Sở GD & ĐT Hải Phòng

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN KÌ 2

Trường THPT Lê Qúy Đôn

NĂM HỌC 2014 - 2015

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thh ời gian làm bài 180 phút, khôngkể thời gian giao đề

Thang điểm 20
Ngày thi: 15/01/2015
3
2
Câu 1 (5.0 điểm). Cho hàm số y = x − 3mx + 2 , có đồ thị là (Cm)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x = 1, tìm giá trị
tham số m để tiếp tuyến ∆ đi qua điểm A(2; 2015) .
Câu 2 (2.0 điểm). Giải phương trình: cos10 x = 2 cos 4 x.sin x − cos 2 x, ( x ∈ ¡

)

Câu 3 (4.0 điểm).
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x2 + x + 4
trên khoảng ( −1; +∞ ) .
x +1

x + 3 x2 + x + 4
+
≥ 2 2 +3
b. Giải bất phương trình:
x +1
x +1
Câu 4 (2.0 điểm).
a. Hai người bạn ngẫu nhiên đi chung một chuyến tầu có 5 toa. Tính xác suất để hai
người bạn đó ngồi cùng một toa.
b. Cho p ( x ) = ( 1 − 2 x ) = a0 + a1 x + ... + an x n , n ∈ ¥ * . Biết hệ số a1 = −30 . Tính hệ số a2 .
n

Câu 5 (2.0 điểm). Trong hệ toạ độ oxy, cho hình bình hành ABCD có điểm A(2; 1), điểm
C(6; 7) và M(3; 2) là điểm thuộc miền trong hình bình hành. Viết phương trình cạnh AD biết
khoảng cách từ M đến CD bằng 5 lần khoảng cách từ M đến AB và đỉnh D thuộc đường thẳng
∆ : x + y − 11 = 0 .
· D = 600 .
Câu 6 (3.0 điểm). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BA
Hình chiếu của S lên mp(ABCD) là trung điểm của AB, góc giữa SD và đáy bằng 60 0, I là
điểm thuộc đoạn BD, DI = 3IB. Tính thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ điểm
I đến mp(SCD).
 x + y + x ( x + y ) = 2 y + 2 y 2
Câu 7 (1.0 điểm). Giải hệ phương trình: 
2
 x + 4 y − 3 + 1 = 3x − 2 + y
Câu 8 (1.0 điểm).

(x
Cho x, y là các số thực thuộc ( 0;1) thoả mãn
nhất của biểu thức P =


1
1+ x

2

+

1
1+ y

2

3

)

+ y3 ( x + y )
xy

= ( 1 − x ) ( 1 − y ) . Tìm giá trị lớn

+ 4xy − x 2 − y 2 .

............................HẾT.............................


Câu
Câu I
5.0

điểm

Đáp án chính thức (Đáp án có 04 trang)
a ( 3.0 điểm )…
Thay m = 2 ⇒ y = x3 – 3x2 + 2
TXĐ : D = R
y = + ∞ , lim y = - ∞ . Đồ thị không có tiệm cận
Giới hạn : xlim
→+∞
x →−∞
2
y’ = 3x – 6x, ∀x ∈ ¡
x = 0
y’ = 0 ⇔ 
x = 2
Bảng biến thiên :
x
-∞
y’
y

Câu 2
2.0
Điểm

Câu 3
4.0
Điểm

+


0
0
2

-∞

+∞

2
-

0

+

+∞

-2

Đ
0.25
0.25
0.25
0.25

0,25
0.25

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và ( 2; +∞ )


0.25

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 )
Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 0, yCĐ = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 2, yCT = -2
Đồ thị giao với oy tại điểm (0; 2), giao với ox tại điểm (2; -2)
Vẽ đúng đồ thị. Nếu thí sinh không tìm giao. Trên đồ thị vẫn thể hiện đúng tọa độ điểm giao vẫn cho
điểm
b (2.0 điểm)…..
TXĐ: D = ¡
Với x = 1 => y = 3 – 6m. Tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là M(1; 3 – 3m)
y’ = 3x2 – 6mx, ∀x ∈ ¡

