BÀI TẬP CHƯƠNG 2 MÔN MÔ HÌNH TOÁN
Nhóm 6
(Thứ 6 - Ca 1)
Phạm Thu Thảo
2. Nguyễn Ngọc Anh
3. Nguyễn Hải Yến
4. Nguyễn Thị Hoài Linh
5. Nguyễn Thu Phương
6. Hoàng Văn Hải
7. Nguyễn Như Tán Anh
8. Đoàn Đại Việt
9. Vũ Tuyết Nga
10. Lê Thanh Hằng
1.

Câu 4:
1


a,Bài toán dạng chính tắc:
-4x1 + x2 + 2x3 + 2x4 – 4x5 = 38
5x1
- 3x3 – x4 + 2x5 + x6 = 4
-4x1
+ 2x3 + 5x4
+ x7 = 56
4x1
- 2x3 – 3x4 + 4x5
- x8 = 16
Xj 0 ( j = )

Giải bài toán phụ: P( x , xg ) = xg4

 min

-4x1 + x2 + 2x3 + 2x4 – 4x5 = 38
5x1
- 3x3 – x4 + 2x5 + x6 = 4
-4x1
+ 2x3 + 5x4
+ x7 = 56
4x1
- 2x3 – 3x4 + 4x5
- x8 + xg4= 16
Xj 0 ( j = ) ; xg 4 0

Bài toán dạng chuẩn có phương án cực biên : X = (0; 38; 0; 0; 0; 4; 56; 0; 16)
Vectơ cơ sở: { A2; A6; A7; Ag4 }

HS
0
0
0
1
0
0
0
1
-2
-1
0

-1
-2
3
0
-1

CS
x2
x6
x7
xg4
P
x2
x5
x7
xg4
P
x2
x5

PA
38
4
56
16
16
46
2
56
8

8
54
5

x7
x3
f(x)
x2
x1
x7
x3
f(x)

52
2
-115
54
20
72
32
-80

3
0
x1
-4
5
-4
4
4

6
5/2
-4
-6
-6
0
[1/4
]
-1
-3/2
-7/4
0
1
0
0
0

-2
0
x2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0

1
0

-1
0
x3
2
-3
2
-2
-2
-4
-3/2
2
[4]
4
0
0

-4
0
x4
2
-1
5
-3
-3
0
-1/2
5

-1
-1
-1
-7/8

-1
0
x5
-4
[2]
0
4
4
0
1
0
0
0
0
1

0
0
x6
0
1
0
0
0
2

1/2
0
-2
-2
0
-1/4

0
0
x7
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0

0
0
x8
0
0
0
-1

-1
0
0
0
-1
-1
-1
-3/8

0
0
0
1
0
0
0
0

0
1
0
0
0
0
1
0

11/2
-1/4
57/8

-1
-7/2
2
-11/2
1

0
0
0
0
4
4
6
7

1
-1/2
3/4
0
-1
0
-2
-1

1
0
0
0
0
1

0
0

1/2
-1/4
21/8
-1
-3/2
-1
-5/2
0

1
xg4
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1

2


Vì 6 = -1 < 0 ; xj6 0
Bài toán không giải được.

b, f(x) 20 => max f(x) = 20 > -80
6
 Đi theo phương Z là phương tăng.
x() = x0 + z6
f(x()) = f(x) – 6


Có : z6 = ( 1; 0; 2; 0; 0; 1; 0; 0 )


x() = ( 20; 54; 32; 0; 0; 0; 72; 0 ) + ( 1; 0; 2; 0; 0; 1; 0; 0 )
= ( 20 + ; 54; 32 + 20; 0; ; 72; 0 )
f(x()) = -80 - .(-1) = – 80
Mà f(x()) = 20 => – 80 = 20
 = 100

Vậy phương án tối ưu của bài toán là X*= ( 120; 54; 232; 0; 0; 100; 72; 0 )

Câu 5:
a, Bài toán dạng chính tắc:
-2x1 – 5x2 + 3x3 – x4 – x5
-8x1

+ x3 – 4x4

= 46
+ x6 = 38

3x1 – 4x2 + 2x3 + x4


= 24

xj 0 , j =
Giải bài toán phụ: P( x ; xg ) = xg1 + xg3
+ xg1

-2x1 – 5x2 + 3x3 – x4 – x5
-8x1

+ x3 – 4x4

3x1 – 4x2 + 2x3 + x4

+ x6

 min
= 46
= 38
+ xg3 = 24

xj 0 , j = ; xg1, xg3 0
Bài toán dạng chuẩn có phương án cực biên : X = ( 0; 0; 0; 0; 0; 38; 46; 24)
Vectơ cơ sở: { A6; Ag1; Ag3 }

3


2
-2
0

0
HS
CS
PA
x1
x2
g
1
x1
46
-2
-5
0
x6
38
-8
0
g
1
x3
24
3
-4
P
70
1
-9
g
1
x1

10
-13/2 [1]
0
x6
26
-19/2 2
0
x3
12
3/2
-2
P
10
-13/2 1
-2
x2
10
-13/2 1
0
x6
6
7/2
0
1
x3
32
-23/2 0
f(x)
12
-1/2 0

-2
x2
40
11
1
-2
x4
12
7
0
1
x3
86
20
0
f(x)
-18
-18
0
Vì k < 0 ( xk không thuộc cơ sở )


1
0
x3
3
1
[2]
5
0

0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0

-2
0
x4
-1
-4
1
0
-5/2
-9/2
1/2
-5/2
-5/2
[1/2]
-9/2
5/2
0
1
0

0

0
0
x5
-1
0
0
-1
-1
0
0
-1
-1
2
-2
0
9
4
16
-10

0
0
x6
0
1
0
0
0

1
0
0
0
1
0
0
5
2
9
-5

0
0
x5
-1
0
0
-1
-1
0
0
-1
-1
2
-2
0

0
0

x6
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0

1
xg1
1
0
0
0
1
0
0
0

1
xg3
0
0
1

0

1
xg1
1
0
0
0
1
0
0
0

1
xg3
0
0
1
0

fmin = -18

Phương án tối ưu : X* = ( 0; 40; 86; 12; 0; 0)
b,
2
-2
0
0
HS
CS

PA
x1
x2
g
1
x1
46
-2
-5
0
x6
38
-8
0
g
1
x3
24
3
-4
P
70
1
-9
g
1
x1
10
-13/2 [1]
0

x6
26
-19/2 2
0
x3
12
3/2
-2
P
10
-13/2 1
-2
x2
10
-13/2 1
0
x6
6
7/2
0
1
x3
32
-23/2 0
f(x)
12
-1/2 0
Vì k < 0 ( xk không thuộc cơ sở )

