + 3y = 4xy

c)  9 8
x − y =1


10x + 8y = 3xy

d)  4 10
x − y = 0


Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước:
ìï mx + 2my =- 24
Bài 1: Cho hệ phương trình ïí
ïïî (1- m) x + y =- 9
a) Giải hệ phương trình với m = 3
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Giải:
3x + 6y = −24
a) Khi m = 3 hệ (I) trở thành 
 −2x + y = −9
ïì 3 x + 6 y =- 24
ïì 3x + 6 y =- 24
ïì x = 2
⇔ ïí
⇔ ïí

⇔ ïí
ïïî 12 x - 6 y = 54
ïïî 15 x = 30
ïïî y =- 5
b) Để hệ (I) có nghiệm duy nhất thì :

m ≠ 0
m
2m
2
≠
⇔ m ≠ 2m(1 − m) ⇔ 2m − m ≠ 0 ⇔ m ( 2m − 1) ≠ 0 ⇔ 
m ≠ 1
1− m
1

2
 2 x + y = 5m − 1
Bài 2. Cho hệ phương trình: 
(m là tham số)
x − 2 y = 2
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1.
Giải:
 2x + y = 5m − 1
 2x + y = 4
x = 2
⇔
a) Thay m = 1 vào hệ phương trình: (I) 
ta được 

 x − 2y = 2
 x − 2y = 2
y = 0
2
2
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn: x – 2y = 1.
 x = 2m
Ta giải (I) theo m được 
Nghiệm này thỏa mãn hệ thức x2 – 2y2 = 1 nghĩa là
y
=
m
−
1


4m 2 – 2 ( m − 1) = 1 ⇔ 4m 2 − 2m 2 + 4m − 2 = 1 ⇔ 2m 2 + 4m − 3 = 0
2

−2 + 10
−2 − 10
, m2 =
2
2
−2 + 10
−2 − 10
KL: Vậy với hai giá trị m1 =
thì nghiệm của hệ (I) thỏa mãn hệ thức trên.
, m2 =
2

2
 x + y = 3m
Bài 3. Tìm các số nguyên m để hệ phương trình 
có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn điều kiện
 x − 2 y = −3
Giải phương trình ẩn m được m1 =

x 2 + xy = 30 .
 x + y = 3m
Giải: Giải hệ phương trình 
theo m ta tìm được y = m + 1 , x = 2m − 1
 x − 2 y = −3
x 2 + xy = 30 ⇔ (2m − 1) 2 + (2m − 1)(m + 1) = 30 ⇔ 2m 2 − m − 10 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = −
Do m nguyên nên m = 2

5
2

 mx + y = 2
Baøi 4: Cho hệ phương trình với hai ẩn x và y sau: 
 x + my = m + 1
a) Định m để hệ có nghiệm duy nhất.
GV: Trần Đình Hoàng

10

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

b) Tim m ∈ Z để x , y ∈ Z .
c) Chứng tỏ M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Giải:
m 1
≠ ⇔ m 2 ≠ 1 ⇔ m ≠ ±1 .
1 m

a)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

b)



1
1
x=
x=


 mx + y = 2


m +1 ⇔
m +1
⇔
Với m ≠ ±1 ta có: 

 x + my = m + 1

y = m
y = 1 − 1

m +1

m +1
Do x , y ∈ Z nên m + 1 là ước của 1 ⇒ m + 1 = ± 1 ⇔ m = 0, m = −2

b) Ta có x − y =

1
m
−
= −1 hay x − y = −1 ⇔ y = x + 1 .
m +1 m +1

Vậy M(x ; y) luôn nằm trên đường thẳng cố định y = x + 1.
Baøi 5:
a)
b)
c)
d)

( a + 1) x − y = a + 1
(1)
Cho hệ phương trình sau với thám số a: 
(2)
 x + ( a − 1) y = 2
Giải hệ phương trình với a = 2.
Giải và biện luận hệ phương trình theo m.

Tìm các giá trị nguyên của a để hệ có nghiệm nguyên.
Tìm các giá tri nguyên của a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x + y nhỏ nhất.

Giải:
5
4

a) Thay a = 2 ta được nghiệm của hệ là x = ; y =

3
4

b) Rút y từ (1) ta được: y = (a + 1)x  (a + 1). Thay vào (2) được
x + ( a 2 − 1) x − ( a 2 − 1) = 2 ⇔ a 2 x = a 2 + 1

Nếu a ≠ 0 thì x =

(3)

 a2 +1 a +1
a +1
a2 +1
y
=
.
Khi
đó
.
Hệ
có

nghiệm
duy
nhất:
 2 ; 2 ÷
a 
a2
a2
 a

Nếu a = 0 thì (3) vô nghiệm. Hệ đã cho vô nghiệm
c) Điều kiện cần: Để hệ có nghiệm nguyên thì ta phải có a 2 + 1 Ma 2 ⇒ 1 Ma 2 ⇒ a 2 = 1 ⇒ a = ±1
Điều kiện đủ: Với a = 1 thì x = 2, y = 2
Với a = 1 thì x = 2, y = 0
Vậy các giá trị nguyên của a là 1 và 1
a2 + a + 2
1 2
= 1 + + 2 (với a ≠ 0)
2
a
a a
2
1
1 7 7
 2 z 1 7

2
Đặt = z , ta có x + y = 1 + z + 2z = 2  z + + ÷+ = 2  z + ÷ + ≥
a
2 16  8
4 8 8



7
−1
Vậy min ( x + y ) = khi và chỉ khi z =
, tức là a =  4
8
4

d) Ta có x + y =

Bài tập tương tự
Bài 1: a) Định m và n để có hệ phương trình sau:

 2 ( m + 1) x − 7 ( n − 2 ) y = 6

( II)  m + 1
có nghiệm (1 ; 2)
n−2
x+
y=2

6
 6
2−
b) Định a và b biết phương trình: ax 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = − 2.

