Kỷ yếu IMO(IMO compendium)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.39 KB, 4 trang )
.ne
t
CHỨNG MINH BĐT DỰA VÀO BĐT CAUCHY
Nguyễn Công Định - GV THPT Đầm Dơi - Cà Mau
Trước hết ta nhắc lại hai phát biểu đơn giản của Cauchy:
(1): Cho A, B không âm:
A + B ≥ 2 AB
3
(2): Cho A, B,C không âm:
A + B +C ≥ 3 ABC
Từ (1), (2) ta có thể thu được các BĐT thức không kém phần quan trọng sau:
(4) : ABC ≤
2
nh
oc
A +B
(3) : AB ≤
2
A + B +C
3
3
(5) :
1 1
4
+ ≥
A B A +B
(6) :
1 1 1
9
+ + ≥
A B C
A + B +C
(7) : (A + B )2 ≤ 2 A 2 + B 2
(8) : (A + B +C )2 ≤ 3 A 2 + B 2 +C 2 ...
toa
Học sinh có thể chứng minh các khẳng định trên tương đối đơn giản. Điểm chung từ (1) đến (8)
là dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = B = C .
Bây giờ ta giải một số bài toán cụ thể.
3
Bài 1. Cho a, b, c dương và a + b + c = 1. Chứng minh:
Hướng dẫn: Ta có:
a+
3
b+
3
c ≤3
an
a +1+1 ≥ 3 3 a
3
⇒ 3V T ≤ a + b + c + 6 = 9 ⇒ V T ≤ 3.
b +1+1 ≥ 3 b
3
c +1+1 ≥ 3 c
Để tiện cho việc trình bày, từ bài tập này về sau nếu không có chú thích gì thêm thì ta xem a, b, c
dương.
nd
Bài 2. Cho a + b + c = 1. Chứng minh:
1
1
1
+
+
>4
a +b b +c c +a
Hướng dẫn: (Sử dụng (6)).
9
9
= > 4.
a +b +b +c +c +a 2
Bài 3. Cho a + b + c = 1. Chứng minh:
(a + b) (b + c) (c + a) ≤
die
VT ≥
8
27
Hướng dẫn: (Sử dụng (3)).
diendantoanhoc.net
VT ≤
a +b +b +c +c +a
3
3
=
2
3
3
=
8
.
27
1
1
1
1
+
+
= 1. Chứng minh:
1+a 1+b 1+c
abc ≥ 8.
Hướng dẫn: Với lưu ý:
1−
.ne
t
Bài 4. Cho
a
1
b
1
c
1
=
; 1−
=
; 1−
=
1+a 1+a
1+b 1+b
1+c 1+c
nên:
a
1
1
=
+
≥
1+a 1+b 1+c
2
(1 + b) (1 + c)
b
1
1
=
+
≥
1+b 1+c 1+a
2
nh
oc
(1 + c) (1 + a)
c
1
1
=
+
≥
1+c 1+a 1+b
Suy ra
2
(1 + a) (1 + b)
abc
8
≥
(1 + a) (1 + b) (1 + c) (1 + a) (1 + b) (1 + c)
Từ đó, ta có đpcm.
Bài 5. Cho
1
1
1
+
+
≥ 2. Chứng minh:
1+a 1+b 1+c
Hướng dẫn: Với lưu ý:
1
abc ≤ .
8
toa
1
1
b
c
1
≥ 1−
+1−
=
+
1+a
1+b
1+c 1+b 1+c
nên:
1
b
c
≥
+
≥
1+a 1+b 1+c
(1 + c) (1 + a)
2 ab
1
≥
1+c
an
(1 + b) (1 + c)
2 ca
1
≥
1+b
Từ đó
2 bc
(1 + a) (1 + b)
1
1
1
8abc
.
.
≥
1 + a 1 + b 1 + c (1 + a) (1 + b) (1 + c)
Suy ra đpcm.
nd
Bài 6. Cho a + b + c ≤ 1. Chứng minh:
1+
1
a
1+
1
b
1+
1
≥ 64.
c
Hướng dẫn: Chú ý:
Ta có:
die
VT
diendantoanhoc.net
= 1+
≥
≥
1
3
1 ≥ a + b + c ≥ 3 abc ⇒
3
abc
≥ 3.
1 1 1
1
1
1
1
+ + +
+
+
+
a b c ab bc c a abc
1+
3
3
abc
1+
+
1
3
abc
3
3
abc
2
+
1
3
abc
3
3
≥ (1 + 3)4 = 64
2
a 2 + 2bc
+
1
b 2 + 2c a
+
Hướng dẫn: (Sử dụng (6)).
VT ≥
Bài 8. Chứng minh:
c 2 + 2ab
≥ 9.
9
9
=
≥ 9.
a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2c a (a + b + c)2
a+
1
b
2
+ b+
2
1
c
+ c+
1
a
2
≥ 12.
VT ≥
nh
oc
Hướng dẫn: (Sử dụng (8)).
Bài 9. Cho
1
.ne
t
1
Bài 7. Cho a + b + c ≤ 1. Chứng minh:
2
1
1
1
1
a + +b + +c +
3
b
c
a
1 1 1
+ + = 1. Chứng minh:
a b c
1
≥ .62 = 12.
3
1
1
1
1
+
+
≤ .
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4
Hướng dẫn: (Sử dụng (5) hai lần):
4
1
1
1 1 1 1 1
≤
+
≤
+ + +
2a + b + c a + b a + c 4 a b a c
4
1 1 1 1 1
≤
+ + +
a + 2b + c 4 a b b c
toa
1 1 1 1 1
4
≤
+ + +
a + b + 2c 4 a c b c
4V T ≤
Ta có đpcm.
Bài 10. Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Chứng minh:
1 4 4 4
=1
+ +
4 a b c
b
c
a
+
+
+ (1 − a) (1 − b) (1 − c) ≤ 1.
b +c +1 a +c +1 a +b +1
an
Hướng dẫn: Giả sử a ≤ b ≤ c . (Sử dụng (4)). Ta có:
(a + b + 1) (1 − a) (1 − b) ≤
Suy ra
a +b +1+1−a +1−b
3
Nên:
nd
⇒ (1 − a) (1 − b) (1 − c) ≤
VT ≤
3
=1
1−c
.
a +b +1
a
b
c
1−c
+
+
+
= 1.
b +a +1 a +b +1 a +b +1 a +b +1
Bài 11. Cho a + b + c = 1. Chứng minh:
a
b
c
3
+
+
≤ .
1+a 1+b 1+c 4
die
Hướng dẫn: Ta có:
1−
a
b
c
1
1
1
9
9
+1−
+1−
=
+
+
≥
= .
1+a
1+b
1+c 1+a 1+b 1+c 3+a +b +c 4
Suy ra:
diendantoanhoc.net
V T ≤ 3−
9 3
= .
4 4
3
Hướng dẫn: (Sử dụng (8)), suy ra:
a +b +c ≤
3 ⇒ − (a + b + c) ≥ − 3
(Sử dụng (6)), ta có:
1 1 1
9
9
+ + ≥
≥
= 3 3.
a b c a +b +c
3
die
nd
an
toa
nh
oc
Cộng hai BĐT cùng chiều trên ta có điều phải chứng minh.
.ne
t
1 1 1
+ + − (a + b + c) ≥ 2 3.
a b c
Bài 12. Cho a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh:
diendantoanhoc.net
4
