MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC.......................................................................................................1
CÁC KÝ HIỆU...............................................................................................2
MỞ ĐẦU ........................................................................................................3
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Nhóm đối xứng Sn................................................................................5
1.2. Đại số Hecke của nhóm đối xứng........................................................6
1.3. Đại số Brauer.......................................................................................8
CHƢƠNG 2. ĐẠI SỐ q-BRAUER
2.1. Các định nghĩa...................................................................................15
2.2. Một số tính chất cơ bản của đại số q-Brauer.....................................20
2.3. Mô đun Vk* trên đại số Brn ( r , q ) .......................................................21
CHƢƠNG 3. MỘT CƠ SỞ VÀ MỘT ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐ
q-BRAUER
3.1. Cơ sở của đại số q-Brauer...................................................................23
3.2. Đối đẳng cấu của đại số q-Brauer.......................................................26
3.3. Thuật toán dùng để sản xuất phần tử cơ sở của đại số q-Brauer ........36
3.4. So sánh giữa hai cơ sở của đại số q-Brauer........................................41
KẾTLUẬN....................................................................................................45
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................46

1


CÁC KÍ HIỆU

Brn  r , q 

Đại số q-Brauer phiên bản hai tham số r, q

Brn  N 

Đại số q-Brauer phiên bản một tham số N

Dn  N 

Đại số Brauer với tham số N

Dn  x 

Đại số q-Brauer với tham số x

Sn

Nhóm đối xứng của (nhóm hoán vị) trên n phần tử

Hn q

Đại số Hecke của nhóm đối xứng S n

Vk

Không gian vec tơ

Vk*

Không gian vec tơ đối ngẫu

l d 


Hàm độ dài của một biểu đồ d

 q, q 1 

Vành đa thức

2


MỞ ĐẦU
Đối ngẫu Schur-Weyl liên hệ lý thuyết biểu diễn của nhóm tuyến tính
tổng quát GLN ( ) với lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng Sn qua các tác
động trung tâm hóa đồng thời của hai nhóm này trên không gian lũy thừa ten
xơ (

N n

) . Vào năm 1937, R. Brauer [2] đã giới thiệu các đại số, mà ngày

nay được gọi là các đại số Brauer. Những đại số này xuất hiện trong một tình
huống tương tự như vai trò của nhóm đối xứng trong đối ngẫu Schur-Weyl ở
trên. Nghĩa là, khi nhóm tuyến tính tổng quát GLN ( ) được thay thế bởi
hoặc một nhóm Sympletic Sp(2N) hoặc một nhóm trực giao SO(N) thì nhóm
đối xứng được thay thế bởi đại số q-Brauer.
Tiếp sau đó, một q-biến thể của đại số Brauer này đã được tìm ra bởi
Birman và Wenzl [1] và độc lập bởi Murakami [6] trong sự kết nối với lý
thuyết Knot và các nhóm lượng tử. Ngày nay đại số này được gọi là đại số
BMW.
Vào năm 2012, một đại số mới được giới thiệu bởi Giáo sư Wenzl [10]

thông qua định nghĩa các phần tử sinh và các mối quan hệ trên chúng. Đại số
này được đặt tên là đại số q-Brauer và nó được biết đến như là một q-biến
thể khác của đại số Brauer và chứa đại số Hecke của nhóm đối xứng như một
đại số con tự nhiên. Trong [10] Wenzl đã chứng minh rằng, trên một mở
rộng của trường số hữu tỉ với các tham số r, q, đại số q-Brauer là nửa đơn và
đẳng cấu với đại số Brauer. Một số ứng dụng của đại số q-Brauer đã được
tìm thấy trong những nghiên cứu về vành biểu diễn của nhóm trực giao hoặc
nhóm Sympletic [9] và về các phạm trù mô đun của các phạm trù liên hợp
kiểu A và các thành phần con tương ứng kiểu II1 [11]. Đại số này được mong
chờ sẽ có nhiều ứng dụng trong cơ khí thống kê, lý toán, lý thuyết Knot, lý
thuyết toán tử, lý thuyết biểu diễn… như đại số BMW đã có. Tuy nhiên, hiện
nay trên thế giới cũng như ở Việt Nam chưa có nhiều nghiên cứu sâu sắc về
đại số q-Brauer nhằm khám phá những tính chất và cấu trúc đại số của nó
ngoài nghiên cứu của TS. Nguyễn Tiến Dũng trong [4], [5].

3


Do đó, với mong muốn giới thiệu và bước đầu tìm hiểu sâu hơn về đại số
q-Brauer, chúng tôi chọn đề tài: “Một cơ sở cho đại số q-Brauer”
Đề tài của chúng tôi nhằm mục đích trình bày lại một số tính chất của đại
số q-Brauer và sau đó giới thiệu một cơ sở cho đại số này dựa trên tài liệu
[4]. Luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về đại số
Brauer. Những kiến thức này sẽ được sử dụng trong việc xây dựng một cơ sở
cho đại số q-Brauer trong chương 3.
Chương 2: Đại số q-Brauer
Chương này trình bày các định nghĩa, tính chất của đại số q-Brauer và mô
đun Vk* trên đại số Brn ( r , q ) .

Chương 3: Một cơ sở và một phản tự đẳng cấu của đại số q-Brauer
Chương này trình bày kết quả chính của luận văn. Trong chương này
chúng chúng tôi giới thiệu một cơ sở cho đại số q-Brauer và trình bày một
thuật toán để tìm các phần tử của cơ sở này.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Tiến Dũng. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và
sâu sắc tới TS. Nguyễn Tiến Dũng, người đã dẫn dắt và hướng dẫn tận tình
trong quá trình tác giả làm luận văn. Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn
chân thành tới các thầy, cô giáo ở khoa sư phạm Toán học – Trường Đại học
Vinh đã giành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt những kiến thức bổ
ích cho tôi.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu mặc dù đã có nhiều cố gắng, nỗ lực
của bản thân nhưng do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý của
các thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

4


CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. Nhóm đối xứng Sn
1.1.1. Định nghĩa
Nhóm đối xứng S n gồm tất cả các song ánh từ 1, 2, 3,.., n vào chính nó
với phép toán nhóm là phép hợp thành các ánh xạ. Các phần tử   S n được
gọi là các hoán vị.
1.1.2. Kí hiệu
Đối với một hoán vị  bất kỳ, ta thường sử dụng ba cách kí hiệu khác
nhau như sau.
Cách 1: Kí hiệu hai dòng trên một dãy.