2mx − ( n + 1) y = m − n
(I) 
có nghiệm (2 ; − 1)

( m + 2 ) x + 3ny = 2m − 3

GV: Trần Đình Hoàng

11

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

mx + 4y = 10 − m
(m lµ tham sè)
Bài 2: Cho hệ phương trình 
x + my = 4
a) Giải hệ phương trình khi m = 2 .
b) Định m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất
mx −y =1
Bài 3. Cho hệ phương trình: 
x +my = 2
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất . Giải hệ phương trình theo tham số m.
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x;y).Tìm các giá trị của m để x – y = –1
c) Tìm m để hệ có nghiệm dương.
Bài 4. Cho hệ phương trình:
1)
2)

x - 2y = 3- m

 2x + y = 3 ( m+2)


Giải hệ với m = -1
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y)
a)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
b)
Tìm m để biểu thức x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị ấy
 x + my = 3
Bài 5: Cho hệ phương trình 
 mx + 4 y = −1
a) Giải hệ phương trình với m = 3
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
 2 x + ay = 5
Bài 6: Cho hệ phương trình 
 ax + 2 y = 2a + 1
a) Giải hệ phương trình với a = 3
b) Với giá trị nào của a thì hệ vô nghiệm ? Hệ vô số nghiệm ?
 2 x − 3 y = 2 m + 6
Bài 7: Cho hệ phương trình 
(với m là tham số và m ≥ 0)
 x − y = m + 2
a) Giải hệ phương trình với m = 4.
b) Giải hệ phương trình trên sao cho x + y nhỏ nhất.

(m + 2) x + y = m
mx − y = 1

Bài 8: Cho hệ phương trình : 

a) Giải hệ với m = 1

b) Tìm m để hệ có nghiệm
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y.
( a + 1) x + y = 4
Bài 9: Cho hệ phương trình 
(a là tham số).
ax + y = 2a
a) Giải hệ khi a = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y ≥ 2.
 4x − 4y = 1 − 2a
Baøi 10: Cho hệ phương trình: 
. Biết hệ phương trình trên có nghiệm (x ; y) thỏa mãn
8x + 4y = 8 − a
3
3
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = a +
4
a
ax − y = 2
Baøi 11: Cho hệ phương trình : 
 x + ay = 3
x≥0; y≥

a)
b)

Giải hệ khi a = 3 − 1 .
Chứng minh rằng hệ đã cho luôn có nghiệm với mọi a.

GV: Trần Đình Hoàng


12

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
c)

Tìm a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn điều kiện x − 2y = 0 .

(m + 1)x + my = 2m − 1
Baøi 12: Cho hệ phương trình hai ẩn x và y sau: 
.
2
 mx − y = m − 2
a) Tìm m để hệ trên vô nghiệm.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa: P = xy đạt giá trị lớn nhất.
(a + 1)x − y = 3
Baøi 13: Cho hệ phương trình: 
ax + y = a
a) Giải hệ phương trình với a = − 2 .
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0
 x − 2y = 3 − m
Bài 14: Cho hệ phương trình: 
2x + y = 3(m + 2)
a) Giải hệ phương trình khi thay m = − 1.
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 mx − y = 2
Bài 15 : Cho hệ phương trình : 
 x + my = 1

a) Giải hệ phương trình theo tham số m.
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = − 1.
c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
 mx + y = 2m
Bài 16 : Cho hệ phương trình : 
x − m = 1 − my
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên
 mx + 2y = 1
Bài 17 : Cho hệ phương trình : 
3x + ( m + 1) y = −1
a) Giải hệ phương trình khi m = 3.
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
c) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên.
( m − 1) x + y = 3m − 4
Bài 18: Cho hệ phương trình : 
x + ( m − 1) y = m
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.
c) Tìm các giá trị dương của m để hệ có nghiệm dương duy nhất.
x + my = m + 1
Bài 19: Cho hệ phương trình : 
 mx + y = 3m − 1
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
b) Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, tìm tìm các giá trị nguyên của m để tích xy nhỏ nhất.
(a − 1)x + y = a
Bài 20: Cho hệ phương trình : 
x + (a − 1)y = 2
a) Tìm a để hệ có nghiệm (x;y)
b) Giải hệ theo a.