1

0
x3
3
1
[2]
5
0
0
1
0
0
0
1
0

1
0
x4
-1
-4
1
0
-5/2
-9/2
1/2
-5/2
-5/2
1/2
-9/2
-1/2


4




fmin = 12
Phương án tối ưu: X* = ( 0; 10; 32; 0; 0; 6 )

Vì 5 = 0 ( x5 không thuộc cơ sở )


Bài toán có vô số phương án tối ưu

X = ( 0; 11; 34; 0 ) là một phương án
• f(X) = 2.0 – 2.11 + 34 + 0 = 12 ( = f min )
X là một phương án tối ưu của bài toán
•



c, Tập phương án tối ưu có dạng:
x() = x0 + z5

( [ 0; 3 ] )

Có : z5 = ( 0; 1; 2; 0; 1; -2 )


x() = ( 0; 10; 32; 0; 0; 6 ) + ( 0; 1; 2; 0; 1; -2 )

= ( 0; 10 + ; 32 + 2; 0; ; 6 - 2 )

Câu 7:
a, Bài toán dạng chính tắc:
-x1 + x2 – 3x3 + 2x4 – 2x5

=8

2x1

+ x 3 – x4 + x5 + x6

= 21

3x1

+ 5x3 – 3x4 + 2x5

= 25

2x1

+ x4 + 4x5

+ x7 = 20

xj 0 , j =
Giải bài toán phụ: P( x ; xg ) = xg3  min
-x1 + x2 – 3x3 + 2x4 – 2x5


=8

2x1

+ x 3 – x4 + x5 + x6

= 21

3x1

+ 5x3 – 3x4 + 2x5

2x1

+ x4 + 4x5

+ xg3 = 25
+ x7

= 20

xj 0 , j = ; xg3 0
Bài toán dạng chuẩn có phương án cực biên X = ( 0; 8; 0; 0; 0; 21; 20; 25 )
Vectơ cơ sở { A2; A6; A7; Ag3 }
1
0

1
0


2
0

-2
0

-4
0

0
0

0
0

1
5


HS
0
0
1
0
1
0
2
0
1
0

2
-4

CS
x2
x6
xg3
x7
P
x2
x6
x3
x7
f(x)
x2
x6

PA
8
21
25
20
25
23
16
5
20
33
27
13


x3
x5
f(x)

3
5
13

x1
-1
2
3
2
3
4/5
7/5
3/5
2
1
6/5
11/1
0
2/5
1/2
-1

x2
1
0

0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

x3
-3
1
[5]
0
5
0
0
1
0
0
0
0

x4
2
-1
-3
1

-3
1/5
-2/5
-3/5
1
1
2/5
-11/20

x5
-2
1
2
4
2
-4/5
3/5
2/5
[4]
4
0
0

x6
0
1
0
0
0
0

1
0
0
0
0
1

x7
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1/5
-3/20

0
0
0

1
0
0

-7/10

1/4
0

0
1
0

0
0
0

1/10
1/4
-3/5

xg3
0
0
1
0
0

Vì k < 0 ( xk không thuộc cơ sở )


fmin = 13
Phương án tối ưu: X = ( 0; 27; 3; 0; 5; 13; 0 )

Vì 4 = 0 ( x4 không thuộc cơ sở )



Bài toán có vô số phương án tối ưu

Tập phương án tối ưu có dạng:
x() = x0 + z4
( [ 0; 20 ] )
4
Có: z = ( 0; ; ; 1; ; ; 0 )
 x() = ( 0; 27; 3; 0; 5; 13; 0 ) + . ( 0; ; ; 1; ; ; 0 )
= ( 0; 27 + ; 3 + ; 0 )
Vì x3 = 10 => 3 + = 10

= 10
Vậy phương án tối ưu cần tìm là : X = ( 0; 23; 10; 10; 2,5; 18,5; 0 )

b, Bài toán đối ngẫu:

(y) = 8y1 + 21y2 + 25y3 + 20y4

max
6


- y1 + 2y2 + 3y3 + 2y4 1
y1 1

(8)

f(x) = x1 + x2 + 2x3 – 2x4 – 4x5 min


(9)

-x1 + x2 – 3x3 + 2x4 – 2x5 = 8

-3y1 + y2 + 5y3

(10)

-2x1

– x3 + x4 – x5

-2

(11)

3x1

+ 5x3 – 3x4 + 2x5 = 25

-2y1 + y2 +2y3 + 4y4 -4

(12)

2x1

y2 0

(13)


xj 0 , j = (3);(4);(5);(6);(7)

y40

(14)

2y1 – y2 – 3y3 + y4

2

+ x4 + 4x5

21 (1)

20 (2)

Bài toán gốc:
Các cặp ràng buộc đối ngẫu:
(13) ; (2) (14) ; (3) (8) ; (4) (9) ; (5) (10) ; (6) (11) ; (7) (12)
X*= (0; 27; 3; 0; 5; 13; 0 ) là phương án tối ưu của bài toán gốc
X* thỏa mãn lỏng các ràng buộc (1); (4); (5); (7)


Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu thỏa mãn:
y2 = 0
y1 = 1
-3y1 + y2 + 5y3 = 2
-2y1 + y2 + 2y3 + 4y4 = -4

Kết hợp các ràng buộc của bài toán đối ngẫu :

y2 = 0
y1 = 1
-3y1 + y2 + 5y3 = 2
-2y1 + y2 + 2y3 + 4y4 = -4
- y1 + 2y2 + 3y3 + 2y4 1
2y1 – y2 – 3y3 + y4 -2
y4 0



y1 = 1
y2 = 0
y3 = 1
y4 = -1

Vậy tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là { ( 1; 0; 1; -1 ) }
Câu 8:
a, Bài toán dạng chính tắc:
7