1

2

3

...

n

 (1)

 (2)

 (3)

...

 ( n)

Ví dụ 1. Xét với   S5 ta có:  (1)  2,  (2)  3,  (3)  1,  (4)  4,  (5)  5.
Thì hai dòng của nó là.



1
2


2
3

3
1

4
4

5
5

Cách 2: Mô tả hoán vị  bởi một dòng.
Theo cách mô tả này thì dòng đầu tiên luôn cố định. Do đó cách mô tả thứ
hai chỉ lấy dòng thứ hai trong cách một.
Cách 3: Mô tả một hoán vị  thông qua kí hiệu xích.
Với i  1, 2, 3,.., n cho trước, các phần tử của dãy i,  i ,  2 i ,... hoàn toàn
phân biệt. Chọn lũy thừa đầu tiên sao cho  p i   i, ta có một xích.

i,  i , ... ,  i  .
p -1

Một cách tương đương, ta cũng có thể định nghĩa một xích i, j, k ,..., l  có
nghĩa là  biến i thành j, j biến thành k, ..., l biến thành i. Bây giờ chọn một
phần tử không nằm trong xích chứa i và lặp lại quá trình trên cho đến khi tất
cả các số trong 1, 2, 3,.., n đều được sử dụng. Ví dụ 1 ở trên trở thành.
  1, 2, 345

5



theo kí hiệu xích. Chú ý rằng hoán vị vòng tròn các phần tử nằm trong một
xích, hay thay đổi thứ tự các xích với nhau thì không làm ảnh hưởng đến
hoán vị. Chẳng hạn,

1, 2, 345  2, 3,145  42, 3,15  453, 1, 2.
Một k-xích hay xích với độ dài k, là một xích gồm k phần tử. Hoán vị vừa
rồi của ta gồm một 3-xích và hai 1-xích. Kiểu xích, hay đơn giản chỉ là kiểu
của  là một biểu thức có dạng 1m1 ,2 m2 ,..., n mn  .
Ở đó, m k là số các xích có độ dài k trong  . Hoán vị của ví dụ trên có kiểu
xích là 12 , 2 0 , 31 , 4 0 , 5 0  .
Một 1-xích của  còn được gọi là một điểm bất động. Các số 4, 5 là các
điểm bất động trong ví dụ trên. Các điểm bất động thường được bỏ đi trong
kí hiệu xích nếu không có sự hiểu lầm xảy ra. Một đối hợp là một hoán vị
sao cho  2  e . Dễ thấy  là một đối hợp nếu và chỉ nếu tất cả các xích của
 có độ dài bằng 1 hoặc 2.

Kí hiệu sj = (j, j+1) với 1 < j < n là các chuyển vị cơ bản trong nhóm đối
xứng Sn. Những chuyển vị cơ bản sj là những phần tử sinh của nhóm đối
xứng Sn.
1.1.2. Sự diễn tả rút gọn của một hoán vị
Cho một hoán vị   S n . Nếu π có thể được biểu diễn như một tích
s j1 s j2 ...s jk của các chuyển vị cơ bản sao cho k là gọi số tự nhiên nhỏ nhất với
tính chất này thì kí hiệu l(π) =k, và chúng ta gọi s j1 s j2 ...s jk là một sự diễn tả
thu gọn cho π.
Ví dụ 2. Sử dụng hoán vị π như trong Ví dụ 1 ở trên thì π = s1 s2 và do đó
l(π) = 2.

1.2. Đại số Hecke của nhóm đối xứng
1.2.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán có đơn vị là 1, và q là phần tử

khả nghịch trên R. Đại số Hecke Hn(q) = HR,q = HR,q(sn) của nhóm đối xứng

6




Sn trên R được định nghĩa như là một R-môđun tự do với cơ sở  g   Sn .
Phép nhân trong Hn(q) thỏa mãn các quan hệ sau:
(i) 1  H n (q) ;
(ii) Nếu   s1s2 ...s j là một sự diễn tả rút gọn của   S n thì

g  gs1 .gs2 ...gs j ;
(iii) g s2j  (q  1) g s j  q cho tất cả các chuyển vị của sj, trong đó
q = q.1  H n (q) .
Để thuận lợi cho công việc tiếp theo chúng ta sẽ kí hiệu gj thay cho gs j . Đặt

R

 q, q 1  và chúng ta sử dụng thuật ngữ Hn(q) để ám chỉ đại số Hecke

HR,q(sn).
1.2.2. Bổ đề
1. Nếu  ,  /  Sn và l ( / )  l ()  l ( / ) , thì g .g /  g / .
2. Với sj là một chuyển vị và   S n , thì
g nếu l(s ω) = l(ω) + 1
 sjω
j
gj . g ω = 
(q-1)gω + q g trong các trường hợp còn lại

s jω

và
g nếu l(ωs ) = l(ω) + 1
 ωsj
j
gω.gj = 
(q-1) gω + q g trong các trường hợp còn lại.
ωsj

3. Cho   S n thì gω là phần tử khả nghịch trong Hn(q) với phần tử nghịch
đảo g1  g j 1g j 11...g21g11 , trong đó   s1s2 ...s j là sự diễn tả thu gọn của

 , và g j 1  q1g j  (q 1  1) vì thế g j  qg j 1  (q  1) với mọi sj.
Trong các tài liệu, đại số Hecke Hn(q) được định nghĩa tương đương bởi
các phần tử sinh gi với 1  i  n và các mối quan hệ
(H1) gi g i 1 g i  g i 1 g i g i 1 với 1  i  n  1 ;

7


(H2) gi g j  g j gi với i  j  1 .
1.2.3. Bổ đề
Ánh xạ tuyến tính i: Hn(q)

Hn(q) được xác định bởi quy tắc

i ( g )  g 1 , với mỗi   S n , là một đối đẳng cấu trên đại số Hecke Hn(q).

