PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG
Phần I. Đặt vấn đề
TRƯỜNG THCS THỔ TANG

BÁO CÁO KẾT QUẢ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Môn: Toán
Tổ bộ môn: Toán – Lý – Tin
Mã:30
Người thực hiện: Lê Nguyệt Thu
Điện thoại: 0978119467, Email:

Vĩnh Tường, tháng 4 năm 2014

1


I.Lý do chọn đề tài
Đại số là một là một môn học có thể được xem là dễ học hơn so với bộ
môn hình học theo quan niệm của một số giáo viên và học sinh, nhưng để dạy
tốt- học tốt bộ môn đại số thì cũng không phải là điều dễ. Để học sinh có thể học
chắc, hình thành cho mình kĩ năng và phương pháp giải toán thì giáo viên cần
trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản cần thiết không chỉ là những kiến
thức cơ bản được đưa ra trong SGK mà giáo viên cần phải tham khảo các tài
liệu, chắt lọc những kiến thức cơ bản mở rộng, đúc rút những kinh nghiệm trong
quá trình giảng dạy để mở rộng kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh từ đó
nâng cao hiểu biết về kiến thức cũng như trau dồi phương pháp giải toán cho các
em. Để làm tốt được điều này đòi hỏi mỗi giáo viên toán phải thường xuyên
nghiên cứu, trăn trở để hệ thống lại những kiến thức theo từng chuyên đề lôgic

với nhau, biết tổng hợp các phương pháp giải từng dạng toán và các ứng dụng
của nó từ đó giúp học sinh hình thành cho mình những phương pháp giải từng
dạng toán, đó là chìa khoá để giải những bài toán khó, gây hứng thú học toán
cho học sinh.
Trải qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn toán, bản thân tôi đã tự nghiên
cứu tài liệu và học hỏi kinh nhiệm của các bạn đồng nghiệp để tìm ra các
phương pháp giải hay ngắn gọn cho từng dạng toán và ứng dụng của nó. Nhiều
năm liền tôi được nhà trường phân công dạy toán lớp 7, 8, 9 tôi thấy rằng : học
sinh thường ngại khi gặp các bài toán liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối. Có
những phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối rất đơn giản nhưng các
em vẫn lúng túng khi trình bày bài. Nguyên nhân là các em chưa hiểu cặn kẽ
định nghĩa về giá trị tuyệt đối, chưa phân định rõ ràng từng dạng bài vì vậy
không xác định được phương pháp giải. Mặt khác thời gian phân phối cho các
tiết học này rất ít vì vậy các em chưa nắm vững kiến thức về GTTĐ .
Sau khi dạy bài : Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, tôi
cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút :
Đề bài: Giải các phương trình sau:( mỗi câu 5 phút ):
1 / 2x + 1 = 5 ;

2/ x + 5 = 3x + 1 ;

3/ x + 1 + x − 1 = 10

Tỷ lệ học sinh làm bài cụ thể như sau:
Số HS
lớp 8B
dự khảo
sát:
40em


Làm được hoàn chỉnh trong thời
gian khảo sát 15 phút

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

Câu 1

2

5,0

5

12,5

20


50,0

13

32,5

Từ 11 – 15
phút

Trước 10 phút

Làm xong
nhưng hết > 15
phút

Không làm
được(hoặc
không đúng)

2


Câu 2

2

5,0

4


10,0

19

47,5

15

37,5

Câu 3

1

2,5

2

5,0

17

42,5

20

50,0

Qua kết quả khảo sát trên tôi nhận thấy học sinh chậm phát hiện ra cách

giải quyết vấn đề trong thời gian cho phép, nhiều học sinh có làm được nhưng
thời gian hết nhiều. Đa số các em giải rất máy móc đối với câu 1 nhiều em phớt
lờ xem như không có dấu giá trị tuyệt đối nên đã bỏ mất nghiệm.Với các
phương trình có chứa từ 2 dấu giá trị tuyệt đối trở nên các em rất lúng túng trong
vấn đề xét khoảng và lấy nghiệm số học sinh giải được câu 3 rất ít. Vậy làm thế
nào để học sinh dễ nắm được các kiến thức,nắm vững các phương pháp,các
bước giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .Trong nhiều năm qua từ thực
tế giảng dạy,trao đổi với đồng nghiệpvà các tài liệu tôi xin mạnh dạn đề xuất hệ
thống các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thường gặp và các
bước giải từng dạng phương trình này.Với hệ thống kiến thức này học sinh sẽ dễ
tiếp thu và giải thành thạo các phương trình chứa dấu giá trị tuyêt đối trong
chương trình toán 8.Tôt hi vọng rằng đề tài sẽ giúp ích cho các em học sinh ở
trường trung học cơ sở,từ đó các em có hứng thú học tập hơn, đạt được kết quả
cao hơn trong học tập và nghiên cứu.
II .Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu
2.1 Mục tiêu
_ Mục tiêu của đề tài phục vụ cho công tác giảng dạy ,bồi dưỡng học sinh giỏi,
học sinh đại trà và lạm tài liệu cho học sinh tự học tự nghiên cứu.
2.2 Phạm vi nghiên cứu
_Giới hạn đề tài: các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
_Đối tượng : nghiên cứu việc dạy và học môn toán ở trường THCS Thổ Tang
III .Phương pháp nghiên cứu
+Phương pháp nghiên cứu thực tiễn lý thuyết.
+Phương pháp phân tích, tổng kết kinh nghiệm
+Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
IV.Ý nghĩa thực tiễn
Đề tài dễ áp dụng,phù hợp với giáo viên và học sinh trong quá trình giảng
dạy và học tập.
V. Cấu trúc của chuyên đề
+Phần I :Đặt vấn đề