0.25

'
=> y ( 1) = 3 − 6m
Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (Cm) cần tìm là ∆ : y = (3 – 6m)(x - 1) + 3 – 3m = (3 - 6m)x + 3m
∆ đi qua điểm A(2; 2015)  2015 = (3 – 6m).2 + 3m.
 -9m = 2009
−2009
 m=
9
2.0 điểm…
cos10 x = 2 cos 4 x.sin x − cos 2 x ⇔ cos10 x + cos 2 x = 2 cos 4 x.sin x ⇔ 2 cos 6 x.cos 4 x = 2 cos 4 x.sin x

0.25
0.25
0.25

0.25

0,25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25

0.25

⇔ cos 4 x. ( cos 6 x − sin x ) = 0

0.25

cos 4 x = 0
⇔
cos 6 x − sin x = 0
π
π kπ
Giải phương trình: cos 4 x = 0 ⇔ 4 x = + kπ ⇔ x = +
2
8 4
Giải phương trình: cos 6 x − sin x = 0 ⇔ cos 6 x = sin x
π

⇔ cos 6 x = cos  − x ÷
2



0.25

π k 2π

 x = 14 + 7
π

⇔ 6 x = ±  − x ÷+ k 2π ⇔ 
,k ∈¢
2

 x = − π + k 2π

10
5
π k 2π
π kπ
 π k 2π

,− +
,x = +
k ∈ ¢
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  +
14
7
10
5
8
4



a (2.0 điểm)…..
x2 + 2x − 3
'
y
=
, ∀x ∈ ( −1; +∞ )
Ta xét
2
( x + 1)
x = 1
y' = 0 ⇔ x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ 
 x = −3(loai )
lim y = + ∞ , lim+ y = +∞

x →+∞

x →−1

0.25
0.25
0.25

0.25

0.25

0,25
0,25

0.25
0,25


Bảng biến thiên
x
y’

-1
+∞

+∞

1
0

-

y

+

0,25

+∞

0,25

3


y = 3 tại x = 1
Từ bảng biến thiên suy ra min
( −1; +∞ )

0.25
0.25

b (2.0 điểm)….
ĐK: x > -1
x2 + x + 4
Theo câu a ta có:
≥ 3, ∀x > −1 .
x +1
Lại có

x+3
x +1

= x +1 +

0.25
0.5

(1)

0.25

2
x +1
2


x + 1,

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số

x +1

ta được:

x +1 +

2
x +1

≥ 2 2, ∀x > −1

(2)

x + 3 x2 + x + 4
+
≥ 2 2 + 3 , ∀x > −1
Từ (1) và (2), cộng vế với vế ta có:
x +1
x +1

Câu 4
2.0
Điểm

0.25

0.25

Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình.
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là S = ( −1; +∞ )
a (1.0 điểm) …

0.25
0.25

Giả sử các toa được đánh số từ 1 đến 5.
Giả sử m, n lần lượt là số toa người bạn thứ nhất và thứ 2 lần lượt lên tầu. m = 1,2,3,4,5. n = 1,2,3,4,5
Không gian mẫu của phép thử là Ω = { ( m, n ) m, n = 1, 2,3, 4,5} ⇒ n ( Ω ) = 25

0,25

Gọi A là biến cố “ Hai người cùng lên một toa” ⇒ A = { ( 1;1) , ( 2; 2 ) , ( 3;3) , ( 4; 4 ) , ( 5;5 ) } ⇒ n ( A ) = 5

0,25

Vậy xác suất của biến cố A là p ( A) =

n ( A)

=

n ( Ω)

