0917614559
19 BÀI TẬP THPT HAY VÀ KHÓ
2
Bµi tËp 1 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã
cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 x1 + x2 = −(4m + 1)
4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)
⇔

 x1.x2 = 2(m − 4)
4m = 2 x1 x2 + 16(2)
Từ (1) và (2) ta có:
−( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0
2
Bµi tËp 2: Cho phương trình : mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
 m ≠ 0
m ≠ 0
m ≠ 0
 m ≠ 0
⇔
⇔
⇔

2

2
2
∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0
 m ≥ −1
∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0
 ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 0
6(m − 1)

 x1 + x2 = m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 
 x x = 9(m − 3)
 1 2
m

v à t ừ gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 . Suy

ra:
6(m − 1) 9(m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m
m
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1 + x2 = x1.x2
2
2
Bµi tËp 3 Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + 2 = 0 .

1



Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
∆ ' = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + 2) ≥ 0
⇔ 4 m 2 + 4m + 1 − 4 m 2 − 8 ≥ 0
⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥

7
4

 x1 + x2 = 2m + 1
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 
và từ giả thiết 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 . Suy
2
 x1 x2 = m + 2
ra
3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0
⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0
 m = 2(TM )
⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔ 
 m = 4 ( KTM )
3

2

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bµi tËp 4
2

1. Cho phương trình : mx + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 0
2
2. Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 + 3 x2 = 1
2
3. Cho phương trình : 3 x − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 − 5 x2 = 6
HD:
16
15
−( m − 4)

 x1 + x2 =
m
(1)
-Theo VI-ÉT: 
m
+
7
x x =
 1 2
m
 x1 + x2 = 3 x2
⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2)
- Từ x1 − 2 x2 = 0 Suy ra: 
 2( x1 + x2 ) = 3 x1

- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
m 2 + 127 m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128
BT1: - ĐKX Đ: m ≠ 0 & m ≤

BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m 2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96
2


 x1 + x2 = 1 − m
(1)
- Theo VI-ÉT: 
 x1 x2 = 5m − 6
 x1 = 1 − 3( x1 + x2 )
⇒ x1 x2 = [ 1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]

- Từ : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − 1
⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) 2 − 1
(2)
m = 0
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔ 
(thoả mãn ĐKXĐ)
m = 1
BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) 2 + 4.3(3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = (3m + 4) 2 ≥ 0 với mọi số thực m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3m − 2

 x1 + x2 = 3
(1)
- -Theo VI-ÉT: 
 x x = −(3m + 1)

 1 2
3
- Từ giả thiết: 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra:
8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6
⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] .[ 3( x1 + x2 ) − 6]

(2)
8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6
⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 2 − 12( x1 + x2 ) − 36
m = 0
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = 0 ⇔ 
(thoả mãn )
 m = − 32
15

2
Bµi tËp 5 Cho phương trình: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình
có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
S = x1 + x2
Dấu nghiệm
x1
x2
m
±
trái dấu
±
±
cùng dấu,
cùng dương,

+
+
S>0
−
−
cùng âm
S<0
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:

P = x1 x2
P<0
P>0
P>0
P>0

∆
∆≥0
∆≥0
∆≥0
∆≥0

Điều kiện chung
∆ ≥ 0 ; P < 0.
∆≥0 ;P>0
∆≥0 ;P>0;S>0
∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.

2 x 2 − ( 3m + 1) x + m 2 − m − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì


∆ = (3m + 1) 2 − 4.2.(m 2 − m − 6) ≥ 0
∆ = ( m − 7) 2 ≥ 0∀m
∆ ≥ 0

2
⇔
⇔
⇔ −2 < m < 3


m −m−6
<0
P < 0
 P = (m − 3)(m + 2) < 0
P =

2
Vậy với −2 < m < 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
3


2
Bµi tËp 6 Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = 0

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
A = x12 + x22 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
 x1 + x2 = −(2m − 1)
Bài giải: Theo VI-ÉT: 
 x1 x2 = − m
A = x12 + x22 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2

