LÝ THUYẾT TOÁN 10 HKII (2012 - 2013)
A. PHẦN ĐẠI SỐ
I. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
Điều kiện
Kết quả tập nghiệm

b
a>0
S =  −∞; − 
a

 b

a<0
S =  − ; +∞ 
 a

b≥0
S=∅
a=0
b<0
S=R
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập
nghiệm thu được
3. Dấu của nhị thức bậc nhất
f(x) = ax + b (a ≠ 0)

b
a.f(x) < 0

x ∈  −∞; − 
a

 b

a.f(x) > 0
x ∈  − ; +∞ 
 a

4. Bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất 1 ẩn
a. Bất phương trình tích
• Dạng: P ( x ) .Q ( x ) > 0 (1) (trong đó P ( x ) , Q ( x ) là những nhị thức bậc nhất)
• Cách giải: Lập bảng xét dấu, từ đó suy ra tập nghiệm
b. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
P ( x)
• Dạng:
>0
(2) (trong đó P ( x ) , Q ( x ) là những nhị thức bậc nhất)
Q ( x)
•

Cách giải: Lập bảng xét dấu rồi suy ra tập nghiệm. Chú ý không nên quy đồng và khử mẫu
k

Chú ý: Khi xét dấu các biểu thức có dạng  f ( x )  (trong đó f ( x ) là một nhị thức bậc nhất, k ∈ N * )
- Khi k chẵn, tất cả các dấu là +
- Khi k lẻ, xét dấu theo đúng quy tắc phải cùng, trái khác
c. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
• Ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ
  g( x ) < 0

  f ( x ) coù nghóa

 g( x ) > 0
• Dạng 1: f ( x ) < g( x ) ⇔ 
Dạng 2: f ( x ) > g( x ) ⇔   g( x ) ≥ 0

− g( x ) < f ( x ) < g( x )
   f ( x ) < − g( x )
   f ( x ) > g( x )

•

•

A < B ⇔ −B < A < B ;

Chú ý: Với B > 0 ta có:

 A < −B
A >B⇔
A > B

II. Bất phương trình bậc hai
1. Dấu của tam thức bậc hai

∆<0
∆=0
∆>0

f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)

a.f(x) > 0, ∀x ∈ R
 b
a.f(x) > 0, ∀x ∈ R \ − 
 2a 
a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞)
a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2)
1


a > 0
ax 2 + bx + c > 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0

Nhận xét:

a < 0
ax 2 + bx + c < 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax 2 + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0)
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai
3. Phương trình – bất phương trình quy về bậc hai
a. Phương trình – bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc
tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ
 f ( x) ≥ 0
C1  g( x ) ≥ 0
C2  
f ( x ) = g( x )


Dạng 1:
f ( x ) = g( x ) ⇔   f ( x ) = g( x ) ⇔  

f
 ( x) < 0

  f ( x ) = − g( x )   f ( x ) = − g( x )

 f ( x ) = g( x )
Dạng 2:
f ( x ) = g( x ) ⇔ 
 f ( x ) = − g( x )
 g( x ) > 0
Dạng 3:
f ( x ) < g( x ) ⇔ 
− g( x ) < f ( x ) < g( x )
  g( x ) < 0
  f ( x ) coù nghóa

Dạng 4:
f ( x ) > g( x ) ⇔   g( x ) ≥ 0

   f ( x ) < − g( x )
   f ( x ) > g( x )

Chú ý:

A = A ⇔ A ≥ 0;

A = −A ⇔ A ≤ 0


 A < −B
.
A >B⇔
A > B
A + B = A + B ⇔ AB ≥ 0 ;
A − B = A + B ⇔ AB ≤ 0
b. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc
đặt ẩn phụ để khử dấu căn
 g( x ) ≥ 0
Dạng 1:
f ( x ) = g( x ) ⇔ 
2
 f ( x ) = [ g( x )]

Với B > 0 ta có:

Dạng 2:
Dạng 3:

Dạng 4:

Dạng 5:

Dạng 6:

A < B ⇔ −B < A < B ;

 f ( x ) ≥ 0 (hoaëc g( x ) ≥ 0)

f ( x ) = g( x ) ⇔ 
 f ( x ) = g( x )
t = f ( x ), t ≥ 0
a. f ( x ) + b. f ( x ) + c = 0 ⇔  2
at + bt + c = 0
u = f ( x )
f ( x ) ± g( x ) = h( x ) . Đặt 
; u, v ≥ 0 đưa về hệ u, v
v = g( x )
 f (x) ≥ 0
f ( x ) < g( x ) ⇔  g( x ) > 0
 f ( x ) < [ g( x )]2

  g( x ) < 0
 f ( x) ≥ 0

f ( x ) > g( x ) ⇔   g( x ) ≥ 0

  f ( x ) > [ g( x )]2
 

III. Lượng giác
1. Đơn vị đo góc và cung:
2


Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ
00
300

450
600
900
1200
1350
Radian
0
π
π
π
π
2π
3π
6
4
3
2
3
4
2. Góc lượng giác & cung lượng giác:
a. Định nghĩa:

1500
5π
6

(điểm ngọn)

+


t
O

x

+

A

(tia gốc)

(điểm gốc)

( Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)

AB

b. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
→

2kπ

B

→

C

→


π + 2kπ D

→

kπ

A, C →

π
2
-

B

+

+ 2kπ

2

2

= α + k 2π

y

π

π


B,D →

t

x

M

α

O

A

3600
2π

y

y (tia ngọn)

α

1800
π

C

+ 2kπ

+ kπ

−

D

3. Đường tròn lượng giác:
A: điểm gốc
x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
y'Oy : trục sin ( trục tung )
t'At : trục tang
u'Bu : trục cotang

y
B
1

u'

x'

−1
C

x

A

O


t
u

+
1
A

R =1
O

−

−1 D

y'

4. Định nghĩa các giá trị lượng giác:
a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
t
y
Ta định nghĩa:
t
Trục sin

Trục cotang

u'


U

B
M

Q
t
x'

α
O

P

T
α

u
+
x

−1
y'

Trục tang

t'

= OP


sin α

= OQ

tanα

A
−

Trục cosin

cos α

= AT

cot α = BU

x

t'


b. Các tính chất:
Với mọi α ta có :

−1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1

π


tanα xaùc ñònh ∀α ≠

2
cotα xaùc ñònh ∀α ≠ kπ

+ kπ

5. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
y

t

3

- 3

- 3 /3

-1

u'

3 /3

u
π/4

2 /2


5π/6

3

1

π/3

3 /2

3π/4

π

π/2

1

2π/3

x'

B

π/6

3 /3

1/2


+
1/2

- 3 /2 - 2 /2 -1/2

-1

2 /2

3 /2

x

1 A (Ñieåm goác)

O

−

-1/2
-π/6

- 2 /2

- 3 /3

-π/4

- 3 /2


-1

-π/3

-1

π/2
-π

y'

Góc

00
0

Hslg
sin α

0

cos α

1

tan α

0

cot α


kxđ

300

450

600 900

π

π

π

π

6
1
2

4
2
2
2
2
1

3
3

2
1
2

2
1

3

kxđ

1

3
3

0

3
2
3
3
3

0

t'

1200
2π

3
3
2
1
−
2
− 3

−

3
3

- 3

1350
3π
4
2
2
2
−
2
-1
-1

1500
5π
6
1

2
3
2
3
−
3
− 3
−

1800 3600
π
2π
0

0

-1

1

0

0

kxđ

kxđ


6. Giá trị lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

a. Cung đối nhau

: α vaø -α

b. Cung bù nhau

: α vaø π -α

c. Cung phụ nhau
d. Cung hơn kém

π
2

: α vaø

π

: α vaø

π

2
2

(tổng bằng 0)

−α

(Vd:


( tổng bằng π )
( tổng bằng

π
2

)

+α

e. Cung hơn kém π : α vaø π + α

a. Cung đối nhau:
cos(−α ) = cos α
sin(−α )

6

π
6

π

(Vd:

&−
&

&


π

,…)

6

5π
,…)
6

π

,…)
3
π 2π
(Vd:
&
,…)
6
3
π 7π
(Vd:
&
,…)
6
6
b. Cung bù nhau :

6


cos(π − α ) = − cos α

= − sin α

sin bù

cos đối

tan(−α ) = − tan α
cot(−α )

(Vd:

π

= − cot α

sin(π − α ) = sin α
tan(π − α ) = − tan α
cot(π − α ) = − cot α

c. Cung phụ nhau :

d. Cung hơn kém

π

π


cos( − α ) = sin α
2

π

sin( − α )
2

= cos α

Hơn kém

Phụ chéo

π

tan( − α ) = cot α
2

2
sin bằng cos
cos bằng trừ sin

π

= − sin α

tan(π + α ) =

tanα


cot(π + α ) =

cot α

2

cos( + α ) = − sin α
2

π

sin( + α )
2

= cos α

π

tan( + α ) = − cot α
2

π

cot( − α ) = tan α
2
e. Cung hơn kém π :
cos(π + α ) = − cos α
sin(π + α )


