TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2011

Download tài li u h c t p, xem bài gi ng t i : o


Trần Sĩ Tùng

Phương trình vô tỉ

I. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Để giải phương trình vô tỉ ta thường tìm cách khử dấu căn. Có thể sử dụng một số
phương pháp sau:
1. Phương pháp biến đổi tương đương
 g( x ) ≥ 0
 f ( x ) ≥ 0 (hoaëc g( x ) ≥ 0)
• f ( x ) = g( x ) ⇔ 
• f ( x ) = g( x ) ⇔ 
2
 f ( x ) = g( x )
 f ( x ) = [ g( x )]
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
t = f ( x ), t ≥ 0
•
a. f ( x ) + b. f ( x ) + c = 0 ⇔  2
at + bt + c = 0
•

f ( x ) + g( x ) ±

•

f ( x ).g( x ) ± f ( x )
Chú ý: Nói chung f ( x )

f ( x ).g( x ) = m . Đặt t =

f ( x ) + g( x ), t ≥ 0

g( x )
g( x )
= m . Đặt t = f ( x )
, t. f ( x ) ≥ 0
f ( x)
f ( x)
g( x )
≠
f ( x)

f ( x ).g( x )

u = f ( x )
f ( x ) ± g( x ) = h( x ) . Đặt 
; u, v ≥ 0 đưa về hệ u, v.
v = g( x )
Chú ý: Trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x
cũ (đặt ẩn phụ không triệt để). Khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc

coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ phương trình. Cụ thể:
•

– Nếu phương trình mới (ẩn t, tham số x) có biệt thức ∆ chính phương ( ∆ = g2 ( x ) , g(x)
là một đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x.
– Nếu phương trình là phương trình đẳng cấp (của x và t) thì đặt x = ty.
– Nếu phương trình mới không phải đẳng cấp và ∆ cũng không chính phương thì coi t và
x là 2 ẩn của 1 hệ phương trình.
3. Phương pháp hàm số: Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (α; β). Khi đó, với mọi
a, b ∈ (α; β) ta có: f(a) = f(b) ⇔ a = b.
4. Phương pháp đối lập
min f ( x ) = M
 f ( x) = M
Giả sử 
. Khi đó f ( x ) = g( x ) ⇔ 
max g( x ) = M
 g( x ) = M
Chú ý: Để xác định min f ( x ), max g( x ) ta thường sử dụng BĐT hoặc các phương pháp
tìm GTLN, GTNN của hàm số.
5. Phương pháp lượng giác hoá
 π π
• Nếu x ≤ a, a > 0 thì ta có thể đặt x = a.cos t , t ∈ [0; π ] hoặc x = a.sin t, t ∈  − ; 
 2 2
a
π
• Nếu x ≥ a, a > 0 thì ta có thể đặt x =
, t ∈ [0; π ], t ≠
cos t
2

 π π
a
hoặc x =
, t ∈ − ;  , t ≠ 0
sin t
 2 2
 π π
• Nếu x ∈ R thì ta có thể đặt x = tan t , t ∈  − ; 
 2 2

Trang 1


Phương trình vô tỉ

Trần Sĩ Tùng

Bài 1. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

Ví dụ: Giải phương trình: 4 + 2 x − x 2 = x − 2 (*)
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
x ≥ 2
(*) ⇔ 
⇔ 2
⇔
⇔ x=3
2
2
x = 0 ∨ x = 3

 4 + 2 x − x = ( x − 2)
 x − 3x = 0
a)

2x − 3 = x − 3

b)

5 x + 10 = 8 − x

c) x − 2 x − 5 = 4

d)

x2 + 2 x + 4 = 2 − x

e)

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2

f)

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2

g)

x2 − 2 x − 3 = 2x + 8

h)


x2 + 4 x − 5 = x − 2

i)

3x 2 + 2 x + 4 = 2 − x

Bài 2. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

x + 4 − 1 − x = 1 − 2x
(*)
1

 −4 ≤ x ≤
2
(*) ⇔ x + 4 = 1 − 2 x + 1 − x ⇔ 
 x + 4 = 1 − x + 2 (1 − x )(1 − 2 x) + 1 − 2 x

Ví dụ: Giải phương trình:

1

−4 ≤ x ≤ 2
1
 1
1


− ≤ x≤

−

4
≤
x
≤
1


2
2
⇔
⇔ x ≥ −
⇔ 2
⇔ x=0
2
 (1 − x )(1 − 2 x) = 2 x + 1 
x = 0 ∨ x = − 7

(1 − x)(1 − 2 x) = 4 x 2 + 4 x + 1 
2


a)

3x + 7 − x + 1 = 2

b)

x2 + 9 − x 2 − 7 = 2

c)


4 x + 1 = 1 + 3x + 4

d)

2 x + 11 = 2 x − 13 + 2( x + 1)

e)

x + 4 − 1− x = 1− 2x

f)

x − 3 − 7 − x = x +1

Bài 3. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

Ví dụ: Giải phương trình:
⇔

3

x −1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3

3

3

( 3 x −1 + 3 x − 2 ) = ( 3 2x − 3 )


⇔ 3 3 x − 1.3 x − 2.3 2 x − 3 = 0 (vì
a)
d)

3

x + 5 + 3 x + 6 = 3 2 x + 11

3

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0

(*)