-x1 + x2 – 3x3 + 2x4 – 2x5
=8
2x1
+ x3 – x4 + x5 + x6 = 20
3x1
+ 5x3 – 3x4 + 2x5
= 15
2x1
+ x4 + 4x5

+ x7 = 20
xj 0 ( j = )
Giải bài toán phụ : P ( x, xg ) = xg3 min
-x1 + x2 – 3x3 + 2x4 – 2x5
2x1
+ x3 – x4 + x5 + x6
3x1
+ 5x3 – 3x4 + 2x5
+ xg3
2x1
+ x4 + 4x5
+ x7
g
xj 0 ( j = ) ; x 3 0

=8
= 20
= 15
= 20

Bài toán dạng chuẩn có phương án cực biên X = (0; 8; 0; 0; 0; 20; 20; 15 )
Vectơ cơ sở { A2; A6; A7; Ag3 }
2
1
2
-2
-4
0
0
0

0
0
0
0
0
0
HS
CS
PA
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x2
8
-1
1
-3
2
-2
0
0
0
x6
20
2

0
1
-1
1
1
0
g
1
x3
15
3
0
[5] -3
2
0
0
0
x7
20
2
0
0
1
4
0
1
P
15
3
0.

5
-3
2
0
0
1
x2
17
4/5
1
0
1/5
-4/5 0
0
0
x6
17
12/5 0
0
-2/5
3/5
1
0
2
x3
3
3/5
0
1
-3/5

2/5
0
0
0
x7
20
2
0
0
1
[4]
0
1
f(x)
23
0
0
0
1
4
0
0
1
x2
21
6/5
1
0
2/5
0

0
1/5
0
x6
14
21/1 0
0
-11/20 0
1
-3/20
0
2
x3
1
2/5
0
1
-7/10
0
0
-1/10
-4
x5
5
1/2
0
0
1/4
1
0

1/4
f(x)
3
-2
0
0
0
0
0
-1

1
xg3
0
0
1
0
0

Vì k < 0 ( xk không thuộc cơ sở )


fmin = 3
Phương án tối ưu: X = ( 0; 21; 1; 0; 5; 14; 0 )

Vì 4 = 0 ( x4 không thuộc cơ sở )


Bài toán có vô số phương án tối ưu
8



Tập phương án tối ưu có dạng:



x() = x0 + z4
( [ 0; 20 ] )
4
Có: z = ( 0; ; ; 1; ; ; 0 )
x() = ( 0; 21; 1; 0; 5; 14; 0 ) + . ( 0; ; ; 1; ; ; 0 )
= ( 0; 21 + ; 1 + ; 0 )
Với = 10 => x(10) = ( 0; 17; 8; 10; 2,5; 19,5; 0 )
Vậy phương án tối ưu khác là X = (0; 17; 8; 10; 2,5; 19,5; 0 )

b, Bài toán đối ngẫu :

Bài toán gốc:

(y) = 8y1 + 20y2 + 15y3 + 20y4
-y1 + 2y2 + 3y3 + 2y4 2
y1

1

-3y1 + y2 + 5y3

max

f(x) = 2x1 + x2 + 2x3 – 2x4 – 4x5 min


(8)
(9)

-x1 + x2 – 3x3 + 2x4 – 2x5 = 8
2x1 + x3 – x4 +x5 20

(1)

2

(10)

3x1

+ 5x3 – 3x4 + 2x5 = 15

2y1 – y2 – 3y3 + y4 -2

(11)

2x1

+ x4 + 4x5 20

-2y1 + y2 + 2y3 + 4y4-4

(12)

xj 0 ( j = ) (3);(4);(5);(6);(7)


y 20

(13)

y 40

(14)

(2)

Các cặp ràng buộc đối ngẫu :
(1) ↔ (13); (2) ↔ (14)
(3) ↔ (8); (4) ↔ (9)
(5) ↔ (10); (6) ↔ (11); (7) ↔ (12)
X*= ( 0; 21; 1; 0; 5; 14; 0 ) là phương án tối ưu của bài toán gốc
X* thỏa mãn lỏng các ràng buộc (1); (4); (5); (7)


Phương án của bài toán đối ngẫu thỏa mãn :
y2 = 1
y1 = 1
-3y1 + y2 + 5y3 = 2
-2y1 + y2 + 2y3 + 4y4 = -4

Kết hợp các ràng buộc của bài toán đối ngẫu :
y2 = 1
y1 = 1

-3y1 + y2 + 5y3 = 2

-2y1 + y2 + 2y3 + 4y4 = -4
9


-y1 + 2y2 + 3y3 + 2y4 2
2y1 – y2 – 3y3 + y4 -2
y 40

y2 = 0
y3 = 1
y4 = -1



y1 = 1
Vậy tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là { ( 1; 0; 1; -1 ) }
Y = ( 1; 0; 1; -1 ) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu
Y thỏa mãn lỏng các ràng buộc (8); (14)
Phương án của bài toán gốc thỏa mãn :
2x1 + x4 + 4x5 = 20
x1 = 0



Kết hợp các ràng buộc của bài toán gốc :
-x1 + x2 – 3x3 + 2x4 – 2x5 = 8
2x1
+ x3 – x4 +x5 20
3x1
+ 5x3 – 3x4 + 2x5 = 15

2x1
+ x4 + 4x5 = 20
x1 = 0
xj 0 ( j = )



x1 = 0
x4 = - x2
x3 = - x2
x5 = + x2
+ x2 40





xj 0 ( j = )

x1 = 0
x4 = 20 – 4x5
x2 – 3x3 – 10x5 = -32
5x3 + 14x5 = 75
2x1 + x3 – 20 + 5x5 20
xj 0 ( j = )
x1 = 0
x4 = - x2
x3 = - x2
x5 = + x2
13 x2 21


Vậy tập phương án tối ưu của bài toán gốc là
{ ( 0; x2; - x2; - x2; + x2 ) / x2 [ 13; 21 ] }

Câu 9:
a, Giải bài toán phụ : P ( x, xg ) = xg1 + xg3 min
3x1
– x3 + x4 + 2x5 – 3x6 + xg1 = 45
-2x1 + x2 + 2x3 – x4 – x5 + 2x6
=8
g
x1
– 3x3 – 2x4 + x5
+x 3 = 20
10


xj 0 ( j = ) ; xg1, xg3 0
Bài toán dạng chuẩn có phương án cực biên : X = ( 0; 8; 0; 0; 0; 0; 45; 20)
Vectơ cơ sở { A2; Ag1; Ag3 }