+Phấn II :Nội dung
+Phần III Kết kuận và kiến nghị

3


Trong phạm vi một đề tài SKKN tôi đưa ra: “Phương pháp giải các bài
toán có chứa dấu giá tị tuyệt đối” với mục đích nâng cao hiệu quả dạy học bộ
môn Đại số và giúp học sinh nhanh chóng tìm ra chìa khoá cho những bài toán
khó, cũng từ đó các em biết chọn cho mình những con đường đi ngắn nhất để
đến đích một cách nhanh chóng mà không còn vướng mắc, tạo cho các em hứng
thú học bộ môn Đại số nói riêng, bộ môn Toán nói chung. SKKN được nghiên
cứu trong thời gian từ tháng 9 năm 2011 đến tháng 4 năm 2013, với đối tượng
học sinh lớp 8 trường THCS Thổ Tang.
Phần II. Nội dung
A .Cơ sở lý luận
A.1Mục đich ý nghĩa của việc dạy giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt
đối
-Rèn cho học sinh những kỹ năng thực hành giải toán về phương trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối.
-Rèn cho học sinh các thao tác tư duy, so sánh,khái quát hóa ,trừu tượng
hóa,tương tự hóa......
-Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ
dàng các môm học khác,mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
-Ngoài ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận,sáng tạo
,chủ động trong giải toán.
A.2 Các kỹ năng ,kiến thức khi làm một số dạng toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối
-Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số
-Giá trị tuyệt đối của một số

- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của môt biểu thức
-Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
-Giải phương trình bậc nhất một ẩn
-Một số kiến thức khác có liên quan
B. Mô hình nghiên cứu
- Các bước tiến hành
-Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết SKKN
-Trao đổi thảo luận trong tổ
-Xây dựng đề cương

4


-Thu thptng hp s liu v ni dung phc v cho vic vit SKKN .Qua
cỏc ti liu,qua kho sỏt cỏc bi kim tra, cỏc gi luyn tp ,ụn tp,cỏc bui hc
chuyờn ,bui bi dng hc sinh gii.
-La chn h thng bi tp
-Kt lun
C. Vn dng lý lun vo thc tin

i. các kiến thức cơ bản về GIá TRị TUYệT Đối

Trớc khi đa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối cùng với phơng pháp giải
thì giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ đợc định nghĩa về giá trị
tuyệt đối, từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập.
1. Định nghĩa
a, Định nghĩa 1( lớp 6) :
Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là khoảng cách từ điểm a đến
điểm gốc 0 trên trục số ( hình 1).
-a

0
a
-a

Hình 1

a

Ví dụ 1:
3

a =3 a=
3
Do đó đẳng thức đã cho đợc nghiệm đúng bởi hai số tơng ứng với hai điểm
trên trục số ( hình 2)
-3

0

3

Hình 2
a = b

b
b
a= ; a = b a=
b
b
b > 0


Tổng quát:
Ví dụ 2:

a 3 nếu a 0

a 3

0 a 3
-3 a 3



-a 3 nếu a < 0

-3 a < 0

Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn [ 3;3] và
trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [ 3;3] ( hình
3)

5


-3
Ví dụ 3:

0

3


Hình 3
a 3 nếu a 0

a 3

a 3 nếu a 0
3 a hoặc a 3



-a 3 nếu a < 0

a -3 v nếu a < 0

Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (- ;
3] và [3; + ) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tơng ứng
với các khoảng số đó. (hình 4)
-3

0

3

Hình 4
a b
Tổng quát: a b
a b
b, Định nghĩa 2 ( lớp 7-9):
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu a là:

a nếu a 0
a =
-a nếu a < 0
Ví dụ1:
15 = 15
32 = 32
0 =0

1 = 1
17 = 17
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí hiệu
A(x) là:
A(x) nếu A(x) 0
A(x) =
-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:
2x - 1 nếu 2x- 1 0
2x 1 =

2x - 1 nếu x

1
2

=
-(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0

2. Các tính chất
2.1. Tính chất 1:


1 - 2x nếu x <

1
2

a 0 a

2.2. Tính chất 2: a = 0 a = 0
2.3. Tính chất 3: - a a a

6


trên

2.4 Tính chất 4: a = a
Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối ngời ta rễ thấy đợc các tính chất
2.5. Tính chất 5: a + b a + b
Thật vậy: - a a a ; - b a b -( a + b ) a + b a +
b
2.6. Tính chất 6:
a - b a b a + b

Thật vậy: a = a b + b a b + b a b a b

(1)

a b = a + ( b) a + b = a + b a b a + b (2)
Từ (1) và (2) đpcm.


2.7. Tính chất 7:

a b a b

Thật vậy: a b a b

(1)
(2)

b a b a = (b a ) = a b ( a b ) a b
a b
ab =
(3)
( a b )

Từ (1), (2) và (3) a b a b

(4)

a b a b a (b) a + b a b a + b
Từ (4) và (5) đpcm.

