ễN TP CHNG II PHN THC I S LP 8
Cao Quốc Cờng ( GV. THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc)
Khi học xong chơng II: Phân thức đại số (Toán lớp 8). Trong phần ôn tập chơng tôi có
hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản. Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các
bạn một số dạng bài tập nh vậy.
I. Dạng 1: Rút gọn phân thức:
A/ Kiến thức cơ bản: Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
- Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).
B/ Bài tập:
x5 2 x 4 + 2 x3 4 x 2 3x + 6
x 4 2 x 3 + 3x 2 6 x
4
2
x5 2 x 4 + 2 x3 4 x 2 3x + 6 x ( x 2 ) + 2 x ( x 2 ) 3 ( x 2 ) x 2 1
=
=
Lời giải: Ta có :
.
x 4 2 x3 + 3x 2 6 x
x
x ( x3 2 x 2 + 3x 6 )

Bài 1: Rút gọn phân thức sau:

Bài 2: Cho x + y + z = 0 và xyz 0 . Rút gọn phân thức:
2010x 2 y 4 z 6
A= 2
( x + y 2 z 2 ) ( y 2 + z 2 x2 ) ( z 2 + x2 y 2 )

Lời giải: Ta có x 2 + y 2 z 2 = ( x + y ) 2 xy z 2 = ( x + y + z ) ( x + y z ) 2 xy = 2 xy

(do x + y + z = 0 ). Tơng tự: y 2 + z 2 x 2 = 2 yz; z 2 + x 2 y 2 = 2 zx . Thay vào A ta có:
2

A=

2010 x 2 y 4 z 6
2010 x 2 y 4 z 6
1005 y 2 z 4
=
=
(vì xyz 0 ).
4
( x 2 + y 2 z 2 ) ( y 2 + z 2 x 2 ) ( z 2 + x2 y 2 ) 2 xy ( 2 yz ) ( 2 zx )

II. Dạng 2: Các phép tính về phân thức:
A/ Kiến thức cơ bản:
1/ Quy đồng mẫu của nhiều phân thức:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng ứng.
* Chú ý: Để tìm mẫu thức chung thuận tiện ta có thể:
- áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức
- Rút gọn phân thức trớc khi quy đồng.
2/ Các phép tính về phân thức:
a; Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu.
Muốn cộng hai phân thức khác mẫu ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng
mẫu vừa tìm đợc.
b; Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp.
c; Hai phân thức đợc gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
A A

A A
=
= .
và
B
B
B
B
A C A C
d; Phép trừ: = + ữ.
B D B D


1


e; Phép nhân:

A C A.C
. =
.
B D B.D

f; Phép chia:

A C A D
C
: = .
Với 0.
B D B C

D

g;Phép nhân các phân thức đại số có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với
phép cộng.
B/ Bài tập:
Bài 3: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
4
3x 2 y
; 2
3x 6 y 8 y 2 x 2

x3 + x 2 3x3 + 3x 2 6 x5
;
;
.
x3 x x 5 + 2 x 4 + x 3 x 7
3x 2 y
2 y 3x
= 2
Lời giải: a/ áp dụng quy tắc đổi dấu ta có: 2
.
2
8 y 2x
2x 8 y2
2
2
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử: 3x 6 y = 3 ( x 2 y ) ; 2 x 8 y = 2 ( x 2 y ) ( x + 2 y ) .
a/

b/


MTC = 6 ( x 2 y ) ( x + 2 y ) ; NTP1 = 2 ( x + 2 y ) ; NTP2 = 3.

Ta có:

4.2 ( x + 2 y )
8( x + 2y)
4
=
=
3 x 6 y 3 ( x 2 y ) .2 ( x + 2 y ) 6 ( x 2 y ) ( x + 2 y )

3 ( 2 y 3x )
3x 2 y
2 y 3x
=
=
.
2
2
8 y 2x
2( x 2y) ( x + 2y) 6( x 2y) ( x + 2y)

x 2 ( x + 1)
x3 + x 2
x
=
=
;
b/ * Rút gọn các phân thức ta có: 3

x x x ( x + 1) ( x 1) x 1
3 x 2 ( x + 1)
3x3 + 3x 2
3
6 x5 6
=
=
; 7 = 2
x 5 + 2 x 4 + x3 x 3 ( x + 1) 2 x ( x + 1)
x
x

