Phương pháp
phần tử hữu hạn

NGUYỄN TIẾN DŨNG
Bộ môn Cơ học kết cấu - Đại học Xây dựng Hà nội
Hà nội 06-2009



Mục lục
1

2

Mở
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

đầu
Phương pháp phần tử hữu hạn
Cơ sở ten sơ . . . . . . . . . . .
Chuyển trục toạ độ . . . . . . .
Giải tích véc tơ . . . . . . . . . .
Đại số tuyến tính . . . . . . . .
Cơ sở lý thuyết đàn hồi . . . .
Bài tập . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

Phương trình cơ sở và phương trình biến thiên
2.1 Phương trình cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Thanh chịu kéo nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Vật thể đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Tấm chịu uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Thiết lập phương trình biến thiên từ nguyên lý công khả dĩ
2.2.1 Nguyên lý công khả dĩ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Thanh chịu kéo nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Thanh chịu uốn ngang phẳng . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Vật thể đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Tấm chịu uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Thiết lập phương trình biến thiên từ phương pháp hàm thử

2.3.1 Thanh chịu kéo nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Vật thể đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Tấm chịu uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

1
1
2
5
7
9
9
11

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


13
13
13
14
15
16
18
18
19
19
19
19
19
20
20
21
21
22


ii

Mục lục

3 Hệ thanh
3.1 Hàm chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Thanh chịu xoắn thuần tuý . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dạng ma trận của các bài toán cơ bản . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Thanh chịu kéo nén dọc trục . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Thanh chịu xoắn thuần tuý . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Dàn phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Khung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Thanh hai đầu nút cứng (N-N) . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Thanh đầu trái là khớp, đầu phải là nút cứng (K-N) .
3.4.3 Thanh đầu trái là nút cứng, đầu phải là khớp (N-K)
3.5 Khung không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của hệ kết cấu . . . . . .
3.7 Xác định chuyển vị và nội lực . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi
4.1 Hàm chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Phần tử tam giác ba điểm nút . . .
4.1.2 Phần tử tứ giác bốn điểm nút . . . .
4.1.3 Phần tử hữu hạn bậc cao . . . . . .
4.2 Phần tử cơ sở và hoán chuyển đẳng hướng
4.2.1 Phần tử cơ sở tứ giác . . . . . . . . .
4.2.2 Phần tử cơ sở tam giác . . . . . . . .
4.3 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút . . . . .
4.4 Tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Tấm và vỏ
5.1 Tấm chịu uốn . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Hàm chuyển vị . . . . . . . . . . .
5.1.2 Biến dạng . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút

.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

23
23
23
25
29
30
31
32
35
37
38
39
40
41
42
44

45
45

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

49
49
50
52
53
54
57
58
59
60
62

.
.
.
.


63
64
64
65
66


Mục lục

5.3

5.1.4 Ví dụ phân tích tấm uốn .
Vỏ mỏng . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Phần tử vỏ phẳng . . . . .
5.2.2 Phần tử vỏ cong . . . . .
5.2.3 Phần tử vỏ nội suy . . . .
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . .

Bài
6.1
6.2
6.3
6.4

toán động lực học
Phương trình động lực học . . . .
Dạng ma trận . . . . . . . . . . . .
Dao động tự do không có lực cản .
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . .


5.2

6

iii

Tài liệu tham khảo

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

66
66
68
68
69
71

.
.
.
.

75
75
76
78
79
81




Chương 1
Mở đầu
Chương này giới thiệu một số khái niệm mở đầu, các ký hiệu, quy uớc, cơ sở
toán học và cơ học được sử dụng trong tài liệu.