(5)

2.8. Tính chất 8:

a.b = a . b

Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0
(1)

a.b = a . b
a > 0 và b > 0 a = a, b = b và a.b > 0
a.b = a.b = a . b a.b = a . b (2)
a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và a.b > 0
a.b = a.b = ( a)(b) = a . b a.b = a . b

(3)

a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và a.b < 0
a.b = a.b = a.(b) = a . b a.b = a . b (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
2.9. Tính chất 9:
a
a
= (b 0)
b
b

Thật vậy: a = 0

a
a
a
=0 = 0
b
b
b

(1)


7


a > 0 vµ b > 0 ⇒ a = a, b = b vµ

a
a a a
>0⇒ = =
b
b b b

a
a a −a a
>0⇒ = =
=
b
b b −b b

(3)

a
a
a
a
a
<0⇒ =− =
=
b
b
b −b b


(4)

a < 0 vµ b < 0 ⇒ a = -a, b = -b vµ
a > 0 vµ b < 0 ⇒ a = a, b = -b vµ

(2)

Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ⇒ ®pcm.
II) CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng 1. Phương trình bậc nhất dạng:
A = a ( A là nhị thức bậc nhất ,a là hằng số).

Phương pháp giải :
a) Nếu a<0 kết luận phương trình vô nghiệm.
b) Nếu a ≥ 0

đưa về phương trình : A = a hoặc A = - a

Bài tập ví dụ: Giải các phương trình:
1) 2 x + 4 = −8

2) 3x − 2 = 5

3) 10 x + 40 = 0

Giải :
1) 2 x + 4 = −8 PT vô nghiệm vì VT luôn không âm với mọi x còn vế phải luôn
âm.

7

 3x − 2 = 5
x=

⇔
2) 3x − 2 = 5 ⇔ 
3
 x = −1
3 x − 2 = −5


7
3

Vậy PT có hai nghiệm là: x1= ; x2=-1

3) 10 x + 40 = 0 ⇔ 10x + 40 = 0 ⇔ x = −4 . PT có nghiệm là : x = - 4.
Dạng 2. phương trình bậc nhất dạng: A = B ( A,B là các nhị thức)
1. Phương pháp giải:
Cách 1: Nếu A ≥ 0 phương trình có dạng: A = B
Nếu A<0 phương trình có dạng: -A = B
Nghiệm của các phương trình trên thoả mãn điều kiện trong từng khoảng đang
xét là nghiệm của PT đã cho.
B ≥ 0
 B≥0
Hoặc 
A = B
 A = −B


Cách 2: A = B ⇔ 
2. Bài tập ví dụ:

Bài 1: Giải các phương trình:

8


1) 3x − 1 + 2 = 3x + 4
2) x − 3 = x + 1
3) x − 2005 = x − 2005
Giải:

−2
x ≥


  3x + 2 ≥ 0
 − 1 =32


3x − 1 = 3x + 2
1) 3x − 1 + 2 = 3x + 4 ⇔  3x + 2 ≥ 0 ⇔  x ≥ − 2

3
3 x − 1 = −3 x − 2

−1

 x =

6


Vậy : PT có nghiệm là x=

−1
6

2) x − 3 = x + 1
Nếu x ≥ 0 phương trình đã cho tương đương với pt: Do x ≥ 0 nên x + 1> 0
Khi đó : x − 3 = x + 1 ⇔ x − 3 = x + 1 hoặc x - 3= - x - 1
* x − 3 = x + 1 ⇔ −3 = 1 ( vô lý)
* x - 3= - x - 1 ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 )
Nếu x < 0 phương trình đã cho tương đương Với: − x − 3 = x + 1
  −1 ≤ x < 0
  −1 ≤ x < 0


x + 3 = x +1
⇔ x + 3 = x +1 ⇔  
⇔  2 = 0(volý )
 − 1 ≤ x < 0
 −1 ≤ x < 0
 x + 3 = − x − 1
 x = −2( Loai )


Vậy PT đã cho có nghiệm là: x=1
3)


x − 2005 = x − 2005 ⇔ x − 2005 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2005

Vậy Phương trình có vô số nghiệm thoả mãn x ≥ 2005 .
Bài 2: Giải pt :

x − 1 = 3 x + 2m (1) (m là tham số).

Giải :

9



− 2m
 x ≥ 3

  3 x + 2m ≥ 0
− 2m − 1
 x =

x − 1 = 3 x + 2m
2
⇔
⇔ 

− 2m
  3 x + 2m ≥ 0
 x≥
  x − 1 = −3 x − 2 m
3



1
−
2m
 x =
4
 

x − 1 = 3 x + 2m

Vậy để phương trình (1) có nghiệm thì phải có:
− 2m − 1
2m
1 − 2m − 2m
≥−
≥
hoặc:
2
3
4
3

a)Nếu

− 2m − 1
2m
3
≥−
⇔m≤−

2
3
2

b)Nếu

1 − 2m − 2m
−3
≥
⇔m≥
4
3
2

Tóm lại: m ≤ −
m≤−

3
2m + 1
thì pt (1) có nghiệm x = 2
2

3
1 − 2m
thì pt (1) có nghiệm x =
2
4

Bài 3: Giải PT sau theo tham số m.
m x − 3 = 4 − m (1)

 0Hoặc
mx − 3 = 4 − m

1) Nếu m>0 phương trình (1) ⇔ mx − 3 = 4 − m ⇔ 
 0
mx − 3 = m − 4
 07−m
⇔
 x= m

0 < m ≤ 4

Hoặc  x = m − 1


m

2) Nếu m < 0 phương trình (1) ⇔ − mx − 3 = 4 − m ⇔ mx + 3 = 4 − m
(Vì m < 0 nên 4- m > 0)
 m < 0
m<0
m<0


⇔
⇔
Hoặc: 

 x = 1 − m Hoặc
mx + 3 = 4 − m
mx + 3 = m − 4

m

 m < 0
x = m − 7

m

Tóm lại:
• Nếu m < 0 thì phương trình có nghiệm là:

x=

1− m
m−7
hoặc x =
m
m

10


Nu 0 < m 4 thỡ phng trỡnh cú nghim l: x=

7m
m 1
hoc x =

m
m

Nu m = 4 thỡ phng trỡnh cú nghim l:

x=

3
4

Nu m= 0 hoc m > 4 thỡ phng trỡnh vụ nghim .

