MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NGUYỄN HỒNG ĐẠO
---------------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NĂM: 2015 – 2016

Tên đề tài:

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP QUỐC GIA

Giáo viên thực hiện: NGUYỄN THÀNH HƯNG
Tổ: TOÁN
Đơn vị công tác: TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
BÌNH ĐỊNH. NĂM 2015 – 2016
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 1


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT
NGHIỆP THPT QUỐC GIA
PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU
LỜI NÓI ĐẦU :
Hàm số là một trong những khái niệm rất cơ bản của toán học nói chung và toán học ở cấp trung
học phổ thông nói riêng. Quan điểm của hàm số được quán triệt xuyên suốt trong toàn bộ chương trình

toán ở cấp trung học phổ thông hiện nay. Các bài toán về hàm số được khai thác liên tục trong các kỳ thi
như: Tốt nghiệp quốc gia và kỳ thi học sinh giỏi toán các cấp. Lí thuyết về hàm số được định nghĩa cơ
bản đầy đủ từ lớp 10 được bổ xung các hàm sơ cấp ở lớp 11 và xét nâng cao thêm về đạo hàm và ứng
dụng của đạo hàm trong chương trình khối 12 vì vậy việc làm rõ hơn về hàm số và ứng dụng của hàm số
không chỉ giúp cho các em học sinh tự tin hơn khi học về hàm số mà còn giúp các em rất nhiều trong
việc nâng cao kỹ năng làm toán và ứng dụng vào trong thực tế cuộc sống hiện nay.
I.Lí do chọn đề tài:
Toán học nói chung và hàm số nói riêng có rất nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống hiện nay
cũng như trong các ngành khoa học khác. Có thể nói toán học là nền tảng để các em học sinh học tốt các
môn Khoa học tự nhiên khác. Trong chương trình sách giáo khoa lớp 10 cơ bản và nâng cao của Bộ
Giáo dục và Đào tạo đã trình bày rất rõ khái niệm hàm số và đã bắt đầu đề cập đến một ứng dụng của
hàm số là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cũng như trên một đoạn.
Trong chương trình khối 11, 12 tiếp tục đề cập đến bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
hàm số. Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh khối 12 hiểu rõ hơn về hàm số và ứng dụng của nó
để làm cơ sở và nền tảng kiến thức tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như chuẩn bị kiến thức, kỹ năng
ứng dụng vào thực tế cuộc sống hiện nay là điều cấp thiết.
1.Cơ sở lí thuyết:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
- Căn cứ vào Sách giáo khoa 12 cơ bản và nâng cao của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh trong việc học chương trình Sách giáo khoa Giải tích 12.
- Căn cứ vào chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán 12 cơ bản và nâng cao.
- Căn cứ vào phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số đã nêu trong Sách giáo khoa
Giải tích 12 cơ bản và nâng cao.
2.Cơ sở thực tiễn:
- Khả năng vận dụng linh hoạt phương pháp giải của học sinh còn rất yếu.
- Khả năng vận dụng công thức của học sinh còn rất yếu.
- Những thuận lợi và khó khăn của học sinh khi giải toán.
II.Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong giảng dạy tại các trường THPT trên
toàn tỉnh.

- Tạo ra tài liệu cho bản thân và học sinh tham khảo tự rèn luyện, ôn thi kì thi tốt nghiệp quốc gia năm
2016 tốt nhất.
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 2


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

- Đa số học sinh ở trường còn ít tài liệu để tham khảo và nghiêm cứu để giúp quá trình tự học tốt hơn.
III.Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài:
1.Nhiệm vụ: Trong đề tài này tập trung vào:
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một khoảng.
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn.
- Một số bài toán trong các đề thi đại học hiện nay là câu khó trong các đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia
năm 2016.
2.Yêu cầu:
- Nắm được phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng, trên đoạn, các bài hai biến,
ba biến trong các đề thi tốt nghiệp quốc gia.
a.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh các lớp khối 12 trong trường THPT Nguyễn Hồng Đạo đặc biệt là
lớp 12A5.
b.Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp từ các tài liệu:
- Sách giáo khoa 12 cơ bản và nâng cao(Nhà xuất bản giáo dục).
- Chuẩn kiến thức kỹ năng 12(Nhà xuất bản giáo dục).
- Sách giáo khoa 12(Chỉnh lí hợp nhất năm 2000).
- Đề thi Tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh đại học và các đề thi thử các trường THPT trên mạng.
- Tham gia và tài liệu bồi dưỡng chuyên môn hàng năm do Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định tổ chức.
- Tham khảo một số tài liệu như: Những Viên Kim Cương “Trần Phương”, các tài liệu khác trên
mạng,…
c.Thời gian thực hiện: Trong qua trình phân công giảng dạy khối 12 bậc trung học phổ thông

