Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SỨ PHẠM TP. Hồ CHÍ MINH
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ CẨM THẠCH

TÍCH PHÂN

P-ADIC VÀ
CÁC ỨNG DỤNG

NGUYỄN THỊ CẤM THẠCH

TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


LÒI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện hoàn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ
Chí Minh do công sức nghiên cứu, tham khảo tài liệu của bản thân dưới sự
hướng
dẫn tận tình,chu đáo của PGS.TS. Mỵ Vinh Quang. Bằng những kiến thức mà
tôi
đã học được trong hai năm qua ở lóp cao học khoá 17 ngành Đại số và lý thuyết
số

làm nền tảng cho tôi nghiên cứu tiếp các sách tham khảo để viết lên cuốn luận
văn
này. Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với thầy
PGS.TS.
Mỵ Vinh Quang, thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình
học
tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Lê
Hoàn Hoá, TS. Trần Huyên và TS. Đậu Thế cấp, quý thầy đã trực tiếp trang
bị
cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu, cũng như dành
thời gian quý báu đọc và góp ý cho luận văn.
Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học Trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và quý thầy cô trường Cao Đẳng Kỹ
Thuật
Lý Tự Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện

Nguyên Thị Câm Thạch


MỤC LỤC

Trang phụ bìa..........................................................................1
Lời cảm ơn..............................................................................2
Mục lục...................................................................................3
Danh mục các ký hiệu.............................................................4
MỞ ĐẦU................................................................................5
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC cơ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ PADIC.......................................................................................6
1.1.


Chuẩn trên một trường......................................................................6

1.2.
1.3.

Xây dựng trường số p-adic ............................................................11
Tính chất tô pô của p......................................................................17

1.4.

Trường số phức và hàm chỉnh hình p-adic.....................................23
Chương 2......XÂY DỤNG Độ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC
..............................................................................................25

2.1

Không gian các hàm hằng địa phương...........................................25

2.2

Độ đo p-adic...................................................................................28

2.3

Một số độ đo thường dùng..............................................................32

2.4

Tương tự p-dic của tích phân Riemann..........................................33


2.5

Điều kiện khả tích...........................................................................35
Chương 3......TÍCH PHÂN SCHNIRELMAN VÀ CÁC ÚNG
DỤNG...................................................................................45

3.1

Một số kết quả về lý thuyết tích phân Cauchy trong giải tích phức45

3.2

Tích phân Schnirelman...................................................................46

3.3

Lóp (p[D)........................................................................................56
KẾT LUẬN CỦA LUẬN VẢN............................................64


Xa,N

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
: Tập các số tự nhiên.
: Tập các số nguyên.
: Tập các số hữu tỷ.
: Tập các số thực.
: Tập các số nguyên p-adic.
: Tập các phần tử khả nghịch trong
: Chuẩn trên trường K.

: Trường số p-adic
: Trường số phức p-adic
: Chuẩn p-adic.
^N,
{xa,N}ư)
ordpa

: Số mũ củap trong sự phân tích a thành thừa số nguyên
tố.

B(a,r)

: Hình cầu mở tâm a bán kính r trong hoặc

B[a,r]
ịfn
D(a,r)
<* + (pN)

: Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong hoặc
: Mặt cầu tâm a bán kính r trong hoặc
: Khoảng trong .
: Phần nguyên của X.
: Hàm đặc trung của tập A.
: Độ đo Haar.
: Độ đo Dirac.
: Độ đo Mazur.
: Một điểm tùy ý thuộc khoảng a + [pN\.
: Tổng Riemann của hàm f.
: Tích phân của hàm / ứng với độ đo ỊẤ.


H


MỞ ĐẦU
Giải tích p-adic là một trong các hướng mới mà đang phát triển nhanh của
ngành Đại số và Lý thuyết số. Gần đây đã có một số tác giả xây dựng được các
tích
phân p-adic và sử dụng chúng như là các các phép biến đổi Mellin-Mazur để
nội
suy các hàm giải tích p-adic và một số ứng dụng thú vị khác trong việc nghiên
cứu
hàm p-adic. Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng tích phân Schnirelman và
nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Schnireman để nghiên cứu các hàm
chỉnh hình p-adic.Luận văn gồm 3 chương.

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC cơ BẢN VỀ TRƯỜNG SÓ P-ADIC
Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic và
trường số phức p-adic . Sau đó, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản về
trường số p-adic nhằm phục vụ cho chương 2 và chương 3.


Chương 1. CÁC KIẾN THỨC cơ BẢN VÈ TRƯỜNG SỐ P-ADIC
Trong phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic và một số tính
chất pô tô của nó. Cách xây dựng trường số p-adic đã được nhiều tác giả trình
bày
với nhiều phưcmg pháp khác nhau. Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng
trường
số p-adic bằng phưong pháp giải tích của N.KOBLITZ. Vì theo chúng tôi đây là
2i) |.xy| =|jt||y| \/x,yeK

3i) \x + y\ <1*1 +\y\ \/x,yeK
1.1.2.