Dng 3. Phng trỡnh bc nht dng: A = B (A,B là các nhị thức).
1) Phng phỏp gii: A = B A =B Hoc A = - B

2) Bi tp vớ d:
2 x 2005 = 2005 x 2

x = 1


Bi1: Gii phng trỡnh: 2 x 2005 = 2005 x 2
2 x 2005 = 2 2005 x
x =1

Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l: x = - 1 v x = 1.
Bi 2: Gii phng trỡnh:
5x 1 2 = 4 x 3
5 x 1 = 4 x 1(1)
5x 1 2 = 4x 3

(1)
5x 1 2 = 3 4 x
5 x 1 = 5 4 x(2)


1
5
x
x




4
4
4 x 1 0
5 4 x 0
x = 0(loai

)

2




x =
5x 1 = 4x 1
5x 1 = 5 4x

1 (2)
3
x
4 x 1 0
5 4 x 0



5

4
5 x 1 = 1 4 x
5 x 1 = 4 5 x

x
2



x
=
(
loai
)

x = 44

9


x=

2
; x = 4
3
2
3

Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim l: x = ; x = 4 .
x +1
3
+
= 2 (1)
x +1
3
Điều kiện xác định của phơng trình là x -1
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
x +1
Cách 1: Đặt t =
điều kiện t > 0
3
1
Khi đó (1) + t = 2 t 2 2t + 1 = 0 t = 1
t
x +1
x + 1 = 3
x = 2

=1 x +1 = 3

3
x + 1 = 3 x = 4

Bài 3: Giải phơng trình:

11


Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
x +1
3
3 x +1
VT =
=2
+
2
.
x +1
3
x +1 3
Ta thấy dấu bằng xảy ra (Tức là

x +1
3
+
= 2)

x +1
3

x +1
x + 1 = 3
x = 2
3
=
9 = (x + 1)2

x +1
3
x + 1 = 3 x = 4
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Đối với những phơng trình có từ giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách
đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối. Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x
làm mốc để xác định biểu thức trong trị tuyệt đối âm hay không âm. Những giá
trị x này sẽ chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số các trị tuyệt
đối là 1. Khi đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và
giải phơng trình tìm đợc.
khi

Bài 4: Giải phơng trình: x 1 + x 3 = 2
Ta thấy x - 1 0 x 1
x-3 0 x 3
Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trờng
hợp.
+Trờng hợp 1: Nếu x < 1
Khi đó phơng trình có dạng:
- x + 1 - x + 3 = 2 -2x = - 2 x = 1 (không t/m đk)

+Trờng hợp 2: Nếu 1 x < 3.
Khi đó ta có phơng trình:
x - 1 - x + 3 = 2 0x = 0 luôn đúng => 1 x < 3 là nghiệm.
+Trờng hợp 3: Nếu x 3
Khi đó phơng trình có dạng:
x - 1 + x - 3 = 2 2x = 6 x = 3 (t/m đk)
Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 3
III. BT PHNG TRèNH CHA N TRONG DU GI TR TUYT I .

Dng 1: a) f ( x) < a
b) f ( x) < g ( x)
1)Phng phỏp gii:
a) f ( x) < a a < f ( x) < a (vi a>0)
b) f ( x) < g ( x) g ( x) < f ( x) < g ( x)
2) Bi tp vớ d:
12


Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x + 3 < 7 ⇔ −7 < 2 x + 3 < 7 ⇔ −5 < x < 2
− 5 < x < 2.

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

1

2 x − 2 > − x − 1
1
x >
2

x
−
1
<
x
+
1
⇔
⇔
b)


3⇔ < x<3
3
 2x − 2 < x + 1
 x < 3

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

1
< x < 3.
3

Dạng 2: a) f ( x) > a
b) f ( x) > g ( x)
1) Phương pháp giải:
 f ( x) < −a

a) f ( x) > a 
 f ( x) > a

(với a>0).

 f ( x) > g ( x )

b) f ( x) > g ( x) ⇔ 
 f ( x) < − g ( x)
2) Bài tập áp dụng:
a) 2 x − 3 > 5
b) x − 3 >

x +1
2

Giải:
2 x − 3 < −5
a) 2 x − 3 > 5 ⇔ 
⇔
 2x − 3 > 5

 x < −1
x>4

5

2( x − 3) < − x − 1
x +1
x<
b) x − 3 >
⇔

⇔
3
2
x > 7
 2( x − 3) > x + 1


Dạng 3: f ( x) > g ( x)
1) Phương pháp giải:
f ( x ) > g ( x ) ⇔ [ f ( x ) ] 2 > [ g ( x )] 2

2) Bài tập áp dụng: Giải bất phương trình:
x − 3 > x + 2 ⇔ ( x − 3) 2 > ( x + 2) 2 ⇔ x 2 − 6 x + 9 > x 2 + 4 x + 4 ⇔ x <