MTC = x 2 ( x 1) ( x + 1) ; NTP1 = x 2 ( x + 1) ; NTP2 = x ( x 1) ; NTP3 = ( x 1) ( x + 1) .

x 3 ( x + 1)
x3 + x 2
x
=
=
Ta có: 3
.
x x x 1 x 2 ( x 1) ( x + 1)

3 x ( x 1)
6 ( x 1) ( x + 1)
3 x3 + 3x 2
3
6 x5 6
=
=

= 2= 2
;
.
5
4
3
2
7
x + 2x + x
x ( x + 1) x ( x 1) ( x + 1)
x
x
6 x ( x 1) ( x + 1)
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
Bài 4: Cho biểu thức: P = 2
.
x 5 x + 6 x 7 x + 12 x 9 x + 20 x 11x + 30
1
Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng .
3
1
1
1
1

Lời giải: Ta có: P = ( x 3) ( x 2 ) + ( x 4 ) ( x 3) + ( x 5 ) ( x 4 ) + ( x 6 ) ( x 5 )
ĐKXĐ: x 2; x 3; x 4; x 5; x 6.
4
1
1
1
1
1
1
1
1 = 1 1 =
P=

+

+

+

.
x 6 x 2 ( x 6) ( x 2)
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 6 x 5
x=0


Để P = 3 x 6 x 2 = 3 ( x 6 ) ( x 2 ) = 12 x ( x 8 ) = 0
(Thỏa mãn ĐKKXĐ)
(
)(
)

x = 8
1

4

1

1
3

Vậy x = 0; hoặc x = 8 thì P có giá trị bằng .
III. Dạng 3: Biến đổi các biểu thức hữu tỷ:
A/ Kiến thức cơ bản:
2


* Một phân thức đại số hoặc một biểu thức biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ,
nhân, chia trên những phân thức gọi là một biểu thức hữu tỉ.
*Khi giải toán liên quan đến giá trị của phân thức thì trớc tiên phải tìm điều kiện của biến
để giá trị tơng ứng của mẫu thức khác 0.
B/ Bài tập:
2
2
x+2
x + 1 3x x + 1
A
=
+

3

ì

Bài 5: Cho biểu thức:

ữ
x +1 2 4x
3x
3x

a; Rút gọn biểu thức A.

b; Tìm x để A có giá trị bằng 670.

2
c; Tìm x Z để Z .
A
1
2

Lời giải: a; ĐKXĐ: x 0; x 1; x .
Ta có: A =

( x + 2 ) ( x + 1) + 6 x 9 x ( x + 1) ì x + 1 3x x 2 + 1 1 + 2 x 3x + x 2 1 x 1
=
=
3 x ( x + 1)
2 4x
3x
3x
3


b; Để A = 670

x 1
= 670 x 1 = 2010 x = 2011 (Thỏa mãn ĐKXĐ).
3

Vậy x = 2011 thì A có giá trị bằng 670.
c; Ta có

2
x 1
6
2
6
= 2:
=
Z x 1 Ư(6) = { 1; 2; 3; 6} .
. Để Z
A
3
x 1
A
x 1

Ta có bảng sau:

x-1
x


-6
-5

-3
-2

-2

-1

-1 (Loại) 0 (Loại)

1
2

2
3

3
4

6
7

2
Z.
A
x2 y 2
y2
x2



Bài 6: Cho biểu thức: P =
.
( 1 + x ) ( y 1) ( x + y ) ( 1 + x ) ( x + y ) ( y 1)

Vậy x { 5; 2; 2;3; 4;7} thì

Tìm các cặp số nguyên (x; y) để P có giá trị bằng 12.
Hớng dẫn: ĐKXĐ: x 1; y 1; x y . MTC = ( x + y ) ( 1 + x ) ( y 1)
Quy đồng, thực hiện phép trừ và rút gọn ta đợc: P = xy + x y . Ta cần tìm các cặp số
nguyên (x; y) để P = 12 xy + x y = 12 ( y + 1) ( x 1) = 11 .
Ta có 4 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề bài là: ( x; y ) = ( 12;0 ) ; ( 2;10 ) ; ( 10; 2 ) ; ( 0; 12 ) .
IV. Dạng 4: Các bài toán có nội dung tổng hợp:
Bài 7: Tìm số hữu tỷ x để phân thức A =
Hớng dẫn: ĐKXĐ: x R

10
có giá trị là số nguyên tố.
x2 + 1

10 y
10
2
= y (Với y N ). Ta có x =
(*) vì x 2 0 0 < y 10 vì y là số nguyên tố
2
y
x +1
nên y { 2;3;5;7} . Thay các giá trị của y vào (*) ta đợc x { 2; 1;1; 2} .


