Ứng dụng hình học của TP
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.24 KB, 9 trang )
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Thể tích vật thể hình học
1
● Diện tích hình phẳng
y
A
M
B
N
x b
a
Khi x chạy từ a đến b thì MN = f(x) “quét”
nên diện tích S của hình phẳng aABb và
b
S = ∫ f ( x)dx
x
( f(x)≥0, x[a,b] )
a
Quan sát và
cho biết ý kiến?
1/ Thể tích vật thể hình học
y
Khi x chạy từ a đến b thì diện tích S(x)
“quét” nên thể tích V của vật thể và
b
x
O
a
x
V = ∫ S ( x )dx
( S(x) liên tục trên [a,b] )
a
b
S(x)
2
2/ Thể tích khối chóp, khối nón
Xét khối chóp (khối nón) đỉnh O, diện tích đáy là S, chiều cao OI = h.
Chọn trục Ox hướng theo chiều từ O đến I
S ( x) x 2
= 2 (0 ≤ x ≤ h)
S
h
O
O
Do đó
M
H
N
h
S
V = 2
h
h
2
x
∫ dx
0
3 h
S x
= 2
h 3
D
C
I
A
0
1
= Sh
3
I
M
B
3
3/ Thể tích khối chóp cụt, khối nón
Xét khối chóp cụt (khối nón cụt) có diện tích hai đáy là S và S ’,
chiều cao II’=h.
Chọn trục Ox theo hướng từ O đến I. Đặt OI=a, OI’=b. b-a=h.
O
S ( x) x 2
= 2 (a ≤ x ≤ b). Do đó
S
b
O
b
V=
M
H
S x
S
2
=
x
dx
b2 3
b 2 ∫a
=
C
I
M
B
a
S 3 3
b −a )
2 (
3b
S
2
2
(
b
−
a
)(
b
+
ab
+
a
)
2
3b
D
A
=
N
h
I
3 b
hS
=
3
(
a a2 \
1 + + 2 ÷ vi
b b
h
=
S + S .S / + S /
3
S/ a
= ÷
S b÷
)
4
4/ Thể tích của vật thể tròn xoay
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
y=f(x), y=0, x=a, x=b quay quanh trục Ox
taọ thành một vật thể tròn xoay (T)
y
Tính thể tích của (T)
f ( x)
x
O
y
x
a
Thiết diện của (T) và mặt phẳng vuông góc
với Ox là hình tròn có bán kính R=f(x) nên
diện tích thiết diện là S(x) = π[f(x)]2.
b
Hãy tìm diện
tích thiết
diện S(x)
Do đó thể tích của khối tròn xoay (T) là:
y = f ( x)
b
V = π ∫ [ f ( x)]2 dx
f ( x)
a
x
O
a
x
b
b
V = π ∫ y 2 dx
a
5
5/ Thể tích của khối cầu
y
Khối cầu bán kính R là khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình tròn giới hạn
bởi đường tròn
x
-R
O
(C ) : x 2 + y 2 = R 2 quanh trục Ox
Do đó có thể tích là:
R
V =π
R
∫
−R
R
y 2 dx = π ∫ ( R 2 − x 2 )dx
−R
M
R
R
2 x
3 2R3
= π R x − ÷ = π 2R −
÷
3
3
−R
4
= π R3
3
3
H
S
6
6/ Ví dụ:
Tính thể tích của hình tròn xoay sinh ra khi quay hình giới hạn bởi:
a)
y = e , y = 0, x = −1, x = 2
x
y=
b)
quanh trục Ox.
1 2
x , y = 2, y = 4, x = 0
2
Nêu công
thức?
quanh trục Oy.
y
Quay quanh Ox:
b
V = π ∫ y 2 dx
a
x
Quay quanh Oy:
O
b
2
V = π ∫ (e ) dx
x 2
−1
2
π 2x
π 4 1
= e
= e − ÷(dvtt )
2
2
e
−1
V = π ∫ x 2 dy
a
4
V = π ∫ 2 ydy = π y
2 4
2
2
= 12π ( dvtt )
7
Bài học kết thúc
8
b
V = ∫ S ( x)dx
a
b
V = π ∫ [ f ( x)]2 dx
a
9