1.3. Đại số Brauer

Đại số Brauer được giới thiệu đầu tiên bởi Richard Brauer [2] để nghiên
cứu lũy thừa Tenxơ thứ n của biểu diễn định nghĩa của các nhóm trực giao và
các nhóm symplectic. Sau đó, chúng được tập trung khám phá chi tiết bởi
các nhà toán học khác nhau và có nhiều ứng dụng trong lí thuyết Knot, cơ
khí, thống kê, lý toán….
1.3.1. Định nghĩa
Đại số Brauer được định nghĩa trên vành

[x] qua một cơ sở được đưa ra

bởi các biểu đồ. Mỗi biểu đồ gồm có 2n đỉnh được sắp xếp vào hai hàng với
mỗi hàng có n đỉnh. Hai đỉnh bất kỳ trong biểu đồ nối với nhau bởi một đoạn
thẳng. Một đoạn thẳng mà được nối bởi hai đỉnh trong cùng một hàng thì
được gọi là “đoạn ngang”, những đoạn thẳng còn lại được gọi là “đoạn dọc”.
Chúng ta kí hiệu Dn(x) cho đại số Brauer, trong đó các đỉnh của biểu đồ được
đánh số từ 1 đến n theo chiều từ trái sang phải cho đồng thời cả hai hàng. Hai
biểu đồ d1 và d2 được nhân bởi một sự liên kết, nghĩa là: Các đỉnh ở hàng
dưới của biểu đồ d1 được kết nối các đỉnh tương ứng ở hàng trên của biểu đồ
d2. Từ đó dẫn đến một biểu đồ kết quả d. Sau đó tích d1.d2 được định nghĩa là

x ( d1 ,d2 ) d trong đó  (d1 , d 2 ) là số các vòng được kết nối của sự liên kết giữa
d1 và d2 mà sẽ không xuất hiện trong biểu đồ d. Chúng tôi minh họa bởi ví dụ
sau. Trong đại số Brauer D7(x), chúng tôi nhân hai biểu đồ d1 và d2 như sau

8

















d1









































d2
 d2












Biểu đồ của tích d1.d2 =x1d là




d












 .

Từ giờ về sau để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi sẽ sử dụng kí
hiệu N thay cho tham số x. Trong (mục 5, [2]) R. Brauer đã chỉ ra rằng mỗi
biểu đồ cơ sở trên Dn(N) mà có chính xác 2k đoạn thẳng ngang có thể được
biểu diễn thành sự liên kết có dạng 1e( k )2 , trong đó 1 và  2 là các hoán vị
của nhóm đối xứng Sn, và e( k ) là biểu đồ có dạng như sau:



 







 





 







 



Trong đó mỗi hàng có k đoạn ngang.
Như một hệ quả, đại số Brauer có thể được xem xét trên vành đa thức


 x và được định nghĩa qua các phần tử sinh và các quan hệ: Cho x là tham
số trên vành

; đặt R  [ N ] , đại số Brauer Dn(N) trên vành R như là R-đại

số kết hợp có đơn vị được sinh bởi các chuyển vị s1, s2,…, sn-1, cùng với các
phần tử sinh e(1), e(2),…, e([n/2]) , mà thỏa mãn các mối quan hệ được định
nghĩa như sau:
(S0) si2  1 với 1  i  n ;

9


(S1) si si 1si  si 1si si 1 với 1  i  n  1 ;
(S2) si s j  s j si với i  j  2 ;
(1)

e( k )e(i)  e(i)e( k )  xi e( k ) với 1  i  k   n / 2 ;

(2)

e(i) s2 j e( k )  e( k ) s2 j e(i)  xi 1e( k ) với 1  j  i  k   n / 2 ;

(3)

s2i 1e( k )  e( k ) s2i 1  e( k ) với 0  i  k   n / 2 ;

(4)


e( k ) si  si e( k ) với 2k  i  n ;

(5)

s(2i 1) s2i e( k )  s(2i 1) s2i e( k ) với 1  i  k   n / 2 ;

(6)

e( k ) s2i s(2i 1)  e( k ) s2i s(2i 1) với 1  i  k   n / 2 ;

(7)

e( k 1)  e(1) s2,2k 1s1,2k e( k ) với 1  k   n / 2  1.

Liên quan đến vành của nhóm RSn như là vành con của Dn(N) sinh bởi các
chuyển vị {si = (i, i+1) với 1  i  n }.
Theo Brown (xem mục 3, [3]) đại số Brauer Dn(N) có sự phân tích thành
tổng trực tiếp Sn - Sn song mô đun
[n /2]

Dn ( N )   [N]S n e( k ) S n .
k 0

Đặt
I(m)   [N]S n e( k ) S n ,
k m

thì I(m) là iđean hai phía trong Dn  N  với mỗi m   n / 2 .
1.3.2. Môđun Vk* và Vk
Trong mục này chúng tôi nhắc lại những môđun cụ thể của các đại số

Brauer. Dn(N) có một sự phân tích vào tổng trực tiếp của các không gian véc
tơ
[n /2]

Dn ( N )   ( [N ]S n e( k ) S n  I (k  1)) / I (k  1)).
k 0

Sử dụng lý luận tương tự như trong mục 1 của [10], mỗi môđun thương

( [N ]Sne( k ) j  I (k  1)) / I (k  1)) là Dn(N)-môđun trái với một cơ sở được

10


cho bởi các biểu đồ cơ sở của

[N ]Sne( k ) j , trong đó  j  Sn là một biểu đồ

sao cho e( k ) j là biểu đồ trong Dn(N) mà không có giao điểm nào giữa hai
đoạn dọc bất kỳ. Trong trường hợp cụ thể

I (k ) / I (k  1) 

 ( [N ]Sne( k ) j  I (k  1)) / I (k  1)).

jP ( n ,k )

(1.3.1)

Trong đó P(n, k ) là tập hợp tất cả các khả năng của  j . Như là phép nhân từ

bên phải bởi  j giao hoán tác động của Dn(N) hạng tử phía bên phải là một
đẳng cấu với môđun

Vk*  ( [N ]Sne( k ) j  I (k  1)) / I (k  1)).