2

Theo đ ề b ài :

= ( 2m − 1) + 8m
2

= 4m 2 − 12m + 1
= (2m − 3) 2 − 8 ≥ −8
Suy ra: min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 hay m =

3
2

Bµi tËp 7 Cho phương trình : x 2 − mx + m − 1 = 0
Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức sau:
B=

2 x1 x2 + 3
x + x22 + 2 ( x1 x2 + 1)
2
1

 x1 + x2 = m
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
 x1 x2 = m − 1
2 x1 x2 + 3
2 x1 x2 + 3
2(m − 1) + 3 2m + 1

⇒B= 2
=
=
= 2
2
2
x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2
m2 + 2
m +2
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
2
m 2 + 2 − ( m 2 − 2m + 1)
m − 1)
(
B=
= 1− 2
m2 + 2
m +2
2
m −1
Vì ( m − 1) 2 ≥ 0 ⇒ ( 2 ) ≥ 0 ⇒ B ≤ 1
m +2
max
B=1
⇔
Vậy
m=1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
1 2

1
1 2
1
2
m + 2m + 1 − m 2
m + 4m + 4 ) − ( m 2 + 2 )
(
m + 2)
(
1
2
2
2
2
B=
=
=
−
2
2
2
m +2
m +2
2 ( m + 2) 2
Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒
2

Vậy min B = −

( m + 2)


2

2 ( m2 + 2 )

≥0⇒ B≥−

1
⇔ m = −2
2

4

1
2


Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện
cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
2m + 1
B= 2
⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
m +2
Ta có: ∆ = 1 − B (2 B − 1) = 1 − 2 B 2 + B
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0
−2 B 2 + B + 1 ≥ 0 ⇔ 2 B 2 − B − 1 ≤ 0 ⇔ ( 2 B + 1) ( B − 1) ≤ 0
hay

1

B≤−


 2 B + 1 ≤ 0
2



B
−
1
≥
0
B
≥
1
1


⇔
⇔
⇔ − ≤ B ≤1
 2 B + 1 ≥ 0
2
  B ≥ − 1


2
  B − 1 ≤ 0
 B ≤ 1


Vậy: max B=1 ⇔ m = 1
1
min B = − ⇔ m = −2
2
Bài 8: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
−b
c
(ở đó: S = x1+ x2 =
; P = x1.x2 = )
a
a
Bài 9: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
Nếu ∆’< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm

Nếu ∆’= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ∆’> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k

5


Bài 10: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
3
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
(là nghiệm)
2
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
2
(1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
thì phương trình có nghiệm
3
3
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =

(là nghiệm)
2
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m =
(thoả mãn m ≠ 1)
3
1
1
−
=−
=3
2
Khi đó x = m − 1
−1
3
3
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
2
với m =
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
3
c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
3
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4
3
1
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= − ≠ 0)

4
4
−3
−3
=
= 12 ⇒ x 2 = 6
1
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m − 1
−
4
3
Vậy m =
và nghiệm còn lại là x2 = 6
4
Bài 11: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải
2
1  15

’
2
a) Ta có: ∆ = (m-1) – (– 3 – m ) =  m −  +
2
4



6


2

15
1

> 0 ⇒ ∆ > 0 với mọi m
Do  m −  ≥ 0 với mọi m;
4
2

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0
2(m − 1) < 0
m < 1
⇔
⇔
⇔ m < −3
− (m + 3) > 0
m < −3
Vậy m < -3

d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0
 m ≥ 0

 m ≥ 0
 m ≥ 3

3

2
m
−
3
≥
0
m≥

2



⇔
⇔
⇔
2
 m ≤ 0

m

≤
0



m ≤ 0

3
2m − 3 ≤ 0
 m ≤
2

3
Vậy m ≥
hoặc m ≤ 0
2
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
 x1 + x 2 = 2(m − 1)
 x + x 2 = 2m − 2
⇔ . 1
Theo định lí Viet ta có: 
 x1 .x 2 = −(m + 3)
2 x1 .x 2 = −2m − 6
⇒ x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
8 + x2
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 ⇔ x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) ⇔ x1 = −
1 + 2 x2
8 + x2
1