π

π

cot( + α )
2

= − tan α

Hơn kém π
tang , cotang

7. Công thức lượng giác:
a. Các hệ thức cơ bản:
cos2α + sin 2 α = 1

tanα . cotα = 1

sinα
cosα
cosα
cotα =
sinα
b. Công thức cộng:
tanα

1 + tan 2α =

=


1 + cot 2α =

cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β
cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α
sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α

5

1
cos2α
1
sin 2 α


tanα +tanβ
1 − tan α .tan β
tanα − tanβ
tan(α − β ) =
1 + tan α .tan β
tan(α +β ) =

c. Công thức nhân đôi:
cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1

= 1 − 2sin 2 α = cos 4 α − sin 4 α
sin 2α = 2sin α .cos α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan 2 α

d.

cos 2 α =

1 + cos 2α
2

sin 2 α =

1 − cos 2α
2

sin α cos α =

Công thức nhân ba:
cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α

cos 3 α =

cos 3α + 3 cos α
4

sin 3 α =

3 sin α − sin 3α
4

e. Công thức hạ bậc:
cos 2 α =


1 + cos 2α
1 − cos 2α
; sin 2 α =
;
2
2

f. Công thức tính sin α , cos α , tan α theo t = tan

sin α =

α
2

2t
1− t2
2t
;
cos
α
=
; tgα =
2
2
1+ t
1+ t
1+ t2

g. Công thức biến đổi tích thành tổng :


1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
cosα .cos β =

h. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos α + cos β = 2 cos

α+β

.cos

α −β

2
2
α+β
α −β
cos α − cos β = −2sin
.sin
2
2

α+β
α −β
sin α + sin β = 2sin
.cos
2
2
α+β
α−β
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
sin(α + β )
tgα + tg β =
cos α cos β
sin(α − β )
tgα − tg β =
cosα cos β

6

1
sin 2α
2

tg 2α =

1 − cos 2α
1 + cos 2α



B. PHẦN HÌNH HỌC
I. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin
a2 = b2 + c 2 − 2bc.cos A ;
2. Định lí sin

b2 = c 2 + a2 − 2ca.cos B ;

c 2 = a2 + b 2 − 2ab.cos C

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến

2(b2 + c2 ) − a 2
;
4
4. Diện tích tam giác

ma2 =

mb2 =

2(a 2 + c2 ) − b2
;
4

mc2 =

2(a 2 + b2 ) − c2
4

1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
= bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
abc
=
4R

= pr

S=

= p( p − a)( p − b)( p − c) (công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao.
A
• BC 2 = AB 2 + AC 2 (định lí Pi–ta–go)
• AB 2 = BC .BH ,
• AH 2 = BH .CH ,

AC 2 = BC.CH
1
1
1
=
+
AH 2 AB 2 AC 2

B

H

C

• AH .BC = AB. AC
• b = a.sin B = a.cos C = c tan B = c cot C ; c = a.sin C = a.cos B = b tan C = b cot C
Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

T
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
B
• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
A
R
PM/(O) = MA.MB = MC .MD = MO 2 − R 2
O
M
• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
C
PM/(O) = MT 2 = MO 2 − R 2
D
II. Phương trình đường thẳng
1. Phương trình tham số – Phương trình tổng quát – Phương trình chính tắc
Dạng
Hình
Phương trình tham số
Phương trình tổng quát
 qua M ( x0 ; y0 )
 qua M ( x0 ; y0 )
M N
d:
d :
Qua 2 điểm M, N
u = MN
u = MN ⇒ n


Cạnh AB tam

giác

B

Trung tuyến AM

M

B
Đường cao AH

H

B

C

 qua A( x0 ; y0 )
AM : 
u = AM

 qua A( x0 ; y0 )
AM : 
u = AM ⇒ n

 qua A( x0 ; y0 )
AH : 
 n = BC ⇒ u

 qua A( x0 ; y0 )

AH : 
n = BC

∆

∆

I

B

 qua A( x0 ; y0 )
AB : 
u = AB ⇒ n

C

A
Đường trung
trực ∆

C

 qua A( x0 ; y0 )
AB : 
u = AB

C




 x B + xc y B + y c 
 xB + xc y B + yc 
 qua I  2 ; 2 
 qua I  2 ; 2 
∆:

 ∆:


 n = BC ⇒ u
n = BC


d : y − y0 = k ( x − x0 )

Có hệ số góc k

Song song với đt

M

d
d’

Vuông góc với đt

ud = ud '

nd = nd '


ud = nd '

nd = ud '

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
d 1 : a1 x + b1 y + c1 = 0, (a1 ≠ 0; b1 ≠ 0)
Cho hai đường thẳng:
và hệ
d 2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0, (a 2 ≠ 0; b2 ≠ 0)
Vị trí tương đối

a1 x + b1 y = −c1
(*)

 a 2 x + b 2 y = −c 2
Tỉ số
Số nghiệm của hệ (*)
a1 b1
≠
Có nghiệm duy nhất
a2 b2

Hình ảnh

Cắt nhau

d1
d2


Song song

d1
d2

Cắt nhau

d2
3. Tính góc giữa hai đường thẳng
Hình ảnh
Góc giữa hai đường thẳng
d 1 : a1 x + b1 y + c1 = 0
và d 2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0
d1
d2
Đặc biệt

a1 b1 c1
=
≠
a 2 b2 c 2

Vô nghiệm

a1 b1 c1
=
=
a 2 b2 c 2

Vô số nghiệm


Công thức
a1b1 + a 2 b2
cos(d 1 , d 2 ) =
a12 + b12 a 22 + b22



 x = x0 + a1t
 d1 : 
 y = y0 + b1t
| a1a2 + b1b2 |

⇔ cos ( d1 , d 2 ) =

,
2
a1 + b12 . a22 + b22
d :  x = x0 + a2t

 2  y = y, + b t

0
2

4. Khoảng cách
Yếu tố đã có
A( x A ; y A ) và B( x B ; y B )
Khoảng cách giữa 2 điểm


d1 : y = k1 x + m1
k −k
⇒ tan ( d1 , d 2 ) = 1 2

d
:
y
=
k
x
+
m
1
+ k1k 2
 2
2
2

Công thức
AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2

Điểm A( x 0 ; y 0 )
và ∆ : ax + by + c = 0

Khoảng cách từ một điểm
đến đường thẳng

d ( A; ∆ ) =

ax 0 + by 0 + c

a2 + b2

Nhận xét:
Để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta phải đưa đường thẳng về phương trình tổng quát
- M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ ( axM + by M + c )( axN + by N + c ) > 0
-

M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ ( axM + by M + c )( axN + by N + c ) < 0

Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 cắt nhau với: ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 và ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 thì pt 2 đường
a x + b1 y + c1
a x + b2 y + c2
phân giác d1 và d 2 của góc tạo bởi ∆1 và ∆ 2 là: 1
=± 2
2
2
a1 + b1
a22 + b22
Dấu hiệu
Phân giác góc nhọn
Phân giác góc tù
a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2
a1 x + b1 y + c1
a x + b2 y + c2
=
=− 2
a1a2 + b1b2 > 0
2
2
2

2
2
2
a1 + b1
a2 + b2
a1 + b1
a22 + b22
a1a2 + b1b2 < 0

a1 x + b1 y + c1
2
1

2
1

a +b

=−

a2 x + b2 y + c2
2
2

2
2

a1 x + b1 y + c1
2
1


a +b

2
1

=

a2 x + b2 y + c2

a +b

a22 + b22

III. Phương trình đường tròn
1. Phương trình chính tắc và phương trình tổng quát
 I ( a; b )
2
2
Phương trình đường tròn có 
là: ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2
(1)
R
Phương trình: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) và bán kính

R = a 2 + b2 − c khi và chỉ khi a 2 + b2 − c > 0
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
2
2
Cho đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 . Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) :


( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = 0
Cho đường tròn ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = 0 . Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) :
2

2

x0 x + y0 y − a ( x + x0 ) − b ( y + y0 ) + c = 0
2

2

Cho đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 . Đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 đi qua A ( x0 ; y0 ) ∉ ( C )

ax0 + by0 + c = 0
là tiếp tuyến của ( C ) phải thỏa mãn hệ phương trình: 
d ( I ; ∆ ) = R
3. Phương tích
Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 và M ( x0 ; y0 ) . Xét P = x0 2 + y0 2 − 2ax0 − 2by0 + c
P > 0 : M nằm ngoài đường tròn
P < 0 : M nằm trong đường tròn
P = 0 : M nằm trên đường tròn
4. Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn
Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 và đường thẳng d : Ax + By + C = 0 .