1.1 Phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn (the Finite Element Method - FEM) là một
phương pháp số để phân tích những phương trình vi phân đạo hàm riêng được
sử dụng để mô tả các bài toán trong cơ học. Quá trình tính theo phương pháp
phần tử hữu hạn thường thường dẫn đến việc giải một hệ phương trình đại số
tuyến tính, được biểu diễn theo ngôn ngữ ma trận, và có thể được tự động hoá
trên máy tính. Để biết thêm về lịch sử, cơ sở lý thuyết và ứng dụng của phương
pháp phần tử hữu hạn, người đọc có thể tham khảo thêm các tài liệu của các
tác giả Zienkiewicz (1971), Bathe (1996), Bernadou (1996), Hughes (2000), Engel
et al. (2002), Chapelle and Bathe (2003) và Wells (2006).
Trong phân tích kết cấu bằng Phương pháp phần tử hữu hạn, vật thể liên
tục được xấp xỉ bằng tổ hợp của các phần tử hữu hạn. Các phần tử này có kích
thước hữu hạn và được liên kết với nhau bằng một số hữu hạn các điểm nút.
Sau khi mối quan hệ ứng suất - biến dạng của các phần tử hữu hạn được thiết
lập và lắp ghép với nhau, trạng thái ứng suất - biến dạng của hệ kết cấu có thể
được xác định.
Các công thức cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn thường được thiết
lập trên nền tảng của các nguyên lý năng lượng hoặc các công thức biến thiên.
Khi thiết lập công thức, có thể chọn trường biến dạng hay trường ứng suất
làm ẩn số chính, và tương ứng với nó phương pháp phần tử hữu hạn mô hình
1



2

Mở đầu

chuyển vị và mô hình ứng suất được sử dụng. Trong thực hành, phương pháp
phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị thường được sử dụng.
Việc phân tích kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình
chuyển vị thường gồm các bước sau:
• Rời rạc hoá kết cấu thành các phần tử hữu hạn;
• Chọn các hàm chuyển vị mô tả chuyển vị của phần tử hữu hạn;
• Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của các phần tử hữu hạn trong hệ
toa độ địa phương;
• Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của các phần tử hữu hạn trong hệ
toạ độ chung;
• Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của hệ kết cấu;
• Thi hành các điều kiện biên;
• Giải hệ phương trình cân bằng để tìm véc tơ chuyển vị nút trong hệ toạ độ
chung;
• Tìm véc tơ chuyển vị nút trong hệ toạ độ địa phương;
• Tính nội lực, biến dạng, ứng suất trong các phần tử.
Độ chính xác của kết quả tính phụ thuộc vào độ mịn của lưới chia, bậc của
các hàm xấp xỉ sử dụng để mô tả các phần tử hữu hạn và độ chính xác của việc
giải hệ phương trình đại số.

1.2 Cơ sở ten sơ
Trong phân tích kết cấu thường gặp các đại lượng véc tơ và ten sơ. Ví dụ chuyển
vị hay ngoại lực tại một điểm là một đại lượng véc tơ, ứng suất hay biến dạng
tại một điểm là một đại lượng ten sơ. Một đại lượng véc tơ hoặc ten sơ có thể
đưọc biểu diễn trong các hệ toạ độ (hay hệ cơ sở) khác nhau. Trong phần lớn nội
dung tài liệu này, hệ toạ độ đề các (Cartesian), trực chuẩn (orthonormal) được

sử dụng. Điều này làm đơn giản hoá các triển khai. Một đại lượng véc tơ và ten
sơ do đó có thể được biểu diễn đầy đủ qua các thành phần của chúng, với các
véc tơ cơ sở có chiều dài bằng đơn vị.


1.2. Cơ sở ten sơ

3
x3
a3
a
e3 (0, 0, 1)
e2 (0, 1, 0)

x2

a2

e1 (1, 0, 0)
a1
x1

Hình 1.1: Hệ cơ sở trực chuẩn.
Trong tài liệu, các đại lượng vô hướng được ký hiệu bằng các ký tự in thường
(l, a, E ...), các đại lượng véc tơ, ten sơ và ma trận được ký hiệu bằng các ký tự
in đậm (u, σ, M, ...).
Một véc tơ a trong không gian thực d chiều R d thường được biểu diễn qua
các thành phần véc tơ ai , i = 1 → d, như sau:





a=


a1
a2
...
ad





.


(1.1)

Nhân vô hướng hai véc tơ a và b có cùng chiều d được định nghĩa là một đại
lượng vô hướng:
d

s = a·b =

∑ ai bi ,

(1.2)

i =1


trong đó (·) ký hiệu phép nhân vô hướng.
Einstein (1916) đã đề xuất ký hiệu phép tổng (Einstein summation) để biểu
diễn rút gọn các phép tính véc tơ và ten sơ dưới dạng chỉ số, xem thêm Hughes
(2000). Để biểu diễn số hạng sau cùng của biểu thức trên, ký hiệu phép tổng
được bỏ qua. Khi các chỉ số của các thừa số trong phép tính trùng nhau (chỉ số
i), phép tổng được thực hiện lặp lại theo chỉ số đó (i = 1 → d). Ví dụ, khi d = 3:
s = ai bi = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .

(1.3)


4

Mở đầu

Chiều dài của một véc tơ được định nghĩa từ kết quả phép nhân vô hướng của
véc tơ với chính nó:
√
√
(1.4)
a = a = a · a = ai ai .
Rd

Tương tự như các véc tơ, một ten sơ bậc hai A trong không gian thực d chiều
thường được biểu diễn qua các thành phần véc tơ Aij , i, j = 1 → d, như sau:





A = Aij = 


A11 A12
A21 A22
...
...
Ad1 Ad2

... A1d
... A2d
... ...
... Add

Véc tơ và ten sơ có thể liên hệ với nhau như sau:





.


(1.5)

a = ai = Ab = Aij b j ,

(1.6)

C = Cik = AB = Aij b jk .


(1.7)

Một ten sơ bậc hai A có chuyển vị đưọc ký hiệu bởi A T và được định nghĩa
bởi:
b · Ac = Ac · b = c · A T b,
(1.8)
Hay ký hiệu dưới dạng chỉ số:

bi ( Aij c j ) = ( Aij c j )bi = c j ( A ji bi ).

(1.9)

AijT = A ji .

(1.10)

Dạng tường minh:
Phép tính sau hay được sử dụng, liên quan tới chuyển vị ten sơ:

( AB) T = BT AT .

(1.11)

Một ten sơ bậc hai có thể nhận được từ phép nhân ten sơ của hai véc tơ:
A = a ⊗ b,

(1.12)

Aij = ai b j .


(1.13)

hay
Vết của một ten sơ bậc hai được định nghĩa là tổng của các số hạng trên
đường chéo chính:
tr ( A) = Aii ,
(1.14)


1.3. Chuyển trục toạ độ

5

Tích vô hướng của hai ten sơ bậc hai có thể định nghĩa bởi:
s = A : B = tr A T B = Aij Bij .

(1.15)

Ten sơ bậc hai đơn vị I đưọc định nghĩa bởi:
a = I · a,

(1.16)

I = δij ei ⊗ e j ,

(1.17)

và có thể xác định bởi:
trong đó δij là Kronecker-delta, δij = 1 khi i = j và δij = 0 khi i = j.

Nhân hữu hướng (nhân véc tơ) giữa hai véc tơ trong không gian R3 được
định nghĩa bởi:


a2 b3 − a3 b2


(1.18)
c = a × b =  a3 b1 − a1 b3  .
a1 b2 − a2 b1

Một ten sơ bậc ba có thể định nghĩa từ phép nhân ten sơ của một ten sơ bậc
hai và một véc tơ. Ten sơ bậc ba hay được sử dụng là ten sơ hoán vị vòng quanh
(permutation) E :
E = Eijk = ei · e j × ek .
(1.19)

Ten sơ này có đặc điểm: khi các chỉ số lặp lại, Eijk = 0; nếu sự hoán vị (i, j, k) là
chẵn (thuận), Eijk = 1; nếu sự hoán vị (i, j, k) là lẻ (nghịch), Eijk = −1. Sử dụng
ten sơ hoán vị vòng quanh, phép nhân có hướng hai véc tơ có thể định nghĩa
bởi:
c = a × b = E : ( a ⊗ b)
(1.20)
Ten sơ bậc bốn thường gặp là ten sơ đàn hồi của vật liệu:

C = Cijkl .

(1.21)

1.3 Chuyển trục toạ độ

Trong tính toán thực hành, ngoài hệ trục toạ độ chung (tổng thể) cho toàn hệ
kết cấu, mỗi phần tử hữu hạn được gắn với một hệ toạ độ riêng (địa phương).
Mối quan hệ giữa các đại lượng trong hệ toạ độ chung và riêng được thực hiện
qua một ma trận chuyển trục toạ độ. Xét hai hệ toạ độ ei và e′j , i = 1 → d. Ma
trận chuyển trục T giữa hai hệ toạ độ được định nghĩa:
Tij = ei · e′j .