Vỉ dụ

Ví dụ 1. Trường các số , , với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn các
điều kiện của định nghĩa nên giá tri tuyệt đối là chuẩn trên , , và ta gọi là
chuẩn giá trị tuyệt đối, ta ký hiệu I I
Ví dụ 2. Cho K là một trường tùy ý. Ánh xạ I I được xác định :
nê u X * 0
0

nếu X = 0

Là một chuẩn trẽn trường K và được gọi là chuẩn tầm thường.


1x1 > 1
1 12

2

<1
=>

1.1.3. Chú ỷ lhayịx^ > 1
Suy ra
Giả sử I I là một chuẩn trên trường K. Ta có thể chứng minh hàm d từ KxK vào tập
Điều này vô lý vì |JC| < 1. Vậy |JC| < 1.
các số thực không âm xác định bởi d(x,y) = \x- y\ là một hàm mêtric trên trường

2)
1) Chứng minh tương tự như trên.
K
1)=>3)
và được
mêtric
ứng
vớix chuẩn
I. hai trường họp sau :
Giả
sử|jc|gọi
< 1là<=>
|JC|tương
< 1 với
mọi
e K .TaI xét
Tô pô sinh bởi mêtric tương ứng được gọi là tô pô tương ứng của chuẩn I I.
• Trường họp 1 : Neu có một trong hai chuẩn tầm thường thì ta chứng
1.1.4.
•

Các tính chất cơ bản

minh

|1| =|-1| = 1 suy ra |-x|chuẩn
= |x| còn lại cũng tầm thường.

Thật vậy: Gỉa sử chuẩn I I tầm thường thì với mọi X e K , x * 0, ta có |x| = 1.
•

|x_1|=j—Ị
(x^o)
Nếu
• |0| = 0
1.1.5.

|JC| * 1 thì ta xét hai trường hợp sau:
Định nghĩa hai chuân tương đương

Hai chuẩn II và I trên trường K được gọi là tương đương nếu tô pô cảm sinh
hai mêtric tương ứng của chúng là như nhau. Kí hiệu I I ~| I .
1.1.6.
Địn
Giả sử I , I h
I là
lý hai chuấn trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:

|x| < 1 <=>|x| < 1 với mọi xe K
|xj < 1 |jcj < 1 với mọi xe K
Tồn tại hằng số dương c > 0 sao cho |x| J = |x|c với mọi xeK
<I=>|*II {xnỊ là dãy Cauchy đối với I I J<=> {x(ỉ} là dãy Cauchy đoi vói I |2
m
m
m
|x| =aa <an =|x0|j» =>|x| <|x0|« =^>|x| <|x0| x" < x0m
5 - I H I,
Do đó
li I u I|
n

I
I
m
x”.xnm <l=> x'!.xftm <l=> x" < x”
H

Khay
W2Như vậy, ta đã chứng minh được với mọi r = — e và r > a thì X
<1< b'
Suy ra


Do đó nếu ta lấy dãy {rn} c và rn > a, Vn mà « thì từ bất đẳng thức trên ta
được: \x\2Hoàn toàn tương tư, nếu lấy r = — e

và r < a thì ta có 1*1 > ba

Nên nếu ta lấy dãy {rn} c= và rn < a, v« mà rn -» a thì ta có 1*1 > ba
Vậy |*|2 =ba . Do đó 1*1 =aa = (b'°ẽh“Ỵ = (bay°ẽha = |*|2 với c = logba>0.
3) =>4)

Giả sử {*„ }là dãy Cauchy đối với chuẩn I I , nghĩa là \xn -*M| -> 0 khi m,n^>co
.

.1

c

Hay *„ -xm\ọ —>0 khi m,n —> 00 với c>0 thỏa *„-*, = \xn-xmL
Do đó |*„ -*m L —> 0 khi m,n —> 00
I n m 12
7
Vậy {*„ }là dãy Cauchy đối với chuẩn I I .
4) =>1)

Giả sử 1*1 < 1 ta cần chứng minh 1*1 < 1
Từ giả thiết 1*1 <1 suy ra 1*1" -> 0 đối với chuẩn| I .
Nên Ị*"Ị^O theo chuẩn I I .Mà dãy hội tụ phải là dãy Cauchy
Do đó {xn }là dãy Cauchy đối với I I ,từ giả thiết ta suy ra {*„ }là dãy Cauchy
đối
với I I . Điều này có nghĩa (*"+1 -*") -» 0 đối với chuẩn I I hay *"(*-l) -» 0 đối
với chuẩn I 1 .Do đó |*"| |l-*l -» 0 .
Vì chuẩn I |2 không tầm thường nên |l - *|2 * 0 suy ra I*” I -»0 hay |x|2 <1
3)=>5)
Giả sử tồn tại hằng số dương c > 0 sao cho 1*1 J= |*|c với mọi * e K
Khi đó ta có: ổ1(a,r) = |*GẨy |*-ứ|

Do đó: A E ĨỊ o V a E A : 3B/(a,r)dA (vì A là tập mở)
(
oVa E A: 3 5, a,rc d A
A £ To •

VJ

Vậy r, = ĩ2 nên theo định nghĩa ta có I 12'
5)=>1)

Giả sử |JC| < 1 suy ra |*"| -> 0 . Do I I ~ I I nên |*"| -> 0. Vậy 1*1 <
1.
1.1.7.