( x2 ≠ − )
1 + 2 x2
2
2
Bài 12: Cho phương trình: x + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
1
1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 +
; y 2 = x2 +
với x1; x2 là nghiệm của
x2
x1
phương trình ở trên
Giải
a) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Vậy x1 = −

7


' 0
2 m 0
m 2



m=2

m 1 = 1
m = 2
P = 1
Vy m = 2
b) Ta cú = 12 (m-1) = 2 m
Phng trỡnh cú nghim 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m 1 (2)
Theo bi: 3x1+2x2 = 1 (3)
x + x = 2
2 x + 2 x = 4
x = 5
x = 5
1 2
2
1
1
1
T (1) v (3) ta cú:
3 x1 + 2 x2 = 1 3x1 + 2 x2 = 1
x1 + x2 = 2
x2 = 7
Th vo (2) ta cú: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho món (*))
Vy m = -34 l giỏ tr cn tỡm
d) Vi m 2 thỡ phng trỡnh ó cho cú hai nghim
Theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m 1 (2)
x +x
1
1
1 2 = 2 + 2 = 2m
y

+
y
=
x
+
x
+
+
=
x
+
x
+
Khi ú: 1 2 1 2
(m1)
1 2
x x
xx
m 1 1 m
1
2
1 2
1
1
1
1
m2
y y = ( x + )( x + ) = x x +
+ 2 = m 1 +
+2=

(m1)
1 2
1 x
2 x
1 2 xx
m 1
m 1
2
1
1 2
2m
m2
y1; y2 l nghim ca phng trỡnh: y2 .y +
= 0 (m1)
1 m
m 1
Phng trỡnh n y cn lp l: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
Bài 13: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
2
2
/
Ta có = (m + 1) 2m + 10 = m 9
+ Nếu / > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2
nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - m 2 9 x2 = m + 1 + m 2 9
+ Nếu / = 0 m = 3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2
/

+ Nếu < 0 -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt



x1 = m + 1 - m 2 9 x2 = m + 1 +
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

m2 9

Bài 14: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng

8


1
2
* Nếu m 3 0 m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt
số / = m2 (m 3)(m 6) = 9m 18
- Nếu / = 0 9m 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
b/
2
x1 = x2 = =
=-2
a 23

- Nếu / > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
m3 m2
x1,2 =
m3
/

- Nếu < 0
m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
1
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = 2
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
m3 m2
Với m > 2 và m 3 phơng trình có nghiệm x1,2 =
m3
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài15: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 3x 7 = 0
a) Tính:
A = x 12 + x 22
B = x1 x 2
1
1
+
C=
D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
x1 1 x 2 1
1
1
a) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
và

x1 1
x2 1
Giải ;
2
Phơng trình bâc hai x 3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có
hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 9 2(-7) = 23
+ (x1 x2)2 = S2 4p => B = x1 x 2 = S 2 4 p = 37
- 6x 3 = 0

x=-

1
1
( x1 + x 2 ) 2
S 2
1
+
=
=
=
x1 1 x 2 1
( x1 1)( x 2 1) p S + 1
9
2
2
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta có :
1
1
1
+
= (theo câu a)
S=
x1 1 x 2 1
9
1
1
1
=
=
p=
( x1 1)( x 2 1) p S + 1
9
+C=

9


1
1
và
là nghiệm của hơng trình :
x1 1
x2 1
1

1
X2 SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
9
9

Vậy

Bài 16 : Cho phơng trình :
x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:
= (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 -

6
9
k+ )
5
5

3
9
36
3
36
= 5(k2 2. k +
+

) = 5(k - ) +
> 0 với mọi giá trị của k.
5
25
25
5
5
Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
1
1
7
- k2 + k 2 < 0 - ( k2 2. k +
+ )<0
2
4
4
1 2 7
-(k ) < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm
2
4
phân biệt trái dấu với mọi k
3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x1 + x2 = k 1 và x1x2 = - k2 + k 2
x13 + x23 = (k 1)3 3(- k2 + k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)2 - 3(- k2 + k 2)]
= (k 1) (4k2 5k + 7)
5
87