(1.22)


6

Mở đầu
x2′
x2

x1
e2′ (0, 1, 0)

e2 (−sinα, cosα, 0)
α
x3
x3′

e1 (cosα, sinα, 0)
x1′
′
e1 (1, 0, 0)

e3 (0, 0, 1)

e3′ (0, 0, 1)

Hình 1.2: Chuyển trục toạ độ.
Trong phạm vi bài toán phẳng, ma trận chuyển trục có dạng:

 
e1 · e1′ e1 · e2′ e1 · e3′
cosα sinα 0


 
T =  e2 · e1′ e2 · e2′ e2 · e3′  =  −sinα cosα 0  .
0
0
1
e3 · e1′ e3 · e2′ e3 · e3′


(1.23)

Chú ý là ma trận T là ma trận trực giao:

T T T = T T T = I,

(1.24)

T T = T −1 .

(1.25)


hay
Một đại lượng véc tơ được biểu diễn trong hai hệ toạ độ ei và e′j qua hai véc tơ
a và a′ có mối quan hệ sau:
a = Ta′ = Tij a′j ,

(1.26)

a′ = T T a = Tji a j .

(1.27)

và
Một đại lượng ten sơ bậc hai được biểu diễn trong hai hệ toạ độ qua hai ten
sơ A và A′ có mối quan hệ sau:
A = TA′ T T = Aij = Tik A′km Tjm ,

(1.28)

A′ = T T AT = Aij′ = Tki Akm Tmj .

(1.29)

và


1.4. Giải tích véc tơ

7

1.4 Giải tích véc tơ

Ký hiệu đạo hàm riêng
u,x =

∂u
,
∂x

(1.30)

u,xx =

∂2 u
,
∂x2

(1.31)

∂4 u
,
∂x4

(1.32)

∂2 u
.
∂x∂y

(1.33)

u,xxxx =

u,xy =

Toán tử Laplace, ký hiệu bởi ∇, được định nghĩa bởi

∇=

∂
.
∂xi

(1.34)

Trong không gian R3 , ∇ được triển khai:



∇=

∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3



(1.35)



.

Một triển khai quan trọng là vi phân của một hàm. Vi phân của một trường
véc tơ a là một đại lượng vô hướng, được ký hiệu bởi ∇ · a:
∂ai
= ai,i .
∂xi

(1.36)

∂a
∂a
∂a1
+ 2 + 3.
∂x1 ∂x2 ∂x3

(1.37)

∇·a =
Trong không gian R3 ,

∇·a =

Vi phân của một trường ten sơ bậc hai là một đại lượng véc tơ:

∇·A =

∂Aij
= Aij,j .
∂x j


(1.38)

Trong không gian R2 ,

∇·A =

∂A11
∂x1
∂A11
∂x1

+
+

∂A12
∂x2
∂A12
∂x2

.

(1.39)


8

Mở đầu

Một triển khai quan trọng khác là gradient của một hàm. Gradient của một

đại lượng vô hướng là một véc tơ:

∇a =

∂a
= a,i .
∂xi

(1.40)

Trong không gian R3 ,




∂a
∂x1
∂a
∂x2
∂a
∂x3


.

(1.41)

∂ai
= ai,j .
∂x j


(1.42)


∇a = 

Gradient của một véc tơ là một đại lượng ten sơ bậc hai:

∇a =
Trong không gian R2 ,

∂a1
∂x1
∂a2
∂x1

∇a =

∂a1
∂x2
∂a2
∂x2

(1.43)

.

Các công thức cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn được xây dựng trên
lý thuyết vi phân (lý thuyết Gauss). Lý thuyết này chuyển đổi một tích phân trên
thể tích về tích phân trên bề mặt. Xét một vật thể có thể tích Ω và biên ∂Ω. Một

điểm trên biên có véc tơ pháp tuyến n. Lý thuyết vi phân chỉ ra rằng, cho một
trường véc tơ a,

Ω

∇ · a dΩ =

Ω

∇ · A dΩ =

∂Ω

a · n dΓ.

(1.44)

An dΓ.

(1.45)

Với một trường ten sơ A,

∂Ω

Công thức tích phân từng phần thường xuyên được sử dụng trong thiết lập
công thức phần tử hữu hạn. Cho một trường véc tơ a và một trường ten sơ B, ta
có:
a · (∇ · B) dΩ = −
∇ a : B dΩ +

a · Bn dΓ.
(1.46)
Ω

Ω

∂Ω

Tương tự, cho một trường vô hướng a và một trường véc tơ b,

Ω

a (∇ · b) dΩ = −

Ω

∇ a · b dΩ +

∂Ω

a ( b · n) dΓ,

(1.47)


1.5. Đại số tuyến tính

9

1.5 Đại số tuyến tính

Các giá trị riếng và véc tơ riêng của một ma trận là các tính chất của nó. Cho ma
trận A và véc tơ b, đại lượng vô hướng λ được gọi là trị riêng của ma trận nếu:

( A − λI ) b = 0,

(1.48)

véc tơ b tưong ứng với λ gọi là véc tơ riêng. Phương trình trên tương đương với
phương trình sau:
det ( A − λI ) = 0,

(1.49)

Ku = f .