Định nghĩa chuân phi Archimede.

Cho K là một trưòng .Chuân I I trên trường K được gọi là chuânphi Archimede
trên trường K nếu với mọi x,ye K :\x + y\< max||x| ,|y|j
1.1.8.

Ví dụ về chuẩn phi Archimede.

Ví dụ 1.
Chuẩn tầm thường trên K là chuẩn phi Archimede.
Ví dụ 2. Neu K là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên K đều tầm thường, vì vậy nó
là chuẩn phi Archimede.
1.1.9.

Mệnh đề (nguyên lý tam giác cân).


1«
>2(í+1

>rf.c. với C' —

i-o-h“

2
2J

/J
rn
— ——
ta có 1 m\ - \ordf(
IP)
KP)
p 1 'p
\ c
|
mị m\C m
C
1
JC\
n\
cn\ lĩ
1
là sốxe
nguyên
1, suy
1 ta có :
' pVì px p* p mà px-Với
, X > 0tốtanên
viết\px
X I==—,
m,nera, \px'
n * 0=thì
n họp xảy ra đối với chuẩn \2\
Ta xét các trường
Tuơngtự ta có \p°2ị = |p*3| = - = \Pkk\ = 1
Trưòĩig

họp 1 : Nếu
\2\ đề
> 1 thì từ điều kiện tương đương của tính phi Archimede
1.1.11.
Mệnh
•
J Ylogj.H KPJ
Nên \m\ = \p\“ =
= |m|c với c = log ị \p\.
Cho {JC7Ỉ} là dãy Cauchy.
/1 Neu X -Ị> 0 khitan —> 00 thì \x I là dãy dừng.
-Với xe , x< 0 thìA-X>0
p nên ta có : |x| = 1—jd = \-x\a =
1.1.12.
Định
lý
(Điều
kiện
củacótỉnh
phi Archimede )
- Với xe , X > 0 ta viết
m,ntưong
elà, chuẩn
n đưoĩig
* 0 thì
: \x\a
suy X
ra =I I—,
không
phitaArchimede.

Vậy I|x|I là= một
|x| với
mọitrên
X etrường
. TheoK,
kiện tương
của
chuẩn trong truờng
n điều
Cho
chuấn
các mệnh
đề sauđưcmg
là tưong
đưoĩig:
Lấy n e N, giả sử n =ữ0 +ax2 + ... + as2s, trong đóO<ứ, <1 và2s ta có phi
I I IArchimede.
I.
I hợp
I là 1chuấn
Ta viết \2\ = 2a với a = log2\2\
Trưòĩig
2ì) |2|<1họp 2 : Neu|2| < 1 thì I I là chuẩn phi Archimede
Khi đó ta có :
Từ|w|giả thiết\l\ < 1 theo điều kiện tuơng đương của tính phi Archimede ta có\n\ < 1
3i)
<1 + 2" + ... + 2'v"
với mọi n e .

4i) là tập bị chặn.
Do| I là chuẩn không tầm thuờng nên tồn tại nữ e sao cho KI < 1.
,
,
(
1
I\
Gọip là số tự
< 1ngoặc
và p *hội
0. tụ
Khi
đóđặt
p làc số
nguyên
tố.
< nhiên
2sa.c bé
(vì nhất
tốngthỏa
trong|/?|dấu
nên
= 1+—
+ ...+——
)
Thật vậy, giả sử p là họp số thì p = Pị.p2 với Pị,p2 là số tự nhiên và 1 < Pị,p2 <
p
■
Suy ra \n\ < na .c với mọi n e

\p\kG
=|/?j||jơ2|
< 1ị ^>\n\nên suy ra |/?j| < 1 hoặc |p2| < 1 (điều này mâu thuẩn
NênKhi
vớiđó
mọi
tacổ ịnk
với

Cho k -> 00 ta được ịn I < na .