⇔ 3 3 x − 1.3 x − 2 ( 3 x − 1 + 3 x − 2 ) = 0
3

b)

x − 1 + 3 x − 2 = 3 2 x − 3 ) ⇔ x = 1; x = 2; x =
3

3
2

x + 1 + 3 3 x + 1 = 3 x − 1 c) 3 1 + x + 3 1 − x = 2

Bài 4. Giải các phương trình sau: (biến đổi đưa về phương trình tích)

( a − c) x + ( b − d )

⇔ m( ax + b ± cx + d ) = (ax + b) − (cx + d )
m
• u + v = uv + 1 ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0
• au + bv = ab + uv ⇔ (u − b)(v − a) = 0
•

ax + b ± cx + d =

a)

4 x + 1 − 3x − 2 =

c)

4

x +3
5

b)

4

x + 1 + x = 1 + x3 + x 2

d)

3

3


x + 1 + 3 x + 2 = 1 + x2 + 3x + 2
x + 3 + 2 x x + 1 = 2 x + x2 + 4x + 3

2

e) 2 + 33 9 x 2 ( x + 2 ) = 2 x + 3 3 3 x ( x + 2 )

Trang 2

f) 4 x 2 + 3x + 3 = 4 x x + 3 + 2 2 x − 1


Trần Sĩ Tùng
g)

Phương trình vô tỉ

x3 + x2 + 3x + 3 + 2 x = x 2 + 3 + 2 x2 + 2 x

Bài 5. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới dấu căn)

Ví dụ: Giải phương trình:
(*) ⇔

(

2

x −1 − 2) +


(

x + 3 − 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 1
2

x − 1 − 3) = 1 ⇔

x −1 − 2 +

(*)

x −1 − 3 = 1

⇔ 2 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇔ 5 ≤ x ≤ 10
a)

x − 2 + 2x − 5 + x + 2 + 3 2x − 5 = 7 2

b)

x + 5 − 4 x +1 + x + 2 − 2 x +1 = 1

c)

x + 8 + 2 x + 7 + x + 16 − 6 x + 7 = 2

d)

x + 6 − 4 x + 2 + x + 11 − 6 x + 2 = 1


e)

x + 2− 4 x − 2 + x + 7 −6 x − 2 =1

f)

x + 4− 4 x + x + 9 − 6 x =1

g)

2x − 2 2x −1 − 2 2x + 3 − 4 2x −1 + 3 2x + 8 − 6 2x −1 = 4

Bài 6. Giải các phương trình sau: (nhân lượng liên hợp)

a)

3 x 2 − 2 x + 15 + 3 x 2 − 2 x + 8 = 7

c)

x2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3

b)

3x 2 + 5x + 8 − 3 x2 + 5x + 1 = 1

Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

Ví dụ: Giải phương trình: −4 (4 − x )(2 + x ) = x 2 − 2 x − 8


(*)

t = (4 − x )(2 + x ), t ≥ 0
t = (4 − x )(2 + x ), t ≥ 0

 x = −2
⇔ 
⇔ t = 0
⇔
2
x = 4
−4t = −t
t = 4

a) x 2 − 6 x + 9 = 4 x 2 − 6 x + 6

b) ( x + 4)( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 2

c) ( x − 3)2 + 3 x − 22 = x 2 − 3 x + 7

d)

( x + 1)( x + 2) = x 2 + 3 x − 4

e) ( x + 5)(2 − x ) = 3 x 2 + 3 x
Bài 8. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

Ví dụ: Giải phương trình:


3 + x + 6 − x − (3 + x )(6 − x ) = 3

(*)

t2 − 9
.
2
 t = −1 (loaïi )
x = 6
Khi đó: (*) trở thành t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔ 
⇔
t = 3
 x = −3
Đặt t = 3 + x + 6 − x , t ≥ 0 ⇒

3 + x. 6 − x =

a)

7 − x + 2 + x − (7 − x )(2 + x ) = 2 b)

x − 1 + 3 − x − ( x − 1)(3 − x ) = 1

c)

x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x ) = 5 d)

x + 1 + 4 − x − 4 4 x − x 2 − 3 = −2

e)


x + 2 + 5 − x + ( x + 2)(5 − x ) = 4 f) x + 26 − x 2 + x 26 − x 2 = 11
Trang 3


Phương trình vô tỉ

Trần Sĩ Tùng

x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x 2 − 16 h)

g)

3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x2 − 5x + 2

Bài 9. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

Ví dụ: Giải phương trình: ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3)
Đặt t = ( x − 3)

x +1
= −3 (*)
x −3

x +1
⇒ t 2 = ( x − 3)( x + 1) .
x −3

x = 1− 5
 t = −1

Khi đó: (*) trở thành t 2 + 4t + 3 = 0 ⇔ 
⇔
 t = −3
 x = 1 − 13
a) x( x + 1) + 4( x − 1)

x
= −4
x −1

Bài 10. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ – tích hai biểu thức có dấu căn bằng 1)
4

Ví dụ: Giải phương trình:

2 − x 4 1+ x
−
= 2 (*)
1+ x
2−x

2− x
2−x
> 0 ⇔ −1 < x < 2 . Đặt t = 4
, t>0.
1+ x
1+ x
t = 1 − 2 (loaïi )
5+ 4 2
Khi đó (*) trở thành: t 2 − 2t − 1 = 0 ⇔ 

⇔ x=−
6+2 2
t = 1 + 2
Điều kiện:

(

a)

2 − 1) x +

1

(

2 − 1) x

=2

x
x −1
3
+
=
x −1
x
2

b)


c)

3

1− x 3 3 + 2x
+
=2
3 + 2x
1− x

d)

4

x +1 4 x −1
+
=4
x −1
x +1

e)

