Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC VỀ ĐỘNG HỌC QUÁ TRÌNH SẤY TÔM SÚ
MATHEMATICAL MODELING ON KINETICS OF SHRIMP DRYING PROCESS
TS. Nguyễn Văn Cương
Khoa Công Nghệ, Đại học Cần Thơ


TÓM TẮT
Nghiên cứu mô hình toán học về động học quá trình sấy có ý nghĩa quan trọng cho việc
xác định hệ số khuếch tán ẩm (D eff ), cũng như giúp hiểu rõ bản chất, phỏng đoán và giám sát
quá trình sấy. Trong nghiên cứu này, mô hình hóa toán học về động học quá trình sấy được thực
hiện đối với tôm sú (độ ẩm 81% - wb) với 3 phương pháp sấy khác nhau là sấy đối lưu không
khí nóng ở nhiệt độ 60 °C; sấy chân không có gia nhiệt bằng điện trở ở áp suất 70 mbar, nhiệt độ
60 °C; sấy chân không vi sóng trên thiết bị µWaveVac0150-lc (Püschner – Đức) ở điều kiện áp
suất chân không từ 60 mbar đến 120 mbar, năng lượng phát vi sóng từ 300 W đến 500 W. Sử
dụng mô hình toán Lewis kết hợp định luật 2 của Fick để xác định sự khuếch tán ẩm bên trong
và trên bề mặt vật liệu ra môi trường. Với các giá trị ban đầu và điều kiện biên thích hợp, giải
pháp Crank được áp dụng với giả thuyết vật liệu tôm sấy ở dạng tấm phẳng vô hạn, các công
thức toán học được đơn giản hóa để thể hiện quan hệ giữa hàm ẩm và hệ số khuếch tán thông
qua hàm số ln(𝑀𝑀𝑀𝑀) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡). Kết quả nghiên cứu đã xác định giá trị hệ số khuếch tán ẩm (D eff )
ứng với từng phương pháp sấy khác nhau; trong đó D eff với sấy chân không vi sóng có giá trị
lớn hơn đến 65 lần và đến 27 lần so với giá trị có được tương ứng ở sấy đối lưu và sấy chân
không.
Từ khóa: sấy tôm sú, động học quá trình sấy, mô hình hóa toán học, hệ số khuếch tán ẩm,
sấy chân không vi sóng.

ABSTRACT
Research on mathematical models of drying kinetics has important signification for
determining the effective diffusion coefficient (D eff ), as well as for understanding the nature,
conjecture and monitor the drying process. In this research, mathematical modeling of kinetics

of drying process is done for shrimp (81% - wb) with 3 different drying methods: hot air
convection drying at temperatures of 60 °C, vacuum drying at the pressure of 70 mbar and
temperature of 60 °C, microwave vacuum drying on µWaveVac0150-lc (Puschner - Germany)
in pressure conditions from 60 mbar to 120 mbar, microwave power from 300 W to 500 W.
Lewis mathematical model is applied, in combination with the second Fick's law, to identify the
effective diffusivity of moisture inside and on the surface of materials. With the appropritate
initial boundary conditions, the Crank’s solution is applied. By assumption that shrimp
appearance is as a infinite plate, the mathematical formula is simplified to show the relationship
between moisture content and diffusion coefficient through function ln(MR) = f (t). The results
showed that the effective diffusivity coefficient (D eff ) corresponding to each different drying
method were determined; in which value of D eff for vacuum microwave drying can reach up to
65 times and 27 times higher than the corresponding values obtained in convective drying and
vacuum drying, respectively.
Keywords: shrimp drying, drying kinetics, mathematical modelling, effective diffusivity
coefficient, microwave vacuum drying.