9


 x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
Xét hệ phương trình: 

(I )
 Ax + By + C = 0
Ta có thể giải hệ (I) bằng phương pháp thế.
vô nghiệm: đường thẳng d không cắt đường tròn ( C )
có 1 nghiệm ( x; y ) : đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C )
có 2 nghiệm ( x; y ) : đường thẳng d cắt đường tròn ( C ) tại 2 điểm phân biệt
5. Sự tương giao giữa đường tròn và đường tròn
Cho đường tròn ( C1 ) có ( I1; R1 ) ; đường tròn ( C2 ) có ( I 2 ; R2 ) . Gọi d = I1 I 2 . Ta có:

R1 − R2 < d < R1 + R2 → ( C1 ) ; ( C2 ) cắt nhau tại 2 điểm
d = R1 + R2 → ( C1 ) ; ( C2 ) tiếp xúc ngoài

d = R1 − R2 → ( C1 ) ; ( C2 ) tiếp xúc trong
d > R1 + R2 → ( C1 ) ; ( C2 ) ngoài nhau

d < R1 − R2 → ( C1 ) ; ( C2 ) chứa nhau

BỘ ĐỀ ÔN THI HKII TOÁN 10 (2012 - 2013)
ĐỀ 1
Bài 1: Giải bpt

b/

2
5
< 2
x − 5 x + 4 x − 7 x + 10
b/ 2 x − 5 ≤ x + 1 .

a/


2

Bài 2: cho phương trình mx2 – 2(m-2)x +m – 3 =0.
a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm.
b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2: x1
+ x2 + x1. x2 ≥ 2.
Bài 3: Cho tam giác ABC.
CMR sinA = sin(B+C).
Bài 4: A(4;-2), B(2;-2), C(1;1).
1/ Viết phương trình tham số của d qua A và
song song BC.
2/ Tính khoảng cách từ A đến BC.

Bài 2: Cho phương trình:
-x2 + 2 (m+1)x + m2 – 7m +10 = 0.
a/ CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt với
mọi m.
b/ Tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 3: cho cota = 1/3.
Tính A =

3
.
sin a − sin a cos a − cos2 a
2

Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A (2;3)
B(4;7), C(-3;6).
1/Viết phương trình đường trung tuyến BK của

tam giác ABC.
2/Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A đến
trung tuyến BK.
3/Tính diện tích tam giác ABK.
4/Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Bài 5: Giải bất phương trình:

3/ Tính góc BAC
4/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Bài 5: CMR

sin 20 0.sin 400.sin 500.sin 70 0 1
=
4
cos100.cos500

ĐỀ 3
Bài 1:

x2 − 4x + 3 ≤ x + 1 .

1. Tìm TXĐ của hàm số: y =

ĐỀ 2

x
x −1


x 2 − x − 12 ≤ x − 1
x+5
3. Giải bất phương trình:
+ x ≥1
x−2

2. Giải bất phương trình:

Bài 1: Giải bất phương trình
a/

x2 + 2x − 3
<0
1 − 2x

x+2
x
+
≤2
x
x+2

Bài 2: Cho tam thức bậc hai: f(x) = –x2 + (m + 2)x
– 4. Tìm các giá trị của tham số m để:
a). Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt .
10


1) Định m để hàm số


b). Tam thức f(x) < 0 với mọi x.
Bài 3: Cho tam giác ABC biết AB=12cm ,
BC=16cm , CA=20cm
a).Tính cosA và tính diện tích tam giác ABC.
b).Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
tam giác ABC.
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 xác định

y=

với mọi x.
2) Giải phương trình 2 ( x 2 + 3 x − 1) ≤ 3 x 2 + 3 x
 x 2 + y2 − x + y = 2

3) Giải hệ phương trình 

 xy + x − y = −1

x 2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0

a) Định tâm và tính bán kính của đường tròn
(C).
b) Qua A(1;0) hãy viết phương trình tiếp tuyến
với đường tròn đã cho và tính góc tạo bởi 2
tiếp tuyến đó.
Bài 5: Chứng minh rằng

4

4π
2

ĐỀ 5
Bài 1: 1). Giải bất phương trình và hệ bất phương
trình sau
 2 x − 3 3x + 1
<