1
2

Dạng 4:

13


 f ( x ) + g ( x ) > m  f ( x ) − g ( x ) > m − f ( x ) − g ( x ) > m



f ( x) < 0
a) f ( x) + g ( x) > m ⇔ (1) f ( x) ≥ 0 (2) f ( x) ≥ 0 (3)




g ( x) ≥ 0
g ( x) < 0
g ( x) < 0



− f ( x ) + g ( x ) > m

f ( x) < 0
(4) 

g ( x) ≥ 0


(Có thể lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối để việc xét khoảng thuận tiện
hơn)
b) f ( x) + g ( x) > h( x)
Đối với dạng này ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối rồi giải bất PT
trong từng khoảng .
Bài tập ví dụ:
Giải các bất phương trình sau:
a) x + 1 + x − 1 > 5
5
2

• Nếu x < -1 ta có bất phương trình: - x – 1 + 1 – x > 5 ⇔ x < − (thỏa mãn
điều kiện)
• Nếu -1 ≤ x ≤ 1 ta có bất phương trình: x + 1 + 1 – x > 5 ⇔ 0 x > 5 vô nghiệm.
5

2

• Nếu x > 1 ta có bất phương trình: x + 1 + x – 1 > 5 ⇔ 2 x > 5 ⇔ x > (thỏa
mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: ⇔ x < −

5
5
hoặc x > .
2
2

b) x − 1 + x − 2 > x + 3
• Nếu x< 1 ta có bất phương trình: 1 - x +2 - x > x + 3 ⇔ x < 0 (thỏa mãn
điều kiện).
• Nếu 1 ≤ x ≤ 2 ta có bất phương trình: x-1+2 - x > x + 3 ⇔ x < −2 ( Không
thuộc khoảng đang xét).
• Nếu x > 2 ta có bất phương trình: x – 1 + x – 2 > x + 3 ⇔ x > 6 (Thỏa mãn
điều kiện).
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: ⇔ x < 0 hoặc x > 6 .
Bài tập áp dụng :
Giải các bất phương trình sau :

14


1) x − 2 < 4
2) 3x − 2 < x + 1
3) x + 1 > x − 2
4) x − 1 > x + 2 − 3

3
5) x + 1 ≥ x + 1

IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỈ ĐƯA VỀ PT CÓ CHƯA DẤU GTTĐ

Bài tập 1:Giải các phương trình :
3

2
a) x x + 3 − x + x + 1 = 1

b) x − 3 x + 2 = 0

Giải :
1
2

a) Ta có : x2 + x+1=(x+ )2+

3
> 0 Do đó : x 2 + x + 1 = x 2 + x + 1 .
4

Phương trình đã cho tương đương với:
x x + 3 − x 2 + x + 1 = 1 ⇔ x x + 3 = x 2 + x + 1 + 1 ⇔ x x + 3 = x 2 + x + 2(1)

• Nếu x ≥ - 3 PT (1) ⇔ x( x + 3) = x 2 + x + 2 ⇔ 2 x = 2 ⇔ x = 1 (thỏa mãn).
• Nếu x < - 3 PT (1) ⇔ x(− x − 3) = x 2 + x + 2 ⇔ − x 2 − 3x = x 2 + x + 2 .
⇔ 2 x 2 + 4 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 1) 2 = 0 ⇔ x = −1 ( loại vì không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x=1.
b) Đặt t = x > 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình:
t3-3t +2 =0 ⇔ t 3 − t − 2t + 2 = 0 ⇔ (t 3 − t ) − 2(t − 1) = 0 ⇔ t (t 2 − 1) − 2(t − 1) = 0
⇔ t (t − 1)(t + 1) − 2(t − 1) = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + t − 2) = 0 ⇔ (t − 1) 2 (t + 2) = 0 ⇔ t = 1 (thỏa mãn

điều kiện t >0) hoặc t = - 2 (Loại vì không thỏa mãn điều kiện t > 0).
* Với t =1 ta có x= ± 1
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm : S = { − 1;1} .
Bài 2: Giải phương trình:

x 3 + 100 x 2 = x + 100

(1)

Cách 1: phương trình (1)
 x + 100 = 0
 x = −100
⇔ x 3 + 100 x 2 − x + 100 = 0 ⇔ ( x + 100)( x 2 − 1) = 0 ⇔  2
⇔
 x −1 = 0
 x = ±1

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x = ± 1; x = −100 .
Cách 2:

15


Phương trình (1)

 x 2 ( x + 100) − ( x + 100) = 0
( x 2 − 1)( x + 100) = 0
 x = ±1; x = −100
⇔ 2
⇔ 2
⇔
x = −100

 x ( x + 100) + ( x + 100) = 0
( x + 1)( x + 100) = 0

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x = ± 1; x = −100 .
Bài 3: Giải phương trình:
x + 5 − 4 x + 1 + x + 10 − 6 x + 1 = 1

ĐKXĐ của phương trình: x ≥ −1
2

Phương trình ⇔ ( x + 1 − 2) + ( x + 1 − 3) 2 = 1 ⇔ x + 1 − 2 + x + 1 − 3 = 1 (*)
Cách 1: Ta thấy :

x +1 − 2 +

x +1 − 2 + 3 − x +1 ≥

x +1 − 3 =

x +1 − 2 + 3 − x +1 = 1

Dấu (=) xảy ra khi ( x + 1 − 2 )(3- x + 1 ) ≥ 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 8