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
A.THỰC TRẠNG NẢY SINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
I. Đặc điểm tình hình lớp:
1. Đặc điểm chung:
Phù Cát có nhiều xã khó khăn như: Cát Minh, Cát Tài, Cát Thành, Cát Sơn... Trong đó trường
THPT Nguyễn Hồng Đạo tuyến sinh trên bốn xã: Cát Lâm, Cát Hanh, Cát Hiệp, Cát sơn mà đặc biệt Cát
Sơn là xã khó khăn hưởng các chế độ của xã miền núi khó khăn, ở đây có nhiều học sinh có hoàn cảnh
khó khăn cả về vật chất lẫn tinh thần do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở cho học tập còn hạn chế
gây ảnh hưởng không nhỏ đến việc nhận thức và phát triển năng lực học toán của các em. Sau khi nhận
lớp tôi tìm hiểu và nhận thấy việc nhận thức của các em học sinh không đồng đều về mặt kiến thức cũng
như về kỹ năng tính toán, kỹ năng giải toán do đó gây khó khăn nhiều cho giáo viên giảng dạy trong
việc lựa chọn phương pháp dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng hoc sinh. Đứng trước tình hình đó
để giúp các em học sinh học tốt hơn mình mạnh dạng viết sang kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ BÀI
TOÁN GTLN - GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA” để các em có kĩ năng
giải toán tốt hơn.
Đa số các em trong các gia đình chủ yếu bố mẹ nghề nông nên chưa quan tâm việc học của con
em mình. Đa số phụ huynh còn khoáng trắng con em mình cho nhà trường nên đa số các em chưa chú
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 3


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

tâm vào việc học của các em. Về nhà không ai nhắc nhở, tới trường thì ngồi chơi nên kiến thức và kỹ
năng giải toán ở trường còn rất kém.
2. Kết quả khảo sát đầu năm học:
Giỏi
Khá
Trung bình

Yếu
Kém
Lớp Sĩ số
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
12A5
40
3. Nguyên nhân
a. Nguyên nhân khách quan
- Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều nhất là phần đạo hàm của các hàm số và
các bài toán liên quan đến dấu của nhị thức cũng như tam thức.
- Phân phối chương trình toán 12 không có tiết ôn tập đầu năm số tiết học toán giảm nhiều so với
chương trình cũ nhưng nội dung nhìn chung không thay đổi nhiều.
- Học sinh hổng kiến thức quá nhiều, đa số các em trong lớp chỉ còn nhớ một vài công thức đạo hàm.
- Thời đại có nhiều sự thay đổi về công nghệ: điện thoại, facbook, zalo,… mạng xã hội đến khắp mọi
nơi đã làm cho thế học sinh không còn nhiều thời gian tập trung cho việc học nên chi phối đến kỹ năng
giải toán tại các trường cấp 3.
b. Nguyên nhân chủ quan
- Tuy là học sinh khối 12 nhưng đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn, chỉ biết trong
chờ vào người khác.
- Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện, khả năng tư duy sáng tạo trong việc học toán nói riêng
và học tập nói chung còn yếu.

- Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào
việc giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ năng giải toán nói chung ...quá yếu.
- Một số em chỉ nghỉ mình hiểu được bài trên lớp nhưng về nhà không làm lại nên kiến thức được học
không khắc sâu và kỹ năng tính toán nhìn chung là rất yếu.
II. Các giải pháp thực hiện:
Muốn đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là phần hàm số đòi hỏi học sinh cần nắm
vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát bài toán và định
hướng được phương pháp giải, biết vận dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể
dàng hơn, thuận lợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình bộ môn Toán
của trung học phổ thông. Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường
THPT với phương trâm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học Trong
đề tài này tôi đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “các phương pháp tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ
nhất của hàm số” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc học, rèn
luyện và ôn tập. Trong phạm vi đề tài, sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng
của hàm số vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là: “MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN –
GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA”. Trong đề tài của mình tôi chỉ
tập trung vào phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn và một số ứng
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 4


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

dụng nhỏ của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn vào các bài toán thực tế. Nhất
là tập trung vào khâu kỹ năng giải toán trong các bài toán “tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
hàm một biến, hai biến, ba biến”.
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Công thức đạo hàm:
Hàm số cơ bản

Hàm số hợp
(C)’=0(C là hằng số)
(x) ’=1
(x α )' = α. x α-1

(u α )' = α. u α-1. u'

1
1
    2 với x  0
x
 x

u/
1


với u  0
 
u2
u

/

Hàm lũy thừa

 

/


x

1



/

 

với (x > 0)

u

2 x
(sinx)' = cosx

(cosx)' = -sinx

Hàm Lượng
Giác

1

với x   k
2
cos x
2
1
(cotx)' = - 2 với x  k

sin x

(tanx)' =

(lnx)' =

Hàm Logarit
(log a x)' =

Hàm mũ

/



u/

với (u > 0)

2 u
(sinu)' = u'.cosu

(cosu)' = -u'.sin u

u'
π
với u  + kπ
2
cos u
2

u'
(cotu)' = - 2 với u  kπ
sin u
u'
(lnu)' = với u > 0
u
u'
(log a u)' =
với u > 0
ulna

(tanu)' =

1
với x > 0
x
1
với x > 0
xlna

(e x )' = e x

(eu )' = u'. e u

(a x )' = a x . lna

(a u )' = u'. a u . lna

II.Bất đẳng thức cơ bản:
1.Bất đẳng thức Cô–si:

- Với a, b  0, ta có:

ab
 ab .
2

Dấu "=" xảy ra  a = b.

abc 3
 abc . Dấu "=" xảy ra  a = b = c.
3
2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

- Với a, b, c  0, ta có:

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 5


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Điều kiện

a>0

Nội dung

x  0, x  x, x   x
x  a  a x  a

x  a
x  a  
x  a

a  b  ab  a  b
3. Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+ ab  c  a b; bc  a  bc ; ca  b  c a .
4. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x 2  y2 ) . Dấu "=" xảy ra  ay = bx.
C.NỘI DUNG
Trong tài liệu này minh chỉ đưa ra cách ra đề hiện nay trong các đề thi đại học và đề thi tốt nghiệp quốc
gia từ năm 2002 đến 2015. Tài liệu này nhìn lại cách ra đề của bài toán MAX. MIN trong các đề thi đại
học đã qua.
Nội dung của tài liệu viết về ba phần chính: Hàm số một biến, hàm số hai biến, hàm số ba biến.
I. HÀM SỐ MỘT BIẾN
1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN
a. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
DẠNG 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b]
BƯỚC 1:
Xét hàm số trên [a,b]
BƯỚC 2:
Tính y’
Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi  [a, b]
BƯỚC 3:
BƯỚC 4:

 


Tính y xi , y  a  , y  b 
Kết luận max y, min y .
[a,b]
[a,b]

DANG 2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] với f(x) là hàm lượng giác phức tạp
BƯỚC 1:
Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung
BƯỚC 2:
Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t  t [ ,  ] 
Ta được : g(t) = …
Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm ti  [ ,  ]
BƯỚC 3:

Tính g( ti) , g   , g   

BƯỚC 4:

Suy ra :

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 6


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

max y  max g  t   .... khi x  ....
[ , ]
[a,b]

min y  min g  t   .... khi x  ....
[ , ]
[a,b]
DẠNG 3 : Tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b]
BƯỚC 1:
Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]
BƯỚC 2:
Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )
BƯỚC 3:
Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc
[a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] )
Suy ra max y ( hoặc min y )
[a,b]
[a,b]
BƯỚC 4:

Cho max y = d (hoặc min y =d ) tìm m.
[a,b]
[a,b]

b. BÀI TẬP:
Bài 1.

x+1

(ĐH-KD-2003) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = √x2

+1

trên đoạn


[−1; 2].
Lời giải:
x+1

+Tập xác định: D = R nên hàm số y = √x2
+Ta có: y′ =

+1

xác định và liên tục trên đoạn[−1; 2].

1−x
x2 +1

y '  0 1  x  0  x  1  1; 2

+Khi đó: y (1)  0
+Vậy:

Bài 2.

y(1)  2

y (2) 

Max y  1 tại x  e3
x[-1;2]

3

5

Min y  0 tại x  1
x[-1;2]

(ĐH-KA-2004) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =

ln2 x
x

trên đoạn [1; e3 ].

Lời giải:
+Tập xác định: D = (0; +∞) nên hàm số y =
+Ta có: y′ =

ln2 x
x

xác định và liên tục trên đoạn [1; e3 ].

2lnx−ln2 x
x2

 x  1 1; e3 




ln x  0

y '  0  2ln x  ln 2 x  0  


ln x  2

+Khi đó: y (1)  0
+Vậy:

y (e 2 ) 

9
Max y  3 tại x  e3
3
e
x[1;e ]

4
e2

 x  e2  1; e3 



9
y (e3 )  3
e

Min y  0 tại x  1

x[1;e3 ]


GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 7


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

(ĐH-KD-2005) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + √4 − x 2 .
Lời giải:
+Tập xác định: D = [−2; 2] nên hàm số y = x + √4 − x 2 xác định và liên tục trên đoạn[−2; 2].
Bài 3.

+Ta có: y ′ =

√4−x2 −x
√4−x2

x  0


x  0
  x  2
y '  0  4  x2  x  0  4  x2  x  
2
2
4  x  x


 x  2   2; 2


  x   2

+Khi đó: y (2)  2

Min y  2 tại x  2

+Vậy: Max y  2 2 tại x  2
x[-2;2]

Bài 4.

y (2)  2

y( 2)  2 2
x[-2;2]

(ĐH-KA-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10 .
Lời giải:

+Tập xác định: D = [−2; 5] nên hàm số y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10 xác định và liên tục trên
đoạn[−2; 5].
+Ta có: y ' 

2 x  4



2 x  3


2  x  4 x  21 2  x 2  3x  10
2 x  4
2 x  3
y' 0 

2  x 2  4 x  4 2  x 2  3x  10
2

 (2 x  4)  x 2  3 x  10  (2 x  3)  x 2  4 x  21

(2 x  4)(2 x  3)  0

2
2
2
2




(2  x)  (3  2 x)  49   (3  2 x) (2  x)  25
(2 x  4)(2 x  3)  0

2
2
49(2  x)  25(3  2 x)
(2 x  4)(2 x  3)  0

  7(2  x)  5(3  2 x)
 7(2  x)  5(3  2 x)



(2 x  4)(2 x  3)  0

  x  1 ( n)
1
 
x
3
3

29

 x  (l )
17
 
1
y( )  2
+Khi đó: y (2)  3
3
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

y (5)  4

Page 8


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

+Vậy: Min y  2 tại x 

x[-2;5]

1
3

C. LUYỆN TẬP:
Bài 1. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) y 

1 3
x  x 2 trên đoạn 1;3
3

1
1
b) y   x 4  x 2  trên đoạn  0; 2
2
2

5

c) y  2 x3  3x 2  12 x  1 trên đoạn  2; 
2


d ) y  x3  3x 2  5 trên đoạn  1; 4

e) y  x 4  8 x 2  16 trên đoạn  1;3

 1

g ) y  x 4  x 2  1 trên đoạn 0; 
 2

Bài 2.