5
a. ( x − 1) + 4 < x 2 − 3x + 5 b.  4
5
3 x + < 8 − x

x
3
−12  3π

< a < 2π 
Bài 2: Cho sin a =

13  2

2

si n x − sin  − x  = 2sin x − 1
2


Bài 6: Cho tam giác ABC

(đặt BC=a, AB=c, AC=b)
a) Biết b=8, c=5, A=600. Tính S, R
b) Chứng minh rằng:

tan A a2 + c 2 − b 2
=
tan B b2 + c 2 − a 2

a. Tính cosa, tana, cota
π

b. Tính cos  − a 
3

ĐỀ 4

Bài 3: Cho tam giác ABC có a = 2 3, b = 2, Cˆ = 30 0 .
a. Tính các cạnh, góc A và diện tích của tam
giác
b. Tính chiều cao ha và trung tuyến ma
Bài 4: Cho A (1, −2 ) và đường thẳng

Bài 1: Giải bất phương trình:
a).

x 2 + 8x − 8
≥ −1
x 2 − 5x + 6

b).


x2 − 3x + 1
>2
x+2

Bài 2: Cho phương trình mx 2 − 4 ( m + 1) x + m + 3 = 0
.
a) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái
dấu.
b) Định m để phương trình có nghiệm này gấp
3 lần nghiệm kia.
Bài 3:

( d ) : 2 x − 3y + 18 = 0
a. Tìm tọa độ hình chiếu của A xuống
đường thẳng (d).
b. Tìm điểm đối xứng của A qua (d).
Bài 5: a).Viết phương trình đường tròn đường kính
AB với A ( −3,2 ) , B ( 7,6 )

1
3

a) Cho cot a = . Tính
A=



3
sin a − sin a cos a − cos2 a


b) Giải và biện luận ( mx + 1) x − 1 = 0
Bài 6: Cho đường cong

2

b) Rút gọn biểu thức:

(Cm ) : x 2 + y 2 − mx − 4 y − m + 2 = 0
a. Chứng tỏ ( Cm ) luôn luôn là đường tròn.
b. Tìm m để ( Cm ) có bán kính nhỏ nhất.

sin3 x + cos3 x
B=
+ sin x cos x
sin x + cos x

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có
A(2;3), B(4;7), C(-3;6)
a) Viết phương trình đường trung tuyến BK
của tam giác ABC.
b) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ
từ A đến trung tuyến BK.
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC. Tìm tâm và bán kính của đường
tròn này.
Bài 5:

\ĐỀ 6
x2 + 1

<0
x 2 + 3 x − 10
13π
5π
11π
5π
Bài 2: 1). Tính cos
, sin , cos
cos
6
12
12
12
3
3
2). Rút gọn A = cos a sin a − sin a cos a
103π
3) Tính cos
, sin 50.sin150...sin 750 sin 850
12

Bài 1: Giải bất phương trình

11


Bài 3: Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, cos A =

3
5


b) Tính giá trị lượng giác của góc 150
c) Tìm nghiệm nguyên thỏa hệ bpt sau
 42 x + 5 > 28 x + 49

 8x + 3
 2 < 2 x + 25

a. Tính a, sinA và diện tích của tam giác ABC
b. Tính đường cao xuất phát từ A
c. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác
Bài 4:
1. Cho ( d1 ) : x − y = 0, ( d2 ) : 2 x + y + 3 = 0
a) Tìm giao điểm A của (d1) và (d2)
b) Viết phương trình đường thẳng qua A và
vuông góc với ( d3 ) : 4 x + 2 y − 1 = 0
2. Viết phương trính đường tròn qua hai điểm
M ( 2,3) , N ( −1,1) và có tâm trên đường thẳng

BÀI 2:
a) Giải bpt :
•

• x2 − 4x + 3 ≤ x + 1

Bài 5: CMR đường thẳng

( ∆ m ) : ( 2m + 1) x − ( m − 2 ) y − 3m − 4 = 0
ĐỀ 7

(−

2

x+2
x
+
≤2
x
x+2
2−x
•
≥2
x +1

 x = 1 + 2t
d1 : 
( t∈ » ) d 2 : mx − y + 5 = 0
 y = −2 − t

luôn qua một điểm cố định với mọi m

π

•

b) Xác định m để pt:mx2-2(m-2)x + m-3 =0 có hai
nghiệm thỏa x1 + x2 + x1 x2 ≥ 2
BÀI 3: a) Chứng tỏ đt d: 3x-4y-17=0 tiếp xúc với
đường tròn (C): x2 + y2 -4x -2y -4 =0 .