525


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Nghiên cứu mô hình toán học động học quá trình sấy có ý nghĩa quan trọng cho việc xác
định hệ số khuếch tán ẩm (D eff ), cũng như giúp hiểu rõ bản chất, phỏng đoán và giám sát quá
trình sấy. Mô hình toán học là phương pháp hiệu quả để hiểu rõ bản chất quá trình, phỏng đoán
và điều khiển các quá trình trong sản xuất và chế biến. Hiện nay, có khá nhiều mô hình toán học
được sử dụng trong thực nghiệm để xây dựng bài toán mô hình hóa toán học quá trình sấy. Các
mô hình toán học này có thể từ đơn giản như mô hình Lewis, đến phức tạp như mô hình
Modified Henderson và Pabis. Tùy theo từng điều kiện nghiên cứu mà các nhà nghiên cứu có
thể áp dụng những mô hình toán học khác nhau trong giải thuật (Bảng 1). Trong quá trình sấy,
việc xây dựng các mô hình toán nhằm mục đích để xác định một thông số liên quan và có ảnh

hưởng đến quá trình, đó là hệ số khuếch tán ẩm (D eff ) thông qua hàm ẩm.
Nghiên cứu này tập trung xây dựng mô hình toán về động học quá trình sấy, để tìm ra hệ
số khuếch tán ẩm trong quá trình sấy tôm sú bằng phương pháp sấy chân không vi sóng, kết hợp
với quá trình sấy chân không và sấy đối lưu để có được những so sánh, đánh giá hiệu suất
khuếch tán cũng như hiệu suất sấy của các phương pháp sấy được nghiên cứu.
Bảng 1: Một số mô hình toán học được sử dụng trong quá trình sấy [1-3]
TT

Tên mô hình

Công thức mô hình

Tác giả

1

Lewis

MR = exp(-kt)

Roberts et al., 2008

2

Page

MR = exp(-ktn)

Sun et al., 2007


3

Henderson and Pabis

MR = a.exp(-kt)

Erbay and Icier, 2010

4

Wang and Singh

MR = 1 + at +bt2

Akpinar, 2010

5

Logarithmic

MR = a.exp(-kt) + c

Wang et al., 2007

6

Two-term

MR = a.exp(-k 0 t) + b.exp(-k 1 t)


Zielinska & Markowski, 2010

7

Modified Henderson and
Pabis

MR = a.exp(-kt) + b.exp(-gt)
+ c.exp(-ht)

Karathanos, 1999

8

Midilli et al.

MR = a.exp(-ktn) + bt

Ruiz Celma et al., 2009

9

Approximation of diffusion

MR = a.exp(-kt) + (1-a)exp(-kbt) Yaldiz et al, 2001

10

Verma et al.


MR = a.exp(-kt) + (1-a)exp(-gt)

Verma et al., 1985

11

Sinplified Fick’s diffusion

MR = a.exp(-c(t/L2))

Diamante and Munro, 1993

Trong đó: MRlà tỉ lệ ẩm
t là thời gian (s);
k, h, g, a, b, c, L là các hằng số trong các phương trình tương ứng.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
2.1. Vật liệu sấy
Vật liệu sấy là tôm sú có độ ẩm ban đầu là 81% (wb), được bố trí thí nghiệm trong máy
sấy chân không vi sóng µWaveVac0150-lc (Püschner – Đức) với 2 thông số là độ chân không và
năng lượng phát vi sóng (Bảng 2). Ngoài ra, tôm còn được sấy bằng phương pháp sấy chân
không (60 mbar, 70 °C), sấy đối lưu ở nhiệt độ 70 °C.

526


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Bảng 2: Các giá trị biên của bố trí thí nghiệm sấy tôm với 2 thông số
Áp suất chân không P ck (mbar) Năng lượng vi sóng(W)

Các giá trị

Giá trị lớn nhất (+ α )

120

500

Giá trị nhỏ nhất (- α )

60

300

Điểm trung bình (0)