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 3 ≤ x ≤ 8 .
Cách 2: Từ pt (*) ta có:
 x +1 < 2
⇔ −1 ≤ x ≤ 3 ta có phương trình:
 x ≥ −1

• Nếu 

2- x + 1 + 3 − x + 1 = 1 ⇔ 5 − 2 x + 1 = 1 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 3 (Loại vì không
thoả mãn điều kiện trên).
2 ≤ x + 1 ≤ 3
⇔ 3 ≤ x ≤ 8 Phương trình có dạng:
x
≥
1


• Nếu 

x + 1 − 2 + 3 − x + 1 = 1 ⇔ 1 = 1 vô số nghiệm x ∈ [ 3;8]
3 ≤ x + 1
⇔ x>8
 x ≥ −1

• Nếu 

Phương trình (*) ⇔ x + 1 − 2 + x + 1 − 3 = 1 ⇔ 2 x + 1 = 6 ⇔ x = 8 ( loại vì
không thoả mãn điều kiện x > 8).
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CÓ CHƯA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
5 3x − 2 + 7 5 y − 1 = 88

(I )
3x + 5 y = 7


Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 

5 3 x − 2 + 7 5 y − 1 = 88
5 3x − 2 + 21 2 − x = 88
⇔
5 y − 1 = 6 − 3x
3x + 5 y = 7



(I) ⇔ 

16


- Nu x

2
ta cúh:
3

5( 3 x + 2) + 21(2 x) = 88
36 x = 36
x = 1
(Thuc khong ang xột).

3x + 5 y = 7

3x + 5 y = 7
y=2
56 28

5(3 x 2) + 21(2 x) = 88
2
x =
=

- Nu x 2 ta cú h:
6
3 ( khụng thuc
3x + 5 y = 7
3



khong xột).
35

x= 9
5(3 x 2) + 21( x 2) = 88
36 x = 140


- Nu x > 2 ta cú h:

14 (Tho
3x + 5 y = 7

3 x + 5 y = 7
y =
15


món).
x = 1; y = 2
Túm li : H ó cho cú nghim l: x = 35 ; y = 14

9
15


Bài 2: Giải và biện luận hệ phơng trình:
x 2y = m

m x + 4 y = 1

(1)
(2)

Giải: Từ phơng trình (1) ta có 2y = x - m thay vào pt (2) ta có:
m x + 2( x m) = 1 m x + 2 x = 2m + 1
Nếu x 0 ta có phơng trình: mx + 2x = 2m + 1 (m + 2) x = 2m + 1 (3)
Khi m = - 2 PT (3) 0 x = 3 ( vô lý ) do đó hệ vô nghiệm.
Khi m 2 x =
x=

2m + 1
Để giá trị này là nghiệm của phơng trình ta cần có:
m+2

2m + 1
1
Hoặc m < -2
0m
m+2
2

Nếu x < 0 ta có mx + 2x = 2m + 1 (2 m) x = 2m + 1(4) .
Khi m = 2 phơng trình (4) 0x = 5 (vô lý do đó hệ vô nghiệm.)
Khi m 2 x =
có:
x=

2m + 1
Để giá trị này là nghiệm của phơng trình ta cần
2m

2m + 1
1
Hoặc m > 2.
<0m
m+2
2

Kết luận:

17


 m < −2
• NÕu m ≥ − 1

2

2m + 1

x = m + 2
th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 
x−m
y=

2

2m + 1

 m>2
x = 2 − m
• NÕu m ≤ − 1 th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 
x−m

y=
2

2
m≤2

• NÕu m ≥ −2 th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm .

Bµi 3: T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm.

x − 1 + y − 2 = 1(1)

2
( x − y ) + m( x − y − 10 = x − y (2)

Gi¶i : Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta cã 1 = x − 1 + y − 2 ≥ x − y + 1 (3)
Tõ

(2)

ta

cã

(x-y)2

-

(x-y)

+

m(x

–

y

-

1)

=

0

 x − y =1
⇔ ( x − y + m)( x − y − 1) = 0 ⇔ 
 x − y = −m

NÕu x - y = 1 th× tõ (3) ⇒ 1 ≥ 2
NÕu x - y = - m th× tõ (3) ⇒ 1 ≥ 1 − m ⇔ 0 ≤ m ≤ 2
VËy nghiÖm cña hÖ lµ: 0 ≤ m ≤ 2 .
V. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI

1) Phương pháp giải :
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức A = − A và A + B ≥ A + B .Dấu (=) xảy ra
khi và chỉ khi A.B ≥ 0 (Thường dùng đối với các đa thức có hai dấu GTTĐ)
Cách 2: Lập bảng xét dấu loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi đánh giá giá trị
của đa thức trong từng khoảng xét.
2) Bài tập ví dụ.
Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 1 + x − 3
Giải:
Cách 1: A = x − 1 + x − 3 = x − 1 + 3 − x ≥ x − 1 + 3 − x = 2

Vậy : Amin=2 đạt được khi và chỉ khi (x-1)(3-x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 .
Cách 2:

18


Trong khoảng x < 1 thì A = 1 - x + 3 – x = 4 - 2x.
Do x < 1 nên -2x > -2 đo đó 4 – 2x > 2.
Trong khoảng 1 ≤ x ≤ 3 thì A = x – 1 + 3 – x = 2.
Trong khoảng x > 3 thì A = x – 1 + x – 3 = 2x – 4.
Do x > 3 nên 2x – 4 > 2.
So sánh giá trị của A trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất của A
bằng 2 khi và chỉ khi 1 ≤ x ≤ 3 .
Bài 2: Tìm GTNNcủa B = x − 2006 + x − 2007 + x − 2008
Giải : Xét các trường hợp:
• Nếu x< 2006 ta có B =2006 – x + 2007 – x + 2008 – x = 6021 - 3x.
Do x < 2006 nên 6021- 3x > 3.
• Nếu 2006 ≤ x < 2007 ta có : B = x - 2006 + 2007 – x + 2008 – x =2009 – x.
Do 2006 ≤ x < 2007 nên 2 < B ≤ 3 đẳng thức xảy ra khi x = 2006.
• Nếu 2007 ≤ x < 2008 ta có : B = x – 2006 + x – 2007 + 2008 – x = x –
2005.
Do 2007 ≤ x < 2008 nên 2 ≤ B < 3 Đẳng thức xảy ra khi x = 2007.
• Nếu x > 2008 ta có B = x – 2006 + x – 2007 + x – 2008 = 3x – 6000 > 3.
So sánh giá trị của B trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất cuả B
bằng 2 đạt được khi x = 2007.
Bài 3:Cho C = a + 3 − 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1
a)Tìm điều kiện của a để C được xác định.
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của C và giá trị tương ứng.
Giải :
a) ĐKXĐ: x ≥ 1

b) Tacó:
2

C = ( a − 1 − 2) + ( a − 1 − 4) 2 =

a −1 − 2 +

a −1 − 4 ≥

a −1 − 2 + 4 − a −1 = 2

Vậy MinA = 2 đạt được khi và chỉ khi 2 ≤ a − 1 ≤ 4 ⇔ 5 ≤ a ≤ 17 .
CÁC BÀI LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình :
1) 2 x − 3 = 10 x

19


2) 12 2 x − 9 = 15 + x
3) x − 2005 = x − 200
4) 3x − 1 + 1 = 3x + 4
5) 2x − 1 + 2x − 5 = 4
6) 2 x − 3 + 5x − 1 = 0
7) x − 2 x + 1 + 3 x + 2 = 0
8) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x
2
9) x x + 3 − x + x + 1 = 1
3

10) x − 3 x + 2 = 0
Bài 2: Cho phương trình với tham số m.
1
1
1
(3 x − m ) + 1 = ( 2 x + m ) + m +
3 x − 35
2
5
10

a) Giải phương trình đã cho.
b) Phải cho m giá trị nào để có x = 36
c) Tìm những giá trị nguyên của m để có nghiệm x thuộc khoảng (0;8)
Bài 3: Giải các phương trình ;
1) x 3 + x 2 + x = x
2) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 = 2( x + 1)
3) 3 + x − 4 x − 1 + x =
4)

2
3 + x − 4 x −1

=

15
4
5

1+ x −1

Bài 4:Giải các hệ phương trình sau:
1
1
 x + y + 1 = 0,6
1)
3
2
 −
= 1,3
y −1
 x
 mx + 3 y = 5
3)
 (m − 1) x + 2 y = 3


x 5
=

y 7

2) 
 x + 500 = 8
 y + 500 11

 x + y =1
4)
x + 2 y = m

20


- Kết quả khảo sát khảo sát cụ thể như sau: (Khảo sát học sinh lớp 8b
trường THCS Thổ Tang)
Đề bài: Giải phương trình:
Câu 1:
Câu 2:

x−3 + x+2 = 7
x +1
x

=5

Câu 3: Giải bất phương trình:
x −1 + x − 2 > x + 3

Làm được hoàn chỉnh trong thời
Làm xong
Không làm
Số HS lớp gian khảo sát 15 phút
nhưng hết > 15
được
8B dự khảo
Từ 11 – 15
phút
Trước 10 phút
sát: 40 em
phút

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

Câu 1

13

32,5

20

50

5

12,5

2

5,0

Câu 2

15

37,5

19

47,5

4

10,0

2

5,0

Câu 3

20

50,0

17

42,5

2

5,0

1

2,5

Như vậy so với lúc các em chưa được học chuyên đề này số học sinh làm
xong bài 1 trong khoảng thời gian từ 11-15 phút tăng 37,5 %, làm xong bài 2
trong khoảng thời gian từ 11- 15 phút tăng 37,5%; làm xong bài 3 trong khoảng
từ 11 – 15 phút tăng 37%. Số học sinh không làm được bài 1 chỉ còn 5% (lúc
chưa học số HS không làm được bài 1 là 32,5%); số HS không làm được bài 2
còn 5 % (lúc chưa học số HS không làm được bài 2 là 37,5%); số HS không làm
được bài 3 còn 2,5 % (lúc chưa học số HS không làm được bài 3 là 50%);
Phần III. Kết luận và kiến nghị
-Trong quá trình dạy học tôi đã áp dụng SKKN này không chỉ để dạy và
bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho cả học sinh
đại trà.Đặc biệt là đối với học sinh lớp 8 ,các bài toán bước đầu vối các em còn
lạ và trừu tượng, đòi hỏi tư duy cao.Do đó lúc đầu nhiều em còn rất ngại
học.Hầu như HS chỉ có ý thức làm bài tìm một lời giải và dừng lại không suy
nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán,thỏa mãn với chính mình .Các em
chưa thấy được tác dụng mạnh mẽ của việc nhìn lại bài toán dưới nhiều góc độ,
nhiều khía cạnh khác sẽ củng cố được kiến thức cho mình ,rèn cho mình thói
quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì độc lập,những
đức tính tốt của người học toán. Song, qua một thời gian kiên trì,linh hoạt áp
dụng SKKN và dạy học sinh theo ý tưởng trên,đến nay hầu hết học sinh đã tham

