BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO NHƯ BẮC

BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(2) THEO
CÁC DAO ĐỘNG TỬ ĐA MODE BIẾN DẠNG q
Chuyên ngành: VẬT LÍ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS L-u ThÞ Kim Thanh

HÀ NỘI – 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: “BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ LƯỢNG
TỬ SU(2) THEO CÁC DAO ĐỘNG TỬ ĐA MODE BIẾN DẠNG q” là kết

quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu
Thị Kim Thanh trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu tham khảo. Khóa luận này
không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kỳ tác giả nào đã từng công bố.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa
luận đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Những điều tôi cam đoan trên đây hoàn toàn đúng sự thật. Nếu sai tôi
xin chịu trách nhiệm trước hội đồng.
Hà Nội, tháng 06 năm 2013
Học viên

Đào Như Bắc


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa..................................................................................................
Lời cảm ơn......................................................................................................
Lời cam đoan ..................................................................................................
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1: HỆ THỐNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ CHẤT LƯU .......... 3
1.1. Các tính chất vật lí cơ bản của chất lưu........................................... 3
1.1.1. Đặc điểm của chất lưu .......................................................... 3
1.1.2. Khối lượng riêng – Trọng lượng riêng – Tỷ trọng ............... 4
1.1.3. Tính nhớt............................................................................... 4
1.1.4. Tính nén được – suất đàn hồi K............................................ 6
1.1.5. Tính chất của dòng chảy – số Rây nôn ................................. 6
1.2. Tĩnh học chất lưu ............................................................................. 7
1.2.1. Các khái niệm áp suất ........................................................... 7
1.2.2. Phương trình cân bằng của chất lưu ..................................... 9
1.2.3. Định luật Paxcan ................................................................... 10
1.2.4. Định luật Acsimet ................................................................. 11
1.3. Động lực học lưu chất ..................................................................... 12
1.3.1. Một số khái niệm .................................................................. 12
1.3.2. Phương pháp thể tích kiểm soát – đạo hàm tích phân khối .. 13
1.3.3. Phương trình liên tục ............................................................ 15
1.3.4. Phương trình động lượng ...................................................... 17
1.3.5. Phương trình năng lượng ...................................................... 18
1.4. Chuyển động của vật rắn trong chất lưu.......................................... 21
1.4.1. Lực cản ma sát ...................................................................... 22
1.4.2. Lực cản áp suất ..................................................................... 23



1.4.3. Lực nâng ............................................................................... 25
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG ............................................................................ 27
2.1. Máy nén thủy lực ............................................................................. 27
2.2. Phanh đĩa xe máy............................................................................. 28
2.3. Sự giữ cân bằng của tàu thuyền ....................................................... 28
2.4. Cách trục tàu đắm ............................................................................ 29
2.5. Tàu ngầm, tàu lặn ............................................................................ 30
2.6. Tác dụng của bong bóng cá ............................................................. 30
2.7. Khí cầu - bóng thám không ............................................................. 31
2.8. Cân phân tích ................................................................................... 32
2.9. Hiện tượng vòi phun ........................................................................ 32
2.10. Bộ chế hòa khí ............................................................................... 33
2.11. Van an toàn .................................................................................... 34
2.12. Đo vận tốc dòng chảy thoát ra khỏi lỗ nhỏ. Công thức Torixenli. 35
2.13. Đo vận tốc chất lỏng. Ống Ven-tu-ri ............................................. 36
2.14. Đo vận tốc của máy bay nhờ ống Pi-tô ......................................... 37
2.15. Va chạm giữa hai xe ô tô chuyển động theo hai hướng song song và
gần nhau ......................................................................................................... 38
2.16. Ứng dụng của công thức Stốc xác định độ nhớt của chất lỏng ..... 38
2.17. Xác định điện tích của các điện tử (thí nghiệm Milikan) .............. 39
2.18. Đường cong của quả bóng bị uốn cong do hiệu ứng Magnus....... 41
2.19. Nguyên lý hoạt động và cơ cấu điều khiển máy bay, trực thăng .. 43
2.20. Khí động học của ôtô và những biện pháp cải thiện tính năng khí
động học ......................................................................................................... 48
KẾT LUẬN .................................................................................................... 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 55