c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
d) 4. Tìm giá trị của a thoả mãn điều kiện 6x2 - 17 y = 5
2x − 5 y
e) Tìm các giá trị của a để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
x+ y
3x - 4y = -5
Bài 21: a) Giải hệ phương trình 
 4x + y = 6
b) Tìm các giá trị của m để các đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
13
GV: Trần Đình Hoàng
Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
3x + 5
và y = (m - 1)x + 2m
4
 mx - y = 2
x > 0
Bài 22: Tìm m để hệ 
có nghiệm (x ; y) sao cho 
3x + my = 5
 y<0
 mx - 2y = 3
Bài 23: Tìm giá trị nguyên của m để hệ 
có nghiệm (x;y) sao cho
3x + my = 4
y = 6 - 4x ; y =


4 x − y +4 =0
x +( m +1) =1

x < 0

y > 0

Bài 24: Cho hệ phương trình 
a)
b)
c)

Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên
Tìm các giá trị của m hệ có nghiệm thoả mãn hệ thức x - y = 1
Tìm các giá trị của m hệ có nghiệm thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 65
 2x - ay = a
Bài 25: Cho hệ phương trình : 
x + y = a + 2
a) Giải hệ phương trình khi a = -1
b) Gọi nghiệm duy nhất của hệ pt là (x; y). Tìm các giá trị của a để 3x - 2y = 2
 2x + y = 1
Bài 26: Cho hệ phương trình 
 x + ay = 3
a) Giải hệ phương trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phương trình vô nghiệm.
 x - my = 2m
Bài 27: Cho hệ phương trình 
 mx - 4y = m + 6
Gọi cặp (x;y ) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Tìm các giá trị của m để 3(3x + y - 7 ) = m

2 x − y = m − 2
Bài 28: Cho hệ phương trình 
 x + 2 y = 3m + 4
a) Giải hệ phương trình với m = 1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: x2 + y2 = 10.

GV: Trần Đình Hoàng

14

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VIÉT
A. Phương trình bậc hai.
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai cơ bản
1) x2 – 6x + 14 = 0 ;
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ;
5) x2 – 4x + 2 = 0 ;
7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ;

2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ;
4) − 30x2 + 30x – 7,5 = 0 ;
6) x2 – 2x – 2 = 0 ;
8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x + 1)

Dạng 2: Giải các phương trình bậc hai bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ;

2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;
3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ;
4) (1 − 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ;
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ;
6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ;
8) x2 – 11x + 30 = 0 ;
9) x2 – 12x + 27 = 0 ;
10) x2 – 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng.
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a) 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ;
c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ;

b) x4 – 13x2 + 36 = 0;
d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0.

Dạng 3: Phương trình bậc cao.
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai:
a) 2x3 – 7x2 + 5x = 0 ;
b) 2x3 – x2 – 6x + 3 = 0 ;
c) x4 + x3 – 2x2 – x + 1 = 0 ;
d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2.
Dạng 4: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

1 
1


a) 4  x 2 + 2 ÷− 16  x + ÷+ 23 = 0

x 
x



b)

c) 3 ( 2x + 3x − 1) − 5 ( 2x + 3x + 3 ) + 24 = 0

x 2 48
x 4
d) − 2 − 10  − ÷ = 0
3 x
3 x

1 
1


e) 3  x 2 + 2 ÷− 16  x + ÷+ 26 = 0
x 
x



1  
1

f ) 2  x 2 + 2 ÷− 7  x − ÷+ 2 = 0
x  

x


2

2

2

21
− x 2 + 4x − 6 = 0
x − 4x + 10
2

Dạng 5: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.
1) x2 − 2(m − 1)x − 3 − m = 0 ;
2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;
2 −
2
3) x
(2m − 3)x + m − 3m = 0 ;
4) x2 + 2(m + 2)x − 4m − 12 = 0 ;
5) x2 − (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ;
6) x2 − 2x − (m − 1)(m − 3) = 0 ;
2 −
2
7) x
2mx − m − 1 = 0 ;
8) (m + 1)x2 − 2(2m − 1)x − 3 + m = 0

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Bài 1: Cho phương trình (m − 1)x2 + 2(m − 1)x − m = 0 (ẩn x).
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
Bài 2: Cho phương trình (2m − 1)x2 − 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 3: Cho phương trình: (m − 1)x2 − 2mx + m − 4 = 0.
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

GV: Trần Đình Hoàng

15

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
B. Định lý Vi-ét và ứng dụng
I. Lý thuyết:
−b

 S = x1 + x2 = a
1. Hệ thức Vi-ét: Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
 P = x .x = c
1 2

a
Hệ thức Vi-ét thường được áp dụng để tính nhẩm nghiệm, xét dấu nghiệm hay tìm hai số khi biết tổng
và tích của chúng dựa vào các kết quả sau đây:
a. Kết quả 1: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 =


c
a

Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = − 1, x2 = −

c
a

b. Kết quả 2: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ∆ = b 2 − 4ac ≥ 0 với S = −
Điều kiện
P < 0 hay a.c < 0
P > 0, S > 0

Dấu các nghiệm
x1 < 0 < x2
0 < x1 ≤ x2

P > 0, S < 0

x1 ≤ x2 < 0

b
c
và P =
a
a

Mô tả
Phương trình có hai nghiệm trái dấu

Phương trình có hai nghiệm dương
Phương trình có hai nghiệm âm

c. Kết quả 3: Nếu hai số a và b có a + b = S và a.b = P thì a và ba là nhiệm của phương trình:
x 2 − Sx + P = 0
2. Phương trình trung phương: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0)
Đặt x2 = t, với t ≥ 0 , phương trình trở thành phương trình bậc hai at 2 + bt + c = 0 (a ≠ 0)