HS
1
0
1

CS
xg1
x2
xg3

P
x1
x2
xg3
P
x1
x2
x6
f(x)

0
0
1
2
1
-1

PA
45
8
20
65
15
38
5
5
20
38
5
73


2
0
x1
[3]
-2
1
4
1
0
0
0
1
0
0
0

1
0
x2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1

0
0

-12
0
x3
-1
2
-3
-4
-1/3
4/3
-8/3
-8/3
-3
4/3
-8/3
10

-10
0
x4
1
-1
-2
-1
1/3
-1/3
-7/3
-7/3

-2
-1/3
-7/3
8

3
0
x5
2
-1
1
3
2/3
1/3
1/3
1/3
1
1/3
1/3
-1

-1
0
x6
-3
2
0
-3
-1
0

[1]
1
0
0
1
0

1
xg1
1
0
0
0

1
xg3
0
0
1
0
0
0
1
0

Vì 4 = 8 > 0 ; xj4 0


Bài toán không giải được.


b, Phương án cực biên cũ : X0 = (20; 38; 0; 0; 0; 5 ) đi theo phương Z6 có :
x() = x0 + z4
f(x()) = f(x) – 4
Mà : f(x()) = 49  73 - .8 = 49  = 3
Có : z4 = ( 2; ; 0; 1; 0; )


x() = (20; 38; 0; 0; 0; 5 ) + 3 . ( 2; ; 0; 1; 0; )
= ( 26; 39; 0;3; 0; 12 )

Vậy phương án tối ưu của bài toán là X*= ( 26; 39; 0;3; 0; 12 )

c, Bài toán đối ngẫu
(y) = 45y1 + 8y2 + 20y3 -> min

3y1 – 2y2 +y3 2
y2

1

(7)
(8)
11


-y1 + 2y2 – 3y3 -12 (9)

f(x) = 2x1 + x2 – 12x3 – 10x4 +3x5 –x6

y1 – y2 – 2y3 -10


(10)

-> max

2y1 – y2 + y3 3

(11)

-3y1 + 2y2

(12)

-1

3x1
– x3 + x4 + 2x5 – 3x6 = 45
-2x1 + x2 + 2x3 – x4 – x5 + 2x6 = 8
x1
– 3x3 – 2x4 + x5
= 20
xj 0 ( j = ) (1); (2); (3); (4);
(5); (6)

Bài toán gốc
Các cặp ràng buộc đối ngẫu :
(1) <-> (7)
(2) <-> (8)
(7) Có bảng:
(8)


(9)

(10)

(17)H

(18)C

(19)P

S
(26)2

S
(27)x

2

A
(28)2
0
(37)3
8

(45)x

(46)5

1


(35)1

(44)-

(36)x

1

6

(53)

(54)f

(55)7

3

(62)2

(
x
)
(63)x

(64)5

(3)
(4)


(11)2

<-> (9)
<-> (10)

(5)
(6)

(12)1

(13)-

(14)-

(20)x

(21)x

1
2
(22)x

1
0
(23)x

1

2


(29)1
(38)0

(47)0

(56)0

(30)0
(39)1

(48)0

(57)0

3

4

(31)-

(32)-

3
(40)4
/
3
8
/
3


2
(41)1
/
3
(50)7
/
3

(58)1

(59)8

(49)-

0
(65)1

(66)0

(67)5

(68)5

<-> (11)
<-> (12)
(15)3

1
(24)x


(25)x

5

6

(33)1

(34)0

(42)1

(43)0

/
3
(51)[

1
/
3
]
(60)1
(69)0

(72)x
2

(80)3


(81)x
5

(89)

(90)f

(
x
)

(73)3

3
(82)1
5
(91)8
8

(52)1

(61)0

(70)-

(74)0

(75)1


(76)4

(77)2

(78)0

(83)0

(84)0

(85)-

(86)-

(87)1

3
(79)1
(88)3

(93)0

8
(94)2

7
(95)1

(96)0


(97)3

1

(71)1

(16)-

(92)0

12


(98)Vì k > 0 ( xk không thuộc cơ sở )

fmax = 88
(99)X = ( 5; 33; 0; 0; 15; 0 ) là phương án tối ưu của bài toán gốc


(100)


X thỏa mãn lỏng các ràng buộc (1) (2) (5)

Phương án của bài toán đối ngẫu thỏa mãn:

(106)

y2 = 1
3y1 – 2y2 + y3 = 2

2y1 – y2 + y3 = 3
-y1 + 2y2 – 3y3 -12
y1 – y2 – 2y3 -10
3y1 + 2y2 -1

(111)

Vậy tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là { ( 0; 1; 4 ) }

(112)

Câu 10 :

(113)

Bài toán dạng chính tắc:

(101)
(102)
(103)
(104)
(105)

(109)



y2 = 1
y3 = 4


(110)

=2

(115)

= 25
= 20

(117)
(118)

(108)

= 20

(114)
(116)

y1 = 0

(107)

≥0(j= )

(119)
(120)

Xét bài toán phụ : P() = -> min
= 20


(121)
(122)
(123)
(124)
(125)

=2
= 25
= 20
≥0(j= ) ,,

(126)
Bài toán có dạng chuẩn với phương án cực biên: X =
( 20,0,0,0,0,0,25,2,20)

(127)

(128)

Vectơ cơ sở { A1; Ag2; A7; Ag4 }

(129)
13


(130)

(131) (132) (133)


(141) (142)

(134)

(135)

(136)

(137)

(138)

(139)

(140)

-

-

0

6

0

0

0


(143) (144) (145)

(146)

(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

(155)

(156)

(157)

0
0
0
0
0
0
0
1

1
(158) (159) (160) (161) (162) (163) (164) (165) (166)

H

C

P

(167)

(168)

(169)

(170)

(171)

(172)

(173)

(174)

(175)

(176)

(177)


(178)

2

1

4

-

1

0

0

0

0

0

(181)

(182)

(183)

(184)


(185)

(186)

(187)

(188)

(189)