cách

chọn p)
Mặt khác, do 2* < rt < 2S+1 nên ta có |2Í+11 = |/| + 2S+1 -«1 < |n| + |2'?+l -nị
Gọi q là số nguyên tố khác p. Ta chứng minh \q\ =1.
Suy ra \n\ > 12S+11 -12"+1 -n\ > 2(s+ì)a -(2(x+l) -n)a
Vì \n\ < 1 với mọi n e nên \q\ < 1
Giả sử \q\
vì (qk,pk)
1 nên
tại m,n
e sao
mpk-rị+nqk
= 1. -nỴ)
( vìminh=trên
chotồn
ta -\nị

> -na
nêncho
-|2'í+1
> -(2S+1
Ta có 1 = |l| = Impk + nqkị <\m\ịpk I + |«|K| < ịpkị + \qk\
Do đó |„|>2(í+1)"-(2-?+1-2-ĩ)ữ
Khi đó\ I là một chuân phi Archimede
trên trường và được gọi là chuânp-adic
Cho k -» 00 ta đuợc 1 < 0, điều này vô lý. Vậy \q\ = 1.
Lấy me ,
0, xét sự phân tích thành tích các thừa số nguyên tố của m như
1.2.4.
Định lý (Oxtropxki)
Thay n bởi nk với mọi k e ta có ịnkị > nakc ^ |«| > nayfc
00,
ta được
\n\
> na •••
. \Pk
Mặt Cho
kháck -»không
K\=\pa
• \Piai
Mọi
chuấn
tầmAa'
thường
I I trên
trường đều tưong đưong với I I với p là
trên

Vậy|/ĩ| = na với mọi n e


]p

Phép cộng ■■{x,} + {yn} = {xn + y,}
Phép nhân: {x„ị{yn} = {x„.yn}
Khi đó, ta có thể chứng minh các phép toán trên được định nghĩa tốt và không
phụ
thuộc vào phần tử đại diện.
Hơn nữa, (

,+,.) là một trường với các phần tử đặc biệt được xác định như sau

:
{0}ta có : |x| =|-x| =|-x|c =|x|c
-Với xe. ,Phần
x< 0 tử
thìkhông
-X > 0: nên
I I I I I I p I I p
. Phần tử đơn vị: {1}
Vậy |x| = |x| c với mọi X e . Theo điều kiện tưontig đưong của chuẩn trong truờng
. Phần tử đối của {xn} là {-xn)
hợp 2 này ta có I I I I .
Định lý đã được
chứng
minh.
. Phần tử nghịch đảo của {x„} * 0 được chỉ ra như sau :
Vì {xrt} là dãy Cauchy mà {xn} * 0 nên X -/>0 khi 00.

0
khi n< N
1/ xnkh i n> N
Xây dựng
trường
số .số p-adic p
Thì {yn}1.2.5.
là dãy Cauchy
và {yn}
= {xn}
-Trường
gọilýlàOxtropxki
trường số ta
p-adic
Chuẩnkhông
trẽn ptầm
xácthường
định như
sau
Từ định
thấy .chuẩn
trên
là :giá trị tuyệt đối
Với x = {x„}e
, ta đinh nghĩa : |x| = lim|xj (*).
thông thường I I , hoặc là chuẩn phi Archimede I I .
Khi đó,
ta ta
dểbiết
dàng

kiểm
trađầy
định
là họptrường
lý, thỏa
kiện của
Mặt
khác,
rằng
làm
đủnghĩa
theo| trên
I ta được
số các
thực .điều
Vậy làm
chuẩn .
đầy đủ theo I I ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic p .
Vậy I I xác định theo công thức (*) là chuẩn trên p .
Mặt khác, ánh xạs -j:|{x„}ỵxn
-> e ,; {Xn}-Cauchy
được xác địnhtheo
theo qui tắc với a G thì j(a) = {a}
đơn
cấumột
trường.
ta có thể
xemnhư
là trường
-Trênlàs một

ta xác
định
quanNên
hệ tương
đương
sau: con của
Do vậy với a e , ta có thể«->00
đồng nhấtpa với ỹ(ứ) = {ứ}e và ta có:
-Ta gọi ơ là tập họpa\tất- cả
các=lóp
lim\a
\a\tương đương theo quan hệ trên :
p /2—>00 p 11
trong
trong
p=s/ = {{xn)!)
Nên I trong ; là mở rộng của chuẩn trong
và ta trang bị cho hai phép toán cộng và nhân sau :


1.2.6.

Với a,be

Định nghĩa đồng dư trong
ta nói a = &(modpN) nếu \a-b\ < P~N.

Từ định nghĩa ta có nhận xét: nếu a,b e thì định nghĩa đồng dư trong sẽ trùng
với định nghĩa đồng dư thông thường trên tập họp số nguyên .

1.2.7.

Vành các sổ nguyên p-adic

Tập hợp ,=ịae pỉ\a\ thành một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên p-adic.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành p là
;=Ịxe p/-e ,j = Ịxe p/|^=lỊ={xe p/x#0(mod/?)}

1.2.8.