5

16 x 5 x − 1
+
= 25
x −1
16 x


f)

7

5− x 7 x +3
+
=2
x +3
5− x

g) 2

1+ x
1− x
+
−3 = 0
1− x
1+ x

Bài 11. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)

Ví dụ: Giải phương trình:

x2 + 9 − x 2 − 7 = 2

(*)

Đặt u = x 2 + 9, v = x 2 − 7, u ≥ 0 .
u − v = 2
u = 5

Khi đó ta có:  2 2
⇔
⇔ x = ±4
v = 3
u − v = 16
a)

3 x 2 − 2 x + 15 + 3 x 2 − 2 x + 8 = 7

b)

3x 2 + 5x + 8 − 3 x2 + 5x + 1 = 1

c)

x2 + x + x 2 + x + 7 = 3 + 2

d)

3 − x + x 2 − 2 + x − x2 = 1

3

5 x + 7 − 3 5 x − 12 = 1

f)

3

9 − x +1 + 3 7 + x +1 = 4


h)

4

47 − 2 x + 4 35 + 2 x = 4

k) 4 18 − x + 4 x − 1 = 3

e)
g)
i)

3
3

1+ x + 3 1− x = 2
24 + x − 3 5 + x = 1

Trang 4


Trần Sĩ Tùng

Phương trình vô tỉ

2 x2 + 5 x + 2 − 2 2 x2 + 5x − 6 = 1

l)


x 2 + 4356 + x
− x x 2 + 4356 − x 2 = 5
x

m)

Bài 12. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)

Ví dụ: Giải phương trình:

3

24 + x + 12 − x = 6

(*)

Đặt: u = 3 24 + x , v = 12 − x , v ≥ 0 .
u = 0; v = 6
 x = −88
u + v = 6

Khi đó ta có:  3 2
⇔ u = 3; v = 3 ⇔  x = −24


u
+
v
=
36


u = −4; v = 10
x = 3
a)

3

c)
e)

3

4 x + 4 = 3x + 1

b)

x +3 − 3 x =1

d)

2 − x = 1 − x −1

f)

3

x +1 = x − 3

4


2 x2 + 4 x = 6 x − 8

3

x +7 − x =1

Bài 13. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ không triệt để)

Ví dụ: Giải phương trình:

(4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1

(*)

1
(vì : 2 x 2 + 2 x + 1 > 0, ∀x ) . Đặt t = x 2 + 1, t ≥ 1 .
4
 1
4
(*) trở thành: 2t 2 − (4 x − 1)t + 2 x − 1 = 0 ⇔  t = 2 (loaïi) ⇔ x 2 + 1 = 2 x − 1 ⇔ x =
t = 2 x − 1
3

Điều kiện: x >

a) 2 x 2 − 3 x + 2 = x 3 x − 2

b) 2(1 − x ) x 2 + 2 x − 1 = x 2 + 2 x − 1

c) x 2 + x + 5 = 5


d) x 3 + 1 = 2 3 2 x − 1

e) x 2 + x + 7 = 7

f) x + 4 − x 2 = 2 + 3 x 4 − x 2

g) x + 26 − x 2 + x 26 − x 2 = 11

h)

i) x 2 + x + 12 x + 1 = 36

k) 3

l) 2011x 2 − 4 x + 3 = 2010 x 4 x − 3

m) x 3 − 3 x 2 + 2 ( x + 2)3 = 6 x

n) x + 5 + x − 1 = 0

o) x 2 − 1 = 2 x x 2 − 2 x

x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x 2 − 16

(

) (

2 x 2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2 x2 + 1


)

Bài 14. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ đặc biệt)

Trong phương trình có chứa biểu thức cx + d . Bằng cách đặt
chọn a, b sao cho đưa được về hệ đối xứng.
x2 + 4 x = x + 6
 x 2 + 4 x = at + b
x + 6 = at + b . Ta được hệ:  2 2
2
a t + 2abt = x + 6 − b

cx + d = at + b . Ta cần

Ví dụ: Giải phương trình:
Đặt

 a2 = 1
2 ab = 4
Hệ (*) đối xứng nếu: 
⇔
a
=
1

2
b = 6 − b

a = 1

b = 2 . Như vậy, ta đặt:


Trang 5

(*)

x + 6 = t + 2, (t ≥ −2) .


Phương trình vô tỉ

Trần Sĩ Tùng

 −3 − 17 −5 + 13 
 x 2 + 4 x = t + 2

. Nghiệm: 
Ta được hệ đối xứng:  2
;


2
2
t + 4t = x + 2
a) x 2 − 2 x = 2 2 x − 1
b) 7 x 2 + 7 x =

(đặt


4x + 9
( x > 0)
28

c) x 2 − 6 x + 3 = x + 3, ( x ≥ 3)
d)
e)

3

(đặt t +
(đặt

3 x − 5 = 8 x 3 − 36 x 2 + 53 x − 25
3 x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5

2x −1 = t −1 )
1
4x + 9
=
)
2
28

x +3 = t −3)
(đặt

3

3 x − 5 = 2t − 3 )


(đặt 3 x + 1 = −2t + 3 )

Bài 15. Giải các phương trình sau: (phương pháp hàm số)

x − 1 + 2 x + 4 + 2 x − 9 + 4 3 x + 1 = 25 (*)
9
Đặt f ( x ) = x − 1 + 2 x + 4 + 2 x − 9 + 4 3 x + 1 − 25 , x ≥ .
2
9