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) y 

x  2
1
trên đoạn  ; 4 
x2
2 

c) y  x  3 
e) y 

Bài 3.

9
trên đoạn 3;6
x2

2x
trên đoạn 1;3
3x  1

b) y 

1

trên đoạn  0;1
2 x

d)y 

x 2  3x
trên đoạn  0;3
x 1

g) y 

1 2x
trên đoạn  2;1
2x  4

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a) y  9  7 x 2 trên đoạn  1;1

b) y   x  6  x 2  4 trên đoạn  0;3

c) y  4  4  x 2

d)y 

x  1 trên đoạn 1; 2
 
x2  1

e) y   3  x  x 2  1 trên đoạn  0; 2
Bài 4.


Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) y  x.e 2 x trên đoạn  2;1

b) y  x  e x trên đoạn  1; 2

ln 2 x
c) y 
trên đoạn 1;e3 
x

d ) y  x ln x trên đoạn 1;e

ex
e) y  x
trên đoạn  ln 2;ln 4
e e

g ) y  x 2 .ln x trên đoạn 1;e

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 9


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

h) y  x.e  x trên đoạn  1; 2
Bài 5.


Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
 
b )y  sin 2x  x trên đoạn   ; 

3
a )y  2 sin x  sin 2x trên đoạn 0; 
 2 

c )y 
Bài 6.

 6 2

s in x
trên đoạn  0;  
2  cos x

d )y  3.x  2 sinx trên đoạn  0;  

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a ) y  2 cos 2x  4 s in x trên đoạn 0;  
 2

b ) y  2 sin3 x  cos 2 x  4 sin x  1

c ). y  e3 x  3e2 x  9e x  1 trên [0;1]

d ). y  4  (1  log22 x )2


Bài 7.

Tìm điều kiện của m để phương trình

Bài 8.

Tìm m để phương trình :

Bài 9.

Tìm m để phương trình

x2

2x

m

2x

1 có 2 nghiệm thực phân biệt.

1  x  8  x  ( 1  x )( 8  x )  m

x

1

3


Bài 10.

Tìm điều kiện của m để phương trình

Bài 11.

Cho phương trình :

x

(x
x
x

1
2

1 )( 3
m

x
x

m có nghiệm thực.

x)
2
1


có nghiệm

2

0 có nghiệm thực.

log 32 x  log 32 x  1  2m  1  0 ( 1 ) . Tìm m để phương trình (1) có ít

3
nhất một nghiệm trên 1;3 

Bài 12.

Tìm m để bất phương trình :

( 1  2x )( 3  x )  m  2x2  5x  3 nghiệm đúng với mọi

 1 
x    ; 3
 2 
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHỎANG
a. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b)
BƯỚC 1:
Xét hàm số trên (a,b)
BƯỚC 2:
Tính y’
Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )
BƯỚC 3:
Lập bảng biến thiên

BƯỚC 4:
Dựa vào BBT kết luận max y, min y .

 a,b 

 a,b 

b. BÀI TẬP:
Bài 1.

(2006 -db) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:. y  x 

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

11
7
 4(1  2 ); x  0
2x
x
Page 10


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Lời giải:
+Tập xác định: D = R nên hàm số y  x 
+Ta có: y '  1 




11

2 x2

11
7
 4(1  2 ) xác định và liên tục trên đoạn(0; +∞).
2x
x

28
2 x 3 4(1 

7
)
x2

(2 x 2  11) x 2  7
2 x2 x2  7

y '  0  (2 x 2  11) x 2  7  28

Đặt:

x 2  7  t , Đk: t  0

t  4
pt  2(t 2  7)  11 t  28  2t 3  25t  28  0   2
 t  4(n)
 2t  8t  7  0

 x  3  (0; )
 x2  7  4  x2  9  
 x  3  (0; )

+Bảng biến thiên:
x
0
+
y'
-

3
0

+

y
15
2

+Vậy: Min y 
x(0;+ )

Bài 2.