Biếu diễn p-adic của sổ X trong }

Với mỗi số xe , thìx viết được dưới dạng :x = b0 +bịP+...+bnp" +...
Trong đó 0 < bị < p -1 với ỉ = 1,2,3,...
Công thức này được gọi là biểu diễn p-adic của X trong p.
Nấu X e không thỏa mãn điều kiện |x| < 1 thì |jd = pm với m e .
Tađặt x=x/7mthì |x'| =|x./>m| =|x||pm| - pm .p~m =1 nên x'e .
Do đó theo chứng minh trên ta có : x' =b0 +bịP+... + bnpn +...
Suy ra X = ^ = b0.p~m + bx.p~m+ì +...+bm+ bm+ì.p + ...
Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của X có dạng:
x = c_mp m+c_m+Ịp m+x+...+c0+cìp + ...+cnpn+...


1.3. Tính chất tô pô của

Vì tô pô trong là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính
chất khác lạ so với tô pô thông thường.
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất tô pô cơ bản của nhằm
phục vụ cho chương 2 và chương 3.

1.3.1.

Cho

Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong

ữ G và r là số thực dương ta định nghĩa :
• Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập họp B(a,r) = jx e p : ịx - aị < r j
• Hình cầu đóng tâm a bán kỉnh r là tập họp B [ a,r] = ịxep:\x-a\p• Mặt cầu tâm a bán kỉnh r là tập họp D(a, r) = jx e p

:ịx — a\ = rj
Từ định nghĩa ta thấy ơ là hình cầu đóng tâm 0 bán kính bằng 1 và * là mặt cầu
tâm 0 bán kính bằng 1.
1.3.2.

Mệnh đề

1. Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều là những tập vừa mở, vừa đỏng.
2. Hai hình cầu bất kỳ trong p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau.
3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vơ số tâm. Mọi hình cầu đều có vơ

so bán kỉnh.


Theo nguyên lý tam giác cân, ta có: \y- a\) = \b- a\ f
Nên \y-a\ >r.Hay ye \B(a,r).
Suy ra S(b,r)a p\B(a,r).
Vậy
\ B(a, r) là tập mở. Hay B(a,rj là tập đóng.

Tưong tự, ta cũng có B[a,r] = |jce p'.\x-a\ D ( a , r ) = |xe p : \ x - a \ p
= r'ị
là những tập vừa mở, vừa đóng
2. Xét hai hình cầu mở Bi(a,r) và B2(b,s). Giả sử Bị(a,r) n B2(b,s) * 0 ta

chứng
minh chúng phải lồng nhau.
Giả sử rThật vậy từ giả thiết Bi(a,r)n B2(b,s)*0. Suy ra tồn tại c e B\(a,r)G\B2(b,s)
Hay \c-a\ <rvà|c-Z>| Lấy yeB}(a,r) ta có \y — a\ Do đó \y-b\p=\(y-a) + (a-c) + (c-b)\pSuy ra y&B2(b,s)
Vậy Bx{a,r) c= B2(b,s)
Ngược lại, nếu sB2 (b,s) a B{ (a,r)
Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tương tự.
3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong đều có vô số tầm. Mọi hình cầu đều có vơ so

bán kỉnh.
• Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số tâm.
Bây giờ với ae pvầ r e ,r> 0 ta xét một điểm ố bất kỳ b*a trong hình cầu
mở B(a,r)~ Ịxe ^rỊx-ứỊ Ta có \b - a\

Mặt khác nếu X G B(a, r) thì |x - a\} < r. Khi đó
|x-ò| =\(x-a) + (a-b)ị < maxị \x-a\ ,\a-b\ |Do đó xeB(b,r) . Nên ta có B[a,r) c= B[b,r)

Ngược lại, chứng minh tưoug tự như trẽn ta cũng có: B(a,r)cz B(b,r)
Vậy B(a,r) = B(b,r)\ởi mọi b eB(a,r)
Nói cách khác B[a,r) có vô số tâm.
Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm.
• Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính.
Trước hết, ta xét hình cầu mở B(a,r). Như ta đã biết hàm chuẩn I I chỉ nhận các giá
trị trong tập I p"/ne Ị u {0} nên tồn tại n e sao cho: pn Ta chứng minh B(a,s) = B(a,pn+I) với mọi s thỏa pn Thậtvậy, vớimọi xeB(a,s) ta có \x-a\ < S < p"+1 .Do đó X <= B(a,pn+Ì).
Nên ta có ổ(a,5)cz B^a,pn+'^
Ngược lại, với mọi y eB(a,pn+l>J ta có \y-a\ < pn+x
Suy ra \y-a\ < pn Vậy B(a,s) - B(a,pn+Ì)
Suy ra với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa p" B(a,pn+1)
Do đó B{a,r) = B(a,s) với mọi s,r thỏa p" Điều này có nghĩa là mọi hình cầu mở B(a,r) có vô số bán kính.
Đối với hình cầu đóng B[a, r] luôn tồn tại n sao cho pn < r < pn+x.
Ta sẽ chứng minh B[a,s] = #[<2,//'] với mọi s thỏa pn Thật vậy, với mọi xNên |x-ứ| < pn .Suy ra X e B\J2,P” J
Ngược lại, với mọi y eB^a,pn J ta có \y-a\ < pn < s. Suy ray e ^[<2,5]


Do đó

= B^a,pn J

Vì vậy với pn Nên với mọi s thỏa pn

Vậy hình cầu đóng B[a,r\có vô số bán kính.
4. Ta chứng minh p chỉ cỏ một so đếm được các hình cầu và mặt cầu.