9
Ta có: f ′( x ) > 0, ∀x > ⇒ f(x) đồng biến trên  ; +∞  .
2
2

Mà f (5) = 0 nên x = 5 là nghiệm duy nhất của (*).
Ví dụ: Giải phương trình:

x +1 − 4 − x = 1

b)

x + 5 + 2x + 8 = 7

d) x 5 + x 3 − 1 − 3x + 4 = 0

e)

3 − x + x 2 − 2 + x − x2 = 1


a)

4 x − 1 + 4 x2 − 1 = 1

c)

Bài 16. Giải các phương trình sau: (phương pháp đối lập)

x − 2 + 4 − x = x 2 − 6 x + 11

Ví dụ: Giải phương trình:

(*)
2

Áp dụng BĐT: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2 ) , ta có: y 2 = ( x − 2 + 4 − x ) ≤ 2( x − 2 + 4 − x ) = 4
⇒ y = x − 2 + 4 − x ≤ 2 . y đạt lớn nhất ⇔

x −2 = 4− x ⇔ x =3

Mặt khác: x 2 − 6 x + 11 = ( x − 3)2 + 2 ≥ 2, ∀x . x 2 − 6 x + 11 đạt nhỏ nhất ⇔ x = 3
 x − 2 + 4 − x = 2
Do đó: (*) ⇔  2
⇔ x =3
 x − 6 x + 11 = 2
a)

2 x − 3 + 5 − 2 x = x2 + 4 x − 6


c)

3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 d)

3x − 5 + 7 − 3x = 5 x 2 − 20 x + 22

e)

x2 − 4 x + 4 + x 2 − 6 x + 9 = 1

x − 7 + 9 − x = x 2 − 16 x + 66

x − 2 + 10 − x = x 2 − 12 x + 40

b)
f)

g) 3 x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2
ĐS: a) x = 2
b) x = 6
c) x = –1
d) x = 2

e) 2 ≤ x ≤ 3

Bài 17. Giải các phương trình sau: (phương pháp lượng giác hoá)

a)

1

1
35
+
=
x
1 − x 2 12

(

b) x +

c) 1 + 1 − x 2 = x 1 + 2 1 − x 2
e) 1 − 2 x + 1 + 2 x =

)

x
x2 − 1

=

35
12

d) 4 x 3 = 3 x + 1 − x 2

1− 2x
1+ 2x
+
(đặt 2 x = cos t , t ∈ (0; π ) )

1+ 2x
1− 2x
Trang 6

f) x = 8


Trần Sĩ Tùng

Phương trình vô tỉ


1 
f) x 2  1 +
 = 1

2
x −1 


g) x +

h) x 3 − 3 3 x 2 − 3 x + 3 = 0 ( ⇔
2

i)

3x − x

3


1 − 3x 2

3x
2

x −9

=2

= 3, ñaët x = tan t )

x 2 + 1 ( x 2 + 1)
x +1 +
=
(đặt x = tan t )
2x
2 x (1 − x 2 )
2

 3 4 5 − 73 
5 5 
 b)  ; 
ĐS: a)  ; ;
5 5
14 
3 4 
e) {0}

{


}

f) − 2 ( 3 + 1)

 2 2 − 2
2 − 2 
d) −
;
;−
 2
2
2

 π
 1 
4π
7π 
h) tan ; tan
; tan  i)  
9
9
9 

 3

1 
c)  ;1
2 


g) {3 2 }

Bài 18. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a)

x+4 x−4 + x+ x−4 = m

c) m + x + m − x = m
ĐS: a) m ≥ 5
b) m ≤ 1

b) x − m = 2 x 2 + mx − 3
d) m + x + m − x = m
c, d) 2 ≤ m ≤ 4 hay m = 0

Bài 19. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a)

x − 1 + 3 − x − ( x − 1)(3 − x ) = m b)

c) x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m
ĐS: a) 1 ≤ m ≤ 2

b)

7 − x + 2 + x − (7 − x )(2 + x ) = m

d) ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3)


6 2 −9
≤m≤3
2

Trang 7

c) −

9
≤ m ≤ 10
4

x +1
=m
x −3
d) m ≥ –4


Phương trình vô tỉ

Trần Sĩ Tùng

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Để giải bất phương trình vô tỉ ta cũng thường sử dụng các phương pháp như đối với
phương trình vô tỉ:
  g( x ) < 0
 f ( x) ≥ 0
 f ( x) ≥ 0



•
•
f ( x ) > g( x ) ⇔   g( x ) ≥ 0
f ( x ) < g( x ) ⇔  g( x ) > 0

 f ( x ) < [ g( x )]2
  f ( x ) > [ g( x )]2

 
Chú ý:
• Đối với căn bậc chẵn cần phải đặt điều kiện biểu thức căn có nghĩa.
• Khi bình phương 2 vế cần chú ý điều kiện cả 2 vế đều phải không âm.
• Đối với BPT chứa ẩn ở mẫu, cần chú ý dấu của mẫu (tránh sai lầm nhân "chéo"):
A
A
+ Nếu M > 0 thì
> B ⇔ A > BM
+ Nếu M < 0 thì
> B ⇔ A < BM
M
M
• Có thể chia tập xác định thành nhiều khoảng và giải BPT trên từng khoảng.

