SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

PHẦN MỞ ĐẦU
I.Lý do chọn đề tài

Hiện nay, chương trình cải cách giáo dục ở đất nước ta đang diễn ra mạnh mẽ và
dần hoàn thiện. Điều đó đòi hỏi người dạy và học phải tìm tòi ra những phương pháp
tổng hợp một lượng kiến thức khá sâu và rộng phù hợp hơn với chương trình mới. Trong
chương trình cải cách toán Trung học phổ thông thì phân môn lượng giác đóng vai trò
khá quan trọng. Nó thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Đối
với các học sinh Trung Học Phổ Thông, giáo viên thì việc học và dạy toán lượng giác
tương đối gặp khá nhiều khó khăn, ít nhiều lúng túng. Vì tính đa dạng của nó nên không
thể có được một phương pháp chung để giải mọi phương trình lượng giác. Để giúp các
em học sinh phần nào trong việc định hướng và lựa chọn phương pháp giải phù hợp với
các bài toán THPT tôi đã nghiên cứu đề tài
“ Một số phương pháp giải phương trình lượng giác ”
II.Mục đích nghiên cứu
-Sau khi đề tài được thự hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung và giải
một số bài tập mẫu học sinh có thể vận dụng giải một số bài tập sách giáo khoa, sách bài
tập giúp các em phần nào có được nguồn kiến thức trong quá trình học tập và quá trình
ôn tập củng cố kiến thức cho các kì thi.
- Có được một số phương pháp giải toán phù hợp với bản thân góp phần thực hiện tốt
hơn cho việc giảng dạy ở hiện tại cũng như trong tương lai
-Góp phần phục vụ cho việc tổng hợp các phương pháp giải toán lượng giác Trung
học phổ thông.
III. Phạm vi nghiên cứu
Vì thời gian thực hiện đề tài tương đối ngắn và song song với việc thực hiện nhiều
công tác khác nên đề tài chỉ nghiên cứu chủ yếu các phương pháp giải phương trình
lượng giác tổng quát và mốt số dạng thường gặp.
IV.Phương pháp nghiên cứu
- Tham khảo SGK, sách giáo viên, sách bài tập và nhiều tài liệu khác..,

Trường THPT Tân Hưng

1

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác
- Tham khảo ý kiến đồng nghiệp.

- Kinh nghiệm giảng dạy.
- Khảo sát kết quả học tập của học sinh.
V. Bố cục đề tài: gồm ba phần
*PHẦN MỞ ĐẦU
Giới thiệu sơ lược về đề tài, phương pháp tiếp cận và thực hiện đề tài.
*PHẦN NỘI DUNG
Giới thiệu tổng quát các kiến thức cơ bản cần thiết và các phương pháp giải
phương trình lượng giác (có ví dụ minh hoạ).
I.Các công thức biến đổi lượng giác cơ bản
I.1. Các công thức biến đổi lượng giác cơ bản
I.2. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt; Cung liên kết
I.3.Công thức cộng
I.4.Công thức nhân
I.5 Công thức biến đổi tổng thành tích
I.6. Công thức biến đổi tích thành tổng
II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác
II.1Phương pháp đưa về phương trình lượng giác cơ bản
II.2.Phương pháp đưa về phương trình tích
II.3.Phương pháp đặt ẩn số phụ

II.4 phương pháp đối lập
II.5.Phương pháp tổng bình phương
* Một số chú ý quan trọng trước khi giải phương trình lượng giác
*PHẦN KẾT LUẬN
Nhận định về khả năng phát triển, tầm quan trọng và lợi ích của đề tài.