1
MỞ ĐẦU
Đối xứng là đặc tính phổ biến trong nhiều hệ vật lí. Việc tìm kiếm
những đối xứng và sự vi phạm nó một cách tuần tự kiểm soát được, cũng như
việc tìm kiếm những đại lượng bất biến trong vật lí là phương pháp chỉ đường
phổ biến trong công cuộc khám phá các định luật vật lí. Ngôn ngữ toán học
của lý thuyết đối xứng là lý thuyết nhóm. Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy
nhóm lượng tử làm cơ sở là một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây. Nhóm lượng tử là các kiểu biến dạng
của đại số Lie thông thường mà sẽ thu lại được khi tham số biến dạng có giá
trị bằng đơn vị [1,2]. Ứng dụng của nhóm lượng tử trong vật lý trở nên phổ
biến với việc đưa vào hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng [3,4],
chẳng hạn như đã tìm được biểu diễn boson của đại số lượng tử SUq(2) và
ứng dụng để giải phương trình Yang – Baxter [5]. Đại số lượng tử còn có
nhiều ứng dụng trong các ngành vật lý khác, như nghiên cứu về chuỗi spin,
các anyoins, quang lượng tử, sự quay và dao động của hạt nhân nguyên tử…;
và ứng dụng trong lý thuyết trường conformal. Từ đó chúng ta nhận thấy rằng,
đại số lượng tử có lớp đối xứng rộng hơn lớp đối xứng Lie và bao gồm đối
xứng Lie như trường hợp đặc biệt.
Nghiên cứu đại số lượng tử SU(2) nằm trong hướng nghiên cứu trên, và
đã đạt được nhiều kết quả có ý nghĩa trong vật lý hạt nhân nguyên tử, trong
vật lý hạt cơ bản…đã thu hút được sự quan tâm nghiêncứu của nhiều nhà
khoa học. Vì vậy đề tài có ý nghĩa khoa học; đó là lý do tôi chọn đề tài “Biểu
diễn đại số lượng tử SU(2) theo các dao động tử đa mode biến dạng q”
làm luận văn thạc sĩ của mình dưới sự hướng dẫn của cô giáo, PGS. TS Lưu
Thị Kim Thanh.


2
1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng
- Xây dựng các phân bố thống kê biến dạng
- Nghiên cứu đại số SU(2)
- Nghiên cứu đại số SU(2) biến dạng tổng quát
2. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp Lý thuyết trường lượng tử
- Phương pháp vật lý thống kê
- Phương pháp lý thuyết nhóm
3. Tên đề tài, kết cấu của luận văn.
- Tên đề tài: Biểu diễn đại số lượng tử SU(2) theo các dao động tử đa
mode biến dạng q
- Kết cấu của luận văn: Gồm phần mở đầu và kết luận; Nội dung chính
của luận văn được trình bày trong ba chương :
Chương 1: Đối xứng đồng vị SU(2) của các hạt tương tác mạnh
Chương 2: Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2)
Chương 3: Biểu diễn đại số lượng tử SU(2) theo các dao động tử đa
mode biến dạng q


3

Chương 1
ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2) CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH
1.1. Nhóm đối xứng SU(2)
1.1.1. Spin đồng vị
Vào năm 1930, kết quả nghiên cứu thực nghiệm về lực hạt nhân của
proton và neutron, Heisenberg đã nhận thấy rằng: nếu như tách được điện tích
của proton ra thì không có cách nào phân biệt được proton với neutron vì
chúng có khối lượng và cường độ tương tác mạnh với các hạt khác xấp xỉ
nhau [1], [2]. Vì vậy Heisenberg đã đưa ra giả thiết xem proton p và neutron

n là hai trạng thái khác nhau của cùng một hạt gọi là nucleon N. Để diễn tả
điều này dưới dạng toán học, Heisenberg đưa ra khái niệm spin đồng vị.
Cũng tương tự như với spin thông thường, hạt có spin đồng vị I có thể ở
(2I+1) trạng thái khác nhau với các giá trị : I 3 = I , I - 1,..., - I . Như vậy
1
2