(1.50)

Hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn số có thể biểu diễn bởi:

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, K là ma trận độ cứng của hệ kết cấu, f là
véc tơ lực nút. Véc tơ chuyển vị nút tìm đuợc:
u = K −1 f .

(1.51)

1.6 Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng (Navier-Cauchy):

∇ · σ + f = 0,


(1.52)

σij,j + f i = 0.

(1.53)

hay
Phương trình cân bằng trên bề mặt:
σn = t,

(1.54)

σij n j = ti ,

(1.55)

hay
trong đó t là véc tơ lực bề mặt
Liên hệ biến dạng chuyển vị (công thức Cauchy):
ǫ = ∇S u,

(1.56)


10

Mở đầu

hay
ǫij =


1
u + u j,i ,
2 i,j

(1.57)

là một ten sơ bậc hai đối xứng.
Phương trình vật lý (định luật Hooke):
σ = C ǫ,

(1.58)

σij = Cijkl ǫkl ,

(1.59)

Cijkl = µ δik δjl + δil δjk + λδij δkl ,

(1.60)

hay
trong đó C là ten sơ đàn hồi bậc bốn của vật liệu,

trong đó
λ=
và

νE
,

(1 + ν) (1 − 2ν)

(1.61)

E
.
2 (1 + ν )

(1.62)

µ=

E là mô đun Young, ν là hệ số Poisson, λ và µ là các hệ số Lamé.
Trong thực hành, các ten sơ biến dạng ǫ và ứng suất σ thường được viết lại
dưới dạng véc tơ. Do tính chất đối xứng của các ten sơ này, các véc tơ biến dạng
và ứng suất chỉ có 6 số hạng độc lập:


và





ǫ=






ǫ11
ǫ22
ǫ33
2ǫ12
2ǫ23
2ǫ31





 
 
 
 
=
 
 
 
 

ǫ11
ǫ22
ǫ33
γ12
γ23
γ31






σ11
σ22
σ33
σ12
σ23
σ31





σ=







 
 
 
 
=
 
 
 
 


u1,1
u2,2
u3,3
u1,2 + u2,1
u2,3 + u3,2
u3,1 + u1,3







,





(1.63)







.






(1.64)


1.7. Bài tập

11

Phương trình vật lý được viết lại dưới dạng ma trận:
(1.65)

σ = D ǫ,
trong đó ma trận đàn hồi D :






D=





λ + 2µ
λ

λ
λ
λ + 2µ
λ
λ
λ
λ + 2µ
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
µ
0
0

0
0
0
0
µ
0


0
0
0
0
0
µ







.





(1.66)

Trong thực hành, thường gặp các bài toán phẳng: ứng suất phẳng, biến dạng
phẳng và đối xứng trục.

1.7 Bài tập
Bài 1: Lập một sơ đồ tính tấm phẳng tuỳ chọn và phân tích kết cấu đã chọn
bằng một chương trình phần tử hữu hạn thông dụng (Sap2000, Etabs ...). Khảo
sát sự hội tụ của kết quả khi thay đổi lưới chia các phần tử hữu hạn theo thứ tự
sau:

• Chọn một lưới chia mịn nhất có thể, phân tích kết cấu, xác định chuyển
vị tại một điểm tuỳ chọn trên kết cấu và sử dụng làm kết quả để so sánh
ure f ;
• Thay đổi lưới chia, tính chuyển vị tại điểm đã ấn định ui , tính sai số
e = ure f − ui ;
• Vẽ đồ thị liên hệ giữa số lượng phần tử n và sai số e;
• Vẽ đồ thị liên hệ giữa log(n) và log(e);
• Nhận xét kết quả.
Bài 2: Trong không gian 3 chiều (d = 3), triển khai các biểu thức sau:
a) ai bi
b) ai b j


12

Mở đầu
c) Aij Bij
d) Aij B jk
e) Aij bi
f) Aij b j
g) ∇ · a
h) ∇ a
i) A : B
j) (∇ a) : B

Bài 3: Chứng minh công thức tích phân từng phần (1.46).
Bài 4: Áp dụng công thức tích phân từng phần cho biểu thức sau:

Ω


u · (∇ · σ ) dΩ

(1.67)

và viết lại kết quả dưới dạng chỉ số.
Bài 5: Viết ma trận đàn hồi D cho các bài toán ứng suất phẳng σ33 = 0 và biến
dạng phẳng ǫ33 = 0.