(190)

2

0

-

[

0

-

-

0

1


0

(193)

(194)

(195)

(196)

(197)

(198)

(199)

(200)

(201)

(202)

2

0

-

1


0

0

0

1

0

0

(205)

(206)

(207)

(208)

(209)

(210)

(211)

(212)

(213)


(214)

2

0

4

2

-

-

0

0

0

1

(216)

(217)

(218)

(219)


(220)

(221)

(222)

(223)

(224)

(225)

(226)

f(

2

0

2

3

-

-

-


0

0

0

(228)

(229)

(230)

(231)

(232)

(233)

(234)

(235)

(236)

(237)

(238)

2


1

0

0

1

-

-

0

(241)

(242)

(243)

(244)

(245)

(246)

(247)

(248)


2

0

-

1

0

-

-

0

(253)

(254)

(255)

(256)

(257)

(258)

(259)


(260)

2

0

-

0

0

1

1

1

(265)

(266)

(267)

(268)

(269)

(270)


(271)

(272)

1

0

[

0

-

-

2

0

(276)

(277)

(278)

(279)

(280)


(281)

(282)

(283)

(284)

f(

1

0

8

0

-

-

2

0

(288)

(289)


(290)

(291)

(292)

(293)

(294)

(295)

(296)

2

1

0

0

1

-

-

0


0
(179)

(180)

1
(191)

(192)

0
(203)

(204)

1
(215)

(227)

0
(239)

(240)

0
(251)

(252)


0
(263)

(264)

1
(275)

(287)

0

(153)

(154)

0
(249)

(250)

0
(261)

(262)

0
(273)


(274)

0
(285) (286)

(297) (298)
14


(300)

(299)

(301)

(302)

(303)

(304)

(305)

(306)

(307)

(308)

6


0

0

0

1

-

-

0

(313)

(314)

(315)

(316)

(317)

(318)

(319)

(320)


3

0

0

0

-

-

9

0

(325)

(326)

(327)

(328)

(329)

(330)

(331)


(332)

2

0

1

0

-

-

1

0

(336)

(337)

(338)

(339)

(340)

(341)


(342)

(343)

(344)

f(

0

0

0

0

0

0

0

0

(348)

(349)

(350)


(351)

(352)

(353)

(354)

(355)

(356)

2

1

0

0

1

-

-

0

(361)


(362)

(363)

(364)

(365)

(366)

(367)

(368)

6

0

0

0

1

-

-

0


(373)

(374)

(375)

(376)

(377)

(378)

(379)

(380)

3

0

0

0

-

-

9


0

(385)

(386)

(387)

(388)

(389)

(390)

(391)

(392)

2

0

1

0

-

-


1

0

(396)

(397)

(398)

(399)

(400)

(401)

(402)

(403)

(404)

f(

-

0

0


0

-

1

0

0

0
(312)

(311)

0
(324)

(323)

0
(335)

(347)

(360)

(359)


0
(372)

(371)

0
(384)

(383)

(395)

(309) (310)
(321) (322)
(333) (334)
(345) (346)

(357) (358)
(369) (370)
(381) (382)
(393) (394)
(405) (406)

(407)
(408)

Vì > 0 ); < 0

(409)


=> Bài toán không giải được

(410)
b) Bài toán gốc :

(416)

f(x) = 3 - 24 + 6 -> min

(417)

(411)
(412)

(413)
(414)
(415)

= 20
≤ -2 (1)

≤ 25 (2)
= 20

(418)

(3), (4) , (5)

(419)


, (7)
(420)

Bài toán đối ngẫu :
15


= ->

(421)

max
≤ -3

(422)

(8)
≤ -24 (9)

(423)

(2)
(3)

(425)

≤ 6 (11)

(426)


≥ 0 (12)

(427)

Các cặp ràng buộc đối ngẫu

(428)
(1)

≤ 0 (10)

(424)

<-> (13)
<-> (14)
<-> (12)

(4)
(5)
(6)

<-> (8)
<-> (9)
<-> (10)

(7)

<-> (11)

(8)

(9)

Câu 11: f(x) = 3x1 + x2 – c3x3 + 2x4 + 5x5

-> min

(10)Bài toán dạng chính tắc :
(11)x1 + x2

+ x4 + 2x5 – x6 = 8

(12)4x1 – 2x2 – 3x3
(13)
(14)xj

+ x5

= 40

- x5

+ x7 = 10

x2 - x3
0(j= )

(15)
(16)Giải bài toán phụ : P(x; x
(17)x1 + x2


(20)xj

x2 - x3

=8
+ xg2 = 40

+ x5
- x5

+ x7 = 10

0 ( j = ) ; xg2 0

(21)Bài toán dạng chuẩn có
(22)vectơ cơ sở { A4; A7; A

(23)

) = xg2 -> min

+ x4 + 2x5 – x6

(18)4x1 – 2x2 – 3x3
(19)

g

(24)


(25)

g
2

phương án cực biên : X = ( 0; 0; 0; 8; 0; 0; 10; 40 )
}

(26)

(27)

3

1

(28)-

c

(29)

(30)

(31)

(32)

2


5

0

0

(40)

(41)

(42)

(43)

(33)

3

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)0


(44)
16


0

0
(50)x

0

0

0

0

1

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

x


x5

x6

x7

xg2

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

1

2

-1

0

0

(73)


(74)

(75)

(76)

(77)

0

2

0

0

1

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

H


CS

PA

x1

x

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

0

x4

8

[1

1

(67)


(68)

(69)

(70)

(71)

1

x

g
2

40

4

-

(78)

(79)

(80)

(81)


(82)

(83)-

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

0
(89)

x7

10

0

1

0

-1

0


1

0

(90)

(91)

(92)

(93)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

P

40

4

-


1
(94)3

0

2

0

0

0

(100)

(101)

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)


(108)

(109)

(110)

0

x1

8

1

1

0

1

2

-1

0

0

(111)


(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

8

0

-

-3

-


-6

[4

0

1

(124)

(125)

(126)

(127)

(128)

(129)

(130)

(131)

(132)

0
x7
(133) (134)
P


10

0

1

-1

0

-1

0

1

0

(135)

(136)

(137)

(138)

(139)

(140)


(141)

(142)

(143)