Điều kiện
>0;P>0;S>0

b
c
và P =
a
a
Mô tả
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt

 > 0 ; P = 0, S > 0

Phương trình có ba nghiệm phân biệt

 = 0 ; S > 0 hay P < 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

∆ = 0
P = 0
hoặc 


S = 0
S < 0

Phương trình có một nghiệm

∆ = 0
∆ = 0

 < 0 hoặc 
hoặc  P > 0
S < 0
S < 0


Phương trình vô nghiệm

Chú ý các kết quả sau đây với ∆ = b 2 − 4ac ≥ 0 , S = −

II.

Bài tập vận dụng định lý Vi-ét

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc
hai cho trước, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 − 3x − 7 = 0.
1
1
2
2

B = x1 − x 2 ;
C=
+
Tính: A = x1 + x 2 ;
x1 − 1 x 2 − 1
GV: Trần Đình Hoàng

16

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

D = ( 3x1 + x 2 ) ( 3x 2 + x1 ) ;

E = x13 + x 23 ;

F = x 14 + x 2 4

Bài 2: Không giải phương trình 3x2 + 5x − 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
x
x
2
A = ( 3x1 − 2x 2 ) ( 3x 2 − 2x1 )
B= 1 + 2
C = x12 x 2 + x1x 2 2
D = ( x1 − x 2 )
x 2 − 1 x1 − 1
Bài 3: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x 2 − 3x − 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của

các biểu thức sau:

A = 2x13 − 3x12 x 2 + 2x 23 − 3x1x 2 2 ;

B=

3x12 + 5x1x 2 + 3x 2 2
.
4x1x 2 2 + 4x12 x 2

C = x12 + x 2 2

2
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình: x − 2 ( m − 1) x − m = 0 luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m.
Bài 5: Lập những phương trình bậc hai mà nghiệm của mỗi phương trình là một trong các cặp số sau:
1
a. x1 = 1; x2 = 3
b. x1 = − ; x2 = 2
c. x1 = 2 − 1 ; x2 = 2 + 1
2
Bài 6: Tìm hai số x, y trong các trường hợp sau:
a. x + y = 7 và xy = 72
b. x − y = − 12 và xy = − 35
2
2
c. x + y = 80 và xy = − 32
d. x + y = 10 và xy = 21

Dạng 2: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trước.
Bài 1 : Cho phương trình bậc hai: x2 − 2(m +2)x + 2m + 3 = 0 ( m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng: x1 ( 2 − x 2 ) + x 2 ( 2 − x1 ) = 2 .
Giải:
Cho phương trình bậc hai: x2 − 2(m +2)x + 2m + 3 = 0 ( m là tham số)
a) Ta có Δ’ = (m + 2)2 − (2m + 3)
= m2 + 4m + 4 − 2m − 3
= m2 + 2m +1
= (m + 1)2 ≥ 0 với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b) Theo Viet: x1 + x2 = 2(m + 2)
x1.x2 = 2m +3
Ta có : x1 (2 – x 2 ) + x 2 (2 – x1 ) = 2 x1 – x1.x 2 + 2 x 2 – x1.x 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) – 2 x1. x 2
= 2. 2(m + 2) − 2. (2m +3) = 4m + 8 − 4m − 6 = 2
Bài 2: Tìm giá trị của m để biểu thức A = x1 + x 2 + 3x1x 2 đạt giá trị lớn nhất. Biết rằng x1; x2 là hai nghiệm
của phương trình: x2 − 4x + m = 0.
Giải:
2
2
Tìm giá trị của m để biểu thức A = x1 + x 2 + 3x1x 2 đạt giá trị lớn nhất. Biết rằng x1; x2 là hai
nghiệm của phương trình: x2 − 4x + m = 0.
Phương trình: x2 − 4x + m = 0 có hai nghiệm x1; x2 khi ∆ ’ = 4 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4.
Theo vi ét: x1 + x2 = 4 (1); x1.x2 = m
(2).
2
2
Theo đầu bài: A = x1 + x 2 + 3x1x 2 = (x1+ x2)2 + x1. x2 (3)
Thế (1) và (2) vào (3) ta có A = 16 + m do m ≤ 4 nên GTLN của A là 20 khi m = 4.
2

2


Bài 3. Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2mx + m − 7 = 0 (1)
(với m là tham số).
1. Giải phương trình (1) với m = −1 .
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức:

1 1
+ = 16 .
x1 x2

Giải:
GV: Trần Đình Hoàng

17

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
1. Với m = −1, thì phương trình (1) trở thành: x 2 + 2 x − 8 = 0
Ta có ∆ ' = 1 + 8 = 9 ⇒ ∆ ' = 3 . Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x=

−1 − 3
−1 + 3
= −4 hoặc x =
=2
1

1

Vậy với m = -1 pt (1) có hai nghiệm phân biệt là x = − 4, x = 2.
2

1  27

2. Phương trình (1) có ∆ ' = m − (m − 7) = m − m + 7 =  m − ÷ +
> 0 với mọi m.
2
4

Vậy với mọi giá trị của m thì (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Theo câu 2, ta có (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi giá trị của m.
2