Chương 2
Phương trình cơ sở và phương trình
biến thiên
Bước quan trọng trước khi thiết lập các công thức cơ bản của phương pháp phần
tử hữu hạn là biến đổi các phương trình cơ sở (strong form) mô tả các vấn đề cơ
học về các phương trình biến thiên (weak form). Việc sử dụng các phương trình
biến thiên cho phép giảm bậc của các phương trình cơ sở, và để thuận tiện cho
việc triển khai phương pháp số trong các bước tiếp sau.
Chương này trình bày các phương trình cơ sở của một số bài toán cơ học
thường gặp, và hai phương pháp để xây dựng các phương trình biến thiên: sử
dụng nguyên lý công khả dĩ và sử dụng hàm thử (hàm trọng số).

2.1 Phương trình cơ sở
Các phương trình cơ sở (phương trình gốc) mô tả các điều kiện cân bằng lực,
cân bằng động học, điều kiện vật lý và các điều kiện biên của các bài toán cơ
học. Phần này giới thiệu lại các phương trình cơ sở của các vấn đề thanh chịu
kéo nén, thanh chịu uốn, vật thể đàn hồi chịu tải trọng và tấm chịu uốn.

2.1.1 Thanh chịu kéo nén
Xét thanh thẳng đàn hồi tuyến tính có tiết diện ngang A, chiều dài l, xem
Hình 2.1. Ký hiệu E là mô đun đàn hồi kéo nén của vật liệu. Chọn trục toạ

độ x trùng với trục thanh. Một đầu thanh (x = 0) được cố định và đầu còn lại
(x = l) được tác dụng một lực F. Thanh chịu tải trọng phân bố theo phương
13


14

Phương trình biến thiên
f
x

F

EA
l

Hình 2.1: Thanh chịu kéo nén
trục thanh có cường độ f . Phương trình cân bằng và các điều kiện biên của hệ
có thể viết:
Aσ,x + f = 0

x = 0 ÷ l,

(2.1)

u=0

x = 0,

(2.2)


Aσn = F

x = l.

(2.3)

Khi hệ thanh đàn hồi tuyến tính, định luật Hooke được sử dung, σ = Eǫ = Eu,x .
Bài toán kéo thanh có thể viết: tìm trường chuyển vị u thoả mãn
EAu,xx + f = 0
u=0
EAu,x = F

x = 0 ÷ l,

(2.4)

x = 0,

(2.5)

x = l.

(2.6)

2.1.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng
Xét thanh thẳng đàn hồi tuyến tính chiều dài l, xem Hình 2.2. Tiết diện ngang
của thanh có độ cứng chống uốn EI. Chọn trục toạ độ x trùng với trục thanh
và trục y vuông góc với trục thanh. Một đầu thanh (x = 0) được cố định và
đầu còn lại (x = l) được tác dụng lực F vuông góc với trục thanh và mô men

M. Thanh chịu tải trọng vuông góc với trục thanh có cường độ f . Ký hiệu u là
chuyển vị theo phương y và φ là góc xoay, m và q là mô men uốn và lực cắt tại
tiết diện. Phương trình cân bằng và các điều kiện biên của hệ có thể viết:
m,x − q = 0
q,x − f = 0

x = 0 ÷ l,

x = 0 ÷ l,

(2.7)
(2.8)

u=0

x = 0,

(2.9)

φ=0

x = 0,

(2.10)

m=M

x = l,

(2.11)


x = l.

(2.12)

q = −F


2.1. Phương trình cơ sở

15
y

F
f
EI

x

M

l

Hình 2.2: Thanh chịu uốn ngang phẳng
Khi sử dụng giả thiết tiết diện phẳng Bernoulli-Euler, ta có các liên hệ
φ = u,x ,

(2.13)

m = EIκ = EIu,xx ,


(2.14)

trong đó κ là độ cong của thanh. Khi thanh có tiết diện không đổi, EI = constant,
bài toán uốn thanh có thể viết: tìm trường chuyển vị u thoả mãn
(2.15)

u=0

x = 0 ÷ l,

x = 0,

(2.16)

u,x = 0

x = 0,

(2.17)

EIu,xx = M

x = l,

(2.18)

EIu,xxx = − F

x = l.