(1.3.2)

Một cách tổ hợp, Vk* được mở rộng bởi các biểu đồ cơ sở, trong đó mỗi biểu
đồ cơ sở có chính xác k đoạn thẳng ở hàng dưới mà đoạn thẳng thứ i có được
bằng cách nối các đỉnh 2i-1 và 2i với nhau. Quan sát rằng Vk* là một
môđun hữu hạn sinh, tự do với

[N ]

[N ] -hạng n!/ 2k k ! . Một cách tương tự, một

Dn(N)-môđun phải được định nghĩa

Vk  ( [N ]e( k ) Sn  I (k  1)) / I (k  1),

(1.3.3)

trong đó biểu đồ cơ sở trong Vk thu được từ biểu đồ cơ sở trong Vk* thông
qua một đối đẳng cấu * của Dn(N). Chú ý rằng * là một đối đẳng cấu được
xác định bởi việc quay biểu đồ d  Vk* xung quanh trục nằm ngang của nó
xuống phía dưới.
Để biết thêm nhiều chi tiết hơn cho việc thiết lập Vk* ta có thể tìm đọc
mục 1 trong [10].
1.3.3. Bổ đề (Wenzl [10], Lemma 1.1 (d)). Đại số Dn(N) được biểu diễn đầy
đủ trên không gian véc tơ


[n /2]

n /2]

*
Vk ( và trên cả  VK ).

k 0

k 0

1.3.4. Hàm độ dài của đại số Brauer Dn(N)
Tổng quát hoá khái niệm độ dài của các phần tử trong các nhóm phản xạ,
Wenzl [10] định nghĩa một hàm độ dài cho biểu đồ của Dn(N) như sau:

11


Cho mỗi biểu đồ d  Dn ( N ) với 2k đoạn thẳng ngang, định nghĩa độ dài
l(d) được xác định như sau:





l (d )  min l (1 )  l (2 ) 1e( k )2  d ; 1 , 2  S n .

Chúng ta sẽ gọi biểu đồ của d có dạng e( k ) trong đó l ( )  l (d ) và   S n
là các biểu đồ cơ sở của môđun Vk* .

1.3.5. Chú ý
1. Nhắc lại rằng độ dài của một hoán vị   S n được định nghĩa bởi l ( )





bằng lực lượng của tập hợp (i, j ) ( j )  (i) 1  i  j  n . Trong đó nhóm
đối xứng hoạt động trên tập hợp {1, 2,…., n} từ phía bên phải.
2. Với biểu đồ d cho trước, ta có thể tìm được nhiều hơn một hoán vị 
sao cho e( k )  d và l ( )  l (d ). Ví dụ s2 j 1s2 j e( k )  s2 j 1s2 j e( k ) với

2 j  1  k. Điều này có nghĩa rằng một sự diễn tả như vậy của d không là
duy nhất với mỗi   S n . Để thuận lợi cho việc sử dụng sau này, nếu
si  (i, i  1) là 1 chuyển vị của nhóm đối xứng Sn với i, j=1, 2,…, k ta đặt:
 si si 1... s j nếu i  j,

si,j = 

 si si 1... s j nếu i  j.

Một hoán vị   S n có thể được viết duy nhất dưới dạng   tn 1tn 2 ...t1 trong
đó tj = 1 hoặc t j  si j , j với 1  i j  j và 1  j  n điều này có thể được hiểu
như sau: Cho trước một hoán vị   S n tồn tại duy nhất tn-1 sao cho
(n)tn 1  (n). Dẫn đến  /  (n)tn11  n, và chúng ta có thể xem xét  /

như là một phần tử của S n 1 . Lặp lại qúa trình này sẽ đưa đến một khẳng
định tổng quát. Đặt

Bk*  {tn1tn2 ...t2 k t2 k 2t2 k 4 ...t2 } .


(1.3.4)

bởi định nghĩa của t j được đưa ra ở trên, số các khả năng của t j là j  1.
Một tính toán trực tiếp chứng tỏ rằng Bk* có

12

n!
phần tử. Trong thực tế, số
2k .k !


các phần tử trong Bk* bằng số lượng các biểu đồ d* trong Dn(N) trong đó d*
có 2k đoạn thẳng ngang trên mỗi dòng và có một trong các dòng như là một
dòng của e( k ) .
3. Từ bây giờ trở đi ta coi một hoán vị của một nhóm đối xứng được xem
như là một biểu đồ không có bất kỳ đoạn thẳng ngang nào, và tích 1.2
trong S n coi như là sự kết nối của hai biểu đồ trong Dn(N).
4. Cho trước một biểu đồ cơ sở d *  e( k ) với l ( )  l (d * ) không dẫn đến
rằng   Bk* , nhưng tồn tại  /  Bk* sao cho d *   / e( k ) . Biểu đồ  /  Bk* sẽ
được chỉ ra ở Bổ đề 1.3.7 là tồn tại và duy nhất cho mỗi phần tử cơ sở của
môđun Vk* . Wenzl thậm chí còn dành được l ( )  l (d * )  l ( / ) , trong đó
l ( / ) là số lượng các thành phần của sự biểu diễn của  / trong Bk* .

1.3.6. Ví dụ
Ví dụ này nhằm minh hoạ nhận xét 2, chúng ta chọn j  1, k  2 . Một biểu
đồ cơ sở d* trong V2* được đưa ra như sau:

d*=

2=












































s1s2











































=

13


e(2)













































s3s2

=
















e(2)

Từ sự phân tích ở trên, ta có biểu đồ d* có 2 sự biểu diễn phân biệt

d *  s1s2e(2)  s3s2e(2) thỏa mãn l (d * )  l ( s1s2 )  l ( s3s2 ) =2.
Dựa vào định nghĩa của B2* ta nhận thấy rằng, tích s1s2 thuộc B2* nhưng s3s2
thì không. Tổng quát, cho trước biểu đồ cơ sở d* trong Vk* thì luôn tồn tại
một hoán vị   Bk* sao cho d *  e( k ) và l ()  l (d * ).
1.3.7. Bổ đề (Wenzl [10], Bổ đề 1.2)



1. Mô đun Vk* có một cơ sở  1  ve( k ) ,   Bk*



với l (e( k ) )  l () .