8

0

-

-3

-

-6

4

0

0

(144)

(145)

(146)


(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

(153)

(154)

3

x1

10

1

-

-3/4

0


1/

0

0

(155)

(156)

(157)

(158)

(159)

(160)

(161)

(162)

(163)

(164)

0

x6


2

0

-

-3/4

-

-

1

0

(166)

(167)

(168)

(169)

(170)

(171)

(172)


(173)

(174)

(175)

10

0

1

-1

0

-1

0

1

(179)

(180)

(181)

(182)


(183)

(184)

(185)

(186)

30

0

-

-9/4
+
c

-

-

0

0

g
2


1

x

(122)

(123)

0
x7
(177) (178)
f(

3

(61)0

(72)-

3

(165)
(176)
(187)

3

(188)
(189)


Phương án cực biên của bài toán : X = ( 10; 0; 0; 0; 0; 2; 10 )
Để bài toán đối ngẫu không có phương án thì bài toán gốc không giải

được
(190)

 c3 - > 0
17


 c3 >
(192)
+ Với c3 = 0 => X = ( 10; 0; 0; 0; 0; 2; 10 ) là phương án tối ưu của bài
toán đã cho
(193)
(204)
Bài toán gốc :
(194)
Bài toán đối ngẫu :
(205)
f(x) = 3x1 + x2 + 2x4 + 5x5
(195)
(y) = 8y1 + 40y2 + 10y3
-> min
-> max
(206)
x1 + x2
+ x4 + 2x5
(196)
y1 + 4y2

3
(8)
8 (1)
(197)
y1 - 2y2 + y3
1
(9)
(207)
4x1 – 2x2 – 3x3 + x5 =
(198)
- 3y2 – y3 0 (10)
40
(199)
y1
2
(11)
(208)
x2 - x3
- x5
(200)
2y1 + 2y2 - y3 5
(12)
10 (2)
(201)
y1 0
(13)
(209)
xj 0 ( j = ) (3) (4) (5) (6)
(202)
y3 0

(7)
(14)
(203)
(210)
(211)
Các cặp ràng buộc đối ngẫu :
(212)
(1) <-> (13); (2) <-> (14); (3) <-> (8); (4) <-> (9); (5) <-> (10); (6) <->
(11); (7) <-> (12)
(213)
X thỏa mãn lỏng các ràng buộc (1); (6); (7)
 phương án của bài toán đối ngẫu thỏa mãn :
(214)
y1 = 0
(215)
y1 = 2
(216)
2y1 + 2y2 - y3 = 5
 hệ vô nghiệm
(217)
Vậy cặp bài toán đối ngẫu không có phương án tối ưu
(218)
Để phương án cực biên ở câu a là phương án tối ưu thì c3 - 0  c3
(219)
Câu 12: f(x) = 4x1 + 10x2 + 2x3 – 8x4 +9x5 +ax6 -4x7 -> min
(220)
-2x1 -x3 +2x4 -2x5
+6x7 =7
(191)


(221)
(222)
(223)
(224)

-2x1 -2x2 +2x3 +4x4 -3x5 +x6

=7

-4x1 -3x2 +2x3 +2x4 -x5 –x6 +22x7 =20
xj 0 ( j= 1,..,7)

(1); (2); (3); (4); (5); (6); (7)

Xét bài toán phụ P(x,xg) = Xg1 + Xg2 + Xg3 -> min
18


+6x7 + xg1 =7

(225)

-2x1

(226)

-2x1 -2x2 +2x3 +4x4 -3x5 +x6

(227)


-x3 +2x4 -2x5

+ xg2 = 7

-4x1 -3x2 +2x3 +2x4 -x5 –x6 +22x7 + xg3 =20
xj 0 ( j= 1,..,7); xgi 0 (i = 1,..,3)

(228)

Bài toán có dạng chuẩn, phương án cực biên : X =
(0,0,0,0,0,0,0,7,7,20); vecto cơ sở { A g1, Ag2, Ag3}

(229)

(230) (231) (232)

(233)

(234)

(235)

(236)

(237)

4

1


2

-

9

(243) (244) (245)

(246)

(247)

(248)

(249)

(250)

0

0

0

0

0

(238)


a
(251)

0

(239) (240) (241) (242)

-

(252) (253)

(254)

(255)

0

1

1

1

(256)

(257)

(258)

(259)


(260)

(261)

(262)

(263)

(264)

(265) (266)

(267)

(268)

H

C

P

X

X

X

X


X5

X6

X

X

X

(269)

(270)

(271)

(272)

(273)

(274)

(275)

(276)

(277)

(278) (279)


(280)

(281)

1

X

-

0

-

2

-2

6

0

0

(282)

(283)

(285)


(286)

(287)

(288)

(289)

(291) (292)

(293)

(294)

1

X

-

-

2

4

-3

0


1

0

(295)

(296)

(297)

(298)

(299)

(300)

(301)

(302)

(303)

(304) (305)

(306)

(307)

1


X

20

-

-

2

2

-1

-1

2

0

1

(308) (309)
P

(310)

(311)


(312)

(313)

(314)

(315)

(316)

(317) (318)

(319)

(320)

34

-

-

3

8

-6

2


0

0

(321)

(322)

(334)
(335)

(338)

X

(324) (326) (328) (330) (332)
(325) (327) (329) (331) (333)

(336) (337)

1

(323)

0

0

(339)


(340)

(341)

(342)

(343)

(344)

(345)

(346)

(347)

(348)

(349) (350)

(351)

1

X

7

-


-

2

4

-3

0

1

(353)

(354)

(364)
(365)

(368)

X

(356) (358) (360) (362) (363)
(357) (359) (361)

(366) (367)

0


(355)

1

0

(370) (371)
P

(372)
(373)

(382)
(383)

(384)
(385)

(386) (387)

(388)

0

0

(390)

(391)


0

X

(392)
(393)

(374) (377) (378) (380)
(375)
(379) (381)
(376)
(394) (396) (398) (400)
(395) (397) (399) 1

(401)
(402)

(403)
(404)

(405) (406) (407)

(408)

(409)

(410)

(413) (415) (417) (419)
(414) (416) (418) 0


(420)
(421)

(422)
(423)

(427)

X

(411)
(412)

(424) (425) (426)