Trường THPT Tân Hưng

2

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

PHẦN NỘI DUNG
I.Các công thức và phép biến đổi lượng giác cơ bản.
I.1 Các công thức biến đổi lượng giác cơ bản.

sin x
cos x
;cot x =
cos x
sin x
2
tan x.cot x = 1;sin x + cos 2 x = 1
tan x =

1
1

;1 + cot 2 x =
2
cos x
sin 2 x
tan 2 x
cot 2 x
2
2
sin x =
; cos x =
1 + tan 2 x
1 + cot 2 x

1 + tan 2 x =

I.2 Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt; Cung liên kết.
I.2.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
30o

sin x

0
0

cos x

1

Tan x


0

Cot x

∞

3
2
3
3
3

45o

60o

2
2
2
2

3
2
1
2

1
2

90o

1
0

1

3

∞

1

3
3

0

120o

135o

150o

3
2
1
2

2
2
2

2

1
2

- 3

-1

3
3

-1

-

3
2
3
3
- 3

-

180o
0
-1
0
∞


I.2.2 Cung liên kết
a.Cung đối nhau
cos(-x) = cosx
tan(-x) = -tanx

sin(-x) = -sinx
cot(-x) = -cotx

b.Cung bù nhau
cos( π -x) = -cosx
tan(-x) = -tanx

sin( π -x) = sinx
cot( π -x) = -cotx

c. Cung phụ nhau

Trường THPT Tân Hưng

3

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

π
-x) = sinx
2


sin(

π
-x) = cosx
2

π
tan( -x) = cotx

cot(

π
-x) = tanx
2

cos(

2

d. Cung hơn kém π
cos( π +x) = -cosx

sin( π +x) = -sinx

tan( π +x) = tanx
e. Cung hơn kém

cot( π +x) = cotx
π
2


π
+x) = -sinx
2

sin(

π
+x) = cosx
2

π
tan( +x) = -tanx

cot(

π
+x) = -cotx
2

cos(

2

I.3 Công thức cộng
sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa
cos(a+b) = cosa.cosb – sina.cosb
cos(a-b) = cosa.cosb + sina.cosb
tan(a-b) =


tan a − tan b
π
;(a,b,a+b ≠ + kπ , k ∈ Z )
1 + tan a.tan b
2

tan(a+b) =

tan a + tan b
π
;(a,b,a+b ≠ + kπ , k ∈ Z )
1 − tan a.tan b
2

I.4 Công thức nhân
I.4.1 Công thức nhân đôi
sin2a =2.sinx.cosx
cos2a = cos2x– sin2x
= 2. cos2x -1
=1- 2. sin2x
tan 2a =

2 tan a
π
;(a ≠ + kπ , k ∈ Z)
2
1 − tan a
2


I.4.2 Công thức hạ bậc

Trường THPT Tân Hưng

4

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác
1
sin 2 a = (1 − cos2a )
2
cos 2 a =

1
(1 + cos2a )
2

tan 2 a =

1 − cos2a
π
;( a ≠ + kπ , k ∈ Z)
1 + cos2a
2

I.4.3 Công thức tính theo tan
sin a =


a
a π
= t; ( ≠ +k π , k ∈ Z )
2
2 2

2t
1− t2
2t
;
cos
a
=
; tan a =
2
2
1+ t
1+ t
1− t2

I.5 Công thức biến đổi tích thành tổng

1
sin ( a − b ) + sin ( a + b ) 
2
1
cos a.cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b ) 
2
1
sin a.sin b = cos ( a − b ) − cos ( a − b ) 

2
sin a.cos b =

I.6. Công thức biến đổi tổng thành tích

 a+b
 a −b 
sin a + sin b = 2sin 
÷cos 
÷
 2 
 2 
 a +b   a −b 
sin a − sin b = 2 cos 
÷sin 
÷
2

  2 
 a+b
 a −b 
cos a + cos b = 2 cos 
÷cos 
÷
 2 
 2 
 a +b   a −b 
cos a − cos b = −2sin 
÷sin 
÷