Bài 1. Giải các bất phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
x 2 − x − 12 < x
  x ≤ −3
2

  x ≥ 4
 x − x − 12 ≥ 0


(*) ⇔  x > 0
⇔ x > 0 ⇔ x ≥ 4
 x 2 − x − 12 < x 2
 x > −12


(*)

2x + 9 > x − 3
(**)
x < 3
x − 3 ≥ 0
9

x − 3 < 0
x ≥ 3
⇔ − ≤x<8
(**) ⇔ 
∨
⇔
9∨
2
2
2 x + 9 ≥ 0 2 x + 9 ≥ ( x − 3)
 x ≥ − 2 0 < x < 8
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:


a)

x 2 + x − 12 < 8 − x

b)

x 2 − x − 12 < 7 − x

c)

− x 2 − 4 x + 21 < x + 3

d)

x 2 − 3 x − 10 > x − 2

e)

3 x 2 + 13 x + 4 ≥ x − 2

f)

x2 − 4 x + 3 < x + 1

g)

x2 + x − 6 ≥ x + 2

h)


2( x 2 − 1) ≤ x + 1

i)

2 x2 + 5x − 6 > 2 − x

k)

x2 − 4 x + 5 + 2 x ≥ 3

l)

( x + 1)(4 − x ) > x − 2

m)

2x + 6x2 +1 > x + 1

Bài 2. Giải các bất phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

Ví dụ: Giải bất phương trình:
x + 2 ≥ 0

Điều kiện:  x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 .
 x − 2 ≥ 0
(*) ⇔
⇔

x + 2 − 2 x −1 < x − 2


(*)

x + 2 < x − 2 + 2 x − 1 ⇔ x + 2 < x − 2 + 4( x − 1) + 4 ( x − 2)( x − 1)
( x − 2)( x − 1) + x − 2 > 0 ⇔ x > 2 (vì x ≥ 2)

a)

x + 3 − 7 − x > 2x − 8

b)

2x + 3 + x + 2 ≤ 1

c)

5x − 1 − x − 1 > 2 x − 4

d)

2 − x > 7 − x − −3 − 2 x

Trang 8


Trần Sĩ Tùng

Phương trình vô tỉ

e)


x + 3 − x −1 < x − 2

f)

5x + 1 − 4 x − 1 ≤ 3 x

g)

7 x + 1 − 3 x − 18 ≤ 2 x + 7

h)

x +5 − x +4 > x +3

i)

x + 11 ≥ x − 4 + 2 x − 1

k)

x + 2 − x +1 ≤ x

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

1 − 1 − 4 x2
<3
(*)
x
 1

1
2


Điều kiện: 1 − 4 x ≥ 0 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2 . Ta xét các trường hợp:
x ≠ 0
 x ≠ 0
1
i) − ≤ x < 0 . Vì 1 − 4 x 2 < 1 ⇔ 1 − 1 − 4 x 2 > 0 nên (*) hiển nhiên đúng.
2
1 − 3 x < 0
1 − 3 x ≥ 0
1
ii) 0 < x ≤ . Ta có: (*) ⇔ 1 − 4 x 2 > 1 − 3 x ⇔ 
∨
2
2
2
2
1 − 4 x ≥ 0 1 − 4 x > (1 − 3 x )
Ví dụ: Giải bất phương trình:



1
1
x > 3
x ≤ 3
1
1

1
1
⇔ 
⇔ < x≤ ∨ 0∨
3
2
3
2
0 < x ≤ 1 0 < x < 6

2 
13
 1   1
Vậy tập nghiệm của (*) là:  − ; 0  ∪  0; 
 2   2
a)

x2 − 4 x
≤2
3− x

c) ( x + 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9
e)
g)

2( x 2 − 16)
x −3

+ x−3 >

x −7
2

4 x − 19 x + 12

7− x
x −3

<0

b)

−2 x 2 − 15 x + 17
≥0
x +3

d)

− x2 + x + 6
− x2 + x + 6
≥
2x + 5
x+4

f)

51 − 2 x − x 2
<1
1− x

h)

x −3
x +3

+3 > x

Bài 4. Giải các bất phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

Ví dụ: Giải bất phương trình:

x2 + x2 − 3x + 5 > 3 x + 7

(*)

Ta có: x 2 − 3x + 5 ≥ 0, ∀x . Đặt t = x 2 − 3 x + 5, t ≥ 0 .
 y < −4 (loaïi )
Khi đó: (*) ⇔ x 2 − 3 x − 7 + x 2 − 3 x + 5 > 0 ⇔ y 2 + y − 12 > 0 ⇔ 
y > 3
 x < −1
⇔ x2 − 3x + 5 > 3 ⇔ x2 − 3x − 4 > 0 ⇔ 
x > 4
a)

( x − 3)(8 − x ) + 26 > − x 2 + 11x

c) ( x + 1)( x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28
e)

3x 2 + 6 x + 4 < 2 − 2 x − x2

g) x 2 + 2 x + 5 ≤ 4 2 x 2 + 4 x + 3

b) ( x + 5)( x − 2) + 3 x ( x + 3) > 0
d) x ( x + 1) + 10 < 6 x 2 + x + 2
f) 2 x 2 + x 2 − 5 x − 6 > 10 x + 15
h) 2 x 2 + 4 x + 3 3 − 2 x − x 2 > 1
Trang 9


Phương trình vô tỉ

Trần Sĩ Tùng

i)

5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x

k) ( x + 1)( x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28

l)

3x 2 + 5x + 7 − 3x 2 + 5x + 2 ≥ 1

m)

x
x +1
−2

>3
x +1
x

Bài 5. Giải các bất phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

a)

x −2
2x +1
+4
<5
x −2
2x + 1

b)

c)

x
x −1
3
+
≥
x −1
x
2

d)

x +1
x−2
+3
<4
x −2
x +1
1
1 − x2

>

3x
1− x

2

−1

Bài 6. Giải các bất phương trình sau:
3

a) x + 2 ≤ x 2 + 8

b)