2

 x1 + x2 = 2m
 x1 x2 = m − 7

Theo định lý Vi ét ta có: 

m − 7 ≠ 0
x x ≠ 0
m ≠ 7
1 1
+ = 16 ⇔  1 2
⇔
⇔

⇔ m=8
2
m
=
16
m
−
7
x
+
x
=
16
x
x
m
=
8
x1 x2
(
)


1
2
1
2




Theo giả thiết:

Vậy m = 8 là giá trị cần tìm
Bài 4: Cho phương trình x 2 − 3 x + m = 0 (1) (x là ẩn).
a) Giải phương trình (1) khi m = 1 .
b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
x12 + 1 + x22 + 1 = 3 3 .
Giải:
a) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = 9 − 4m > 0 ⇔ m <
Theo định lí Viet x1 + x2 = 3, x1 x2 = m .
Bình phương hai vế

(

x12 + 1 + x22 + 1

x12 + 1 + x22 + 1 = 3 3 ta được

) = ( 3 3)
2

9
(1)
4

2

⇔ x12 + x22 + 2 + 2 ( x12 + 1)( x22 + 1) = 27

⇔ x12 + x22 + 2 x12 x22 + x12 + x22 + 1 = 25 . (2)

2
2
2
Theo Viet ta có: x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 9 − 2m thay vào (2) ta được:

m 2 − 2m + 10 = m + 8 (3)

⇒ m 2 − 2m + 10 = m 2 + 16m + 64 ⇔ 18m = −54 ⇔ m = −3 .
Thử lại thấy m = −3 thỏa mãn pt (3) và điều kiện (1).
Bài 5: Cho phương trình : x2 + nx – 4 = 0 (1) (với n là tham số)
1. Giải phương trình (1) khi n = 3

(

2
2. Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình (1), tìm n để: x1 x 2 + 1

)

(

+ x 2 x12 + 1

)

> 6

Giải:
1) Với n = 3, ta có pt: x2 + 3x – 4 = 0
Phương trình có a + b + c = 0 nên x1 = 1, x2 = − 4

2. Phương trình đã cho có ∆ = n 2 + 16 > 0 với mọi n, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân
biệt x1 , x 2
Theo hệ thức Vi et ta có: x1 + x2 = n
x1x2 = − 4
2
2
Theo đâu bài: x1 ( x2 + 1) + x2 ( x1 + 1) > 6
⇔ x1 x2 ( x1 + x2 ) + x1 + x2 > 6
⇔ −4.( −n) + (−n) > 6
⇔ 3n > 6 ⇔ n > 2
GV: Trần Đình Hoàng

18

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
Bài 6: Cho phương trình: x2 − 2(n − 1)x + 2n − 3 = 0 (1) n là tham số.
a. Giải phương trình khi n = 3
b. Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với mọi n.
c. Gọi x1, x2 là 2 ngiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x12 + x22.
Giải:
a. Với n = 3 phương trình trở thành: x2 − 4x + 3 = 0.
Phương trình có dạng: a + b + c = 0 nên có nghiệm: x1 = 1; x2 = 3
b. Phương trình: x2 − 2(n − 1)x + 2n − 3 = 0
Ta có ∆’ = (n − 1)2 − 2n + 3 = (n − 2)2 ≥ 0 với mọi n ∈ R
Vậy phương trinh (1) có nghiệm với mọi n ∈ R.
 x1 + x2 = 2 ( n − 1)
c. Theo Vi-ét ta có: 

 x1 x2 = 2n − 3
P = x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 4 ( n − 1) − 4n + 6 = 4n 2 − 12n + 10 = ( 2n − 3) + 1 ≥ 1
2

2

2

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P là: P = 1 khi 2n − 3 = 0 ⇔ n =

3
2

1
= 0 (m là tham số) (1)
2
1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức
M = ( x1 − 1).( x 2 − 1) đạt giá trị nhỏ nhất?
1
2
2
Giải: 1) Phương trình: x − ( 2m + 1) x + m + = 0 .
2
 2 1
Ta có ∆ = (2m+1)2 − 4  m +  = 4m − 1
2

1
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 ⇔ 4m − 1 > 0 ⇔ m >

4
1
2) Theo hệ thức Viét ta có x1 + x 2 = 2m + 1 và x1.x 2 = m 2 +
2
1
1
1
2
2
Ta có: M = ( x1 − 1) ( x 2 − 1) = x1x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1 = m − 2m + = ( m − 1) − ≥ −
2
2
2
−1
1
Vậy m đạt giá trị nhỏ nhất là
khi m − 1 = 0 ⇔ m = 1 ( thỏa mãn điều kiện m > )
2
4
2
Bài 8: Cho phương trình: x − ( m − 1) x + m − 3 = 0 (*) ( ẩn x, tham số m).
a.
Giải phương trình (*) khi m = 3 .
b.
Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 .
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 − x1 − x2 .
Giải:
x = 0