1

7
(284)

7

0
(290)

1

0


1

0
0

X
1
0
0
0
1
0
0
0

0

(352)
(369)
(389)

1
19


(430)
(431)

(432) (434) (436) (438)
(433) (435) (437) 0


(439)
(440)

(441)
(442)

(443) (444) (445)

(446)

(449)
(450)
(468)
(469)

(451)
(452)
(470)
(471)

(458)
(459)
(476)
(477)

(460)
(461)
(478)
(479)


(462) (463) (464)

(465)

(486)
(487)

(488) (490) (492)
(489) (491) 1

(493)

(494)
(495)

(496)
(497)

(498) (499) (500) (501)

(504)
(505)

(506) (508) (510)
(507) (509) 0

(511)

(512)

(513)

(514)
(515)

(516) (517) (518) (519)

(520) (521)
f

(522)
(523)

(524) (526) (528)
(525) (527) 0

(529)

(530)
(531)

(532)

(533) (534) (535) (536)

(537)

(538)

(542) (544) (546)

(543) (545) 1

(547)

1

(548)
(549)

(550) (551) (552) (553)

X

(539)
(540)

(541)

(554)

(555)

X

(556)
(557)

(558)

4


(559) (561) (563)
(560) (562) 0

(564)
(565)

(566)
(567)

(568) (569) (570) (571)

(572)

(573)

(576)

0

(582)
(583)

(585) (586) (587) (588)

X

(577) (579) (581)
(578) (580) 0


(584)

-

(574)
(575)
(591)

(592)

(593)

(594)

(595)

(596)

(597)

0

-

-

0

-5


-2-

(428)

(429)

0

X

(447) (448)
P
(466)

(467)

-

X

(484)

(485)

2

X

(502)


(503)

-

X

(589) (590)
f

0
1

-

(453)
(454)
(472)
(473)

(455) (457)
(456) 0
(474)

(475)

0

1
0
0

0

-a

0

1

0

0

0

(480) (481) (482) (483)

0
0
1
0
0
0
1
(598) (599) (600) (601)

0

(602)
Để X = (, 0,0, , 0, 0, ) là phương án tối ưu của bài toán thì k 0


(603)

(604)

 -2 – a 0

(605)

 a -2

(606)

b, Nếu X không phải là phương án tối ưu của bài toán thì a < -2

(607)

Có bảng:

(608)
(609)

(610)

(611)

(612) (613)

(619)

(620)


(621)

HS

CS

PA

(614)

(615)

(616)

(617)

(618)

2

-8

9

a

-4

(622) (623)


(624)

(625)

(626)

(627)

(628)

x

x3

x4

x5

x6

x7

4

10

x2

20



(631)
(632)

(633) (634)

(636)
(637)

(638)

(639)

1

1

(647) (648)

(649)
(662) (663)
0
(664)

(650)
(651)
(665)
(666)


(652)

X7

(645)
(646)
(660)
(661)

(673)

(674)

(675) (676)

f(x)

-20

0

(685) (686)
(687)
0

(629)

(630)

-8


X4

(643)

(644)

4

X1

(658)

(659)

-4
(672)

0

(635)

1

-1

(640)
(641)

(642)


(655)
(656)

(657)

(670)

(671)

0

(653)
(654)
(668)
(669)

0

1

(677)

(678)

(679)

(680)

(681)


-13

0

-5

-2-

0

0
(667)

0
0

a
(682)

(683)

(684)

a

x6

9


(694)

(695)

(696)

(697) (698)

4

x1

1

1

(707)

(708)

-4
(721)

x7

(709)
(710)

(722)


f(x
)

(699)

(711) (712)




(691)

(692)

(693)

(700)

2

2

1

0

(702)

(705)


(706)

0

0

(719)

(720)

0

1

(701)

(713)

(723)

(724) (725)

(726)

9a

0

0


a – 20

–

a+

1
4

(727)

-1

(703)

(704)

0

(717)
(718)

(728)

(729)

2a

2a


(716)

1

(730)

0
–
1

+ Với

a – 20 > 0 ; a + 14 < 0 ; 2a + 4 < 0 ; 2a – 1 < 0
2 ; j2 < 0 => bài toán gốc và bài toán đối ngẫu không giải được

(732)


(690)

(714)
(715)

2
(731)

(688)
(689)

+ Với a


a – 20 < 0 ; a + 14 < 0 ; 2a + 4 < 0 ; 2a – 1 < 0

(733)

Bài toán đã cho có phương án tối ưu là X = ( 1; 0; 0; 0; 0; 9; )

(734)

Bài toán đối ngẫu :

(735)

(y) = -7y1 + 7y2 – 20y3 -> max

(736)

2y1 - 2y2 + 4y3 4

(737)

- 2y2 + 3y3 10

(8)
(9)

(738)

y1 + 2y2 – 2y3 2


(10)

(739)

-2y1 + 4y2 – 2y3 -8

(11)

(740)

2y1 - 3y2 + y3 9

(12)

y2 + y 3 a

(13)

(741)

21


(742)

-6y1 – 22y3 -4

(14)

(743)


các cặp ràng buộc đối ngẫu :

(3)

<-> (8)
<-> (9)
<-> (10)

(9)

X là phương án tối ưu của bài toán gốc

(1)
(2)

(4)
(5)
(6)

<-> (11)
<-> (12)
<-> (13)

(7)

<-> (14)

(8)


(10)X thỏa mãn lỏng các ràng buộc (1); (6); (7)
(11)=>phương án của bài toán đối ngẫu thỏa mãn :
(12)2y1 - 2y2 + 4y3

4

(13)

y2 + y3 a

(14)

-6y1 – 22y3 -4

(18)Kết hợp các ràng

 -10 – a 10

(21)

a

y1 = 8 + a

(16)

y2 =2 + a

(17)


y3 = -2 – a

buộc của bài toán đối ngẫu :

(19)(9)  -4 – 5a – 6 – a
(20)

(15)

10

a=
(22)
(23)y1 =
 y2
( thỏa mãn (10); (11); (12)
(24)y3 =
(25)=> Bài toán đối ngẫu có tập phương án tối ưu là { ( ) }


(26)Y = (

) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

(27)Y thỏa mãn lỏng các ràng buộc (10) (11) (12)