 2   2 

II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác
Trường THPT Tân Hưng

5

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

*Phương phháp chung
Thông thường để giải các PTLG ta thường thực hiện các bước sau:
- Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của các cung khác nhau thì ta sử dụng các
phép biến đổi tương đương đưa về phương trình các hàm lượng giác của một cung.
- Sau khi biến đổi nếu phương trình nhận được không nằm trong các dạng phương trình
quen thuộc thì ta có hai hướng sau:
Hướng 1: Biến đổi phương trình về các dạng phương trình cơ bản quen thuộc. Phương
pháp biến đổi này gồm có:
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp hạ bậc.
+ Phương pháp đưa về phương trình tích.
+ Phương pháp đối lập
Hướng 2: Dùng lập luận khẳng định phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất.
* Cụ thể ta có một số phương pháp sau:
II.2.1Phương pháp đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
a. Phương pháp: Dùng phép biến đổi lượng giác tương đương đưa về các dạng phương
trình lượng giác cơ bản đã biết để giải.
b. Các phương trình lượng giác cơ bản


 u ( x) = v( x) + k 2π
sin u ( x) = sin v( x) ⇔ 
( k ∈ Z)
 u ( x) = π − v( x) + k 2π
 u ( x) = v( x) + k 2π
cos u ( x) = cosv( x) ⇔ 
(k ∈ Z)
u
(
x
)
=
−
v
(
x
)
+
k
2
π

 cos u ( x) ≠ 0

tan u ( x ) = tan v( x) ⇔  cos v( x) ≠ 0
 u ( x ) = v ( x ) + kπ , k ∈ Z


c.Ví dụ:


* Ví dụ 1: cos( x +

Trường THPT Tân Hưng

π
π
) + sin(2 x + ) = 0 (1)
3
2
6

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Giải

π
π
π
π π
(1) ⇔ cos( x + ) = − sin(2 x + ) ⇔ cos( x + ) = − cos( − − 2 x)
3
2
3
2 2
π
π

⇔ cos( x + ) = − cos 2 x ⇔ cos( x + ) = cos(π − 2 x)
3
3

π
2π
2π


 x + 3 = π − 2 x + k 2π
x = 9 + k 3
⇔
( k ∈ Z) ⇔ 
(k ∈ Z)
π
4
π
 x + = −(π − 2 x) + k 2π
x =
− k 2π
3
3


Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x =

2π
2π
4π
+k

;x =
− k 2π (k ∈ Z)
9
3
3

* Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm thật kĩ.
* Ví dụ 2: sin 3 x.cos x − sin x.cos 3 x =

3
8

(2)

Giải:

3
1
3
⇔ .sin 2 x.( − cos 2 x) =
8
2
8
1
3
3
⇔ − .sin 4 x =
⇔ sin 4 x = −
4
8

2
π
π
⇔ sin 4 x = − sin ⇔ sin 4 x = sin(− )
3
3

(2) ⇔ sin x.cos x(sin 2 x − cos 2 x) =

π
π
π


 4 x = − 3 + k 2π
 x = − 12 + k 2
⇔
( k ∈ Z) ⇔ 
(k ∈ Z)
π
π
π
 4 x = π + + k 2π
x = + k


3
2
3
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm:


x=−

π
π
π
π
+ k ; x = + k (k ∈ Z)
12
2
3
2

II.2.Phương pháp đưa về phương trình tích.

Trường THPT Tân Hưng

7

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

II.2.1 Phương pháp: Sử dụng các phép đổi tương đương đưa phương trình đã cho
về dạng phương trình tích.
n

P ( x ) ⇔ ∏ Ai ( x ) = 0
i =1


 A1 ( x) = 0
 A ( x) = 0
 2
⇔ .

.
 An ( x) = 0


Giải các phương trình Ai=0; Tìm nghiệm và hợp tất cả các nghiệm đó chính là
nghiệm của phương trình ban đầu.
II.2.2. Bài tập ví dụ:
* Ví dụ 3) 1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 (3)
Giải
Cách 1:

(3) ⇔ 2cos 6 x + sin 4 x + 2 cos 2 x − 1 = 0
⇔ ( 1 + cos 2 x ) + ( cos 3 x + cos x ) = 0
⇔ 2 cos 2 x + 2 cos 2 x.cos x = 0
⇔ 2 cos x ( cos x + cos 2 x ) = 0
⇔ 2 cos