1
nucleon có spin đồng vị I = , và proton là trạng thái có I3 = + , còn neutron
2

có I 3 = -

1
. Về sau, khái niệm spin đồng vị được mở rộng cho mọi hạt tương
2

tác mạnh khác. Ví dụ meson p + , p 0 , p - được xem như ba trạng thái khác
nhau của cùng một hạt p

+
có spin đồng vị I = 1, p có I 3 = +1,

p0

có

I 3 = 0, p có I 3 = -1, tương tự với meson K, các baryon S, X,...

1.1.2. Nhóm đối xứng SU(2)

Định nghĩa: tập hợp tất cả các ma trận 2x2, Unita, có định thức bằng 1
thỏa mãn các tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(2).
gg + = I ,

det g = 1.


4

Tớnh cht ca nhúm:
+ Tớnh kớn: a, b ẻ G a.b = c ẻ G
+ Tớnh kt hp: (a.b).c = a.(b.c)

+ $ phn t n v I: a.I = a " a ẻ G
-1
+ $ phn t nghch o: a.a = I " a ẻ G

Mi phn t ca nhúm SU(2) c c trng bi ba thụng s wa (a = 1, 2, 3)
v u cú th vit di dng

g =e

i

ồwa
a

sa
2


e

iwa

sa
2

,

(1.1)

õy ch s lp li c quy c l ly tng theo chỳng, a l ma trn
Pauli tha món h thc giao hoỏn
sc
ộs a s b ự
,
=
i
e
,
abc
ờ 2 2 ỳ
2
ở
ỷ

(1.2)

vi e abc hon ton phn i xng theo mi ch s v e123 = 1 , e abc c gi l
hng s cu trỳc ca nhúm SU(2). Dng tng minh ca ma trn Pauli nh

sau:
ổ0
s1 = ỗ
ố1

1ử
ữ,
0ứ

ổ0
s2 = ỗ
ối

-i ử
ữ,
0ứ

ổ1 0 ử
s3 = ỗ
ữ.
ố 0 -1 ứ

1.2. Nhúm bin i SU(2)
i xng ng v c mụ t bng ngụn ng toỏn hc bi nhúm cỏc
phộp bin i SU(2), ú l nhúm cỏc phộp bin i thc hin bi cỏc toỏn t
U c trng bi ba thụng s thc a, v cú dng:

U (w a ) = e

i


ồ wa Ia
a

= e iw a I a ,

(1.3)

trong ú wa l cỏc thụng s thc vụ cựng bộ; I a l cỏc vi t ca phộp bin i,
cú dng ma trn 2x2, c ng nht vi toỏn t spin ng v, hermitic
I a + = I a v tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn:


5

[ I a , I b ] = ie abc I c .

(1.4)

Thật vậy, đặt iwa Ia = x, khai triển quanh một vị trí rất nhỏ và dừng lại ở
U ( w ) = e iwI a ; I + iw a I a + ...

số hạng bậc nhất

U + ( w) = e-iwa Ia ; I - iwa I a+ + ...
+

Từ điều kiện Unita UU + = I
Þ ( I + iwa I a + ...) ( I - iwa I a+ + ...) = I Þ I - iwa I a+ + iwa I a + wa2 I a I a+ + ... = I .


Vì ωa (a = 1, 2, 3) là các vô cùng bé nên ta bỏ qua wa so với ωa
2

UU + = I - iwa ( I a - I a+ ) = I Þ iwa ( I a - I a+ ) = 0 Þ I a = I a+ ,

Do vậy Ia là hermit.
Ta có:

det A = eTrln A ,
nên
iwaIa

detU = eTrlne

Tr ln( I +iwaIa +...)

=e

Tr{iwaIa}

=e

.