90

400

Giá trị của 1

21

71

Giá trị ở -1

69

329


Giá trị ở +1

111

471

Mẫu tôm được sấy chân không vi sóng ở điều kiện áp suất 60 ÷ 120 mbar, cường độ vi
sóng là 300 ÷ 500 W, tôm sú sau khi sấy có độ ẩm 8%. Mô hình bố trí thí nghiệm là phương
pháp RSP.
2.2. Phương pháp xây dựng mô hình toán để xác định hệ số khuếch tán
Mô hình Lewis được sử dụng cho nghiên cứu này do tính đơn giản và dễ áp dụng của nó.
Đồng thời, sử dụng định luật 2 của Fick để xác định sự khuếch tán hơi nước bên trong và trên bề
mặt vật liệu ra môi trường. Tương ứng với các giá trị ban đầu và điều kiện biên thích hợp, giải
pháp Crank được áp dụng với giả thuyết vật liệu tôm sấy ở dạng tấm phẳng vô hạn, các công
thức toán học được đơn giản hóa để thể hiện quan hệ giữa hàm ẩm và hệ số khuếch tán thông
qua hàm số ln(𝑀𝑀𝑀𝑀) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡).
Xác định độ ẩm (%) theo thời gian sấy
Xác định tỷ lệ ẩm theo thời gian sấy:
(-) MR = M ∞ − M t

M∞ − M0

Xây dựng hàm số Ln(MR) = f(t)

Tính hệ số góc k của hàm Ln(MR) = f(t)

Xác định hệ số khuếch tán (Deff)

Hình 1: Quy trình xác định hệ số khuếch tán ẩm trong mô hình toán
Các bước thực hiện xây dựng mô hình toán để xác định hệ số khuếch tán ẩm D eff trong

nghiên cứu được trình bày ở Hình 1. Trong suốt quá trình sấy, sự khuếch tán của nước bên trong
vật liệu và từ trên bề mặt vật liệu ra bên ngoài môi trường được xác định dựa vào định luật Fick
thứ 2 theo phương trình (1).
∂M
∂2M
= Deff ∇ 2 M = Deff
∂t
∂2 x

Trong đó: M - độ ẩm (%);
M ∞ - độ ẩm cân bằng của vật liệu sấy (%);

M t - độ ẩm vật liệu ứng với thời gian sấy t (%);

527

(1)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
M 0 - độ ẩm ban đầu của vật liệu (%);

t - thời gian sấy (s);
D eff - hệ số khuếch tán ẩm (m2/s);
x – phương khuếch tán ẩm ở vị trí quan sát.
Với các giá trị ban đầu và điều kiện biên thích hợp, Crank [4] đã đưa ra các giải pháp xác
định đối với các sản phẩm có hình dạng khác nhau, trong đó có vật liệu dạng tấm phẳng vô hạn.
 2n -1 2 π 2 D t
(
)

8 ∞
1
eff
MR =
exp  ∑
2
2
2

π n=1 ( 2n -1)
4L







(2)

Biểu thức (2) được khai triển Taylor, sẽ có các phương trình sau:
Với n = 1
MR
=

 π 2D t  
8 
eff
 exp  −


2
2


4
L
π 




(3)

Với n = 2
MR=

 π 2D t  1

π 2 D eff t  
8 
eff





exp
exp
9
−

+
−


4 L2  9
4 L2  
π2 





(4)

Với n = i
2 2



 2.2 -1 2 π 2D t 
 2.3-1 2 π 2D t  
(
)
(
)
1
1
eff 
eff 
 1 exp  - ( 2.1-1) π Deff t  +

exp  exp  +
+ ...
2
2
2
2
2
2
 ( 2.1 − 1)





 
2.2
1
2.3
1
−
−
(
)
(
)
4L
4L
4L
8 






 
MR =

 2.i -1 2 π 2D t 
π 2 
)
1

eff 
- (
...
exp
+
2


2


2.i
1
−
) 
4L
 (




(5)

Trong đó: L là nửa độ dày của sản phẩm. Khi sấy với thời gian dài, biểu thức (2) được khai
triển Taylor ứng với giá trị n = 1. Từ đó, phương trình (3) được viết lại dưới dạng logarit như sau:

π 2 Deff
8
ln(MR) = ln( 2 ) − (
)t
π
4 L2

(6)

Hệ số khuếch tán D eff được xác định qua phương pháp vẽ đồ thị Ln(MR) = f(t) của phương
trình (6); tương ứng với hệ số góc K, việc xác định hệ số khuếch tán trở nên đơn giản hơn.
K=

π 2 Deff

(7)