3x
x
.cos .cos x = 0
2
2



cos x = 0
π

x = + kπ
cos x = 0


3x
2
⇔ cos = 0 ⇔ 
⇔⇔ 
( k ∈ Z)
3x


π
2
k
π
2
cos = 0
x = +

2


x
3
3
cos = 0


2
Cách 2:

(3) ⇔ 1 + cos x + 2 cos 2 x − 1 + 4 cos 3 x − cos 3 x = 0
⇔ 4 cos3 x + 2 cos 2 x − 2 cos x = 0

Trường THPT Tân Hưng

8

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

⇔ ( 2 cos 2 x + cos x − 1) cos x = 0
1

⇔ 2 ( cos x + 1)  cos x − ÷.cos x = 0
2

π


x
=
+ kπ

cos x = 0

2


⇔ cos x + 1 = 0 ⇔  x = π + 2kπ ( k ∈ Z)


1
π
cos
x
−
=
0
 x = ± + 2 kπ


2
3

π

x
=
+ kπ ; k ∈ Z

2
⇔
( k ∈ Z)
π
2

k
π
x = +

3
3
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm là: x =

π
π 2 kπ
+ kπ ; x = +
( k ∈ Z)
2
3
3

Nhận xét: Cách 1 tỏ ra đơn giản hơn nhưng ta thấy vế phải là hằng số khác 0 hoặc chứa
tham số thì cách 2 là sự lựa chọn đúng đắn.
* Ví dụ 4: Giải phương trình:

sin 2 2 x + sin 2 4 x = sin 2 x + sin 2 3 x (4)
Giải

sin 2 2 x + sin 2 4 x = sin 2 x + sin 2 3 x
1 − cos4 x 1 − cos8x 1 − cos2x 1 − cos6x
⇔
+
=
+
2

2
2
2
⇔ cos 4 x + cos8 x = cos 2 x + cos 6 x
 4x + 8x 
 4 x − 8x 
 2x + 6x 
 2x − 6x 
⇔ 2 cos 
÷cos 
÷ = 2 cos 
÷cos 
÷
 2 
 2 
 2 
 2 
⇔ cos 6 x cos 2 x = cos 2 x cos 4 x
⇔ cos 2 x(cos 6 x − cos 4 x) = 0
cos 2 x = 0
⇔
cos 6 x − cos 4 x = 0
Trường THPT Tân Hưng

cos 2 x = 0
⇔
cos 6 x = cos 4 x
9

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông



SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

π
π
π


 2 x = 2 + kπ
x = 4 + k 2


⇔ 6 x = 4 x + k 2π , (k ∈ Z) ⇔  x = kπ
, (k ∈ Z)
6 x = −4 x + k 2π

π

x = k
5


Vậy phương trình (4) có nghiệm là: x =

π
π
π
+ k ; x = k ; x = kπ , k ∈ Z
4

2
5

III.3. Phương pháp đặt ẩn số phụ
III.3.1 Phương pháp: Có 2 cách đặt ẩn số phụ
+ Cách1: Đặt một ẩn phụ, đưa phương trình đã cho về một phương trình mới dễ giải hơn.
+ Cách 2: Đặt 2 ẩn phụ, đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số rồi giải.
III.3.2 Cách đặt ẩn phụ đối với một số loại phương trình lượng giác cơ bản.
a) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
+Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c (1)
x
2

+Đặt t = tan ;
Khi đó: sin x =

2t
1− t2
;
cos
x
=
(*)
1+ t2
1+ t2

Thay (*) vào (1) giải tìm t. Từ đó suy ra x.
Chú ý: Trước khi đặt t = tan

x

π
ta cần phải xét x = + kπ , k ∈ Z có phải là nghiệm
2
4

của phương trình (1) hay không.
b) Phương trình đối xứng loại 1
+Dạng phương trình: a (sin x ± cos x) n + b(sin x cos x ) m + d = 0; m, n ∈ ¥ (2)


t 2 −1
s inx cos x = 2
t = s inx + cos x
+Đặt 
, điều kiện t ≤ 2 (*) ⇒ 
t
=
s
inxcos
x
1− t2


s
inx
cos
x
=

2

Thay vào phương trình (2) giải tìm t thoả (*). Rồi từ đó suy ra x.
c) Phương trình đối xứng loại 2.
Trường THPT Tân Hưng