b) Tìm m để hai đường thẳng

x − 3y − 11 = 0

3
Bài 1: a)Cho sin α = −
4

( x − 1)(3 − 2 x )
≤0
x2 + 4

song song nhau
BÀI 4: Không dùng máy tính cầm tay tính : sin
3150 , tan4050 , cos7500

< α < 0) .Tính các

giá trị lượng giác còn lại
ĐỀ 9

2 x + y − 3 ≤ 0
y − 3 ≤ 0

b) Xác định miền nghiệm của hệ bpt: 

Bài 2 : a) Xét dấu biểu thức sau: f ( x ) =
b) Giải bpt : •

x2 + 2x − 3

<0
1 − 2x

1. Xét dấu biểu thức

x 2 (2 − 5 x )
x 2 − 5x − 4

f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7).
h(x) = -3x2 + 2x – 7

• 3− x < 4

c) Xác định m để phương trình:
mx2-2(m-2)x + m-3 =0 có hai nghiệm dương
Bài 3: 1) Tính giá trị biểu thức
sin α + cos α
π
P=
vôù i tanα = -2 vaø < α < π
cosα − 2sin α
2
2). Cho tam giác ABC có

(5 -x)(x - 7)
> 0 b) –x2 + 6x - 9 > 0;
x −1
−3 x + 1
c)
≤ −2

2x + 1
3
π
3. a) Cho sinα = ; và < α < π .
5
2

Tính cosα, tanα, cotα.
b) Tính: cos105°; tan15°.
4. Trong mp0xy cho A(1;1); B(7;1); C(4;4)
a) Tìm độ dài các cạnh và các góc của tam giác
ABC.
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
c) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp
tam giác ABC.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A. Xác
định tọa độ điểm M thuộc tiếp tuyến này để tỉ số
giữa tung
độ và hoành độ có trị tuyệt đối là 9.
5. Trong mp0xy cho A(1;1); B(7;1); C(5;5), và dm:
3x-4y + m =0
a) Xác định m để dm cắt canh AB của tam giác
ABC.
b) Biện luận theo m vị trí tương đối của dm và
đường tròn(C) ngoại tiếp tam giác ABC.

quát đường thẳng AB và tính khoảng cách từ C đến
đường thẳng AB
Bài 4: Cho tam giác ABC có độ dài ba
cạchAB=10cm, AC=14cm, BC= 12cm . Tính diện

tích , bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 5: 1).Cho tam thức bậc hai
f ( x ) = (m − 3) x 2 − 10(m − 2) x + 25m − 24
Xác định m để f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ »

2). Rút gọn biểu thức
P = (tan α + cot α )2 − (tan α − cot α )2
ĐỀ 8
π
6

+ 6 cos

1
1
−
3− x 3+ x

2. Giải bpt a)

1
3
A(−4;4), B(1; ),C (− ; −1) . Viết phương trình tổng
4
2

BÀI 1: a) Tính P = 2sin

g(x)=


3π
7π
− tan
2
6

12


Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

c) Khi dm là tiếp tuyến của (C) hãy tìm trên dm
những điểm M để diện tích tam giác MDI là 8 với
D tiếp điểm, I tâm của (C).
ĐỀ 10
1. Giải bất phương trình
a/ x − 3 ≥ −1
c/

a.

b.
x 2 − 3x + 4 ≥ x + 2
c) x 2 + x − 2 ≤ x 2 − 3 x + 2
Bài 4: a) Tính sin(3750).

b/ 5 x − 8 ≤ 11

1

x+2
≥
x + 2 3x − 5

b) Cho sinx=0.6, tính A =
B = cos2 x

2) Giải hệ bất phương trình sau

4 cos240 + cos 480 − cos840 − cos12 0 = 2

(

(m − 5) x 2 − 4mx + m − 2 = 0 . Với giá trị nào của m thì

a) Phương trình vô nghiệm
b) Phương trình có các nghiệm trái dấu
4) Trong tam giác ABC cho a=8, B=60o , C=750
a) Xác định các góc và các cạnh còn lại của
tam giác ABC.
b) Tìm độ dài đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp
tam giác ABC.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
5) Cho đường tròn (C): x2 + y2 +8x -4y + 2 =0.
a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
A(-1;5).
c) Viết phương trình đường thẳng trung
trực của AI (I là tâm của (C)).
6) Cho sina =1/4 với 0

lượng giác của góc 2a.
7) Chứng minh rằng:
a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4;
b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x
8). a) Chứng minh có ít nhất một phương trình có
nghiệm trong hai phương trình sau
x2 - 2ax + 1 - 2b = 0
x2 - 2bx + 1 - 2a = 0
b) Tính
2 π
2 2π
2 3π
2 22π
2 23π
24

