Ma trân nghịch đảo Matrix (đại học)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.91 MB, 30 trang )
Bài 3
1
AX B X A B
1
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
Xét phương trình: a x = b.
b
1
Ta có: x b a 1b . ( a 0)
a a
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có
1
AX B X A B .
1
như vậy A là ma trận sẽ được định nghĩa
như thế nào?
2
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
Ta để ý:
AX B
axb
1
1
a ax a b
1
1x a b
1
xa b
1
1
A AX A B
1
IX A B
1
XA B
Phải chăng A1 A I ?
3
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
3.1 Định nghĩa.
a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma
trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B
sao cho
AB=BA=En
Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma
trận A, kí hiệu là A-1.
Như vậy,
A.A-1 = A-1A=En
4
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
Nhận xét:
(1) Ma trận đơn vị En khả nghịch và
(En)-1=En
(2) Ma trận không không khả nghịch vì
.A A . , A
5
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
Nhận xét:
6
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
b. Tính chất:
Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một
số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả
nghịch và
1
( i) AB B 1 A1
1 1
(ii) kA A
k
1 1
(iii) (A ) A
1
7
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
c. Ma trận phụ hợp
Cho A [aij ] là ma trận vuông cấp n. Ma trận
phụ hợp của A, kí hiệu là PA ,được định nghĩa
như sau:
A11 A21 ... An1
A
A
...
A
12
22
n2
PA
... ... ... ...
A1n A2 n ... Ann
trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij
của ma trận A.
8
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
1 2 3 A11 28 A21 -29 A31 -12
A 2 4 0 A12 14 A22 -5 A32 -6
4 5 7 A13 -6 A23 13 A33 8
A11
PA A12
A13
A21
A22
A23
A31
A32
A33
9
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
2 0 0
A 5 1 0
3 4 1
A11
PA A12
A13
A21
A22
A23
A11 -1
A21 0 A31 0
A12 5
A22 -2 A32 0
A13 17 A23 -8 A33 2
A31
A32
A33
10
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo
a. Sử dụng phần phụ đại số
Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
PA .A A.PA det A.E
trong đó, PA là ma trận phụ hợp của ma trận A.
11
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ:
1 2 3 28 29 12
APA 2 4 0 14 5 6
4 5 7 6 13
8
38 0 0
0 38 0
0 0 38
1 0 0
38 0 1 0
0 0 1
12
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A
khả nghịch là detA ≠0 . Khi đó,
1
1
A
PA
det A
13
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ:
28 29 12
1
1
A 14 5 6
38
6 13
8
14
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau: 1 2 3
det( A) 1
A 0 1 4
0 0 1
1 2 5
PA 0 1 4
0 0 1
1 2 5
1
A 0 1
4
0 0 1
15
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau:
2 6
A
1 4
A1
det( A) 2
4 6
PA
1 2
1 4 6 2
1
2 1 2 2
3
1
16
§3: Ma trận nghịch đảo
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2
a b
d b
A
PA
c d
c a
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau:
2 5
1 2 5 2 5
1
A
A
1
2
1
2
1
2
det
A
17
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
b. Phương pháp Gauss-Jordan
Cho ma trận A có detA≠0.
-Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A,
được ma trận [A|E]
-Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển
ma trận [A|E] về dạng [E|B]
-Khi đó B=A-1
18
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau:
1 2 3
A 0 1 4
1 2 2
19
Lời giải:
1 2 3 1 0 0
1 2 3 1 0 0
h ( 1) h
0 1 4 0 1 0
A | E 0 1 4 0 1 0
0 0 1 1 0 1
1 2 2 0 0 1
3
1
h2 4 h3
h1 3 h3
0
0
1
h3 ( 1)
0
0
2
1
0
0
1
0
1
1 0 0 6 2 5
0 2 0 3
h1 ( 2) h2
0 4 1 4
0 1 0 4 1 4
0 0 1 1 0 1
1 1 0 1
0 6 2 5
0 4 1 4 A 1
1 1 0 1
20
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn
1)
2)
3)
4)
AX = B
XA = B
AXB = C
AX + kB = C
21
§3: Ma trận nghịch đảo
Ta có:
1)
AX=B A-1 AX=A-1B
-1
EX=A B
1
XA B
1
1
2) XA B XAA BA
1
XE BA
X BA1 A1 B
22
§3:
Ma
trận
nghịch
đảo
Ta có:
3)
AXB=C A-1 AXB=A-1C
-1
-1
XBB =A CB
1
X A CB
1
1
4) AX kB C AX (C kB)
1
1
A AX A (C kB)
X A1(C kB)
23
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ 1: Tìm ma trận X thỏa mãn:
1 2 3
1 5
0 1 4 X 0 4
0 0 1
2 3
Phương trình có dạng: AX=B
1
Ta có: X A B
24
§3: Ma trận nghịch đảo
Vậy
1
X 0
0
9
8
2
2 5 1 5
1 4 0 4
0 1 2 3
18
16
3
25