Trong đó l ( ) là số lượng các thành phần trong sự biểu diễn của  trong
(1.3.4) và v1  (e( k )  I (k  1)) / I (k  1) Vk* .
2. Cho bất kỳ biểu đồ cơ sở d* của Vk* , chúng ta có l (si d * )  l (d * )  1 .
Đẳng thức của độ dài xảy ra nếu si d *  d *.






Với k   n / 2 , đặt Bk   1   Bk* .

(1.3.5)

Phát biểu tiếp theo tương tự như Bổ đề 1.3.7
1.3.8. Bổ đề



1. Mô đun Vk có một cơ sở  1  ve( k )  ,   Bk



với l (e( k ) )  l ( ) .

Trong đó l ( ) là số lượng các thành phần trong sự biểu diễn của  trong
(1.3.3) và v1  (e( k )  I (k  1)) / I (k  1) VK .
2. Cho bất kỳ biểu đồ cơ sở d của Vn( k ) , chúng ta có l (dsi )  l (d )  1 .
Đẳng thức của độ dài xảy ra nếu si d *  d *.

14


CHƢƠNG 2: ĐẠI SỐ q- BRAUER
Trong chương này chúng tôi sẽ tóm tắt một số kiến thức cơ bản và cần
thiết về đại số q-Brauer. Sau đó chúng tôi giới thiệu một số phiên bản cho đại
số này mà cần thiết cho những nghiên cứu khác nhau.

2.1.Các định nghĩa

2.1.1. Định nghĩa
1 qN
Cố định N  \ 0 và cho [ N ] 
  q, q 1  . Đại số q-Brauer
1 q

Brn(N) được định nghĩa trên vành

 q, q 1  qua các phần tử sinh

g1 , g 2 ,..., g n 1 và e và các quan hệ sau:

 H  Các phần tử g , g ,..., g
/

1

2

n 1

thỏa mãn các quan hệ của đại số Hecke

Hn(q);

E 

e2   N  e;

E 


eg i  g i e với i  2, eg1  g1e  qe, eg 2e  q N e và eg 21e  q 1e;

E 

e(2)  g2 g3 g11g21e(2)  e(2) g2 g3 g11g21 , trong đó e(2)  e( g2 g3 g11g21 )e.

/
1

/
2

/
3

Định nghĩa thứ hai của đại số q-Brauer như sau:
2.1.2. Định nghĩa. Đại số q-Brauer, kí hiệu Brn(r,q), được định nghĩa trên
vành

 q 1 , r 1 ,(r  1) / (q  1)  bởi các phần tử sinh g1 , g 2 ,..., g n 1 và e và các

quan hệ sau :

H 

Các phần tử g1 , g 2 ,..., g n 1 thỏa mãn các quan hệ của đại số Hecke
Hn(q) ;

r 1

e;
q 1

 E1 

e2 

 E2 

eg i  g i e với i  2 , eg1  g1e  qe, eg 2e  re và eg 21e  q 1e;

 E3  e(2)  g2 g3 g11g21e(2)  e(2) g2 g3 g11g21 , trong đó
2.1.3. Chú ý

15

e(2)  e( g2 g3 g11g21 )e.


1. Một đại số có mối quan hệ gần gũi với đại số q-Brauer đã xuất hiện gần
đây trong công việc của Molev. Năm 2003, Movel [7] đã đưa ra một q-tương
tự mới của đại số Brauer bởi sự xét đến của nhóm con trung tâm bởi tác động
tự nhiên trên không gian lũy thừa tenxơ của sự biến thể không tiêu chuẩn của
đại số Brauer tổng quát U ( oN ) . Ông ấy đã định nghĩa các mối quan hệ cho đại
số này và đã xây dựng các biểu diễn của chúng trên các không gian tenxơ.
Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát thì những biểu diễn này là không đầy
đủ và có rất ít thông tin được biết về những đại số trừu tượng này ngoài
những biểu diễn của chúng. Đại số q-Brauer, sau đó được giới thiệu bởi
Wenzl trong [10] thông qua các phần tử sinh và các mối quan hệ. Trong
trường hợp chi tiết, trên trường


r, q Wenzl đã chứng minh được đại số

q-Brauer là nửa đơn và đẳng cấu với đại số Brauer. Ta có thể kiểm chứng
được rằng các biểu diễn của các đại số của Molev trong [7] cũng là các biểu
diễn của đại số q- Brauer (mục 2.2, [11]). Nhiều hơn nữa các quan hệ được
chỉ ra trong đại số của Molev cũng được thỏa mãn bởi các phần tử sinh của
đại số q-Brauer. Tuy nhiên, đại số trừu tượng được định nghĩa bởi Molev có
thể lớn hơn đại số q-Brauer ([8]).
2. Một cách rõ ràng, bởi thiết lập r  q N phiên bản Brn(r,q) trùng với
Brn(N). Trên các vành mà cho phép lấy giới hạn khi q  1, như là trường số
thực hoặc trường số phức, đại số q-Brauer (đồng thời 2 phiên bản khi q  1)
trùng với đại số Brauer cổ điển Dn(N). Trong trường hợp này phần tử g i trở
thành phần tử phản xạ đơn si và phần tử e(k) có thể được xác định tương ứng
với biểu đồ e(k). Tuy nhiên, trên trường bất kỳ với đặc số nguyên tố mà giới
hạn q  1 không tồn tại, định nghĩa của Wenzl dường như gặp khó khăn về
mặt kỹ thuật để có thể làm việc. Cụ thể, trên trường có đặc số nguyên tố
chúng ta không thể đưa ra một sự so sánh giữa đại số q-Brauer và đại số
Brauer cổ điển trong trường hợp q = 1 hoặc q  1. Một cách đầy đủ, nếu hệ
số [N] = 0 và (r-1)/(q-1) = 0 thì chúng ta nhận thấy rằng đối đẳng cấu được