4 L2

3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
Hệ số khuếch tán ẩm (D eff ) là đại lượng đặc trưng cho quá trình sấy. Khi hệ số này tăng thì
quá trình khuếch tán ẩm càng nhanh, vật sấy được sấy khô nhanh hơn. Kết quả nghiên cứu cho
biết giá trị hệ số khuếch tán của quá trình sấy chân không vi sóng, sấy chân không và sấy đối lưu

không khí nóng.
Dựa vào kết quả nghiên cứu động học quá trình sấy tôm sú ứng với 11 thí nghiệm được bố
trí với sấy chân không vi sóng, 3 thí nghiệm sấy chân không và sấy đối lưu, các hệ số K, giá trị
D eff , R2 của quá trình sấy được xác định. Các kết quả được thể hiện ở Bảng 3 cho thấy giá trị
D eff đối với sấy chân không vi sóng dao động từ 6,53*10-8 đến 21,2*10-8 m2/s. Trong khi đó, giá
trị D eff đối với sấy chân không và sấy đối lưu không khí nóng lần lượt là 7,85*10-9 m2/s và
3,24*10-9 m2/s.
528


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Bảng 3: Kết quả tính toán mô hình toán học sấy tôm sú với 3 phương pháp sấy
P ck
(mbar)

Năng lượng
vi sóng (W)

Hệ số K
(1/s)

D eff
(m2/s)

R2

1

120


400

0,004988

7,28*10-8

0,94

2

90

500

0,008218

12,0*10-8

0,99

3

90

400

0,005243

7,65*10-8


0,98

4

111

471

0,014568

21,2*10-8

0,98

5

111

329

0,005092

7,44*10-8

0,99

-8

Sấy chân không vi sóng


Mẫu

6

90

400

0,006632

9,69*10

0,98

7

69

329

0,005970

8,72*10-8

0,99

8

69


471

0,010248

15,0*10-8

0,94

9

60

400

0,009823

14,3*10-8

0,94

10

90

300

0,004475

6,54*10-8


0,99

11

90

400

0,004473

6,53*10-8

0,96

Sấy chân không

60 mbar, 70 °C

0,000469

7,85*10-9

0,98

Sấy đối lưu

70 °C

0,000135


3,24*10-9

0,97

Kết quả nghiên cứu cho thấy, hệ số khuếch tán (D eff ) tăng lên làm ẩm thoát ra nhanh hơn,
thời gian sấy giảm, nghĩa là lúc này sự chênh lệch ẩm giữa vật liệu và môi trường tăng. Trong
máy sấy chân không vi sóng, hệ số khuếch tán tăng tương ứng với giá trị phát năng lượng vi
sóng cao, và áp suất chân không lớn.
4. KẾT LUẬN
Mô hình toán học động học quá trình sấy tôm sú được xây dựng đã xác định một cách gần đúng
giá trị hệ số khuếch tán của quá trình sấy qua thực nghiệm. Nghiên cứu này cho thấy những kết
quả bước đầu trong việc xây dựng mảng kiến thức về mô hình toán học của quá trình sấy, cũng
như xây dựng cơ sở dữ liệu về hệ số khuếch tán ẩm trong sấy chân không vi sóng đối với tôm sú
và một số sản phẩm khác.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

Ester Rodrigues, Jadir N. da Silva, M. A. Chaves., Modelling the Drying Kinetics of
Pineapple Slices in a Tray Dryer.

[2] Roberts J.S, Kidd D.R, Padilla-Zakour O., Drying kinetics of grape seeds. Journal of Food
Engineering, 2008, vol.89, pp.460-465.
[3] Thompson, T.L., Peart, R.M., Foster, G.H., Mathematical simulation of corn drying: A new
model. Transaction of the ASAE, 1968, vol.11, pp.582-586.
[4] Crank J; The Mathematics of Diffusion. 2nd edition Oxford (UK), Clarendon Press, 1975.
THÔNG TIN TÁC GIẢ
TS. Nguyễn Văn Cương. Bộ môn Kỹ Thuật Cơ Khí, Khoa Công Nghệ, Đại học Cần Thơ.
Email:

Điện thoại: 0989909034


529