5 1
=
25 5


0.25

0.25

Chú ý: Hoc sinh có thể dùng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để tính số phần tử không gian
mẫu, số phần tử của biến cố A. Nếu lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa.
b (1.0 điểm)….
n

k
k
n
Theo công thức nhị thức Newton có ( 1 − 2 x ) = ∑ Cn ( −2 ) x = a0 + a1 x + ... + an x
n

k

k =0

Suy ra các hệ số ak = Cnk ( −2 ) , k = 0,1, 2,..., n

0.25

Theo giả thiết hệ số a1 = −30 ⇔ Cn1 ( −2 ) = −30 ⇔ n = 15 ( t / m )

0.25

Vậy hệ số a2 = C152 ( −2 ) = 420 .


0.25

k

1

2

Câu 5
2.0
Điểm

0.25

(2.0 điểm)...
x + y -11 = 0
C(6; 7)

D

N

H

M(3; 2)
A(2; 1)

E

B


Kéo dài AM cắt CD tại N. Gọi E, H lần lượt là hình chiếu của M lên AB, CD
Theo giả thiết HM = 5ME
MN HM
Do ABCD là hình bình hành nên AB / / CD ⇒
=
= 5 ⇔ MN = 5MA
MA EM
uuuu
r
uuur
 xN = 8
 xN − 3 = −5 ( 2 − 3)
⇔
⇒ N ( 8; 7 )
Lại có M nằm giữa A và N, MN = 5MA ⇔ MN = −5MA ⇔ 
 yN − 2 = −5 ( 1 − 2 )
 yN = 7
r
uuur
Đường thẳng CD đi qua hai điểm C(6; 7), N(8; 7) nên CD có vtcp là u CD = CN = ( 2;0 ) ⇒ CD có vtpt là
r
nCD = ( 0; 2 ) . Phương trình của CD có dạng CD: y – 7 = 0
Đỉnh D là giao điểm của CD và ∆ : x + y − 11 = 0 nên tọa độ điểm D là nghiệm hệ phương trình:

0.25
0,25
0,25
0.25
0.25


0.25


Câu 6
3.0
Điểm

y −7 = 0
x = 4
⇔
⇒ D ( 4;7 )

 x + y − 11 = 0
y = 7
r uuur
r
AD đi qua hai điểm A, D nên AD có vtcp là u = AD = ( 2; 6 ) => AD có vtpt là n = ( 3; −1) suy ra
phương trình cạnh AD có dạng 3x – y – 5 = 0.
Kiểm tra thấy thỏa mãn điểm M thuộc miền trong hình bình hành ABCD. Vậy phương trình cạnh AD là
3x – y – 5 = 0.
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác ra hai điểm D, không loại được một điểm thì trừ 0.5
Tính thể tích 2.0 điểm…

0.25
0,25

S

E


B

C

I
H

A
D

Gọi H là trung điểm của AB, có SH ⊥ (ABCD) nên SH là đường cao và HD là hình chiếu của SD lên
·
= 60 0 .
mp(ABCD) => ( SD, ( ABCD) ) = SDH
· D = 600 => tam giác ABD đều cạnh a => HD = a 3
Do ABCD là hình thoi cạnh a, BA
2
3a
SH ⊥ (ABCD) => tam giác SHD vuông tại H nên SH = HD.tan 600 =
2
Diện tích đáy ABCD là S ABCD = 2S ABD = 2. AB. AD.sin 600 = 2.

a2 3 a2 3
=
4
2

1
1 3a a 2 3 a 3 3

Vậy thể tích của hình chóp SABCD là VSABCD = SH .S ABCD = . .
=
3
3 2
2
4
Tính khoảng cách 1.0 điểm…
3
3
Do ID = 3IB và I thuộc đoạn BD ⇒ ID = BD . Suy ra d ( I , ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) .
4
4
Lại có AB / / CD ⊂ ( SCD ) => d ( B, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) , H ∈ AB .
Do tam giác ABD đều nên HD ⊥ AB ⇒ CD ⊥ HD, DC ⊥ SH ⇒ DC ⊥ ( SHD ) ⇒ ( SHD ) ⊥ ( SCD )
Gọi E là hình chiếu của H lên SD ⇒ HE ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( H , ( SCD ) ) = HE .
HD.HS