Theo (3) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó. Dùng tính chất
này ta sẽ chứng minh chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu.
Thật vậy, lấy bất kỳ a e với re , r > 0.
Theo (3) tồn tại n e sao cho B(a,r) = B(a,pn)
Nên M-{B(a,r)/re ,r > 0} = Ịz?(a, pn)/n e Ị là tập đếm được.
Vậy mọi hình cầu trong đều có dạng B(b,p") trong đỏ be và n e , do đó số
hình cầu trong là tập đếm được.
Tương tự, ta cũng chứng minh được mọi hình cầu đóng, mặt cầu trong D đều là
những tập đếm được.

1.3.3.

Mệnh đề

là tập compact do đó là tập compact địa phương.

Xn =a0 n +a\nP+a2nP2 +•••
Trong đó 0 < ain < p -1 với mọi i = 0,1,2,...


Xét các phần tử a0n (n = 1,2,3,..., p -1) ta thấy các phần tử này nhận các giá trị
trong
tập hữu hạn {0,1,2,..., p -1}.
Do đó tồn tại b0 e {0,1,2,...,p-\) được các phần tử aữH(n = 1,2,3,...,p -1) nhận giá
trị
vô hạn lần.
Tồn tại tập K0 vô hạn các phần tử x0n của dãy {xn} sao cho số hạng đầu tiên trong

khai triển p-adic của mồi phần tử đều bằng bo.
Trong tập K0 các phần tử x0n có số hạng thứ 2 trong khai triển p-adic là aXn với
« = 0,1,2,...,(/7-1) nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0,1,2,...,p-\).
Vậy phải tồn tại bx e {0,1,2,..., p -1} được nhận giá trị vô hạn lần.
Do đó tồn tại tập Kx vô hạn các phần tử xXn của dãy {x0n } sao cho số hạng thứ 2
trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng bị.
Như vậy, với mỗi m e tồn tại tập Km vô hạn các phần tử xmn của tập Km_ị sao cho
số hạng thứ m trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng
bm e {0,1,2,...,p-\).
Đặt b = bữ + bxp + b2p2 + ... + bmpm + bm+xpm+x +...
Như vậy ta đã xây dựng được K0 => Kx =>... => Km =>...
Với các phần tử x0„ e Kữ,eKx ,...,xmn eKm,...
Từ cách xây dựng trên ta có: \x -b\ t < p~m~x —m^°° >0
Do đó {Xmn I là một dãy con lấy ra từ dãy {xn} mà {xmíí} hội tụ về b.
Vậy , là tập compact.
Bây giờ ta lấy phần tử x0 e .
Nếu Jt0 = 0 thì tồn tại =5(0,1] là tập compact chứa x0.
Nếu x0 0 ta có ánh xạ -> JC0 + là phép đồng phôi
X x0 + X


tồn tại
nên x0 + là tập compact chứa x0. Do đó đều
với mọi
x0 lân
G cận
p
compact chứa x0 nên compact địa phương.

Khoảng trong ; là hình cầu đóng tâm a bán kính — v ớ i

N G

.

Kí hiệu: a + (p N) = B
Từ mệnh đề 1.3.2 ta thấy khoảng là tập vừa mở vừa đóng, hai khoảng bất kỳ hoặc
lồng nhau hoặc rời nhau và không gian mêtric t có một cơ sở gồm các tập mở có
dạng khoảng.
Một khoảng bất kỳ luôn được phân tích thành họp hữu hạn của các khoảng con và
mọi tập mở compact trong luôn phân tích được thành họp rời nhau của các
khoảng.
Điều này được thể hiện trong mệnh đề 1.3.5 sau đây:

1.3.5. Mệnh đề
Cho a + (pN) là khoảng bất kỳ trong . Khi đó:
1. a + { p N ) = []a + bpN +(p'v+1)

h=0

p-1
Suy ra: x-a + bpN + qxpN+ỉ e uữ + bpN +(pN+ì)
b=0
p-1
Ngược lại, với mọi XG0a + bpN +(pN+ì)
Thì tồn tại b G h=0 l} sao cho X G a +bp N+\
*-,PN+(p
{0,1,2