16


định nghĩa bởi Wenzl cho đại số q-Brauer (xem mục 3.1.2, [10]) là không
tồn tại (chứng minh của nhận xét này có trong Bổ đề 3.2.1 (3)). Để thuận lợi
cho việc nghiên cứu một cách chi tiết về đại số q-Brauer chúng tôi giới thiệu
tiếp theo một số phiên bản sửa đổi của đại số này. Như một hệ quả, đại số qBrauer có thể được xem xét trên 1 trường bất kỳ với đặc số p  0 , cũng như
trong trường hợp q  1 hoặc q  1.
2.1.4. Định nghĩa

Cố định N  \ 0 và đặt [ N ]  1  q  ....  q N 1 . Đại số q-Brauer Brn(N)
trên vành

 q 1 ,[N ]1  được định nghĩa bởi cùng các phần tử sinh và các

quan hệ như trong Định nghĩa 2.1.1.
2.1.5. Định nghĩa
Cố định N  \ 0 và cho q và r là các phần tử khả nghịch. Giả thiết
thêm rằng nếu q  1 thì r  q N . Đại số q-Brauer Brn(r,q) trên vành

q 1 , r 1 ,((r  1) / (q  1))1  được định nghĩa bởi cùng các phần tử sinh và
các quan hệ như trong Định nghĩa 2.1.2.
2.1.6. Định nghĩa
Giả sử q và r là các phần tử khả nghịch trên vành

 q 1 , r 1 ,((r  r 1 ) / (q  q 1 ))1  . Nếu q  1 thì giả thiết thêm rằng r = qN
với N  \ 0 . Đại số q-Brauer Brn(r2,q2) trên vành

 q 1 , r 1 ,((r  r 1 ) / (q  q 1 ))1 
là đại số được định nghĩa qua các phần tử sinh g1 , g 2 ,..., g n 1 và e và các mối
quan hệ sau :

 H  Các phần tử g , g ,..., g
//

1

2

n 1


thỏa mãn các quan hệ của đại số Hecke

Hn(q2);

E 
//
1

r  r 1
e 
e;
q  q 1
2

17


E 

eg i  g i e với i > 2, eg1  g1e  q 2e, eg 2e  rqe và eg 21e  (rq) 1 e;

E 

g2 g3 g11g21e(2)  e(2) g2 g3 g11g21 , trong đó e(2)  e( g2 g3 g11g21 )e.

//
2

//

3

2.1.7. Định nghĩa
Cố định N  \ 0 và đặt [ N 2 ]  1  q 2  ....  q 2( N 1) , trong đó q là phần
tử khả nghịch trên vành
Brn(N2) trên vành

 q 1 , r 1 ,((r  r 1 ) / (q  q 1 ))1  . Đại số q-Brauer

q 1 , r 1 ,((r  r 1 ) / (q  q 1 ))1  được định nghĩa bởi các

phần tử sinh g1 , g 2 ,..., g n 1 và e và các quan hệ (H), (E3 ) như trong Định
nghĩa 2.1.6, và

E 

e2   N 2  e;

E 

eg i  g i e với i > 2, eg1  g1e  q 2e, eg 2e  q N 1e và eg 21e  (q) 1 N e.

/
1

/
2

2.1.8. Chú ý
1. Trong đại số q-Brauer, phiên bản Brn(r2,q2) đẳng cấu với phiên bản

Brn(r,q). Trong thực tế, phiên bản Brn(r2,q2) có thể thu được từ Brn(r,q) bởi
sự thay thế các phần tử q, r và e cũ trong Brn(r,q) bởi các phần tử q2, r2 và
(q-1r) e mới tương ứng.
2. Các phiên bản mới không làm thay đổi các tính chất của đại số qBrauer mà được nghiên cứu chi tiết bởi Wenzl. Điều này có nghĩa rằng
chúng ta chỉ cần đưa ra các chứng minh cho các tính chất cho đại số q-Brauer
trên một phiên bản. Các phiên bản khác được chứng minh hoàn toàn tương
tự.
3. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ làm việc với các phiên bản của đại số
q-Brauer được định nghĩa trong 2.1.4, những phiên bản còn lại được sử dụng
để nghiên cứu phục vụ cho các mục đích khác nhau mà đã được đề cập trong
[4].
4. Trong trường hợp q  1 đại số q-Brauer Brn(N) (tương ứng Brn(N2))

18


trùng với lớp đại số cổ điển Dn(N). Và trên một vành mà giới hạn khi q dần
tới 1 tồn tại, đại số q-Brauer Brn(r,q) (tương ứng Brn(r2,q2)) trở lại đại số
Brauer cổ điển. Chú ý rằng, tất cả các định nghĩa trên kéo theo các đẳng thức
sau:

eg11  g11e  q 1e hoặc eg11  g11e  q 2e .
Đặt g


l ,m

(2.1.1)

 gl1 gl11... g m1 nếu l  m;

 gl gl 1... g m nếu l  m;

=  g g ... g nếu l  m, và gl ,m =  1 1
1
m
 l l 1
 gl gl 1... g m nếu l  m,

với 1  l , m  n.
2.1.9. Định nghĩa
Cho k là số nguyên, 1  k   n / 2. Phần tử e(k) của đại số q-Brauer được
định nghĩa quy nạp bởi e(1) = e và bởi


e( k 1)  eg2,2
k 1 g1,2 k e( k ) .