Vì ωa (a = 1, 2, 3) là các vô cùng bé và từ điều kiện
Tr{iwa I a }

e

= 1 ta có:


= 1 + Tr {iwa I a } = 1 Þ iwaTr { I a } = 0 Þ Tr { I a } = 0

(1.5)

2
Nhóm đối xứng SU(2) có m = 2 -1 = 3 tham số thực độc lập.

1. 3 Các đa tuyến của nhóm SU(2)
Dưới tác dụng của phép biến đổi đồng vị các toán tử trường biến đổi
theo qui tắc tổng quát:

j ( x) ® j '( x) = e

i

å wa I a
a

j ( x)e

-i

å wa I a
a

.

(1.6)



6
Nếu có r hạt với các trường tương ứng ji ( x ) , i = 1, 2,..., r , biến đổi
theo qui luật:
j

æ - i åwaTa ö
÷ j j ( x) ,
ji ( x ) = ç e a
ç
÷
è
ø£i

(1.7)

trong đó Ta là các ma trận r ´ r , tuân theo hệ thức giao hoán như I a

[Ta , Tb ] = ie abcTc ,

(1.8)

ta nói rằng r hạt này thực hiện biển diễn r chiều của nhóm SU(2), hoặc nói
rằng chúng tạo thành một đa tuyến đồng vị r. Rõ ràng rằng r = 2 I + 1 , trong
đó I là spin đồng vị của các hạt trong đa tuyến.
Ví dụ:
1.

r = 1, Ta = 0


Lúc này j ( x ) ® j ' ( x ) và ta có vô hướng đồng vị ( bất biến) ứng với giá
trị I=0.
2.

r = 2, Ta =

sa
2
æ0 1ö

æ 0 -i ö
æ1 0 ö
÷ ,s 3 = ç
÷. .
0ø
0
1
è
ø

s a là các ma trận Pauli, s1 = ç
÷ ,s 2 = ç
1
0
è
ø
èi
Lúc này,

æ -i å

ji ' = ç e a
ç
è

s
wa a
2

j

ö
÷ jj,
÷
ø£i

(1.9)


7

1
ổ j1 ử
I
=
trong ú: i, j=1,2 v ta cú spinor ng v ỗ ữ ng vi giỏ tr:
.
2
ố j2 ứ

r = 3, (Ta )b = -ie abc

c

3.
Ta cú:

ổ0 0 0 ử
ổ 0 0 iử
ổ 0 -i 0 ử
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
T1 = ỗ 0 0 -i ữ , T2 = ỗ 0 0 0 ữ , T3 = ỗ i 0 0 ữ .
ỗ0 i 0 ữ
ỗ -i 0 0 ữ
ỗ0 0 0ữ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
Lỳc ny
c

ổ -i ồwaTa ử
ữ jc ,
ja ' = ỗ e a

ỗ
ữ
ố
ứb

(1.10)

v ta cú vector ng v ng vi giỏ tr I=1. T (1.6) v (1.7), suy ra:

[ I a , ji ] = - (Ta )i j j .

(1.11)

j

Tht vy, ta cú:
i

e

ồ wa I a
a

ji e

-i

ồ wa I a
a


= ji + i ồ wa [ I a , ji ] +
a

i2
2

ồw w
a

a ,b

b

ộở I b , [ I a , jả ]ựỷ + ...

(1.12)

Mt khỏc,
j

ổ - i ồwaTa ử
ỗe a
ữ j j = ji - i ồ wa (Ta ) j j j + ...
i
ỗ
ữ
a
ố
ứi


(1.13)


8

So sánh (1.12) với (1.13) ta suy ra (1.11). Công thức (1.11) rất thuận
tiện để sắp sếp các hạt theo thành phần của đa tuyến đồng vị.
Ví dụ:
1. Với vô hướng đồng vị

Ta = 0 nên [Ta , j ] = 0 . Đó là các trường hợp

đơn tuyến đồng vị (I=0) như baryon Ù , meson h ,v..v…

æy 1 ö
2. Với spinor đồng vị ç ÷ ta có
èy 2 ø

1
2

(1.14)