2
a) Thay m = 3 vào phương trình (*), ta được: x − 2 x = 0 ⇔ x ( x − 2 ) = 0 ⇔ 
x = 2
2
2
Bài 7: Cho phương trình: x − ( 2m + 1) x + m +

b) Phương trình (*) có ∆ = ( m − 1) − 4 ( m − 3) = m 2 − 2m + 1 − 4m + 12
2

= m 2 − 6m + 13 = ( m − 3) + 4 > 0 với mọi m.
Theo Viét ta có: x1 + x2 = m − 1 ; x1 . x2 = m − 3
2

A = 1 − x12 − x 2 2 = 1 − ( x12 + x 2 2 ) = 1 − ( x1 + x 2 ) + 2x1.x 2 = 1 − ( m − 1) + 2 ( m − 3 )
2

2

=1 − m 2 + 2m − 1 + 2m − 6 = m 2 + 4m − 6 = ( m − 2 ) − 2 ≥ −2
Vậy GTLN của A = − 2 khi m = 2
2

Bài 9: Cho phương trình x 2 − (3m + 1) x + 2m 2 + m − 1 = 0 (x là ẩn số)
GV: Trần Đình Hoàng

19

Trường THCS Nhơn Hải



Ơn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
a) Chứng minh rằng phương trình ln ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
2
2
A = x1 + x2 − 3 x1 x2 .
Giải:
a) Phương trình x 2 − (3m + 1) x + 2m 2 + m − 1 = 0
Có: ∆ = ( 3m + 1) − 8m 2 − 4m + 4 = m 2 + 2m + 5 = (m + 1) 2 + 4 > 0 ∀ m
Suy ra phương trình ln ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Theo Viet ta có : x1 + x2 = 3m + 1 và x1x2 = 2m2 + m – 1
2
2
2
A = x1 + x2 − 3 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 5 x1 x2
2

= (3m + 1) 2 − 5(2m 2 + m − 1) = −m 2 + m + 6 = 6 +

1
1
25
1
− (m − ) 2 =
− (m − ) 2
4
2
4
2


25
1
khi m =
4
2
2
Bài 10: Cho phương trình x + 2(m − 1)x − m − 1 = 0 . Tìm giá trị của m để phương trình có mợt nghiệm nhỏ
hơn 2 và mợt nghiệm lớn hơn 2.
Giải:
Do đó giá trị lớn nhất của A là :

2


1 7
Ta có: ∆ ' = (m − 1) + m + 1 = m − m + 2 =  m − ÷ + ≥ 0 , với mọi m nên phương trình ln có
2 4

hai nghiệm phân biệt x1; x 2 với mọi m
2

2

Theo hệ thức Vi-ét ta có: S = x1 + x 2 = −2(m − 1); P = x1.x 2 = −(m + 1)
Phương trình có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn:
x − 2 < 0
x1 < 2 < x 2 ⇔  1
⇔ (x1 − 2)(x 2 − 2) < 0 ⇔ x1x 2 − 2(x1 + x 2 ) + 4 < 0
x 2 − 2 > 0

1
⇔ −(m + 1) + 4(m − 1) + 4 < 0 ⇔ 3m − 1 < 0 ⇔ m <
3
Bài 11: Cho hai phương trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phương trình (1) và (2) có mợt nghiệm chung.
b) Định m để phương trình: (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Giải:
a) Gọi x0 là nghiệm cung của (1) và (2). Ta có:
b) x 20 + mx0 + 2 = 0 (3) và x 20 + 2x0 + m = 0 (4)
Lấy (3) − (4) ta được: (m − 2)x 0 = m − 2 .
•
•

Nếu m = 2 thì (1) và (2) đều vơ nghiệm : loại
Nếu m ≠ 2 thì x 0 = 1 . Thế vào (3) ta có: m = −3

Thử lại: Khi đó (1) trở thành x 2 − 3x + 2 = 0 và (2) trở thành x 2 + 2x − 3 = 0
Hiển nhiên (1) và (2) có nghiệm chung là x 0 = 1
Vậy khi m = −3 thì (1) và (2) có mợt nghiệm chung.
x 2 + mx + 2 = 0 (1)
2
2
c) Ta có: (x + mx + 2)(x + 2x + m) = 0 (*) ⇔  2
x + 2x + m = 0 (2)
(1) có hai nghiệm phân biệt

(*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt
(1) và (2) không có nghiệm chung



GV: Trần Đình Hồng

20

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
 m < −2 2 hay m > 2 2
∆1 = m 2 − 8 > 0


⇔ ∆ 2 = 1 − m > 0
⇔ m < 1
⇔ m < −2 2 vaø m ≠ −3
m ≠ −3 (theo caâu a)
 m ≠ −3


Bài 12: Cho phương trình 2 x 3 + 2mx 2 + ( m + 1) x − ( m + 1) ( m + 3) = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
c) Gọi x1, x2, x3 là ba nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A =| 3x1x 2 x 3 − 2 ( x1x 2 + x 2 x 3 + x1x 3 ) |
2

Giải:
a) Thay m = 0 và phương trình (1) ta được:
2x 3 + x − 3 = 0 ⇔ 2x 3 − 2x + 3x − 3 = 0