Chú ý rằng, trong luận văn này chúng tôi lạm dụng việc kí hiệu e(k) cho
đồng thời một biểu đồ cụ thể trong đại số Brauer Dn(N) và 1 phần tử trừu
tượng trong đại số q-Brauer Brn(r,q). Cho trước một biểu đồ d, trực giác hình
học cho ta thấy rằng các biểu đồ e(k) và ( d ) giao hoán trên đại số Brauer.
Tương tự, tính chất này cũng có trong đại số q-Brauer.
2.1.10. Bổ đề
Cho k là số nguyên, 1  k   n / 2. Nếu g  H 2 k 1,n  q 

 

(tương ứng H 2 k 1,n q 2 ), thì e( k ) g  g e( k ) .
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng tỏ rằng e( k ) gi  gi e( k ) với 2k  1  i  n  1. Điều này sẽ

được chứng minh bằng phép quy nạp trên k. Thật vậy, với k = 1 ta có
egi = gie với 3  i  n  1 dựa trên điều kiện (E2). Giả sử
e( k 1) gi  gi e( k 1) với 2k  1  i  n-1 ,

nên với 2k  1  i  n-1 ta có

19


Đ .n 2.1.9



 (e g 2,2
k 1 g1,2 k  2 e ( k 1) ) g i

e( k ) gi
 H2 



 gi e( g 2,2
k 1 g1,2 k  2 ) e ( k 1)

gt quy nap






e( g 2,2
k 1 g1,2 k  2 ) g i e ( k 1)

Đ.n 2.1.9



gi e( k ) .

2.2. Một số tính chất cơ bản
Xuyên suốt mục này, kí hiệu R là vành giao hoán và chứa các vành cơ sở
trong các định nghĩa 2.1.4 – 2.1.7.
Bổ đề tiếp theo đề cập đến sự mở rộng của các tính chất của đại số Brauer
cổ điển lên cấp độ đại số q-Brauer.
2.2.1. Bổ đề (Wenzl [10])
Cho Brn(N) là đại số q-Brauer trên R. Giả thiết thêm rằng [N] và q là các
phần tử khả nghịch trong R. Khi đó các khẳng định sau là đúng.
1. Các phần tử e(k) là các phần tử được định nghĩa tốt.




2. g1,2
l e( k )  g 2l 1,2e( k ) và g1,2l e( k )  g 2l 1,2e( k ) với l  k .

3. g2 j 1 g2 j e( k )  g2 j 1 g2 j e( k ) và g21j 1g21j e( k )  g21j 1g21j e( k ) với 1  j  k.
4. Với mỗi j  k chúng ta có: e( j ) e( k )  e( k ) e( j )   N  e( k ) .
j

5.  N 


j 1

e( k 1)  e( j ) g 2 j ,2 k 1 g 2 j 1,2 k e( k ) với 1  j  k.

6. e( j ) g 2 j e( k )  q N  N 

j 1

e( k ) với 1  j  k.

2.2.2. Bổ đề
Giả sử Brn(N) là đại số q-Brauer trên R. Giả thiết r, q, và (r-1)/(q-1) là
các phần tử khả nghịch trong R. Khi đó các khẳng định sau là đúng.
1. Các phần tử e(k) là các phần tử được định nghĩa tốt.




2. g1,2
l e( k )  g 2l 1,2e( k ) và g1,2l e( k )  g 2l 1,2e( k ) với l  k .

3. g2 j 1 g2 j e( k )  g2 j 1 g2 j e( k ) và g21j 1g21j e( k )  g21j 1g21j e( k ) với 1  j  k.
j

4. Với mỗi j  k chúng ta có: e( j ) e( k )  e( k ) e( j )

20

 r 1 


 e( k ) .
 q 1 


 r 1 
5. 

 q 1 

j 1

e( k 1)  e( j ) g 2 j ,2 k 1 g 2 j 1,2 k e( k ) với 1  j  k.

6. e( j ) g 2 j e( k )

 r 1 
 r

 q 1 

j 1

e( k ) với 1  j  k.

2.2.3. Bổ đề
Chúng ta có:

e( j ) H n (q)e( k )  H 2 j 1,n (q)e( k ) 


H

m k 1

n

(q)e( m) H n (q), trong đó j  k.

Hơn nữa, nếu j1  2k và j2  2k  1, thì ta có.
1. eg 2, j2 g1, j1 e( k ) = e( k 1) g 2k 1, j2 g 2k 1, j1 , nếu j1  2k và j2  2k  1.
k

2. eg 2, j2 g1, j1 = e( k 1) g 2k  2, j1 g 2k 1, j2  q N 1 (q  1) q 2l 2 ( g 2l 1  1) g 2l  2, j2 g 2l 1, j1 e( k ) .
l 1

2. 2.4. Bổ đề
 n /2

Đại số Brn(r,q) được mở rộng bởi

H
k 0

n

(q)e( k ) H n (q) . Trong trường hợp

cụ thể, số chiều của nó lớn nhất bằng số chiều của đại số Brauer.
2.2.5. Định lí
Cho R là trường có đặc số 0. Đại số Brn(r,q) trên trường R là nửa đơn

nếu r ≠ qk với |k| ≤ n và nếu e(q) > n (với e(q) được định nghĩa như
trong1.3.2). Trong trường hợp này, đại số q-Brauer có sự phân tích tương tự
vào các vành ma trận đơn như là sự phân tích của đại số Brauer tổng quát,
và vết tr là đối sinh.

2.3 Brn(r,q)-môđun Vk*
2.3.1. Định nghĩa
Tác động của các phần tử sinh của đại số q-Brauer trên mô đun Vk* được
định nghĩa như sau:

21


qvd nếu sjd = d,

gjvd

v nếu l(s d) > l(d),
=  sd
(q-1)v + qvs d nếu l(s d) < l(d),
j

j

d

j

j


q h g3,j v1 nếu g1,j - = 1,
q-1h g j 1, j v1 nếu g1,j = 1,
0 nếu j1 ≠ 2k và j2 ≠ 2k + 1,
N

+

-

2

và eh g


2, j2


1, j1 1

g v=

2

1

1

1

trong đó v1 được định nghĩa như trong bổ đề 1.3.7 và h  H3,n

2.3.2. Bổ đề
Tác động của các phần tử g j với 1  j  n và e trên Vk* như đã giới thiệu
ở trên định nghĩa một biểu diễn của Brn(r,q).