[ I a ,y i ] = (t a )i y j .
j

Hệ thức này cho:

[ I3 ,y ] = Như vậy y 1


1
1
y 1 , [ I3 ,y 2 ] = y 2 .
2
2

1
1
y
I
=
I
=
ứng với hạt có 3
, 2 ứng với hạt có 3
và ta có thể
2
2

æy 1 ö
æ pö
æK+ ö
æ X0 ö
đồng nhất ç ÷ với N = ç ÷ , hoặc K = ç 0 ÷ hoặc X = ç - ÷ ,...
èy 2 ø
ènø
èK ø
èX ø
3. Với vector đồng vị F a , a=1,2,3, ta có:


[ I a , F b ] = - (Ta )b F c = ie abc F c .
c

Hệ thức này cho ta các biểu thức sau:

[ I3 , F1 ] = iF 2 , [ I 3 , F 2 ] = -iF1 , [ I 3 , F 3 ] = 0,
và từ đó:

[ I 3 , F1 - iF 2 ] = - ( F1 - iF 2 ) ,
[ I 3 , F1 + iF 2 ] = ( F1 + iF 2 ) .

(1.15)


9
Nh vy:
1
( F1 - iF 2 ) ng vi ht cú I3 = +1
2

F (1) =
F ( -1) =

1
( F1 + iF 2 ) ng vi ht cú
2

F (0) = F3

ng vi ht cú


V ta cú th ng nht

(S

+

I 3 = -1

I3 = 0

( F (1) , F ( 0 ) , F ( -1) )

vi

(p

+

,p 0 ,p -

)

hoc

)

, S0 , S-
3ử
ổ

4. a tuyn ng v 4 ỗ r = 4, I = ữ c mụ t bi spinor ng v hng
2ứ
ố

3 hon ton i xng y ijk vi 4 thnh phn c lp y 111,y 112,y 122,y 222 .
Quy lut bin i ca spinor ng v hng ba ging nh quy lut bin
i ca tớch ba spinor ng v hng mt, c th l:

y ij' k = e

i

ồ
a

wa I a

y ijk e

-i

ồ
a

l

wa I a

m


ổ i ồwa ra ử ổ - i ồwa ra ử
2
ữ ỗe 2 a
ữ
= ỗe a
ỗ
ữ ỗ
ữ
ố
ứi ố
ứl

n

ổ - i ồwa ra ử
ỗe 2 a
ữ y lmn .
ỗ
ữ
ố
ứk

V t ú:

(

)

(1.16)
1

l
l
l
ộở I a ,y ijk ựỷ = - (t a )i y ljk + (t a ) j y ilk + (t a )k y ijl ,
2


10

hệ thức này cho:

3
y 111 ,
2
1
[ I3 ,y 112 ] = - y 112 ,
2
1
[ I3 ,y 122 ] = y 122 ,
2
3
[ I3 ,y 222 ] = y 222 .
2

[ I3 ,y 111 ] = -

(1.17)

Như vậy:


3
æ3ö
y ç ÷ = y 111 ứng với hạt có I3 = ,
2
è2ø

1
æ1ö
y ç ÷ = 3y 112 ứng với hạt có I3 = ,
2
è2ø
1
æ 1ö
y ç - ÷ = 3y 122 ứng với hạt có I 3 = - ,
2
è 2ø
3
æ 3ö
y ç - ÷ = y 222 ứng với hạt có I 3 = - .
2
è 2ø
Hệ số chuẩn hóa 3 đưa vào để tiện lợi, cụ thể là để có:
2

åy

i , j , k =1

æ3ö æ3ö
æ1ö æ1ö

æ 1ö æ 1ö
æ 3ö æ 3ö
y ijk = y + ç ÷y ç ÷ + y + ç ÷y ç ÷ + y + ç - ÷y ç - ÷ + y + ç - ÷y ç - ÷ ,
è2ø è2ø
è2ø è2ø
è 2ø è 2ø
è 2ø è 2ø