SHD vuông tại H, HE là đường cao nên HE =
Câu 7
1.0
Điểm

HD 2 + HS 2

=

3a
3 3a 9a 2
⇒ d ( I , ( SCD ) ) = . =
4

4 4
16

0.25
0,25
0.25
0,25
0.25
0.25
0,25
0.25

0,25
0.25
0.25

0,25

1.0 điểm …
Đk: x ≥

Xét phương trình pt(1):
Do x ≥
Pt(1) ⇔

0.25

2
,y≥0
3

x + y + x ( x + y) = 2 y + 2 y2 ⇔ x + y − 2 y + ( x − y ) ( x + 2 y ) = 0

2
, y ≥ 0 ⇒ x + y + 2y > 0
3


1
+ ( x − y) ( x + 2 y) = 0 ⇔ ( x − y) 
+ x + 2 y ÷= 0 ⇔ y = x

÷
x + y + 2y
 x + y + 2y

x− y

Thay y = x vào phương trình
Pt(2):

x 2 + 4 y − 3 + 1 = 3 x − 2 + y ta được

x 2 + 4 x − 3 + 1 = 3x − 2 + x ⇔

Đặt x − 1 = a ≥

( x − 1)

−1
, 3 x − 2 = b ≥ 0 . Pt có dạng

3

2

+ 2 ( 3x − 2 ) = 3x − 2 + x − 1

b = 0, a ≥ 0
 a 2 + 2b 2 = a + b
b ( b − 2a ) = 0
⇔
⇔

b = 2 a ≥ 0
 a + b ≥ 0
 a + b ≥ 0

0.25


2
(loại)
3

Với b = 0, ta có y = x =

0.25
x ≥ 1

x ≥ 1
 x = 2 ( t / m )

3x − 2 = 2 ( x − 1) ≥ 0 ⇔  2
⇔ 
4
x
−
11
x
+
6
=
0
3


  x = 4 ( loai )

Với b = 2a, ta có phương trình

0.25

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = { ( 2; 2 ) }
Câu 8
1.0
Điểm

Ta có ( 1 − x ) ( 1 − y ) =

(x

3


+ y3

) ( x + y ) ⇔ 1 + xy − x − y ≥ 4xy ⇔ 1 ≥ 3xy + x + y ≥ 3xy + 2

xy

⇔ xy ≤

Xét P =

1
1+ x

2

+

Vì x, y ∈ ( 0;1) ⇒

1
1+ y
1

1+ x

2

2


+

+ 4xy − x 2 − y 2 ≤

1
1+ y

2

≤

2
1 + xy

xy

1
9

0,25

1
1+ x

2

+

1
1+ y


2

+ 2xy ≤ 2.

1
1+ x

2

+

1
1 + y2

+ 2xy
0.25

( *) .

Thật vậy

( *) ⇔ ( 2 + x 2 + y 2 ) ( 1 + xy ) ≤ 2 ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) ⇔ ( x − y ) 2 ( 1 − xy ) ≥ 0 . Luôn đúng vì
Suy ra P ≤

x, y ∈ ( 0;1)

0.25

 1

+ 2 xy, xy ∈  0;  .
1 + xy
 9
2

Xét hàm số f ( t ) =

−1
 1
'
 1
+ 2 > 0, ∀t ∈  0; 
+ 2t , t ∈  0;  . Có f =
 9
( 1+ t ) 1+ t
1+ t
 9
2

56
56
1
1
⇔x=y=
Vậy P ≤ f  ÷ =
nên maxP =
9
3
9 10
  9 10


0.25