⇔ 2x ( x 2 − 1) + 3 ( x − 1) = 0

⇔ ( x − 1) ( 2x 2 + 2x + 3 ) = 0 ⇔ x = 1
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1
b) Thay x = 1 vào vế trái của phương trình (1) ta được: 2 + 2m + m 2 + 2m + 1 − m 2 − 4m − 3 = 0
nên (1) có nghiệm x = 1
2
2
Do đó (1)  ( x − 1)  2x + 2 ( m + 1) x + m + 4m + 3 = 0
2
2
 x = 1 hoặc 2x + 2 ( m + 1) x + m + 4m + 3 = 0 (2)
Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt  ∆ ' = ( m + 1) − 2 ( m 2 + 4m + 3 ) > 0

⇔ 2m 2 + 8m + 6 − m 2 − 2m − 1 < 0 ⇔ m 2 + 6m + 5 < 0
⇔ ( m + 3) < 4 ⇔ −2 < m + 3 < 2 ⇔ −5 < m < −1
x = 1 không là nghiệm của (2) ⇔ 2 + 2m + 2 + m2 + 4m + 3 ≠ 0
⇔ m2 + 6m + 7 ≠ 0 ⇔ m ≠ −3 ± 2
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi 5 < m < 1 và m ≠ −3 ± 2
c) Do phương trình (1) có một nghiệm là 1 và vai trò của x 1, x2, x3 trong biểu thức A là như nhau, nên giả
sử x1 = 1 và x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (2). Theo hệ thức Viét ta có:
m 2 + 4m + 3
x 2 + x 3 = − ( m + 1) ; x 2 .x 3 =
2
Thay vào A =| 3x 2 x 3 − 2 ( x 2 + x 2 x 3 + x 3 ) | = | x 2 x 3 − 2 ( x 2 + x 3 ) | ta được:
2

m 2 + 4m + 3

1
1
A =|
+ 2 ( m + 1) | = | m 2 + 8m + 7 | = | ( m + 1) ( m + 7 ) |
2
2
2
Với 5 < m < 1 thì m + 1 < 0 và m + 7 > 0
1 2
1
9 9
2
Do đó A = − ( m + 8m + 7 ) = − ( m + 4 ) + ≤ . Dấu “=” xảy ra khi m =  4 (thỏa mãn đk)
2
2
2 2
Vậy GTLN của A là 4,5 khi m =  4
2
Bài 13: cho phương trình x + 2 ( m − 1) x − m − 1 = 0 . Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ
hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.
Giải:
2
1 7
2

Cách 1: Ta có: ∆ ' = ( m − 1) + m + 1 = m 2 − m + 2 =  m − ÷ + > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai
2 4

nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Viét: S = x1 + x2 =  2(m  1) ; P = x1.x2 =  (m + 1)

Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:

GV: Trần Đình Hoàng

21

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
x − 1 < 0
x1 < 1 < x 2 ⇔  1
⇔ ( x1 − 1) ( x 2 − 1) < 0 ⇔ x1x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1 < 0
x 2 − 1 > 0
⇔ − ( m + 1) + 2 ( m − 1) + 1 < 0 ⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2
Vậy m < 2 là giá trị cần tìm
Cách 2: Đặt y = x  1 ⇔ x = y + 1, phương trình trở thành:

( y + 1)

2

+ 2 ( m − 1) ( y + 1) − m − 1 = 0 ⇔ y 2 + 2my + m − 2 = 0

Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
x1 < 1 < x 2 ⇔ ( x1 − 1) < 0 < ( x 2 − 1) ⇔ y1 < 0 < y 2 ⇔ 1( m − 2 ) < 0 ⇔ m < 2
4
2
2
Bài 14: Cho phương trình x + 2 ( m − 2 ) x + m − 8 = 0 (1)

Tìm giá trị của m để phương trình có:
a) bốn nghiệm phân biệt
c) ba nghiệm phân biệt
b) hai nghiệm phân biệt
d) một nghiệm
Giải:
2
2
Đặt x2 = t ≥ 0, khi đó (1) ⇔ t + 2 ( m − 2 ) t + m − 8 = 0 (2)

e) vô nghiệm

2
2
Ta có ∆ ' = ( m − 2 ) − ( m − 8 ) = −4 ( m − 3 ) ; S = 2 ( 2 − m ) ; P = m − 8
a) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
 −4 ( m − 3) > 0
m < 3
∆ ' > 0



⇔ P > 0 ⇔  m 2 − 8 > 0
⇔ m < −2 2 ∨ m > 2 2 ⇔ m < −2 2
S > 0
2 2 − m > 0
m < 2
)



 (
b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm
bằng 0
 −4 ( m − 3) > 0
m < 3
∆ ' > 0
 2


⇔ P = 0 ⇔  m − 8 = 0
⇔  m = −2 2 ∨ m = 2 2 ⇔ m = −2 2
S > 0
2 2 − m > 0
m < 2
)


 (
c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc hai nghiệm
trái dấu.
∆ ' = 0
m = 3
⇔
hoặc P < 0 ⇔ 
hoặc − 2 2 < m < 2 2 ⇔ − 2 2 < m < 2 2
S > 0
m < 2
d) Phương trình (1) có một nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm kép bằng 0 hoặc hai nghiệm gồm một
nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm
 m = ±2 2