(2.19)

EIu,xxxx − f = 0

2.1.3 Vật thể đàn hồi
Xét vật thể đàn hồi Ω có mặt biên được ký hiệu là Γ (Hình 2.3). Các điều kiện
biên được chia thành điều kiện biên chuyển vị và điều kiện biên lực. Véc tơ
chuyển vị cho trước được ký hiệu là g g trên mặt biên Γu và véc tơ lực được ký
hiệu là g h trên mặt biên Γh . Ký hiệu n là véc tơ pháp tuyến trên biên Γh . Bài toán
vật thể đàn hồi chịu tải trọng phân bố thể tích f đưọc phát biểu: tìm trường
chuyển vị u và trường ứng suất σ thoả mãn

∇·σ+ f = 0

s

σ = C∇ u

in Ω,

(2.20)

in Ω,

(2.21)

u

u


on Γ ,

(2.22)

σ · n = gh

on Γh ,

(2.23)

u=g


16

Phương trình biến thiên
f

gu

gh

Ω

Γh

Γu

Hình 2.3: Vật thể đàn hồi

Trong đó C là ten sơ đàn hồi bậc bốn chứa các đặc trưng đàn hồi của vật liệu.
Dưới dạng chỉ số:
in Ω,

(2.24)

in Ω,

(2.25)

ui = giu

on Γu ,

(2.26)

σij n j = gih

on Γh .

(2.27)

σij,j + f i = 0
σij = Cijkl usk,l

Ten sơ đàn hồi được xác định bởi biểu thức

Cijkl = µ δik δjl + δil δjk + λδij δkl ,

(2.28)


trong đó
λ=
và

νE
,
(1 + ν) (1 − 2ν)

(2.29)

E
.
2 (1 + ν )

(2.30)

µ=

2.1.4 Tấm chịu uốn
Xét một tấm phẳng đa giác có mặt trung gian được ký hiệu bởi Ω và chiều dày
t (Hình 2.4). Cạnh biên của tấm được ký hiệu là Γ và được chia thành các biên
lực và biên chuyển vị Γw ∪ ΓQ = Γθ ∪ Γ M = ∂Ω and Γw ∩ ΓQ = Γθ ∩ Γ M = ∅.
Sử dụng hệ toạ độ đề các x1 x2 x3 , trong đó phương x3 vuông góc với mặt phẳng
của tấm. Ký hiệu α, β, δ và γ là các chỉ số của hai phương x1 và x2 . Ký hiệu nα
và sα lần lượt là các véc tơ pháp tuyến và tiếp tuyến đơn vị vuông góc với biên
của phần tử.


2.1. Phương trình cơ sở


17

t

x1
Γu
Γθ
x2

F

x3

Mt
M

Q

ΓQ Γ M

Hình 2.4: Tấm chịu uốn.
Bài toán uốn tấm có thể được phát biểu là: cho tải trọng phân bố F vuông góc
với mặt phẳng tấm, và cho các chuyển vị thẳng, góc xoay, mô men uốn pháp
tuyến, và lực tác dụng trên các biên, ký hiệu lần lượt là gu , gθ , M, và Q; tìm
trường chuyển vị u thoả mãn
mαβ,αβ = F
u = gu

in Ω,


(2.31)

on Γu ,

(2.32)

θ

θ

on Γ ,

(2.33)

mαβ nα n β = M

M

on Γ ,

(2.34)

on ΓQ ,

(2.35)

∀ c ∈ ΓQ ,

(2.36)


u,α nα = g

−mαβ,β nα − mαβ n β sα

,s

=Q

mαβ n β sα |c+ − mαβ n β sα |c− = 0

trong đó c+ và c− là các điểm lân cận của điểm góc c trên đường biên lực cắt ΓQ .
Phương trình cuối cùng biểu thị phương trình cân bằng của lực góc tấm. Trong
hệ phương trình trên, ten sơ mô men mαβ liên hệ với chuyển vị thẳng của tấm
qua liên hệ
mαβ = cαβγδ u,γδ ,

(2.37)

trong đó cαβγδ là ten sơ đàn hồi bậc bốn biểu thị các đặ trưng vật liệu. Khi vật
liệu là đàn hồi đẳng hướng,
cαβγδ =

t3
¯ αβ δγδ ,
µ δαγ δβδ + δαδ δβγ + λδ
12

(2.38)


trong đó δαβ là Kronecker delta và các hệ số Lamé định nghĩa từ mô đun đàn
hồi Young E và hệ số Poisson ν,
Eν
,
1 − ν2
E
.
µ=
2 (1 + ν )

λ¯ =

(2.39)
(2.40)


18

Phương trình biến thiên

Người đọc có thể tham khảo thêm về bài toán uốn tấm trong các tài liệu về tấm
vỏ, ví dụ Hughes (2000) và Hughes and Garikipati (2004).