15
tại x  3
2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:. y 


x
.
x 4
2

Lời giải:
+Tập xác định: D = R nên hàm số y 
+Ta có: y ' 

x
xác định và liên tục trên đoạn R.
x 4
2

 x2  4
( x 2  4) 2

x  2
y '  0   x2  4  0  
 x  2
Và lim y  0 , lim y  0
x 

x 

+BBT:
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 11



MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

x

- 
+

y'

-2
-

y

2

0

+

0

-

1
4

0



1
4

0
1
4
1
+Vậy: Min y   tại x  2
xR
4
y (2)  

y (2) 

1
4

Max y 
xR

1
tại x  2
4

C. LUYỆN TẬP:

II. HÀM SỐ HAI BIẾN HOẶC BA BIẾN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Các bước để giải bài toán hai biến hoặc ba biến:
Bước 1: Đặt ẩn phụ
Bước 2: Đưa biểu thức về dạng theo biến chúng ta vừa đặt.
Bước 3: Sử dụng các phương phát đã học để tìm GTLN – GTNN
Bước 4: Kết luận
B. BÀI TẬP:
Bài 1. ( ĐỀ THI THỬ ĐH - Trường THPT Trần Đại Nghĩa) Cho số thực không âm x, y, z thoả
mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+yz+zx+

4
x yz

Lời giải:

1
 x  y  z  3
2
Ta coù: xy + yz + zx =  x  y  z    x 2  y 2  z 2  =

2
2
2

 x  y  z
Do ñoù P=

2

3


2



4
x yz

Vì 0  xy + yz + zx  x 2  y 2  z 2  3

 x  y  z
Neân 0 

2

3

 3  0   x  y  z  3  6  3   x  y  z  9
2

2

2
Suy ra 3  x  y  z  3

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 12


MỘT SỐ BÀI TỐN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA


Đặt t =x+y+z, 3  t  3

t2  3 4
P=

2
t
2
t 3 4
Xét f(t)=
 với 3  t  3
2
t
4 t3  4
f'(t)= t- 2  2
t
t
f '  t   0  t 3  4  t  3 4 (loại)

f

 3   4 33 ;

f  3 

13
3

13

khi 3  t  3
3
13
Do đó P 
3
13
Khi x=y=z=1 thì P=
3
Nên f  t  

Do đó giá trò lớn nhất của P là
Bài 2.

13
3

( ĐỀ THI ĐH THỬ ĐH - Trường THPT Châu Thành) Cho x, y là hai số thực dương thỏa
mãn 2 x  3 y  7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  2 xy  y  5( x 2  y 2 )  24 3 8( x  y )  ( x 2  y 2  3) .

Lời giải:
2

2x  2  3y  3 
  36  x  y  xy  5 .
2



Ta có: 6( x  1)( y  1)  (2 x  2)(3 y  3)  


Ta có: 5( x 2  y 2 )   2 x  y   5( x 2  y 2 )  2 x  y và
2

( x  y  3) 2  x 2  y 2  9  2 xy  6 x  6 y  0
 2( x  y  xy  3)  8( x  y )  ( x 2  y 2  3)

Suy ra P  2( xy  x  y)  24 3 2( x  y  xy  3)
Đặt t  x  y  xy, t   0;5 , P  f (t )  2t  24 3 2t  6
Ta có f / (t )  2 

24.2
3 3 (2t  6)2

2

3

(2t  6) 2  8
3

(2t  6) 2

 0, t   0;5

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 13



MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng  0;5 .
Suy ra min f (t )  f (5)  10  48 3 2 .

Bài 3.

x  2
Vậy min P  10  48 3 2, khi 
y 1
(ĐỀ THI ĐH THỬ - Trường THPT Lộc Hưng) Cho x  0, y  0 thỏa mãn

x2 y  xy 2  x  y  3xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(1  2 xy )2  3
Px y 
2 xy
2

2

Lời giải:

x 2 y  xy 2  x  y  3xy
+ Ta có
 xy ( x  y )  x  y  3xy (1) do x  0, y  0 nên x  y  0
(1)  x  y 

1 1
4
 3

 3  ( x  y ) 2  3( x  y )  4  0
x y
x y

 ( x  y )  1( x  y )  4  0  x  y  4
1
3
3
1

 1

xy x  y
x  y xy
1
3
Nên P  ( x  y ) 2  2 
 ( x  y )2  1 
xy
x y

(1)  1 

3
t

+Đặt x  y  t (t  4)  P  t 2   1  f (t )
3 2t 3  3
+ Ta có f '(t )  2t  2 
 0, t  4 Nên f(t) đồng biến trên  4;  

t
t2
71
 P  f (t )  f (4) 
4

Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng
Bài 4.

71
khi x = y = 2
4

(ĐỀ THI ĐH THỬ - Trường THPT Bình Thạnh) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)
.


yz
zx
xy

Lời giải:
Ta có :


P

2

2

2

2

2

2

x
x
y
y
z
z





y
z
z
x
x

y

(*)

Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  R
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 14


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Do đó : x3 + y3  xy(x + y) x, y > 0
Tương tự, ta có :

y2 z2

 yz
z
y

hay

x 2 y2

xy
y
x

x, y > 0


y, z > 0

z2 x 2

zx
x
z

x, z > 0

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1
1
3

Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy, minP = 2.
Bài 5.