3

3

2 x2 + 1 ≥ 3x 2 − 1

c)

3

x +1 > x − 3

Bài 7. Giải các bất phương trình sau: (phương pháp hàm số)

a)

x + 9 + 2x + 4 > 5

b)

x 2 − 2 x − 3 − x 2 − 6 x + 11 > 3 − x − x − 1

Bài 8. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:

a)

x − x − 1 > m, (m > 0)

ĐS: a) 0 < m < 1

b) x − m x − 1 > m + 1

b) m ∈ R

c) m ≤

Trang 10

3 +1
4

c) mx − x − 3 ≤ m + 1


Trần Sĩ Tùng

Phương trình vô tỉ

III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Để giải hệ phương trình vô tỉ ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
Một số hệ một ẩn để đưa về phương trình vô tỉ một ẩn. Tuy nhiên vẫn có những hệ cần có
cách giải riêng phù hợp.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
 x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2
.

 x + y = 4
 4 4
• Đặt u = x ≥ 0, v = y ≥ 0 . Ta có hệ:  u + v + 2uv = 8 2 .
u + v = 4
S = 4
Đặt S = u + v, P = uv thì 
2
2
2

 (S − 2 P) − 2 P + 2.P = 8 2 (*)
2 P 2 − 64 P + 256 + 2.P = 8 2 ⇔ P 2 − 32 P + 128 = 8 − P
P ≤ 8
⇔  2
2 ⇔P=4
P − 32 P + 128 = 64 − 16 P + P

Ta có: (*) ⇔

S = 4
Vậy 
⇔ u, v là các nghiệm của phương trình: t 2 − 4t + 4 = 0 ⇔ t = 2
P = 4
⇔ u=v=2⇔ x = y =2⇔ x=y=4
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
 x + x 2 − y 2 x − x 2 − y 2 17

+
=
4
 x − x 2 − y2 x + x 2 − y2

 x ( x + y ) + x 2 + xy + 4 = 52
• Điều kiện: x 2 ≥ y2 > 0
Khi đó: (1) ⇔

(x +

2

x +y

(1)
(2)

(*)
2

) + (x −
2

x 2 − ( x2 − y2 )

2

x −y

2

)

2

x 2 − ( x2 − y2 )

=

2(2 x 2 − y 2 ) 17
17
⇔

=
4
4
y2

16 2
4
x ⇔ y = ± x (thoả (*))
25
5
4
9
9 2
TH1: y = x , thay vào (2) ta được: x 2 +
x + 4 = 52 ⇔ x 2 = 25 ⇔ x = ±5
5
5
5
 x = 5  x = −5
Do đó: 
;
 y = 4  y = −4
⇔ 16 x 2 = 25 y2 ⇔ y 2 =

4
TH2: y = − x , thay vào (2) ta được:
5
 x = 15  x = −15
Do đó: 
;

 y = −12  y = 12
x = 5
Kết luận: Hệ PT có 4 nghiệm: 
;
y = 4

1 2
1 2
x +
x + 4 = 52 ⇔ x 2 = 225 ⇔ x = ±15
5
5

 x = −5
 y = −4 ;


Trang 11

 x = 15  x = −15
 y = −12 ;  y = 12




Phương trình vô tỉ

Trần Sĩ Tùng

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

( x 2 + xy + y 2 ) x 2 + y 2 = 185

( x 2 − xy + y 2 ) x 2 + y 2 = 65
• Cộng 2 phương trình, vế theo vế, ta được:
2

2

2

2

2( x + y ) x + y = 250 ⇔

(

2

x +y

2

)

3

= 125 ⇔ x 2 + y 2 = 5

(25 + xy).5 = 185
Thay vào hệ, ta được: 

⇔ xy = 12
(25 − xy ).5 = 65
2
 2
 x = 3  x = 4  x = −3
Ta có hệ:  x + y = 25 ⇔ 
;
;
;
 y = 4  y = 3  y = −4
 xy = 12

 x = −4
 y = −3


Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:

1
2
x 1 − y = 4

y 1 − x 2 = 1

4
 π
• Từ hệ suy ra x, y ∈ [0; 1]. Đặt x = cos u, y = cos v, u, v ∈  0;  . Ta có:
 2

1


1
cos u.sin v = 4
sin(u + v) =
(1)
⇔

2
cos v.sin u = 1
sin(u − v ) = 0 (2)
4

 π
Từ (2) ⇒ u − v = kπ ⇔ u = v + kπ , (k ∈ Z ) . Do u, v ∈  0;  nên u = v.
 2


π
π
 2u = 6 + l 2π
 u = 12 + lπ
Thay vào (1) ta được: 
⇔
(l ∈ Z )
 2u = 5π + l 2π
 u = 5π + lπ

