Bài giảng bài cấp số nhân đại số 11 (6)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (455.33 KB, 11 trang )
Bài toán: Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể
Như
vậy ta
dãy
(ungười
x/đ
nhưsố
sau:
n) được
thức có kì hạn: Khi kết thúc
kì hạn
gửicó
tiền
mà
gửi
không
đến
Tính
tiềnrút
rúttiền thì
toàn bộ số tiền ( gồm cả vốn và lãi ) sẽ được
chuyển gửi được
tiếp với
kì hạn
7
( gồm
cả như kì
u
10
.1,
004
1
hạn mà người gửi đã gửi.
vốn và lãi ) sau
u kì
.1,hạn
004,một
ntháng
21,2,3
Giả sử có một người gửi 10 triệu u
đồngvới
vàotháng?
ngân hàng nói
n
n 1
trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0,4%.
có ngày
nhận gửi
xét ,gìngười
về các
hạng
của
(un)hàng
kể để rút
a) Hỏi nếu sau 6 tháng ,Em
kể từ
đósốmới
đến
ngân
từ số
thứ
hainhiêu?
trở đi ?
tiền thì số tiền rút được ( gồm cả vốn
vàhạng
lãi ) là
bao
b) Cũng câu hỏi như trên , với giả thiết thời điểm rút tiền là một năm sau , kể từ
ngày gửi ?
Giải
Gọi số tiền rút được ( gồm cả vốn và lãi) sau n tháng là un với n nguyên, dương
Vậy số tiền rút được ( gồm cả vốn và lãi)
Sau 1 tháng là: u1= 107 + 107 . 0,004 = 107. 1,004
= 107 . 1,0042
Sau 2 tháng là: u2= u1 + u1 . 0,004 = u1 . 1,004
= 107 . 1,0043
Sau 3 tháng là: u3= u2 + u2 . 0,004 = u2 . 1,004
…..
Sau 6 tháng là: u6 = u5 + u5 . 0,004 = u5 . 1,004
= 107. 1,0046
Sau 12 tháng là: u12= u11 + u11. 0,004 = u11 . 1,004
……
Sau n tháng là: un= un-1 + un-1 . 0,004 = un-1 . 1,004
= 107 .1,00412
n 2
1.Định nghĩa :
*) Định nghĩa :
(un) là cấp số nhân
n 2, un un 1.q
trong đó q là số không đổi và được gọi là công bội
*) Nhận xét :
- Một cấp số nhân hoàn toàn được x/đ khi biết u1 và q.
-Để c/m một dãy số (un) là CSN ta c/m
Hoặc
un 1
q, un 0, n 1
un
*) Ví dụ:
a. H1?
un un 1.q, n 2
b. Chứng tỏ (un) với un= 3n là cấp số nhân.
un 1 3n 1
n 3, n 1
Giải : vì un >0 với mọi n nguyên dương nên ta có
un
3
Vậy (un) là cấp số nhân với q = 3
c. Cho (un) với
5
u1
2
un 3.un 1 1, n 2
C/m (vn) với vn = un – 1/2 n 1 là một cấp số nhân.
Giải: Ta có vn = 3un-1 - 1 – 1/2 = 3 . ( un-1 – 1/2 ) = 3 . vn-1
n 2
Vậy (vn) là CSN có v1 = u1 – 1/2 = 5/2 – 1/2 = 2 và q = 3
*) Chú ý :
- Cấp số nhân (un) có q = 1 có dạng khai triển là : u1 , u1 , u1 , …
- Cấp số nhân (un) có q = 0 có dạng khai triển là : u1 , 0 , 0 , …
- Cấp số nhân (un) có u1= 0 có dạng khai triển là : 0 , 0 , 0 , …
2.
Tính
chất:
Cho
các
cấp số nhân:
a.Định
3 ,lý:6 , 12 , 24 , 48 .
*)
b. 2(u, )- là
4 cấp
,
8 ,nhân
- 16 , 32 , - 64 , …
số
n
uk2 uk 1.uk 1 , k 2
Em có nhận xét gì về
mối quan hệ giữa mỗi
số hạng với hai số
hạng đứng kề nó trong
dãy?
*) Ví dụ:
+ ) H2: Có hay không một cấp số nhân (un) mà u99 = - 99 và u101 = 101 ?
Giải :
2
Nếu (un) là cấp số nhân thì u100 u99 .u100 99.100 0
Vậy không có cấp số nhân nào thoả mãn y/c bài toán
+) Cho cấp số nhân (un) có q<0 , u2 = 5 , u4 = 10 . Tìm u5 ?
Giải:
Vì q < 0 và u2 > 0 nên u3 = u2 .u4 5 2
Từ đó ta có :
u42
100
u5
10 2
u3 5 2
Vô lí
3. Số hạng tổng quát:
*) Định lí :
Nếu (un) là cấp số nhân có số hạng đầu là u1 và q 0
Thì un = u1.qn-1
n 2
Ta có
*) ví dụ :
1/ Ta thấy (un) với
u1 107.1, 004
un un 1.1, 004, n 2
u2 = u1. q
u3 = u2. q = u1.q2
u4 = u3. q = u1.q3
…………………..
un = un-1. q = u1.qn-1
Là cấp số nhân có q = 1,004
Vậy u6 = u1. q5 = 107.(1,004)6 = 10 242 413 (đ)
u12 = u1 .q11 = 107 . (1,004)12 = 10 490 702 (đ)
2/ H3:
Kí hiệu un ( người ) là dân số của thành phố A sau n năm.
Ta thấy (un) được x/đ như sau
u1 3.106 3.106.0, 02 3.106.1, 02
un un 1.1, 02, n 2
Là cấp số nhân có q = 1,02
Vậy dân số TP A sau hai năm nữa là
u2 = u1.q = 3.106. (1,02)2 = 3 121 200 ( người)
4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
*)
Cho cấp số nhân (un) có công bội q . Gọi Sn=
n
u
i 1
i
- Nếu q = 1 thì Sn = n.u1
- Nếu q
(1 q n )
1 thì S n u1 .
1 q
*) Ví dụ: Cho CSN (un) có u4 = 48 , u5 = 96 . Tính tổng 6 số hạng đầu
tiên của CSN đó .
Giải:
Có q =
96
2
48
Mà u4 = u1
.q3
u4
48
u1 3
6
q
8
(1 q 6 ) 6.(1 26 )
S6 u1.
378
1 q
1 2
Đố vui: (tr- 120)
- Trong 30 ngày nhà tỉ phú đã mua được 300 000 000 đ
- Gọi un (đồng ) là số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán
học ở ngày thứ n . Dễ thấy (un) là cấp số nhân có u1 =1 , q = 2
Vậy số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học trong 30
ngày là
30
30
1 q
1 2
S30 u1
230 1
1 q
1 2
= 1 073 741 823 đ
- Vậy sau cuộc mua bán nhà tỉ phú đã
“ lãi “được là:
300 000 000 – 1 073 741 823 = - 773 741 823 đ
1. Các kiến thức trọng tâm cần nhớ:
- Khái niệm cấp số nhân.
-Tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
- Công thức số hạng tổng quát , tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
2. Nắm được các kĩ năng:
- C/m một dãy số là CSN.
- Biết tìm số hạng , tìm công bội , tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN.
- Biết áp dụng giải một số bài toán thực tế đơn giản liên quan đến CSN.