24

+ sin

24

+ ... + sin

24

+ sin

)

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC =
6. Tính cosA, đường cao AH, bán kính đường tròn
ngoại tiếp ABC.
Bài 6: Cho A(1;-3) và đường thẳng d: 3x+4y-5=0.
a. Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và
vuông góc với d.
b. Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp
xúc với d.
ĐỀ 12

3) Cho phương trình :

+ sin

tan x − cot x
và
tan x + cot x

c) Chứng minh rằng:

 2x + 3
>1

b)  x − 1
 ( x + 2)(3 − x ) < 0

x −1

5


6 x + 7 < 4 x + 7
a) 
.
 8x + 3 < 2 x + 5
 2

sin

x 2 + 3x + 2
≥0
x +1

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
x2 − 4x + 3
<1− x
3 − 2x
c) x 2 − 4 x + 1 > x 2 − 1

b) x 2 − 3 x + 2 ≥ 3 − x

a.

Bài 2: Cho phương trình
x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 − 3m = 0

a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái
dấu.
b. Tìm m để phương trình có tổng bình phương
các nghiệm bằng 2.
Bài 3: Tìm m để ( m − 1) x 2 + ( m + 1) x + 3m − 2 ≥ 0 vô

nghiệm.
Bài 4: a) Rút gọn: A =

1 + sin 4 x − cos 4 x
1 + cos4 x + sin 4 x

b) Chứng minh:
π
π
96 3 sin

24

48

cos

48

cos

π
24

cos

π
12

cos

π
6

=9

c) Cho phương trình
2 x 2 + 2 x sin α = 2 x + cos2 α . Chứng minh
rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2
với mọi α . Tìm hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào α
Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 6 , b = 2 ,
c = 3 + 1 . Tính các góc A, B, C và đường cao ha

ĐỀ 11
Bài 1: Cho phương trình
x 2 − ( 2m + 3) x + m 2 + 2m + 2 = 0

(1)
a. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
x1 , x2 thỏa x1 = 2 x2
b. Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2
, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
độc lập đối với tham số m.
Bài 2: Tìm m để bất phương trình x 2 + 2 x + m + 1 ≥ 0
có nghiệm.

Bài 6: Cho A ( 0;1) , B ( 2; −1)
a. Viết phương trình đường thẳng AB.
b. Viết phương trình đường tròn đường kính

AB.
13


ĐỀ 13
Bài 1: Giải các bất phương trình và hệ bpt sau:
a).

( x − 1)( − x + 2 ) ≥ 0 . b).
( 2 x − 3)

5x − 9 ≥ 6 .

5

6 x + 7 < 4 x + 7
c) 
 8x + 3 < 2 x + 5
 2

Bài 2: Cho f(x) = x2 - 2(m+2) x + 2m2 + 10m +
12. Tìm m để:
a). Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b). Bất phương trình f(x) ≥ 0 có tập nghiệm R
Bài 3:
cosα + sin α
= 1 + cot α + cot 2 α + cot 3 α
3
a).
sin α

(α ≠ kπ , k ∈ » ) .
b). Rót gän biÓu thøc : A =

tan2α +cot2α
, sau ®ã tÝnh
1+cot 2 2α

gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi α =

π
8

.

Bài 4 : Cho tam giác ABC có A = 600; AB = 5, AC
= 8. Tính diện tích S, đường cao AH và bán kính
đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC.
Bài 5 : Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1;
2), B(2; –3), C(3; 5).
a). Viết phương trình tổng quát của đường cao
kẻ từ A.
b). Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp
xúc với đường thẳng AC.
c). Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc
với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 10.
Bài 6: a) Rút gọn: A=
π
π
sin(− x ) + sin(π − x ) + sin( + x ) + sin( − x )

2

2

b) Chứng minh biểu thức sau đây không phụ
thuộc vào α .
cot 2 2α − cos2 2α sin 2α .cos2α
A=
+
cot 2α
cot 2 2α
Bài 7: Cho tam giác ABC có a = 5 , b = 6 , c = 7 .
Tính:
a. Diện tích S của tam giác.
b. Tính các bán kính R,r.
c. Tính các đường cao ha, hb, hc.

14