Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (6)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (656.51 KB, 16 trang )
GV:Trần Trọng Tiến
Định nghĩa
1. Nguyên hàm
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng
của R .
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x K.
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K
Hàm số F(x) được gọi là nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x) = f(x) với mọi x K.
Định lí 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K thì hàm số G(x)
= F(x) + C cũng là một nguyên hàm
của f(x) trên K(với C là hằng số)
Định lí 2:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên
hàm của f(x) trên K đều có dạng
F(x) + C
( với C là hằng số)
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
f
'
x
dx
=
f
x
+
C
Ví dụ 3.
Suy ra từ định nghĩa
nguyên hàm .
(cos x)' dx ( sin x)dx cos x c
Tính chất 2
k
f
x
dx
=
k
f
x
dx
Tính chất 3:
f x g x dx = f x dx g x dx
Tự chứng minh t/c này.
I. Lí thuyết
II. Bài tập 3 SGK tr 101. Tính
Các phương pháp tính nguyên
a ) 1 x dx
hàm
1. Đổi biến số
f (u(x)).u'(x)dx F(u(x)) C
2. Công thức nguyên hàm từng
phần
udv u.v vdu
9
đặt u=1-x => du = -dx => dx = -du
9
9
1
x
dx
u
(du )
u 9du
u10
(1 x)10
C
C
10
10
b ) x1 x
đặt
dx
3
2 2
u=1+x2
x1 x
3
2 2
5
du
=> du = 2xdx xdx
2
3
3
2
du 1 2
u du
dx u
2 2
5
1 2 2
1
. u C (1 x 2 ) 2 C
2 5
5
I. Lí thuyết
II. Bài tập 3 SGK tr 101. Tính
Các phương pháp tính nguyên
c ) cos 3 x sin xdx
hàm
1. Đổi biến số
f (u(x)).u'(x)dx F(u(x)) C
2. Công thức nguyên hàm từng
phần
udv u.v vdu
đặt u=cos x => -du = sin x dx
3
3
3
cos
x
sin
xdx
u
(
du
)
u
du
u4
cos x 4
C
C
4
4
e x dx
dx
x
d ) x
x
(e 1) 2
e e 2
đặt u=1+ex => du = exdx
1
du
e x dx
C
(e x 1) 2 u 2
u
1
x
C
e 1
II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính
a ) x ln(1 x )dx
b ) ( x 2 2x 1)e x dx
c ) x sin( 2x 1)dx
d ) (1 x ) cos xdx
Giải
dx
du
u
ln(
1
x
)
1 x
a) Đặt
2
x
dv xdx
v
2
x2
x 2dx
x ln(1 x)dx 2 ln(1 x) 2(1 x)
x2
1
1
ln(1 x) x 1
dx
2
2
1 x
x2
1 x2
ln(1 x) x ln | 1 x | C
2
2 2
II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính
a ) x ln(1 x )dx
b ) ( x 2 2x 1)e x dx
c ) x sin( 2x 1)dx
d ) (1 x ) cos xdx
Giải
u x 2 2 x 1
du ( 2x 2)dx
b) Đặt
x
x
v
e
dv e dx
2
x
x
2
x
(
x
2
x
1
)
e
(
2
x
2
).
e
dx
(
x
2
x
1
)
e
dx
u' 2x 2
x
dv
'
e
dx
du' 2dx
x
v
'
e
2
x
x
x
2
x
(
x
2
x
1
)
e
(
2
x
2
)
e
2
.
e
(
x
2
x
1
)
e
dx
dx
( x 2 3)e x 2 e x dx ( x 2 3)e x 2e x C ( x 2 1)e x C
II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính
a ) x ln(1 x )dx
b ) ( x 2 2x 1)e x dx
c ) x sin( 2x 1)dx
d ) (1 x ) cos xdx
Giải
du dx
u x
c) Đặt
1
dv sin( 2x 1)dx
v 2 cos(2x 1)
1
1
x
(
cos(
2
x
1
))
cos(
2
x
1
)
x
sin(
2
x
1
)
dx
dx
2
2
1
1
x cos(2x 1) cos(2x 1)dx
2
2
1
1 sin( 2x 1)
x cos(2x 1)
C
2
2
2
1
sin( 2x 1)
x cos(2x 1)
C
2
4
II. Bài tập 4 SGK tr 101. Tính
a ) x ln(1 x )dx
b ) ( x 2 2x 1)e x dx
c ) x sin( 2x 1)dx
d ) (1 x ) cos xdx
d) Đặt
Giải
u 1 x
du dx
dv cos xdx
v sin x
(1 x) cos xdx
(1 x) sin x sin x( dx )
(1 x) sin x sin x.dx (1 x) sin x cos x C
Bài tập khác. Tính
a ) x 2 x 3 1dx
b ) sin 4 x cos 3 xdx
c ) x 2 sin xdx
d ) x 2 ln( x 1)dx
Giải
a ) x 2 x 3 1dx
b ) sin 4 x cos 3 xdx
Đặt u x 3 1 u 3 x 3 1
sin 4 x(1 sin 2 x ) cos xdx
3u 2du 3x 2dx x 2dx u 2du
Đặt
2
3
x
x
1dx
4
2
uu
du
u
u
du
C
4
3
4
x 1
C
4
3
u sin x du cos xdx
4
2
sin
x
(
1
sin
x ) cos xdx
4
2
4
6
du
u
(
1
4
)
du
u
u
u5 u7
sin 5 x sin 7 x
C
C
5
7
5
7
Bài làm thêm. Tính
a ) x 2 x 3 1dx
b ) sin 4 x cos 3 xdx
c ) x 2 sin xdx
d ) x 2 ln( x 1)dx
c ) x sin xdx
2
Giải
u x 2
du 2xdx
Đặt
dv sin xdx
v cos x
2
2
2
x
(
cos
x
)
(
cos
x
)
2
xdx
x
cos x 2 x cos xdx
x
sin
xdx
du' dx
u' x
Đặt
v' sin x
dv' cos xdx
2
2
x
cos x 2( x sin x sin xdx)
x
sin
xdx
x 2 cos x 2x sin x 2 sin xdx
x 2 cos x 2x sin x 2 cos x C
Bài làm thêm. Tính
a ) x 2 x 3 1dx
b ) sin 4 x cos 3 xdx
c ) x 2 sin xdx
d ) x 2 ln( x 1)dx
Giải
dx
du
u ln( x 1)
x1
2
Đặt
d ) x ln( x 1)dx
3
2
x
dv x dx
v
3
x3
x 3 dx
2
x ln( x 1)dx 3 ln( x 1) 3 x 1
x3
1 2
1
ln( x 1) x x 1
dx
3
3
x 1
x3
1 1
1
ln( x 1) x 3 x 2 x ln | x 1 | C
3
3 3
2
CỦNG CỐ
Qua bài học học sinh cần nắm được
+ Phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến số.
+ Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần.