(ĐỀ THỬ ĐH – Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng) Cho các số thực dương a,b,c đôi một
khác nhau thỏa mãn 2a  c và ab  bc  2c 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P

a
b
c


.
a b bc c a


Lời giải:
Theo giả thiết: 2a  c nên

a 1
a b b
a 2c
 ; ab  bc  2c 2  .   2  
1
c 2
c c c
c b

b 4
a 1
 nên 
c 3
c 2
c
3
Đặt t  thì 0  t 
b
4
a
b
1
2t 2  t
1
1
2

7
P c  c 
 2


 1

a b b
a 2t  t  1 1  t 2(1  t )
2t  1 6(1  t )

1 1
c c c
c

Vì

Xét hàm số f (t )  1 

2
7
 3

, t   0;  .
2t  1 6(1  t )
 4

 3
Ta có: f '(t )  0, t   0;  , do đó f (t ) đồng biến trên
 4


 3
 0; 
 4
3
27
Do đó GTLN của hàm số đạt tại t  , suy ra max P 
4
5
ab  bc  2c 2
Đẳng thức xảy ra khi 
 8a  3b  4c , chẳng hạn chọn được (a,b,c)=(3,8,6).
 2a  c
Bài 6.

(ĐỀ THI THỬ ĐH – Trường THPT Nguyễn Huệ) Cho x,y  R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ

x
nhất của P 

3

 y3    x2  y2 
( x  1)( y  1)

Lời giải:

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 15



MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA
2
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có xy  t

4

P

P

2
t 3  t 2  xy (3t  2)
. Do 3t - 2 > 0 và  xy   t nên ta có
4
xy  t  1

t 2 (3t  2)
t2
4

t2
t2
 t 1
4

t3  t2 

Xét hàm số f (t ) 

t

t2
t 2  4t
; f '(t ) 
; f’(t) = 0  t = 0 v t = 4.
t2
(t  2) 2

2

4
-

f’(t)

+

0

+

+

+

f(t)
8
x  y  4
x  2


Do đó min P = min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi 
(2; )
 xy  4
y  2
Bài 7. (ĐỀ THI THỬ ĐH – Trường THPT Lê Duẫn) Cho x, ,y, z là các số thực dương. Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức P 

2
3

3
x  xy  xyz
x yz

Lời giải:
1
1
2 x.8 y  3 2 x.8 y.32 z
4
8
 x  2 x  8 y  2 x  8 y  32 z  32  x  y  z   4  x  y  z 
8
24
24
3
3
2
Đặt t  x  y  z ; t  0  P  f  t   2 

2t
3t
3 1
f  t    3  2 ; f  t   0  t  1
t t
3
Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được Pmin   tại t=1
2
16

 x  21
x  y  z  1 
4


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x  8 y
 y 
21
2 x  32 z


1

 z  21


Ta có x  xy  3 xyz  x 

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO


Page 16


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Bài 8.

(ĐỀ THI THỬ ĐH - Trường THPT Lý Thường Kiệt) Cho 3 số thực x, y, z khác 0 thỏa
1 1 1
mãn: x  y  z  5 và x. y.z  1 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P   
x y z
Lời giải:
1 1 1 1 yz 1
P    
  x 5  x 
x y z x
yz
x
4
 x  03 2 2  x  4 x  3 2 2
x
1
1
Xét hàm số: f  x    x  5  x   f '  x    2  5  2x
x
x

Ta có:  y  z   4 yz   5  x  
2


2

Với: x  0  3  2 2  x  4  x  3  2 2
f '  x  0  x 

1
 x  1 2  x  1 2
2

Lập bảng biến thiên đúng
Tính được:

  

f 1  2   f  3  2 2   1  4

f 1 2  f 3  2 2  1 4 2

Bài 9.

2

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1  4 2
đạt tại: x  y  1  2, z  3  2 2 hay x  z  1  2, y  3  2 2
hoặc x  y  3  2 2, z  1  2 hay x  z  3  2 2, y  1  2
(ĐỀ THI THỬ ĐH - Trường THPT Nguyễn Trung Trực) Cho a, b, c là các số thực dương
thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P


2
abc
3
3  ab  bc  ca
1  a 1  b 1  c 
Lời giải:

Áp dụng Bất đẳng thức  x  y  z   3  xy  yz  zx , x, y, z 
2

 ab  bc  ca 

2

ta có:

 3abc  a  b  c   9abc  0

 ab  bc  ca  3 abc





Ta có: 1  a 1  b 1  c   1  3 abc , a, b, c  0. Thật vậy:
3

1  a 1  b 1  c   1   a  b  c    ab  bc  ca   abc 
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO


Page 17


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA



1  3 3 abc  3 3  abc   abc  1  3 abc
2

Khi đó P 



2

3 1  abc





3

abc
Q
1  3 abc




3

1

 abc
Đặt abc  t . Vì a, b, c  0 nên 0  abc  
 1
3 

2
t2

, t   0;1
Xét hàm số Q 
2
3 1  t 3  1  t
3

6

 Q 't  

2t  t  1  t 5  1

1  t 3  1  t 2 
2

2

 0, t   0;1


Do hàm số đồng biến trên  0;1 nên Q  Q  t   Q 1 
Từ (1) và (2) suy ra P 

5
6

 2

5
6

5
, đạt được khi và chỉ khi: a  b  c  1 .
6
(ĐỀ THI THỬ ĐH – Trường THPT Trần Phú) Cho ba số thực a, b, c thỏa:
a   0;1 , b   0;2 , c   0;3 .Tìm giá trị lớn nhất của

Vậy: max P 
Bài 10.