6

12

 π
π
5π
Do u ∈  0;  nên u =
hoặc u =
.
 2
12
12


π
6+ 2
5π
π
6− 2
= sin =
 x = cos =
 x = cos
12
4
12
12
4
Suy ra: 
hoặc 
π
6
+
2

5
π
π
6
−
2
 y = cos =
 y = cos
= sin =


12
4
12
12
4
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

 x
y
7
+
=
+1

a)  y
x
xy

 x xy + y xy = 78

 2
2
d)  x + y + 2 xy = 8 2
 x + y = 4

 x + y = 4
b) 
 x + y − xy = 4

 x + y − 1 = 1
c) 
 x − y + 2 = 2 y − 2

 x + 2 − y = 2
e) 
 2 − x + y = 2

 x + 4 y − 1 = 1
f)  4
 y + x − 1 = 1

Trang 12


Trần Sĩ Tùng

Phương trình vô tỉ

 x 2 + x + y + 1 + x + y 2 + x + y + 1 + y = 18
g) 

 x 2 + x + y + 1 − x + y 2 + x + y + 1 − y = 2

 x + 1 + y − 7 = 4
h) 
 y + 1 + x − 7 = 4

 2x
2y

+
=3
k)  y
x
 x − y + xy = 3

1 3
ĐS: a) (4; 9), (9; 4)
b) (4; 4)
c)  ; 
d) (4; 4)
e) (0; 0), (2; 2)
2 2
3 
f) (1; 1)
g) (4; 4)
h) (8; 8)
i) (1; 1)
k) (−1; −2),  ;3 
2 

 x + y = 2
i) 
 x + 3 + y + 3 = 4

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

 x + y − x − y = 2
a) 
2
2
2
2
 x + y + x − y = 4
 x + 1 + y + 1 = 3
c) 
 x y + 1 + y x + 1 + y + 1 + x + 1 = 6
 3 x − y = x − y
e) 
 3 x + y = x + y − 4
 x + y + xy = 14
g)  2
2
 x + y + xy = 84

 3 x − y = x − y
b) 
 x + y = x + y + 2
 x + 1 + y − 2 = 3
d) 
 y + 1 + x − 2 = 3


1
 x + + x + y −3 = 3

y
f) 
2 x + y + 1 = 8

y

x
( x − y ) y =
h) 
2
( x + y ) x = 3 y


5

3 1
ĐS: a)  ; 6  b) (1;1),  ; 
c) (0; 3), (3; 0)
d) (3; 3)
2

2 2
9 7
e) (4; 4),  ; 
f) (3;1),(5; −1), ( 4 − 10;3 + 10 ) , ( 4 + 10;3 − 10 )
2 2


2  3 3 3 
g) (2; 8), (8; 2)
h) (0; 0),  2;
;
 ,


2   4
4 
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
3
56
 x+ y − x− y =2
3
 x 2 + y xy = 420


a)  2
b) 
c)  x + y = 2 xy
 y + x xy = 280
 x 2 − y + x 2 + y = 4
 x + y = 10

3 2
3 2
 x y + y x = 30
d) 2( x + y) = 3 x y + y x e) 
 x x + y y = 35

 3 x + 3 y = 6
5 
 128 2   2 128 
ĐS: a) (18; 8)
b)  ; 6 
c) 
;  , ;
d) (8; 64), (64; 8)

2 
 13 13   13 13 
e) (4; 9), (9; 4)
Bài 4. Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm:
 x + y − x − y = 3m

a)  x + 1 − y + 2 = m
b) 
2
2
2
2
2
 x + y = 3m
 x + y − x − y = 9m

(

)

Trang 13

Phương trình vô tỉ

Trần Sĩ Tùng

 x + 1 + y − 2 = m
c) 
 y + 1 + x − 2 = m


d)  x + 1 + y + 2 = m
 x + y = 3m

3 − 21
3 + 21
≤m≤
b) m ∈ R
2
2
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
Ví dụ:
a)
ĐS: a)

Trang 14

c) m ≥ 3

d) m ≥

3 + 21
2


Trần Sĩ Tùng

Phương trình vô tỉ
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
 3 x − y = x − y
.
 x + y = x + y + 2

Baøi 1. (ĐH 2002B) Giải hệ phương trình: 

3 1
ĐS: (1;1),  ; 
2 2
Baøi 2. (ĐH 2002D) Giải bất phương trình: ( x 2 − 3 x ). 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0 .

ĐS: x ≤ −

1
∨ x =2 ∨ x ≥3
2

Baøi 3. (ĐH 2002D–db2) Giải phương trình:

x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x 2 − 16 .

ĐS: x = 5. Đặt t = x + 4 + x − 4, t > 0 .
2( x 2 − 16)

Baøi 4. (ĐH 2004A) Giải bất phương trình:

x −3

+ x−3 >

7− x
x −3

.

ĐS: x > 10 − 34

Baøi 5. (ĐH 2004B) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

m
ĐS:

(

)

1 + x 2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x2 .

2 − 1 ≤ m ≤ 1 (giải bằng phương pháp hàm số).
 x + y = 1
 x x + y y = 1 − 3m

Baøi 6. (ĐH 2004D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 

ĐS: 0 ≤ m ≤

1
4
5x − 1 − x − 1 > 2 x − 4 .

Baøi 7. (ĐH 2005A) Giải bất phương trình:

ĐS: 2 ≤ x < 10

Baøi 8. (ĐH 2005D) Giải phương trình: 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 .

ĐS: x = 3.

Baøi 9. (ĐH 2005A–db2) Giải hệ phương trình:  2 x + y + 1 − x + y = 1 .
3 x + 2 y = 4

ĐS: (2; −1)
Baøi 10. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình:

3x − 3 − 5 − x = 2 x − 4 .

ĐS: x = 2; x = 4.
Baøi 11. (ĐH 2005B–db2) Giải bất phương trình:

ĐS: x =

1
1
∨ x≥
4
2

Baøi 12. (ĐH 2005D–db1) Giải bất phương trình:

ĐS:

8x 2 − 6 x + 1 − 4 x + 1 ≤ 0 .

2 x + 7 − 5 − x ≥ 3x − 2 .