∆ ' = 0
P = 0
m = 3
⇔
⇔
⇔ m= 2 2
hoặc 
hoặc 
 m > 2
S = 0
S < 0
m = 2
e) Phương trình (1) có vô nghiệm ⇔ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm đều âm
∆ ' ≥ 0
m = 3

⇔ ∆ ' < 0 hoặc  P > 0 ⇔ m > 3 hoặc 
hoặc 2 2 < m < 3 ⇔ m > 2 2
m > 2
S < 0

2

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
2) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 − x2 = − 2.
3) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 − x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x2 − 2(m + 1)x + m − 3 = 0 ;

(4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 − (m − 4)x + 2m = 0 ;
2(x12 + x22) = 5x1x2
GV: Trần Đình Hoàng

22

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
c) (m − 1)x2 − 2mx + m + 1 = 0 ;
d) x2 − (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ;

4(x12 + x22) = 5x12x22
3x1x2 − 5(x1 + x2) + 7 = 0.

Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phương trình: x2 − mx + 2m − 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không
phụ thuộc vào tham số m.
b) Cho phương trình bậc hai: (m − 2)x2 − 2(m + 2)x + 2(m − 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm
một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
c) Cho phương trình: 8x2 − 4(m − 2)x + m(m − 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x 1 ; x2.
Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m − 1)2x2 − (m − 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm
một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phương trình: x2 − 2mx − m2 − 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.


Bài tập tổng hợp

Bài 1: Cho phương trình: x2 − 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a) Giải phương trình với m = − 1và m = 3
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = x2
Bài 2: Cho phương trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m − 1 = 0
a) Giải phương trình với m = − 2
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2
Bài 3: Biết rằng phương trình : x2 − (6m + 1 )x − 3m2 + 7 m − 2 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm
x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 4: Cho phương trình: x2 − mx + 2m  3 = 0
a) Giải phương trình với m = − 5
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d) Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m
Bài 5: Cho phương trình bậc hai (m − 2)x2 − 2(m + 2)x + 2(m − 1) = 0
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = − 2
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Khi phương trình có một nghiệm x = − 1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài 6: Cho phương trình: x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m = 0
a) Giải phương trình với m = − 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 8
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22
Bài 7: Cho phương trình: x2 − (2m − 6)x + m − 13 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1. x2 − x12 − x22
Bài 8: Cho phương trình: x2 − 2(m + 4)x + m2 − 8 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để A = x12 + x22 − x1 − x2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm m để B = x1 + x2 − 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
d) Tìm m để C = x12 + x22 − x1x2
23
GV: Trần Đình Hoàng

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
Bài 9: Cho phương trình: ( m − 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1
Bài 10: Tìm giá trị của m để các nghiệm x 1, x2 của phương trình mx2 − 2(m − 2)x + (m − 3) = 0 thoả mãn điều
kiện x12 + x 22 = 1

Bài 11: Cho phương trình x2 − 2(m − 2)x + (m2 + 2m − 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân
1 1 x1 + x2
+
=
biệt thoả mãn
x1 x2
5
Bài 12: Cho phương trình: mx2 − 2(m + 1)x + (m − 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 − 2x1 − 2x2
Bài 13: Cho phương trình: (m + 2)x 2 − 2mx − m + 3 = 0 .
c) Tìm m và nghiệm còn lại biết phương trình có một nghiệm x = 2.
d) Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có tổng các nghịch đảo của hai nghiệm là số nguyên
Bài 14: Cho phương trình: x 2 − 4x − m 2 − 3m = 0 .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
b) Tìm m để phương trình trờn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 4(x1 + x 2 ) = x12 + x 22 .
c) Hãy lập phương trình bậc 2 có hai nghiệm y1 ; y 2 thỏa mãn điều kiện y1 + y 2 = x1 + x 2
y1
y
vaø
+ 2 =3
1 − y 2 1 − y1
Bài 15: Cho phương trình: x 2 − 5 x + m + 1 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 5.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn đẳng thức:
(x 1 x 2 − 1) 2 = 20(x 1 + x 2 )
Bài 16: Cho phương trình x 2 − 8x + m = 0
a) Giải phương trình khi m = 7
b)
Xác định giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 = 3x2
2
2
Bài 16: Cho phương trình: x − 2 ( m + 1) x + m + 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x1 + x 2 + x1 x 2
Bài 17: Cho phương trình: x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0
a) Chứng tỏ phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.

2
2
b) Tìm m sao cho 2 ( x1 + x 2 ) − 5x1x 2 = 27 .
c) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 = 2 x 2
2
Bài 18: Cho phương trình 2x + ( 2m − 1) x + m − 1 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng và tích các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m
1
2
2
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 + x 2 − 2x1x 2 =
4
Bài 19: Cho hai phương trình : x2  (m + 4)x + m + 5 = 0
(1)
x2  (m + 2)x + m + 1 = 0
(2)
a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó?
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.
GV: Trần Đình Hoàng

24

Trường THCS Nhơn Hải


Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
Bài 20: Cho phương trình mx2  2(m + 1)x + (m  4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối

lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1 ; x 2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4 x 2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1 , x 2 mà không phụ thuộc vào m.

GV: Trần Đình Hoàng

25

Trường THCS Nhơn Hải