+
ijk

æ
3+
đây là trường hợp tuyến 4 đồng vị các hạt baryon cộng hưởng D ç spin
2
è

ö
÷.
ø

Trong trường hợp này ta cũng có thể tìm dạng tường minh của các ma
trận 4 ´ 4Ta trong công thức tổng quát (1.4) như sau:
Đặt:


11

æ 3ö
æ1ö

æ 1ö
æ 3ö
c1 º y ç ÷ , c 2 º y ç ÷ , c3 º y ç - ÷ , c 4 º y ç - ÷ .
è 2ø
è2ø
è 2ø
è 2ø

(1.18)

Hệ thức (1.13) cho ta:

[ I1 , c1 ] = -

3
3
i c2 ,
c2 , [ I 2 , c1 ] =
2
2

[ I1 , c2 ] = -

3
3
i c1 , [ I 2 , c 2 ] = - i c1 + i c3 ,
2
2

3

3
[ I1 , c3 ] = - c 4 - c 2 , [ I 2 , c3 ] = i c 4 - i c2 ,
2
2

[ I1 , c 4 ] = -

3
3
c3 , [ I 2 , c 4 ] = - i c3.
2
2

Các hệ thức (1.17) và (1.19) viết gộp lại thành:

( )

[ I a , ci ] = - Ta( x )

j
i

cj,

với:

( x)

T1


æ
ç
ç
ç
ç
=ç
ç
ç
ç
ç
ç
è

0

3
2

0

3
2

0

1

0

1


0

0

0

3
2

ö
0 ÷
÷
÷
0 ÷
÷,
3÷
÷
2 ÷
÷
0 ÷
ø

(1.19)


12

T2( x )


( x)

T3

ổ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
=ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ố

0

-

3
i
2

0

0

i


0

0

ổ3
ỗ2
ỗ
ỗ0
ỗ
=ỗ
ỗ0
ỗ
ỗ
ỗ0
ố

ử
ữ
ữ
ữ
-i
0 ữ
ữ,
3 ữ
0
iữ
2 ữ
ữ
3

i
0 ữ
2
ứ

3
i
2

0

0

0

1
2

0

0
0

-

1
2

0


0

ử
0 ữ
ữ
0 ữ
ữ
ữ.
0 ữ
ữ
3ữ
- ữ
2ứ

(x)
Cú th th trc tip thy rng cỏc ma trn Ta tha món h thc giao hoỏn:

ộTa( x ) , Tb( x ) ự = ie abcTc( x ) .
ở
ỷ
Cỏc ht tng tỏc mnh cũn c c trng bi siờu tớch Y, nh nhau
i vi cỏc ht trong cựng mt a tuyn ng v. in tớch, spin ng v v
siờu tớch tha món h thc Gell-Nishijima.

Y
Q = I3 + ,
2

(1.20)


+
trong ú in tớch Q tớnh theo n v in tớch ca positron e ( proton), Y

liờn h vi s baryon B v s l S bi h thc:
Y=B+S,

(1.21)


13

ì1
ï
B = í-1
ï0
î

Baryon
Phản
baryon
Meson.

Theo đó nucleon và K-meson có Y=1, S, p - meson, Ù,h - meson
:

có Y = 0, X, K - meson có Y= -1.
Một hệ vật lí có tính đối xứng đồng vị có nghĩa là Lagrangian mô tả hệ,
toán tử tán xạ S,…phải bất biến đối với các phép biến đổi SU ( 2 ) I , tức là:

L ' ( x ) = U (w ) L ( x ) U -1 (w ) = L ( x ) ,

S ' = U (w ) SU -1 (w ) = S ,

(1.22)

éë I a , L ( x ) ùû = 0,
[ I a , S ] = 0.