22


CHƢƠNG 3: ĐẠI SỐ VÀ ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐ q-BRAUER
Trong chương này, chúng ta xây dựng một cơ sở cụ thể và cung cấp một
đối đẳng cấu cho đại số q-Brauer. Tiếp đó chúng tôi đưa ra một sự so sánh
giữa cơ sở này và một cơ sở khác được giới thiệu bởi Wenzl. Cơ sở này được
sử dụng để chứng minh cấu trúc cellular cho đại số q-Brauer trên vành giao
hoán R (xem tài liệu [5]). Trong toàn bộ mục này chúng tôi sẽ làm việc trên
phiên bản Brn(r,q) của đại số q-Brauer được Định nghĩa trong 2.1.5. Tuy
nhiên các phiên bản khác của đại số này vẫn có những kết quả hoàn toàn
tương tự.

3.1. Cơ sở của Đại số q-Brauer
Trong mục này, chúng tôi chỉ ra một cơ sở cho đại số q-Brauer. Cơ sở này
được chỉ số hóa bởi tập hợp của tất cả các biểu đồ của đại số Brauer cổ điển
Dn(N), trong đó tham số N  \ 0.
3.1.1. Xây dựng
Cho biểu đồ d  Dn ( N ) với chính xác 2k đoạn thẳng ngang, biểu đồ d có
thể được phân tích như là một sự kết nối của ba biểu đồ thành phần

 d ,
1

(d )


, d2  như sau:

1. d1 là biểu đồ trong đó hàng trên giống hàng trên của biểu đồ d, hàng
dưới giống một hàng của biểu đồ e(k) và không có giao điểm nào giữa hai
đoạn dọc bất kỳ.
2. Một cách tương tự, d2 là biểu đồ trong đó hàng dưới giống như hàng
dưới của biểu đồ d, hàng còn lại tương tự với một hàng của biểu đồ e(k), và
không có giao điểm nào giữa hai đoạn dọc bất kỳ.
3. Biểu đồ ( d ) được mô tả như sau: Chúng ta đánh số các đỉnh tự do của
các đoạn dọc, trong đó cả hai hàng của d được đánh từ trái qua phải bởi các
số: 2k+1, 2k+2, ..., n. Chúng ta cũng đánh số các đỉnh trên từng hàng của

( d ) từ trái qua phải bởi 1, 2..., 2k+1, 2k+2, ..., n. Giả thiết rằng mỗi đoạn dọc

23


trong d được kết nối bởi đỉnh thứ i của hàng trên với đỉnh thứ j của hàng
dưới với 2k  1  i, j  n. Định nghĩa ( d ) là một biểu đồ trong đó có 2k đoạn
thẳng dọc đầu tiên của nó được tạo thành bởi viêc nối các đỉnh thứ m trong
mỗi hàng với nhau ( 1  m  2k ) và các đoạn dọc còn lại được xây dựng được
bởi việc giữa lại các đoạn thẳng dọc (i, j) của biểu đồ d.

3.1.2. Ví dụ 1. Với n  7, k  2 cho biểu đồ



























d=


Biểu đồ d được biểu diễn qua các biểu đồ sau:























































































d1

ω(d)

d2

Chúng ta có d  ( N )2 .d1( d ) d2 .
Chú ý rằng biểu đồ ( d ) có thể coi như là hoán vị của nhóm đối xứng
S2k+1,n. Bởi sự diễn tả ở trên là duy nhất đối với mỗi biểu đồ d, bộ ba

 d ,
1


(d )

, d2  được xác định duy nhất. Từ Bổ đề 1.3.7 và 1.3.8, ta thấy tồn tại

duy nhất các hoán vị 1  Bk và 2  Bk sao cho d1  1e( k ) và d2  e( k )2

24


với l (d1 )  l (1 ) và l (d 2 )  l (2 ). Biểu đồ d được biểu diễn duy nhất bởi bộ
ba 1 , ( d ) , 2  với 1  Bk , 2  Bk và ( d ) S2k 1,n sao cho

d  N  k1e( k )( d )e( k )2 và l (d )  l (1 )  l (( d ) )  l (2 ) .
Chúng ta gọi biểu diễn duy nhất như vậy của d là một sự diễn tả thu gọn của
d và viết 1 , ( d ) , 2  .
3.1.3. Ví dụ 2. Ví dụ trên kéo theo d1  1e(2) với 1  s1,4 s2  B2 , d2  e(2)2
với 2  s4,1s5,2 s6,4  B2 và ( d )  s5 s6 . Chúng ta thu được

d  N 2 (1e(2) )(s5 s6 )(e(2)2 )  1e(2) s5 s62  1s5 s6e(2)2 .
Do đó d có biểu diễn duy nhất là:

1, s5s6 ,2   (s1,4 s2 , s5s6 , s4,1s5,2 s6,4 )
với l (d )  l (1 )  l (s5s 6 )  l (2 )  5  2  11  18 .
3.1.4. Định nghĩa
Cho biểu đồ d của đại số Brauer Dn(N), chúng ta định nghĩa phần tử tương
ứng gd trong đại số q-Brauer Brn(r,q) như sau: Nếu d có chính xác 2k đoạn
thẳng ngang và 1 , ( d ) , 2  là một sự diễn tả thu gọn của d, thì định nghĩa

gd : g1 e( k ) g( d ) g2 . Trong trường hợp d không có các đoạn thẳng ngang, thì

d xem như là một hoán vị ( d ) của nhóm đối xứng Sn. Trong trường hợp này
ta định nghĩa gd  g( d ) .
3.1.5. Định lí
Đại số q-Brauer Brn(r,q) trên vành R có cơ sở  g d d  Dn ( N ) được chỉ
số hoá bởi các biểu đồ cơ sở của đại số Brauer.
Chứng minh. Biểu đồ d của đại số Brauer với chính xác 2k đoạn thẳng

ngang có một sự diễn tả thu gọn duy nhất 1 , ( d ) , 2  . Bởi sự duy nhất của
diễn tả thu gọn của biểu đồ d trong D(N) dẫn đến các phần tử gd trong đại số
q-Brauer Brn(r,q) được định nghĩa tốt. Quan sát rằng, các phần tử gd này

25