Đặt

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

5 x 2 10 x + 65
x2 + 7

2
2
5 x +1
Hớng dẫn: ĐKXĐ: x R . Ta có: A = 10 x + 70 2 5 x 10 x 5 = 10 ( 2 ) 10
x +7
x +7
2

3


Vậy Max A = 10 đạt đợc khi x = -1.
Bài 9: Cho x; y; z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=

3 x 2 yz + 3 xy 2 z + 3 xyz 2 + xy + xz + yz
xyz

1
1
1
3 x 2 yz + yz 3 xy 2 z + xz 3xyz 2 + xy

= 3 x + ữ+ 3 y + ữ+ 3 z + ữ
+
+
Hớng dẫn: Ta có: A =
x
y
z
xyz
xyz
xyz


áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dơng của từng ngoặc ta đợc A 6 3
Vậy Min A = 6 3 đạt đợc khi x = y = z =

1
.
3

Bài 10: Cho các số khác không a; b; c . Tính giá trị của biểu thức:
Q = x 2009 + y 2010 + z 2011 +

11
x2 + y2 + z 2 x2 y 2 z 2
. Biết x; y; z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 = 2 + 2 + 2
2011
a +b +c
a
b
c


Hớng dẫn: Từ giả thiết ta có:

x2
y2
z2

x2
y2
z2
+
2
+
2
=0
2 2
2
2 ữ 2
2
2 ữ 2
2
2 ữ
a +b +c c a +b +c
a a +b +c b
b2 + c2
a2 + c2
a 2 + b2
2
2
x2 ì 2 2

+
y
ì
+
z
ì
= 0(*)
a ( a + b2 + c2 )
b2 ( a 2 + b2 + c 2 )
c2 ( a 2 + b2 + c 2 )

Từ (*) suy ra x = y = z = 0. Vậy ta có: Q =

11
.
2011

Bài 11: Cho các số a; b; c thỏa mãn: a + b + c = 1 ; a 2 + b 2 + c 2 = 1 và
3
3
3
Tính giá trị của biểu thức: Q = ( xy + yz + zx ) ( a + b + c ) + 2010 .

x y z
= = .
a b c

x y z
= = = k x = ka; y = kb; z = kc xy + yz + zx = k 2 ( ab + bc + ac ) (*)
a b c

2
Mặt khác vì : a + b + c = 1 ( a + b + c ) = 1 a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 1
(do a 2 + b2 + c 2 = 1 ) nên suy ra ab + bc + ca = 0(**) . Từ (*) và (**) suy ra xy + yz + zx = 0 .

Hớng dẫn: Đặt

Vậy Q = 0 ì( a + b + c ) + 2010 = 2010 .
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
3

a;

3

3

x3 + x 2 4 x 4
x 3 + 8 x 2 + 17 x + 10

b;

Bài 2: Thực hiện các phép tính:

x 4 + 6 x3 + 9 x 2 1
x 4 + 6 x3 + 7 x 2 6 x + 1

x 2 yz
y 2 zx
z 2 xy

A=
+
+
( x + y) ( x + z ) ( y + z ) ( y + x) ( z + x) ( z + y )

x 2 + 3x
3 1
6x

P
=
+ 2
3
Bài 3: Cho biểu thức:
3
ữ:
ữ
2
2
x + 3 x + 9 x + 27 x + 9 x 3 x 3 x + 9 x 27
1
a; Rút gọn P.
b; Tìm các giá trị của x để P = .
3
c; Tìm x Z để P có giá trị là số nguyên.
x2
x 2 + 3x + 1
b; 2
Đáp số: Bài 1: a;
(Thêm bớt 2x 2 vào mẫu thức).

x+5
x + 3x 1

4


Bµi 2: A = 0
Bµi 3: a; P =

x+3
x −3

b; x = −6

c; x ∈ { 0;1; 2; 4;5;6;9}

.............................................................................

5