P

2  2ab  ac  bc 
8 b
b


1  2a  b  3c
b  c  b a  c  8

12a2  3b2  27c2  8

Ta có: a   0;1 , b   0;2 , c   0;3

Lời giải:

1  a  b  c   0
b  c  ab  ac


 2a  b  3c  2ab  bc  ac
 2  b  a  c   0 2a  2c  ab  bc


2  2ab  ac  bc  2  2ab  ac  bc 

1  2a  b  3c
1  2ab  ac  bc

Mặt khác b  c  a  b  c  ( vì a   0;1 )


8b
8b
8b


b  c  b  a  c   8 a  b  c   b  a  c   8 2ab  bc  ac  8

Với mọi số thực x, y, z, ta có


GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 18


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

 x  y    y  z   y  x 
2

2

2

 0  2  x 2  y 2  z2   2 xy  2 yz  2 xz

 3  x 2  y 2  z2    x  y  z 

2

2
2
 12a2  3b2  27c2  3  2a   b2   3c   



=>

b

12a  3b  27c  8
2

2

2



 2a  b  3c 

2

 2a  b  3c  2ab  bc  ac

b
2ab  bc  ac  8

Suy ra
2  2ab  bc  ac 
8b
b


1  2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  8 2ab  bc  ac  8
2  2ab  bc  ac 
8
P

1  2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  8

P

Đặt t  2ab  bc  ac  t   0;13
2t
8

, t   0;13
t 1 t  8
2
8
f 't  

, f 't   0  t  6
2
2
 t  1  t  8

Xét hàm số f  t  

16
47
16
; f 13  
 f  t   t   0;13
7
21
7
16
2
16

16
Do đó: P  . Khi a  1; b  2; c  thì P 
. Vậy giá trị lớn nhất của P là
7
3
7
7
Bài 11. (ĐH - 2015) Cho các số thực a, b, c thuộc [1;3] và thỏa mãn điều kiện a + b + c =6. Tìm giá
f  0   1; f  6  

trị lớn nhất của biểu thức: P 

a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2  12abc  72 1
 abc .
ab  bc  ca
2
Lời giải:

Đặt: t  ab  bc  ca
1
2
Mặt khác: (a  1)(b  1)(c  1)  0 , nên abc  ab  bc  ca  5  t  5 ; và (3  a)(3  b)(3  c)  0

Ta có: 36  (a  b  c)2  ((a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 )  3t  3t . Suy ra: t 12 .
nên 3t  3(ab  bc  ca)  abc  27  t  22 , suy ra t 11 . Vậy t [11;12] .
a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  12abc  72 1
t  72 t  5 t 2  5t  144
 abc 



Khi đó: P 
ab  bc  ca
2
t
2
2t
t 2  5t  144
trên [11;12]
2t
Do: f '(t )  0, t  [11;12] nên hàm f(t) đồng biến trên [11;12]
160
160
Suy ra: f (t )  f (11) 
. Do đó: P 
11
11

Xét hàm số: f (t ) 

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 19


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Ta có: a = 1, b = 2, c = 3 thỏa mãn điều kiện bài toán khi P 
Vậy: Giá trị lớn nhất của P:
Bài 12.


160
11

160
11

(ĐH – KA - 2014) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

x2
yz
1  yz


2
x  yz  x  1 x  y  z  1
9

Lời giải:
Ta có: 0  ( x  y  z )  x  y  z  2xy  2yz  2zx  2( 1  xy  xz  yz ),
2

2

2

2

Nên x 2  yz  x  1  x( x  y  z  1 )  ( 1  xy  xz  yz )  x( x  y  z  1 ).

Suy ra:

x2
x

.
2
x  yz  x  1 x  y  z  1

Mặt khác:
(x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2x(y + z) + 2yz = 2 + 2yz + 2x(y + z)
 2 + 2yz +[x 2 + (y + z) 2 ] = 4(1+ yz)

Do đó: P 

x2
yz
1  yz
xyz
( x  y  z )2




x 2  yz  x  1 x  y  z  1
9
x  y  z 1
36

Đặt: t  x  y  z, suy ra t  0 và t 2  ( x  y  z )2  ( x 2  y 2  z 2 )  2xy  2yz  2zx

 2  ( x 2  y 2 )  ( y 2  z 2 )  ( z 2  x 2 )  6 . Do đó: 0  t  6 .
t
t2

Xét f ( t ) 
với 0  t  6 .
t  1 36

Ta có: f '( t ) 

1
t
( t  2 )( t 2  4t  9 )
, nên f '( t )  0  t  2.



( t  1 )2 18
18( t  1 )2

5
31
6
5
Ta có: f ( 0 )  0; f ( 2 )  ; f ( 6 )  
, nên f ( t )  khi 0  t  6 .
9
9
30 5
5

9

5
9

Do đó: P  . Khi x = y = 1 và z = 0 thì P  . Do đó giá trị lớn nhất của P là
Bài 13.