Khi đó, X được viết dưới dạng x = a + bpN +qpjV+1
Hay X - a + ( b + qp)pN e a + {pN).
Vì vậy suy ra a + ( p N ) = \ ^ a + b p v + ( p N + x )
h=0
2. Với mọi tập mở u trong ; giả sử ư là tập compact.
Do u là tập mở trong ,nên u là họp của các khoảng /.: u - U/ .
Mặt khác, hai khoảng bất kỳ trong hoặc lồng nhau hoặc rời nhau nẽn ta có thể
giả sử u = U/,, trong đó /. n ỉ j =0 nếu i* j.
Do ơ là tập compact nên tồn tại J hữu hạn sao cho ư = IK
iej
Ngược lại, giả sử u = ỊJ/f, trong đó I là tập hữu hạn và/;. nỉj = 0 nếu i* j . Do
iel
là tập compact và Ij là tập đóng nên lị là tập compact. Vậy u là tập compact.
Tổng quát: Tập mở u trong 0 là compact nếu và chỉ nếu nó được viết dưới
dạng
họp hữu hạn rời nhau của các khoảng lị.
Thật vậy, chiều thuận là hiển nhiên. Ngược lại, giả sử u là hợp hữu hạn rời nhau
của các khoảng lị và Iị = a + (pN).
Do là tập compact nên lị là lân cận compact của a trong .
Vậy u = |J/, là tập compact trong n
Đặc biệt:

PN-1
= u a + (pN), với mọi số tự nhiên N
a=0


Gọi a e và Irr(a, p ,*)= xn +axxn '+...+ an_ịX + an là đa thức bất khả quy với hệ
số trong } nhận a làm nghiệm.
Ị_

Ta định nghĩa:
\ơ\ -|ứ„|"
(*)
Khi đó |.| : p^> xác định bởi (*) là chuẩn truờng trên p và là mở rộng của
|J trên
Người ta chứng minh được rằng n không đầy đủ.
Do không đầy đủ nên rất khó xây dựng giải tích trên nó. Nhu cầu cần được giải
quyết là tìm một bao đủ của , được ký hiệu =
Quá trình xây dựng 0 từ B tương tự như quá trình xây dựng ơ từ
— II, »
p

=—
pp

k>
p

Trường số n xây dựng được gọi là trường số phức p-adic.
1.4.2.

Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong

Cho a e và r là số thực dương. Ta định nghĩa :
• Hình cầu đóng tâm a bán kỉnh r là tập họp B [ a , r ] ~ |z e Ị\z-a\ < rị
• Hình cầu mở tâm a bán kỉnh r là tập họp B (ữ,r) = Iz e Ị\z-a\ < r|
• Mặt cầu tâm a bán kính r là tập họp Z)(a,r) = |ze /\z~a\; “rỊ

1.4.3.
Hàm chỉnh hình p-adic.

- Hàm / (z) được gọi là chỉnh hình trên B(z0,r) nếu với mọi z e 5(z0,r) hàm

00
/(z) biểu diễn được bởi chuỗi / (z) = X an (z - z0 y
/1=0
- Hàm /(z) được gọi là hàm chỉnh hình trong hình vành khăn
W = ịzG p / 0 < r < \ z - z ữ \ p
Nếu với mọi z e W, f (z) biểu diễn được duy nhất dạng chuỗi Laurent
n=-<x>
+0Q


Chương 2. XÂY DựNG Độ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản như: không gian các
hàm hằng địa phương, từ đó đi xây dựng độ đo p-adic. Sau đó chúng tôi xây
dựng
tương tự p-adic của tích phân Riemann, khảo sát một số ví dụ cụ thể và điều
kiện
khả tích của các hàm liên tục làm cơ sở cho chương 3.

2.1. Không gian các hàm hằng địa phương

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phương trên
không


Đe chứng minh điều này ta lấy xe /“' (a) suy ra /(x) = a .
Do/ là hàm hằng địa phuơng nên tồn tại lân cận ux của X sao cho /{ux) = {ữj, do
đó Uxd f~' (ứ) bởi vậy /_1 (a) là tập mở.

Mặt khác, do Y là TỊ không gian nên tập {ữ} là tập đóng, mà/là hàm số liên tục nên
f ~ x ( a ) là tập đóng.
Ta có 0 * /“' (/)<= nên suy ra /~‘(a) = hay /( ) = {a}.
Vậy / là hàm hằng trên
Từ nhận xét trên ta thấy từ đến nếu có hàm hằng địa phuơng thì đó là
hàm hằng nhu chúng ta đã biết. Tuy nhiên trên truờng số p-adic thì có rất nhiều
ví dụ về hàm hằng địa phuơng khác. Sau đây là một ví dụ

thì X là hàm hằng địa phương.