21


gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động vận dụng kiến thức khá thành thạo
khi làm một số dạng bài toán từ dễ đến khó.
- Tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn,khả năng tư
tìm tòi cách các dạng toán của các em được phát huy một cách tích cực, kết quả
học tập môm toán được năng lên rõ rệt.
-Qua các buổi phụ đạo, tôi đã cung cấp cho các em học sinh các kiến thức
lý thuyết, sau đó đưa ra các bài tập áp dụng cụ thể từng dạng bài và những kinh
nghiệm, cách nhìn nhận, phán đoán để có phương pháp giải nhanh đối với từng
bài, kết quả thu được sau 8 buổi :
- Học sinh biết phân loại và nắm được phương pháp giải các dạng phương
trình , bất phương trình, hệ phương trình và một số bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
-Trang bị thêm cho các em những kiến thức về giá trị tuyệt đối mà các em
thường mắc sai lầm, vì vậy mà các em không ngại khi gặp các bài toán có chứa
dấu giá trị tuyệt đối.
- Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm GTLN, GTNN của các biểu
thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Xây dựng cho các em niềm đam mê và hứng thú học tập bộ môn toán,
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo trong học tập.
Để chất lượng giảng dạy ngày một nâng lên đảm bảo theo yêu cầu của
ngành giáo dục, bản thân mỗi thầy cô giáo chúng ta phải chịu khó suy nghĩ trau
dồi phương pháp, đúc rút những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, biết
chắt lọc, hệ thống kiến thức theo từng chuyên đề bám sát, nâng cao phù hợp đối
tượng học sinh từng lớp. Phải thường xuyên kiểm tra đánh giá kết quả học tập
của các em, kịp thời bổ sung sữa chữa những sai lầm về kiến thức, phương pháp
giải đặc biệt là rèn luyện kĩ năng trình bày bài. Giáo viên phải có kế hoạch phân
chia kiến thức thành các chuyên đề lôgíc, theo hệ thống. Dạy sâu, dạy chắc kiến

thức và phải kết hợp giữa các dạng bài khác nhau.
-Hy vọng rằng với một số ví dụ tôi đưa ra trong SKKN này giúp các em
học sinh sẽ biết làm chủ được kiến thức của mình, tìm tòi các phương pháp giải
ngắn gọn và hay nhất,thêm yêu mến môn toán, tự tin trong quá trính học tập và
nghiên cứu sau này.
Vì trình độ chuyên môn có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết không
tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các ý kiến đóng góp của các thầy cô để
chuyên đề được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cám ơn!
Vĩnh Tường, tháng 4 năm 2014

22


Người viết

Lê Nguyệt Thu

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TT
1.

Tên tài liệu
Sách giáo khoa Toán lớp 8

Nhà xuất bản
NXB Giáo dục

Tác giả

Phan Đức Chính
Tôn Thân

2.

Sách bài tập Toán lớp 8

NXB Giáo dục

Tôn Thân
Nguyễn Huy Đoan

3.

Sách giáo viên Toán 8

NXB Giáo dục

Phan Đức Chính
Tôn Thân

4.

Để học tốt Toán 8

NXB Đại học Hoàng Chúng
Quốc gia Hà
Nội

5.

Các dạng toán và phương pháp NXB Giáo dục
giải toán 8

Tôn Thân
Vũ Hữu Bình
Nguyễn Vũ thanh
Bùi Văn Tuyên

6.

Nâng cao và phát triển toán 8

7.

Nâng cao và các chuyên đề toán NXB Giáo dục
8

Vũ Dương Thụy

8.

Bài tập nâng cao và một số NXB Giáo dục
chuyên đề toán 8

Bùi Văn Tuyên

9.

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh NXB Giáo dục

giỏi toán THCS

Nguyễn Vũ Thanh

10. Tài liệu bồi dưỡng toán 8

NXB Giáo dục

NXB Giáo dục

Vũ Hữu Bình
Nguyễn Ngọc Đạm

Bùi Văn Tuyên

23


MỤC LỤC
TT

Tên tiêu đề

1.

Phần I. Đặt vấn đề

2.

Lý do chọn đề tài

3.

Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

4.

Phần II. Nội dung

5.

Các dạng phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

6.

Bất phương trình chứa dấu GTTĐ

7.

Hệ phương trìnhbậc cao có chứa dấu GTTĐ, phương trình
vô tỉ đưa về PT có chứa dấu GTTĐ

8.

Hệ phương trình bậc nhất có chứa dấu GTTĐ

9.

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có chứa dấu GTTĐ

10.

Kết luận và kiến nghị

Ghi chú

24


CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

TT

Cụm từ

Viết tắt

1.

Sáng kiến kinh nghiệm

SKKN

2.

Giá trị lớn nhất

GTLN

3.

Giá trị nhỏ nhất

GTNN

4.

Giá trị tuyệt đối

GTTĐ

5.

Hệ phương trình

HPT

6.

Bất phương trình

BPT

7.

Vế trái

VT

8.

Vế phải

VP

25