10

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác
n−1

n

+Dạng phương trình: f (tg n x ± cot g x, tg n −1 x ± cot g x,..., tgx ± cot gx ) = 0 ; n ∈ Z (3)

t = tan x − cot x, (t ∈ R )
+Đặt 
t = tan x + cot x, ( t ≤ 2)
Thay vào phương trình (3), đưa phương trình (3) về phương trình đa thức theo t. Giải tìm
t từ đó suy ra x.
III.2.2 Ví dụ
a)Ví dụ 5: Giải phương trình (s inx + cos x)3 + sin x cos x − 1 = 0 (5)
Giải: Đặt t = s inx + cos x đk: t ≤ 2

⇒ t 2 = 1 + 2sin x cos x
t 2 −1
⇒ sin x cos x =
2


t 2 −1
Thay vào (5) ta được: t +
−1 = 0
2
3

t −1 = 0
⇔ 2t 3 + t 2 − 3 = 0 ⇔ (t −1)(2t 2 + 3t + 3) = 0 ⇔  2
⇔ t = 1(n)
2t + 3t + 3 = 0
⇔ s inx + cos x = 1

⇔ sin( x +

π
4

)=

1
2

⇔ 2 sin( x +

π
4

) =1

π π


x + 4 = 4 + k 2π
⇔
( k ∈Z)
x + π = π − π + k 2π


4
4

 x = k 2π
π
⇔
( k ∈Z) ⇔ x = + k 2π , k ∈Z
π
 x = + k 2π
2

2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x =

π
+ k 2π , k ∈ Z
2

b) Ví dụ 6: Giải phương trình 3(tan x + cot x) − 2(tan 2 x + cot 2 x) − 2 = 0 (6)
Giải:

s inx ≠ 0

π
⇔cos2 x ≠ 0 ⇔x ≠ k , k ∈Z ( *)
+ Điều kiện: 
2
cos x ≠ 0
Trường THPT Tân Hưng

11

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

+ Đặt t = tan x + cot x ( t ≥ 2)
⇒ tan 2 x + 2 tan x.cot x + cot 2 x = t 2
⇒ tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2

Phương trình (6) trở thành :

3t − 2(t − 2) − 2 = 0 ⇔ 2t − 3t − 2 = 0
2

2

⇔ tan x + cot x = 2 ⇔ tan x +
⇔ tan x = 1 ⇔ tan x = tan

π
4


t = 2
⇔
⇔t = 2
t =− 1

2

1
= 2 ⇔ tan 2 x − 2 tan x +1 = 0
tan x

⇔x =

π

4

+ kπ ; k ∈Z

Vậy nghiệm của phương trình (6) là x =

π
+ kπ ; k ∈ Z
4

II.4.Phương pháp đối lập
II.4.1 Phương pháp
Để giải phương trình f(x)=g(x) ta cần chứng minh ∀x ∈ D f ∩ Dg : f ( x) ≤ g ( x )
( hoặc f ( x ) ≥ g ( x ) )

Ta thường giải quyết các vấn đề của bài toán bằng 3 cách sau:
+ Cách 1: Sử dụng tính bị chặn của hàm sin, cos.
+ Cách 2: Dùng các bất đẳng thức cơ bản là Cauchy và Bunhiakopsky.
*Bất đẳng thức Cauchy:
Cho n số không âm a1 , a2 ,..., an ta có bất đẳng thức a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1a2 ...an .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a1 = a2 = .... = an = 0

*Bất đẳng thức Bunhiakopsky:
Cho

2bộ

số

thực:

a1,a2,...,an

và

b1,b2,…,bn.