5
.
9

(ĐH – KB - 2014) Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a+b)c >0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P =

a
+
bc

b
c

.
a  c 2a  b

Lời giải:
Bài 14.

(ĐH – KD – 2014) Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1  x  2; 1  y  2.


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P=

x  2y
y  2x
1
 2

.
x  3y  5 y  3x  5 4(x  y  1)
2

Lời giải:
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 20


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Do: 1  x  2 nên  x  1 x  2   0 , nghĩa là x 2  2  3x .
Tương tự: 1  y  2 nên  y  1 y  2   0 , nghĩa là y2  2  3y .
Suy ra: P 

x  2y
y  2x
1
xy

1
.




3x  3y  3 3y  3x  3 4(x  y  1) x  y  1 4(x  y  1)

Đặt: t  x  y , suy ra 2  t  4 . Xét f  t  
Ta có: f  t  

t
1
với 2  t  4 .

t  1 4  t  1

1
1
. Suy ra: f '(t)  0  t  3 .

2
(t  1) 4(t  1) 2

11
7
53
7
7
; f (3)  ; f (4) 

, nên f (t)  f (3)  . Do đó P  .
12
8
60
8
8
7
7
Khi x = 1, y = 2 thì P  . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là .
8
8

Mà: f (2) 

(ĐH – KA – 2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a  c)(b  c)  4c2 .

Bài 15.

32a 3
32b3
a 2  b2


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
(b  3c)3 (a  3c)3
c

Lời giải:
C. LUYỆN TẬP:
5

4

(ĐỀ THI THỬ ĐH - Trường THPT Lê Quí Đôn) Cho x là số thực thuộc đoạn [  1, ] .

Bài 1.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
5  4x  1  x
5  4x  2 1  x  6
(ĐỀ THI THỬ ĐH - Trường THPT Hoàng Văn Thụ) Cho a, b, c không âm và
P

Bài 2.

a 2  b 2  c 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  ab  bc  ca  5a  5b  5c  4
(ĐỀ THI THỬ ĐH – Trường THPT Trảng Bàng) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
a  b  c và a 2  b 2  c 2  5 .
(a  b)(b  c)(c  a )(ab  bc  ca )  4
Chứng minh rằng:

Bài 3.

(ĐH – KB – 2013 ) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 4.
P

4
a b c 4


Bài 5.

2

2

2



9
.
(a  b) (a  2c)(b  2c)

(ĐH – KD – 2013 ) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  y  1 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức P 

x y
x  xy  3 y
2

2



x  2y
.
6 x  y

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO


Page 21


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Bài 6.

(ĐH – KA – 2012 ) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  y  1 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P 

Bài 7.

x y
x  xy  3 y
2

2



x  2y
.
6 x  y

(ĐH – KB – 2012 ) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và
x 2  y 2  z 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x5  y 5  z 5 .

(ĐH – KD – 2012 ) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).

Bài 9. (ĐH – KA – 2011 ) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn 1; 4 và x  y, y  z . Tìm giá trị nhỏ
Bài 8.

nhất của biểu thức: P 
Bài 10.

x
y
z


2x  3y y  z z  x

(ĐH – KB – 2011 ) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2  a 2  b2   ab   a  b  ab  2  .

 a 3 b3   a 2 b 2 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4  3  3   9  2  2 
a 
b a  b

D.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Sau khi áp dụng sáng kiến tôi thu được kết quả cụ thể như sau
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Lớp Sĩ số
SL
%
SL

%
SL
%
SL
12A5 40

%

Kém
SL

%

PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa của đề tài đối với công tác giảng dạy, học tập.
- Tạo được sự hưng phấn và tự tin hơn cho giáo viên khi lên lớp.
- Tạo được nền tảng vững chắc hơn cho các em học tốt ở các lớp tiếp theo.
- Giúp cho giáo viên nắm vững được tùng đối tượng học sinh để từ đó lựa chọn được những phương
pháp giảng dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh.
- Giúp các em không còn thấy khó khăn khi giải câu cuối cùng của đề thi tốt nghiệp quốc gia năm 2016.
2. Khả năng áp dụng: Áp dụng cho toàn khối 12 cơ bản và nâng cao
3.Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển.
a. Đối với giáo viên.
- Nhắc lại các công thức biến đổi đã học ở lớp 10.
- Nêu các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
- Nêu phương pháp chung để giải từng loại bài tập.
- Sau khi giải phương trình xong cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của phương trình.
b. Đối với học sinh.
- Học sinh phải thật sự nỗ lực, kiên trì vượt khó, phải có óc tư duy sáng tạo để nắm vững đặc thù của
từng dạng phương trình và đề ra phương pháp giải cho phù hợp.

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Page 22


MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN- GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

- Phải thường xuyên rèn luyện kĩ năng tính toán, kĩ năng kết hợp nghiệm .
4. Đề xuất, kiến nghị : Nên phân các chuyên đề cho các giáo viên tự dạy thì giúp học sinh phân
dạng nhân hơn dạy theo sách giáo khoa.

Duyệt của tổ trưởng

Phù Cát, ngày 31 tháng 02 năm 2015
Giáo viên

Phạm Hồng Phúc

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO

Nguyễn Thành Hưng

Page 23