- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 12
đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (99.52 KB, 4 trang )
sở gd-đt quảng bình
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
(Lập đội tuyển chính thức dự thi HSG Quốc gia)
Năm học : 2003 - 2004
Môn : toán - vòng 1
Đề chính thức
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình :
x 2 x 1001 1 + 8008x = 1001
Câu 2 (2,5 điểm) : Cho a1 = 14 ; a2 = 144 ; ... ; an = 144 ... 4 (có n chữ số 4) . Tìm tất
cả các số nguyên dơng n sao cho an là số chính phơng ?
Câu 3 (2,5 điểm) : Cho dãy số (un) xác định nh sau :
1
2
n
u n = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 , n N .
n n n
Tìm
lim ln(u n ) ?
n
Câu 4 (2,5 điểm) : Tìm hàm số f : R\ { 0 ; 2003} R thoả mãn :
20032
f ( x) + f (
)=x
2003 x
Họ và tên :
Số BD :
1
sở gd-đt quảng bình
Đề chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
(Lập đội tuyển dự thi HSG Quốc gia)
Năm học : 2003 - 2004
Môn : toán (vòng 1)
đáp án, hớng dẫn chấm
yêu cầu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Học sinh giải cách khác đáp án nhng
đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng câu. Trong bài làm của thí sinh,
yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc.
* Nếu học sinh giải sai bớc trớc thì cho điểm 0 đối với các bớc giải sau có liên quan trong
lời giải của từng câu.
* Điểm thành phần của mỗi câu nói chung chỉ phân chia đến 0,5 điểm, tuỳ tổ Giám khảo
thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.
nội dung lời giải
1
8008
Đặt : 1 + 1 + 8008x = 2 t , t > 0 (1) . Ta có :
1 + 8008x = 4t2 - 4t + 1 2002x = t2 - t
Thay (1) vào phơng trình đã cho :
x2 - x - 2002t = 0 2002t = x2 - x
(2)
Ta có hệ phơng trình : 2002x = t2 - t
2002t = x2 - x
(x - t)(x + t - 1 + 2002) = 0 (x - t)(x + t + 2001) = 0
(3)
Từ (2) : 2003(x + t) = x2 + t2 > 0 . Do đó : x + t + 2001 > 0
Vì vậy, từ (3) suy ra : x = t
Thay x = t vào (2) : 2002x = x2 - x x = 0 hoặc x = 2003
Nhận thấy x = 0 không thoả phơng trình đã cho.
Kết luận : x = 2003 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho.
0,25
Câu 1 ( 2,5 điểm) : Điều kiện : x
điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2 ( 2,5 điểm) : Nhận thấy : a1 = 14 không phải là số chính phơng. 0,25
a2 = 144 = 122 ; a3 = 1444 = 382
Vậy, với n = 2 hoặc n = 3 thì an là số chính phơng.
0,5
*
2
Xét n 4 : Giả sử an = b , với b Z
Do n 4 nên an có tận cùng bằng 4444 .
0,25
Ngoài ra : 10000 chia hết cho 16.
0,25
Mặt khác : Số d khi chia an cho 16 bằng số d khi chia 4444 cho 16
và bằng 12. Do đó : b phải là số chẵn và không chia hết cho 4.
0,25
*
Hay : b = 2(2c +1) , với c Z
b2 = 4(4c2 + 4c + 1) = 16(c2 + c) + 4
0,5
2
Chứng tỏ : b chia cho 16 còn d 4 Mâu thuẫn !
0,25
Kết luận : Với n = 2 hoặc n = 3 thì an là số chính phơng.
0,25
Câu 3 ( 2,5 điểm) : Trớc hết ta chứng minh :
2
x2
(1)
x
< ln(1 + x) < x ; x > 0
2
2
Xét hàm số : f(x) = ln(1 + x) - x + x
; x 0
2
1
x2
'
f (x ) =
1+ x =
0 ; x 0
1+ x
1+ x
f ' (x) = 0 x = 0
Do đó, hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [ 0; ) . Hay :
x2
< ln(1 + x) ; x > 0
x > 0 f(x) > f(0) = 0 x
2
Xét hàm số : g(x) = ln(1 + x) - x ; x 0
g ' (x )
0,25
0,25
0,25
0,25
1
x
1 =
0 ; x 0
1+ x
1+ x
g ' (x) = 0 x = 0
Do đó, hàm số g(x) luôn luôn nghịch biến trên [ 0; ) . Hay :
x > 0 g(x) < g(0) = 0 ln(1 + x) < x ; x > 0
0,25
0,25
Nh vậy (1) đã đợc chứng minh.
Bây giờ, xét bài toán ban đầu. Ta có :
1
2
n
ln(u n ) = ln(1 + 2 ) + ln(1 + 2 ) + + ln(1 + 2 )
n
n
n
0,25
áp dụng bất đẳng thức (1) với :
x=
i
n2
; i = 1, 2, , n
Khi đó :
i
i2
i
i
4 < ln(1 + 2 ) < 2
2
n
2n
n
n
; i = 1, 2, , n
0,25
Cộng n bất đẳng thức trên tơng ứng vế theo vế :
1
1 1
1
2
2
(
1
+
2
+
+
n
)
(
1
+
2
+
+
n
)
<
ln(u
)
<
(1 + 2 + + n )
n
n2
2n 4
n2
n(n + 1)
1
n(n + 1)(2n + 1)
1 n(n + 1)
4ì
< ln(u n ) < 2 ì
2
6
2
2n
2n
n
3
2
n n 2n 1
n +1
< ln(u n ) <
3
2n
2n
0,25
3
Nhận thấy :
n 3 - n 2 - 2n 1
n +1 1
lim (
)
=
lim
(
)=
n
n 2n
2
2n 3
1
Do đó :
lim ln(u n ) =
n
2
Câu 4 ( 2,5 điểm) : Đặt :
0,25
g 1 (x) = x
2003 2
g 2 (x) =
2003 x
0,5
2003x 2003 2
g 3 (x) = g 2 [ g 2 (x)] =
x
Theo giả thiết, ta có :
f [ g1 ( x ) ] + f [ g 2 ( x ) ] = g1 (x)
thay x bởi g2(x) )
f [ g 2 ( x ) ] + f [ g 3 ( x ) ] = g 2((x)
( thay x bởi g3(x) )
f [ g 3 ( x ) ] + f [ g1 ( x ) ] = g 3 (x)
Do đó, ta có hệ :
f [ g 1 ( x ) ] + f [ g 2 ( x ) ] = g 1 (x)
f [ g 2 ( x ) ] + f [ g 3 ( x ) ] = g 2 (x)
f [ g ( x ) ] + f [ g ( x ) ] = g (x)
1
3
3
1
x 3 2003x + 20033
f [ g1 ( x ) ] = [ g1 (x) + g 3 (x) g 2 (x)] =
2
2x(x 2003)
Vậy, hàm số cần tìm là :
x 3 2003x + 20033
f(x) =
; x 0 , x 2003
2x(x 2003)
0,5
0,5
0,5
0,5
4