Ta

có

bất


đẳng

thức

a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ (a 21 + a 2 2 + ... + an 2 )(b 21 + b 2 2 + ... + bn 2 )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Trường THPT Tân Hưng

a
a1 a2
=
= ... = n
b1 b2
bn
12

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

+ Cách 3: Dùng phương pháp khảo sát hàm số ( cách này thường sử dụng trong các
chuyên đề luyện thi đại học)
II.4.2 Ví dụ
a)Ví dụ 7: Giải phương trình sin 3 x + cos 4 = 1 (7)
Giải
3
2


sin x ≤ 1
sin x ≤ sin x
4
3
⇒ 4
⇒
cos
x
+
sin
x ≤1
Ta có 
2
2
cos
x
≤
1
cos
x
≤
cos
x



3
2


sin x = sin x
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
4
2

cos x = cos x

3
2
sin x − sin x = 0
⇔ 4
⇔
2
 cos x − cos x = 0

  sin 2 x = 0

  sin x = 1
⇔
⇔
2

c
os
x
=
0

  cos 2 x = 1



2
sin x(sin x − 1) = 0
 2
2
 cos x(cos x − 1) = 0

  sin x = 0

  sin x = 1

2
  cos x = 0
  sin 2 x = 0


 x = kπ
 sin x = 0 
⇔
⇔
(k ∈ Z)
 x = π + kπ
 sin x = 1

2
 x = kπ
(k ∈ Z)
Vậy nghiệm của phương trình (7) là: 
 x = π + kπ


2
b) Ví dụ 8: Giải phương trình 1 −

x
π
= cos x (8) với 0 ≤ x ≤
2
2

Giải:

1−

x
x
= cos x ⇔ 1 − − cos x = 0
2
2

Trường THPT Tân Hưng

13

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Đặt


f ( x ) =1 −

x
−cos x
2

 π
÷
 2

''
Ta có f ' ( x ) = − x + s inx ⇒ f ( x) = −1 + cosx ≤ 0,∀x ∈ 0,

Bảng biến thiên

 π
Từ bảng biến thiên ta có: f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ 0, ÷
 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy phương trình đã cho một nghiệm x = 0.
II.5.Phương pháp tổng bình phương.
II.5.1 Phương pháp.
Phương pháp này sử dụng các hằng đẳng thức cơ bản như ( a ± b ) ; ( a ± b ± c )
2

2

hoặc đưa

A = 0


phương trình đã cho về dạng A + B + C = 0 ⇔  B = 0
C = 0

2

2

2

II.5.2 Ví dụ.
a) Ví dụ 9: Giải phương trình cos2 x − cos 6 x + 4(3sin x − 4sin 3 x + 1) = 0 (9)
Ta có: cos2 x − cos 6 x + 4(3sin x − 4sin 3 x + 1) = 0

Trường THPT Tân Hưng

14

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

⇔ (1 − 2sin 2 x) − (1 − 2sin 2 3 x) + 4sin 3 x + 4 = 0
⇔ 1 − 2 sin 2 x − 1 + 2sin 2 3 x + 4 sin 3 x + 4 = 0
⇔ −2sin 2 x + 2sin 2 3 x + 4 sin 3 x + 4 = 0
⇔ 2(1 + sin 3 x) 2 + 2(1 − sin 2 x) = 0 ⇔ (1 + sin 3 x) 2 + cos 2 x = 0

cos x = 0
⇔

1 + sin 3x = 0

π

 x = + kπ , k ∈ Z
⇔
2
sin 3 x = −1

π

 x = 2 + kπ
⇔
(k ∈ Z)
π
3 x = − + k 2π

2

⇔ x=

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x =

π
+ k 2π , k ∈ Z
2

π
+ k 2π , k ∈ Z .
2


b) Ví dụ 10: Giải phương trình 2sin 2 x + cos2 x + 2 2 sin x − 4 = 0 (10)
Ta có (10) ⇔ 2.2 sin x cos x + 1 − 2sin 2 x + 2 2 sin x − 4 = 0
⇔ 4 sin x cos x − 3 − 2 sin 2 x + 2 2 sin x = 0
3
⇔ 2 sin x cos x − sin 2 x + 2 sin x − = 0
2
1
⇔ −(1 − 2 sin x cos x) − (sin 2 x − 2 sin x + ) = 0
2
2 2
⇔ (sin x − cos x) 2 + (sin x −
) =0
2