2
14
≤ x ≤1 ∨
≤x≤5
3
3


x + y − xy = 3
.
 x + 1 + y + 1 = 4

Baøi 13. (ĐH 2006A) Giải hệ phương trình: 

ĐS: (3; 3). Đặt t = xy .
Trang 15

Phương trình vô tỉ

Trần Sĩ Tùng

Baøi 14. (ĐH 2006B) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 .
ĐS: m ≥

9
2

Baøi 15. (ĐH 2006D) Giải phương trình:

2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0 .

ĐS: x = 1; x = 2 − 2 . Đặt t = 2 x − 1 .
3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x2 − 5x + 2 .

Baøi 16. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình:

ĐS: x = 2. Đặt t = 3 x − 2 + x − 1 ≥ 0 .
Baøi 17. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x 2 + 8 x − 7 + 1 .

ĐS: x = 5, x = 4. Đưa về PT tích ( x − 1 − 2 )( x − 1 − 7 − x ) = 0 .
Baøi 18. (ĐH 2007A) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
4

3 x − 1 + m x + 1 = 2 x2 − 1 .
1
x −1
ĐS: −1 < m ≤ . Đặt t = 4
, 0 ≤ t < 1 . PT ⇔ −3t 2 + 2t = m . Dùng PP hàm số.
3
x +1
Baøi 19. (ĐH 2007B) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau
có hai nghiệm thực phân biệt:

x 2 + 2 x − 8 = m( x − 2) .

x ≥ 2
ĐS: PT ⇔ 
. Dùng phương pháp hàm số.
3
2
( x − 2)( x + 6 x − 32 − m ) = 0
Baøi 20. (ĐH 2007A–db1) Tìm m để phương trình: m

(

)

x 2 − 2 x + 2 + 1 + x (2 − x ) ≤ 0 có

nghiệm x ∈  0;1 + 3  .
2
t2 − 2
. Đặt t = x 2 − 2 x + 2, 1 ≤ t ≤ 2 . BPT ⇔ m ≤

. Dùng PP hàm số.
3
t +1
Baøi 21. (ĐH 2007B–db2)
ĐS: m ≤

4

1. Tìm m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm: x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 .

2 xy
= x2 + y
x + 3 2

x − 2x + 9
2. Giải hệ phương trình: 
.
2 xy
y +
= y2 + x
3 2

y − 2y + 9

3
ĐS: 1) m = − ∨ m > 12 . Dùng phương pháp hàm số.
2
2) (0; 0), (1;1) . Cộng 2 PT vế theo vế, ta được:



1
1
2
2
VT = 2 xy 
+
 = x + y = VP
2
2
3
 ( x − 1) + 8 3 ( y − 1) + 8 


x = y = 0
Mà VT ≤ 2 xy ≤ x 2 + y 2 = VP . Dấu "=" xảy ra ⇔ 
.
x = y = 1
Baøi 22. (ĐH 2007D–db1) Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm:
x −3−2 x − 4 + x −6 x − 4 + 5 = m .
ĐS: 2 < m ≤ 4 . Đặt t = x − 4 ≥ 0 .
Trang 16
Download tài li u h c t p, xem bài gi ng t i : o


Trần Sĩ Tùng

Phương trình vô tỉ

Baøi 23. (ĐH 2007D–db2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

2 x − y − m = 0
.

 x + xy = 1
x ≤ 1
ĐS: m > 2. PT ⇔  2
. Dùng tam thức bậc hai.
 x + (2 − m) x − 1 = 0

Baøi 24. (ĐH 2008A)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
4

2 x + 2 x + 24 6 − x + 2 6 − x = m

2 6 + 2 4 6 ≤ m < 3 2 + 6 . Dùng phương pháp hàm số.
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
Baøi 25. (ĐH 2008D) Giải hệ phương trình: 
.
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y
( x + y )( x − 2 y − 1) = 0
ĐS: (5; 2). HPT ⇔ 
. Chú ý x + y > 0 .
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
ĐS:

Baøi 26. (ĐH 2009A) Giải phương trình: 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 .

u = 3 3 x − 2

ĐS: x = –2. Đặt 
.
v = 6 − 5 x , v ≥ 0
Baøi 27. (ĐH 2010A)
1. Giải bất phương trình:

x− x
2

1 − 2( x − x + 1)

≥1.

(4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
2. Giải hệ phương trình:  2
.
2
4 x + y + 2 3 − 4 x = 7
ĐS: 1) x =

3− 5
. BPT ⇔
2

2( x 2 − x + 1) ≤ 1 − x + x .
2

Chú ý:

2( x 2 − x + 1) = 2(1 − x )2 + 2 ( x ) ≥ 1 − x + x (BĐT a2 + b2 ≥ 2 ab ).

Dấu "=" xảy ra ⇔ 1− x = x
Do đó: BPT ⇔

2( x 2 − x + 1) = 1 − x + x ⇔ 1− x = x .
2

1 
5

2)  ; 2  . HPT ⇒ 4 x 2 +  − 2 x 2  + 2 3 − 4 x − 7 = 0 . Dùng phương pháp hàm số.
2 
2

3 x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0 .


1
3
1
ĐS: x = 5. PT ⇔ ( x − 5) 
+
+ 3 x + 1  = 0 . Chú ý: − ≤ x ≤ 6 .
3
6 − x +1
 3x + 1 + 4


Baøi 28. (ĐH 2010B) Giải phương trình:

Download tài li u h c t p, xem bài gi ng t i : o

Trang 17