2.2 Thiết lập phương trình biến thiên từ nguyên lý
công khả dĩ
2.2.1 Nguyên lý công khả dĩ
Công khả dĩ là công sinh ra bởi các lực trên những chuyển vị và biến dạng vô
cùng bé do nguyên nhân bất kỳ nào đó gây ra. Các chuyển vị và biến dạng vô
cùng bé thoả mãn các điều kiện động học của hệ gọi là chuyển vị khả dĩ và biến
dạng khả dĩ.

Theo nguyên lý công khả dĩ, điều kiện cần và đủ để vật thể biến dạng ở
trạng thái cân bằng là công khả dĩ của các ngoại lực bằng năng lượng biến dạng
khả dĩ,
(2.41)

δT = δU,

trong đó δT ký hiệu công khả dĩ của ngoại lực và δU ký hiệu thế năng biến
dạng.
Xét một hệ đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của trưòng lực phân bố thể tích
pV , trường lực phân bố bề mặt pS , các lực tập trung Pk , k = 1 → n. Ký hiệu σ là
trường ứng suất xuất hiện trên hệ. Gọi δu là trường chuyển vị khả dĩ, và δǫ là
trưòng biến dạng khả dĩ bất kỳ. Công khả dĩ của các ngoại lực trên các chuyển
vị khả dĩ xác định bởi biểu thức
n

δT =

∑ δuk · Pk +

k=1

V

δu · pV dV +

S

δu · pS dS,


(2.42)

và thế năng biến dạng khả dĩ tưong ứng
δU =

V

(2.43)

δǫ · σdV.

Nguyên lý công khả dĩ viết dưới dạng chỉ số có dạng:
n

∑ δuik Pik +
k=1

V

δui pV
i dV +

S

δui · piS dS =

V

δǫij σij dV.


(2.44)


2.3. Thiết lập phương trình biến thiên từ phương pháp hàm thử

19

2.2.2 Thanh chịu kéo nén
Áp dụng nguyên lý công khả dĩ cho thanh chịu kéo nén:
l

δu F +

0

l

δu f dx = A

0

δǫxx σxx dx

(2.45)

∀δǫxx .

Lưu ý đến các phương trình vật lý, bài toán thanh chịu kéo nén có thể viết: tìm
trường chuyển vị u thoả mãn
δu F +


l
0

δu f dx = EA

l
0

δu,x u,x dx

(2.46)

∀δu.

2.2.3 Thanh chịu uốn ngang phẳng
Phương trình biến thiên cho bài toán uốn thanh: tìm trường chuyển vị u thoả
mãn
δu,x M + δuF +

l
0

δu f dx =

l
0

δu,xx EIu,xx dx


(2.47)

∀δu.

(2.48)

2.2.4 Vật thể đàn hồi
Phương trình biến thiên cho bài toán vật thể đàn hồi: tìm trường chuyển vị u
thoả mãn
Ω

δui f i dΩ +

Γh

δui gih dΓ =

Ω

δui,j σij dΩ

∀δu.

(2.49)

2.2.5 Tấm chịu uốn
Tìm trường chuyển vị u thoả mãn
ΓM

δu,n MdΓ +


ΓQ

δuQdΓ +

Ω

δu f dΩ =

Ω

δu,αβ Cαβγδ u,γδ dΩ

∀δu. (2.50)

2.3 Thiết lập phương trình biến thiên từ phương
pháp hàm thử
Phương pháp hàm thử là phương pháp tổng quát hơn cho phép biến đổi các
phương trình cơ sở thành các phương trình biến thiên. Phương pháp hàm thử
sử dụng một hàm thử được định nghĩa trong một không gian khả tích phù hợp,
và áp dụng tích phân từng phần để giảm bậc của các phương trình cơ sở.