π
  x = 4 + k 2π

  x = 3π + k 2π

2

π
sin x =
4
⇔
(k ∈ Z) ⇔ x = + k 2π , k ∈ Z
2 ⇔
4

sin x = cos x
  x = π − x + k 2π


2

  x = π + x + k 2π
 
2

Trường THPT Tân Hưng

15

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

* Một số chú ý quan trọng trước khi giải phương trình lượng giác
Chú ý 1: Về phương trình có chức ẩn ở mẫu số: ĐIỀU KIỆN MẪU KHÁC 0
a. Nếu phương trình có ẩn là tgx hoặc có chứa cosx ở mẫu số thì ta phải có điều
kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ kπ , k ∈ Z .
2

b. Nếu phương trình có ẩn là cotx hoặc có chứa sinx ở mẫu số thì ta phải có điều
kiện: s inx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ Z

Chú ý 2: Về phương trình vô tỉ
Nếu phương trình có chứa căn thức bậc chẵn thì nhớ buộc điều kiện biểu thức nằm
trong căn thức không âm.
Chú ý 3: Về việc dùng ẩn số phụ
Có một số phương trình ta phải dùng ẩn số phụ thì mới giải được hoặc thuận tiện cho
quá trình giải.
Nhưng chúng ta phải nhớ buộc đều kiện cho ẩn số phụ nghĩa là tìm miền xác định D của
các biểu thức có mặt trong phương trình theo đối số mới.
Chú ý 4: Tìm giao và hợp của các tập nghiệm
Giả sử khi giải phương trình lượng giác nào đó mà quá trình giải cuối cùng dẫn đến
việc phải tìm việc phải tìm giao (hợp) của 2 tập nghiệm E1 , E2
* Tìm giao của các tập
-

Nếu E1 ∩ E2 = E thì E là tập nghiệm phải tìm

-

Nếu E1 ⊂ E2 ⇒ E = E1

-

Nếu E2 ⊂ E1 ⇒ E = E2

-

Nếu E1 ∩ E2 = φ Phương trình vô nghiệm

Trường THPT Tân Hưng


16

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

* Tìm hợp của các tập hợp
-

Nếu E1 ∪ E2 = E thì E là tập nghiệm phải tìm

-

Nếu E1 ⊂ E2 ⇒ E = E2

-

Nếu E2 ⊂ E1 ⇒ E = E1

-

Nếu E1 = E2 = φ Phương trình vô nghiệm

Có nhiều cách xác định nghiệm của hệ:
- Cách 1:Liệt kê các phần tử trong từng tập nghiệm, từ đó làm cơ sở để xác định tập
nghiệm .
- Cách 2:Dùng đường tròn lượng giác
Tìm trên đường tròn lượng giác các điển ngọn của những cung thuộc các tập nghiệm,
chọn lấy những điểm ngọn chung (đối với giao) hoặc tất cả các điểm ngọn (đối với hợp).