Lấy xe } khi đó có các khả năng sau xảy ra:
-Nếu j(x) = l thì X G Ư . Ta chọn U x =ơ,khiđó ỵ ( U x ) = { \ )
- Nếu z{x) - 0 thì X e \u. Ta chọn U x = p\u khi đó U x là lân cận mở của X
vàUvMo}.
Vậy X là hàm hằng địa phuong.
Từ ví dụ trên cho ta thấy hàm đặc trung của tập mở compact U i - là hàm hằng
địa phuơng. Dựa vào các hàm đặc trung này ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địa
phuơng trên . Cụ thể ta có mệnh đề sau.

2.1.4.

Mệnh đề

Giả sử X là một tập mở compact của . Khi đó tập các hàm đặc trưng của


các hàm hằng địa phương. Hay nói cách khác f : X - > p là hàm hằng địa phương
nếu và chỉ nếu f là một tố họp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở
compact trong X.

Chứng minh
Chiều thuận, gỉa sử /:X -» D là hàm hằng địa phương. Khi đó, với mỗi jcel đều
tồn tại một lân cận ux của X sao cho /(ơx) là tập chỉ gồm một điểm.
Ta có X = u u . Mặt khác X là tập compact nên ta có thể viết X dưới dạng họp
Khi đó: Xu (x) = 1 và Xu (*) = 0 với mọi ỉ * k . Do đó 'YsữịXụ (x) = ak.
j=i
Mặt khác f ( u k ) = { a k} nên suy ra /(x) = a k.
Bởi vậy ta có f ( x ) = ịẩ aiXui (x)

i=l
Ngược lại, giả sử / là một tổ họp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở
compact trong X, nghĩa là:
f M = X a‘Xv (x) V(^l Xu là hầm đặc trưng của tập mở compact Uị trong X.
i= 1
Khi đó với X e X có các khả năng sau xảy ra:
- Nếu XỂ Ui với mọi ỉ e {1,2,...,«} thì xeArxÚí/,.

(=1

Ta chọn lân cận của X là Ux = x\ủUị, khi đó Xu- (T) = 0 với mọi y e ơxnên suy ra
/=1
f ( y ) = 0 với mọi y e ư x . Hay /(t/x) = {0}.


- Nếu tồn tại i sao cho X e Uị thì không mất tính tổng quát ta giả sử
{1,2,...,«} = /u J sao cho xeUịVỞi /e/và x e ư ị V Ớ i Ì G J .
Do đó X Ể u . .Đặt ư ' = X \ỊJt/., khi đó U ' là tập mở và X e U ' .
ÌGJ
isj
Đặt U x = ^ním thì u là lân cận của X .Khi đó với mọi y e ư thì y e u. với

\isỉ /
mọi i e I nên X u (T) = 1 với i e l và x u (y) = 0 với i e J .
Từ công thức của /(x) suy ra f ( y ) = a. với
ÌGỈmọi y e ư x . Hay /(ơx) =
Vậy / là hàm hằng địa phuơng.

iela.}.

Cho p là một độ đo p-adic trên X và với mọi tập mở compact u trong X. Nếu
ta
đặt p^Xu ) = p{u) thì p cỏ thế mở rộng thành một - phiếm hàm tuyến tính từ
-không
tơ của
hàm hằng
phương
X đến p.gian véc tơ của
Ngược
lại, gian
cho véc
p là
mộtcác
-phiếm
hàm địa
tuyến
tỉnh trên
từ -không
các hàm hằng địa phương trên X đến t và với mọi tập mở u compact trong X,
nếu
đặt p(u) = p (ỵu) thì p là một độ đo p-adic trên X

Ta xây dựng ánh xạ ỊU từ -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên
Xđến p như sau:
Với mỗi / là hàm hằng địa phương trên X thì theo mệnh đề ở mục 2.4.1 ta
có f — ^Jaiỵu với ỵu là hàm đặc trưng của tập mở compact Uị trong X.
(=1
Đặt//(/) = z aiB {u,!) thì ta chứng minh được JJ là một } -phiếm hàm tuyến tính

i=1
từ -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên X đến p .Nghĩa là nếu
/và g là các hàm hằng địa phương trên X và a e t ta cần chứng minh:
li(af) = ajuự)
m
- a/Ẩ z aiZAiM ( f + g ) = juự)+ju{g)
V /=1
Mặt khác ta có:
/+g=
i=l
7=1
^m
n
^m
n
Nên //(/ + g) = //
+Y,PjXBi =ỴJaiB{Ai) + Ỵ J P j B { B j ) = B ự ) + B { g )
V '=1
ý=i
/ Í=1
7=1
Vậy Ị . I là một - phiếm hàm tuyến tính từ } -không gian véc tơ của các hàm

hằng địa phương trên X đến p .
Ngược lại, giả sử ụ . là một - phiếm hàm tuyến tính từ - không gian véctơ
của các hàm hằng địa phương trên X đến và với mọi tập mở compact u trong X