= (k 1)[(2k - )2 +
]
4
16
5
87
Do đó x13 + x23 > 0 (k 1)[(2k - )2 +
] >0
4
16
5
87
k 1 > 0 ( vì (2k - )2 +
> 0 với mọi k)
4
16
k>1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 17:
Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với
mọi m

10


3. Tìm m để x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng
trình (1) nói trong phần 2.)
Giải

1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1
= 1 , x2 = - 9
2. Có / = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + 1 m + 4 = m2 + m + 5
1
1
19
1
19
= m2 + 2.m. +
+
= (m + )2 +
> 0 với mọi m
2
4
4
2
4
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m 4
Ta có (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 4 (m 4)
1
19
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 +
]
2
4
1
1
1

19
19
=> x1 x 2 = 2 (m + ) 2 +
2
= 19 khi m +
=0 m=2
2
2
4
4
1
Vậy x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = 2
Bài 18 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
9
1) Giải phơng trình khi m = 2
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm
phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
9
1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
2
5x2 - 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0 x = 1
+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình
bậc hai có biệt số :
= (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m2 4(m2- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt

2m 1 + 5 2m + 4
2m 1 5 2(m 3) m 3
=
=
= 1 x2 =
x1 =
=
2(m + 2)
2(m + 2) 2(m + 2) m + 2
2m + 4
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để
nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
m3
9
Trờng hợp 1 : 3x1 = x2 3 =
giải ra ta đợc m = (đã giải ở câu 1)
m+2
2

11


Trờng hợp 2: x1 = 3x2 1= 3.

m3
11
m + 2 = 3m 9 m =
(thoả
m+2

2

mãn điều kiện m - 2)
11
Kiểm tra lại: Thay m =
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
2
15x2 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
5
1
x1 = 1 , x2 =
= (thoả mãn đầu bài)
15
3

Bài 19: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
3
1. + Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0 x =
4
2
/

+ Nếu m 0 .Lập biệt số = (m 2) m(m-3)
= m2- 4m + 4 m2 + 3m
=-m+4
/



<
0
m
+
4
<
0
m
> 4 : (1) vô nghiệm

/
= 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép
b/ m 2 4 2 1
x1 = x2 = - =
=
=
a
m
2
2
/
> 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
m2 m+4
m2+ m+4
x1 =
; x2 =
m
m

Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
1
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2
0 m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
m2+ m+4
m
3
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
c
m3
2. (1) có nghiệm trái dấu
<0
<0
a
m
m 3 > 0
m > 3


m < 0
m < 0



m 3 < 0
m < 3



m > 0
m > 0
m > 3
Trờng hợp
không thoả mãn
m < 0
x1 =

m2 m+4
m

;

12

x2 =


m < 3
0Trờng hợp
m > 0
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/ 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = -

9
4

9
thoả mãn
4
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện / 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc
9
9
9
9
9
m = - .Sau đó thay m = - vào phơng trình (1):
- x2 2(- - 2)x 4
4
4
4
4
3 = 0 -9x2 +34x 21 = 0
x1 = 3
có / = 289 189 = 100 > 0 =>
x2 = 7
9

9
Vậy với m = - thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
4
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
9
Cách 1: Thay m = vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc
4
7
x2 =

(Nh phần trên đã làm)
9
9
Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
4
9
2( 2)
2(m 2)
34
4
=
=
x1 + x2 =
9
m
9
4
34
34
7
x2 =
- x1 =
-3=
9
9
9
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

9
vào công trức tính tích hai nghiệm

4
9
3
m3
21
21
21
7
= 4
=
x1x2 =
=> x2 =
: x1 =
:3=
9
m
9
9
9
9

4

Cách 3: Thay m = -

13