Suy ra tập nghiệm E của phương trình

PHẦN KẾT LUẬN
1/ Đối với bài tập có liên quan đến phương trình lượng giác trong giảng dạy giáo viên
cần:
- Nhắc lại công thức biến đổi lượng giác đã học ở lớp 10.
- Nêu các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.
- Nêu các phương pháp chung để giải từng bài tập.
- Sau khi giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của
phương trình để kết luận nghiệm thâhtj chính xác.
- Có rất nhiều cách giải khác nhau để giải một phương trình lượng giác, vấn đề đặt ra là
chúng ta nên chọn cách giải nào? Theo tôi thì nên định hướng trước khi giải, nên chọn
cách ta thấy đơn giản, ngắn gọn, súc tích , dễ hiểu. Nến có thời gian cho học sinh tìm tòi,
suy nghĩ và định hướng cách giải, có thể các em sẽ tìm ra các hướng đi mới.
- Với bài viết tôi hi vọng các em học sinh sẽ cảm thấy học lượng giác không còn khó
khăn nữa và sẽ vận dụng tốt trong học tập.
2/ Kết quả khảo sát: Trong những năm qua khi nghiên cứu đề tài này và đư và giảng dạy
tôi thấy các em đã hiểu và vận dụng rất tốt vào giải bài tập.
Trường THPT Tân Hưng

17

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Năm học

Lớp


2011- 2012
2011 - 2012

11A3
11A1

Số học sinh biết áp dụng để giải

Số học sinh biết áp dụng để giải

bài tập khi chưa thực hiện đề tài
15%
40%

bài tập khi thực hiện đề tài
50%
85%

Mặc dù rất cố gắng tham khảo các tài liệu, tiếp thu nhiều ý kiến đóng góp của các đồng
nghiệp và đưa vào giảng dạy cho học sinh nhằm kiểm nghiệm và dần hoàn thiện đề tài.
Nhưng cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót vì kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và hội đồng khoa học để
tôi có thể học hỏi thêm kinh nghiệm và đề tài hoàn thiện hơn, có ứng dụng trong thực tế
giảng dạy. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Tân Hưng, ngày 20 tháng 10 năm 2012
Người viết
Nguyễn Thị Đông

Ý kiến của hội đồng khoa học trường:

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………....

Trường THPT Tân Hưng

18

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông


SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn, Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn -

Đại số và Giải tích 11 - NXB Giáo dục và đào tạo – 2005.
2.

Doãn Minh Cường, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Hắc Hải, Nguyễn Đức Hoàn -

Toán ôn thi Đại học Hình lượng giác - NXB Đại học sư phạm – 2003.
3.

Dương Quốc Tuấn, Lê Trọng Hùng, Nguyễn Hữu Báu, Trần Đức Nguyên,


Trần Thành Minh - Giải toán lượng giác 10 (dùng cho học sinh lớp chuyên) NXB Giáo dục- 2005.
5.

Đào Khải, Huỳnh Công Thái - Phương pháp giải toán lượng giác THPT-

NXB Đại học sư phạm-2005.
6.

Đoàn Huỳnh Lâm, Phan Huy Khải - Tuyển chọn những bài toán lượng giác

tập1 - NXB Giáo dục-2004.
7. Nguyễn Hoàng Khanh, Nguyễn Lê Thống Nhất, Nguyễn Tiến Việt, Nguyễn
Văn Quý – 450 bài tập toán lớp 11 – NXB Đà Nẵng – 2003.
8.

Nguyễn Phúc Tăng, Trương Văn Rua, Võ công Tuấn, Võ Duy Thuận - Ôn

luyện thi tuyển sinh lớp 10 môn toán - NXB Giáo dục-2008.
9.

Võ Đại Mau - Phương trình bất phương trình lương giác - NXB Trẻ Thành

phố Hồ Chí Minh - 1996

Trường THPT Tân Hưng

19

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông



SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

MỤC LỤC
 PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………………..1
I. Lí do chọ đề tài……………………………………………………………….....1
II. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………...1
III. Phạm vi nghiên cứu…………………………………………………………...1
IV. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………...1
V. Bố cục đề tài……………………………………………………………………2
 PHẦN NỘI DUNG……………………………………………………………...3
I. Các công thức và phép biến đổi lượng giác cơ bản……………………………..3
II. Các phương pháp giải phương trình lượng giác………………………………..6
 PHẦN KẾT LUẬN…………………………………………………………….17
 TÀI LIỆU THAM KHẢO………..…………………………………………….19

Trường THPT Tân Hưng

20

Giáo viên:Nguyễn Thị Đông