Phương án của bài toán gốc thỏa mãn : x3 = x4 = x5 = 0
(28)Kết hợp các ràng buộc của bài toán gốc có:



-2x1
+6x7 =7
(30)
-2x1 -2x2 +x6 = 7
(31)
-4x1 -3x2 –x6 +22x7 =20
(32)xj 0 ( j= 1;2;6;7)
(29)

(33)
(34) x1 = 3x7 (35)
 x2 = 36 – 28x7
(36) x6 = 72 – 50x7
(37) x7 0; x7 ; x7 ; x7
22


x1 = 3x7 (39)
 x2 = 36 – 28x7
(40) x6 = 72 – 50x7
(41) x7
(42)Vậy tập phương án tối ưu của bài toán gốc là
(43){ (3x7 - ; 36 – 28x7; 0; 0; 0; 72 – 50x7 ; x7 ) / x7 ( ; ) }
(44)Câu 13 :
(38)

ƒ (x) = 40x1 + 6x2 + 30x3 + 4x4 → max

(45)


(46)
(47)
(48)Bài toán dạng phụ : P(x(x

G

)) = + + + → min

(49)
(50)
(51)Bài toán có dạng chuẩn , PACB x= ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; -2; 2; 5) và vectơ cơ sở {

++ + }
Bảng đơn hình :

•

(52)
(62) (63) (64) (65)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)


(58)

(59)

(60)

(61)

H

C

P

x

x2

x3

x

x5

x

(66)

(70)


(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

1

-

-1

-3


[

-1

0

1

0

0

0

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

(91)


(92)

(93)

(94)

2

0

2

4

-

0

-

0

0

0

0

(97)


(98)

(99)

(100)

(101) (102)

(103)

(104) (105) (106) (107)

2

-

0

-2

2

0

0

0

(110)


(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117) (118) (119) (120)

5

3

-1

-2

0

0

0

(122)


(123)

(124)

(125)

(126)

(128)

(129)

(130) (131) (132) (133)

P

1

0

0

-3

-1

-

0


(142)

(143)

(144) (145)

(147)

(148)

(149) (150)

1
(67)

1

(83)

(68)

1
(69)

1

(96)
(109)

(134) (141)


(127)

(146)

1
0
0

1
0
0

0
1
0

(151) (152)
23


0
x
(135)
(136) (154) (155) (156)
1
(137)
(138) (167) (168) (169)
1
1

1
(139) (180) (181) (182)
(140)
]
1
(193) (194) (195)
P
(205) (206)

(207)

(208)

0

x

0

(218)

(219) (220)

(221)

1
(231)

(232) (233)


(234)

(246)

x

(247)

(259)

(270) (271)

(272)

(260)

0

x

0

(283)

(284) (285)

(286)

1
x


(309) (310)

0

(298)
(311)

(312)

(325)

0

(172) (173)

(174)

-

0

(213)

(214) (215) (216) (217)
0
0

(198)


(199)

0
(209) (210)

(211)

(212)

1
(222) (223)

(224)

0
(225)

0
(235) (236)

(237)

(248) (249)

(250)

(238)

(263)


(251)

(287)
(300)
(313)
(326)

(252)

0
(264)

0
(274)

(239)

0

0
(261) (262)

(226)

-

0

1
(324)


-

(162) (163) (164) (165)
1
0
0

(201) (202) (203) (204)

0

x

(322) (323)
P

(299)

0

0

(200)

0

(296) (297)

(161)


0

(196) (197)

0
(273)

(160)

0

1
1
0
1
0
(183) (184) (185) (186) (187)
0
0

(171)

1

(257) (258)
P

(159)


0

(175) (176) (177) (178)
0
1
0
(188) (189) (190) (191)
0
0
1

(170)

0

(244) (245)

0

(157) (158)

0

1
0

1

(265)


(277)

(278)

0

0

0

(227) (228) (229) (230)
1
0
(240) (241) (242) (243)
0
1
(253) (254) (255) (256)
0
0
(266) (267) (268) (269)
0
0
(279) (280) (281) (282)
0

(275)

(276)

0


1

(288)

(289)

0

0

(301)

(302)

1

0

(290) (291) (292) (293) (294) (295)
1
(303) (304) (305) (306) (307) (308)
0
0

(314)

(315)

(316)


0

0

(327)

(328)

0

0

0

(317)

0
(329)

(330)

-

(318) (319) (320) (321)
0
(331) (332) (333) (334)
0

(335)

24


(336)

Pmin =  X = ( ;0; ; ;0)

(337)

Pmin > 0 => Bài toán không giải được

BTĐN ƒ(y) = y1 – 2y2 + 2y3 + 5y4 → min
(338)
(339)
a.

(340)

Các cặp ràng buộc đối ngẫu :
(1)
↔ (9)
(2)
↔ (10)
(3)
↔ (11)
(4)
↔ (12)
(5)
↔ (7)
(6)

↔ (8)
Giả sử X = (;;;0) là phương án tối ưu của bài toán gốc

(341)

b.

(342)

X thỏa mãn lỏng các ràng buộc (4), (5) nên phương án của BTĐN thỏa

mãn :
(343)

Kết hợp với các ràng buộc của bài toán đối ngẫu:

(344)
(345)



(346)

 

(347)

thỏa mãn mọi ràng buộc của BTĐN

(348)


X là phương án tối ưu của bài toán gốc.

Đặt x1 = - t1 ; x4 = - t4 ; x2 = t2 – t3 ; x3 = t5 – t6
 Bài toán trở thành :
(349)
f(t) = -40t1 + 6t2 – 6t3 – 4t4 + 30t5 – 30t6 -> max
(350)
2t1 – t2 + t3 – 2t4 – 3t5 + 3t6 1
(351)
2t2 – 2t3 + t4 + 4t5 – 4t6 2
(352)
t1
– 2t4 – 2t5 + 2t6 2
(353)
-3t1 – t2 + t3 – 2t4 – 2t5 + 2t6 15
(354)
-5t1
+ t 4 + t 5 – t6 5
(355)
tj 0 , j =
c.

(356)

Bài toán dạng chính tắc :

(357)
(358)


2t1 – t2 + t3 – 2t4 – 3t5 + 3t6 – t7 = 1
25