(1.23)

hay:

Hãy xét một ví dụ cụ thể. Giả sử ta cần lập Lagrangian bất biến đồng vị
mô tả tương tác giữa nucleon và meson p . Dạng đơn giản nhất của
Lint ( x ) thỏa mãn (1.22), (1.23) là Lagrangian tương tác dạng Yukawa như

sau:
_

Lint ( x ) = g åy ( x ) g 5t ay ( x ) F a ( x ) ,

(1.24)

a

ta cần hiểu Biểu thức (1.24) là viết dưới dạng ma trận đối với cả các chỉ số
spinor Dirac a , b ,... và các chỉ số spinor đồng vị i, j ,... của trường nucleon

y . Viết tường minh sẽ là:



14

Lint ( x ) = g å Y

ai

( x )( g 5 )a (t a )i
b

j

Y b j ( x ) F a ( x ).

(1.25)

a

Thay vào (1.25) các biểu thức:

(

)

(

)

1
i
Fp + + Fp - , F 2 =

Fp + - Fp - ,
2
2

F1 =
ta có:

Lint ( x ) = g

{

}

2 Y p g 5 Y n Fp + + 2 Y n g 5 Y p F p - + Y p g 5 Y n F p 0 - Y n g 5 Y n F p 0 .
(1.26)

Từ đây suy ra hệ thức giữa các hằng số liên kết Yukawa NN p như sau:

G pnp + : Gnpp - : G ppp 0 : Gnnp 0 = 1:1:

1
1
:2
2

(1.27)

1.4. Tính số lượng tử của các hạt trong đối xứng SU(2)
1.4. 1. Các số lượng tử của proton và notron
Như ta đã biết hai hạt proton và notron lập thành một biểu diễn cơ sở

của SU(2).

éë I a ,y i + ( x) ùû = y + j ( x)(Ta )ij ,
hàm trường y p = y 1 ; y n = y 2 biến đổi như sau dưới tác dụng của nhóm biến
đổi SU(2):

y i ® y i' = U .y i .U -1
= éëe- iwaTay ùû ,
i

với Ta =

sa
, s a (a = 1,3) là các ma trận Pauli, ta có
2


15

sa j
)i y j ,
2
s
[I a ,y i + ] = y + j (Ta )ij = y + j ( a )ij ,
2
[I a ,y i ] = -(Ta )ijy j = -(

( j = 1, 2),
( j = 1,2).


v Cỏc s lng t ca ht proton:
* Tỡm hỡnh chiu spin ng v ( I 3 ):
[I 3 ,y p + ]=[I 3 ,y 1+ ]=y + j (
ị

s3 1
)j ,
2

( j = 1, 2)

s3 1 + s3 1 +
)1y 1 + ( ) 2y 2
2
2
1
= ộở(s 3 )11y 1+ + (s 3 )12y 2 + ựỷ ,
2

[I 3 ,y 1+ ] = (

ổ1 0 ử
vi: s 3 = ỗ
, ta tỡm c: (s 3 )11 = 1, (s 3 )12 = 0.
ữ
ố 0 -1 ứ

Nờn:
1
[I 3 ,y 1+ ] = ộở1.y 1+ + 0.y 2 + ựỷ

2
1
= y 1+ .
2

Vy hỡnh chiu spin ng v ca ht proton l:
* Spin ca ht proton l:

1
.
2

1
.
2

* Ht proton l ht baryon nờn s baryon ca ht proton l 1: Bp = 1 .
* Ht proton khụng l ht lepton nờn s lepton ca ht proton l
0: Lp = 0 .
* Ht proton khụng l ht l nờn s l ca ht proton l 0: S p = 0 .
* Siờu tớch ca ht proton ( Yp ) c tớnh theo cụng thc:


16

Yp = B p + S p + L p
= 1 + 0 + 0 = 1.
Vy siờu tớch ca ht proton l 1: Yp =1.
* in tớch ca ht proton ( Q p )
Qp = I3 +

= I3 +

Bp + S p + Lp
2
Yp

2
1 1
= + = 1.
2 2

Vy in tớch ca ht proton l +e.
v Cỏc s lng t ca ht notron
* Tỡm hỡnh chiu spin ng v ( I 3 ):
[I 3 ,y n + ]=[I 3 ,y 2 + ]=y + j (
ị

s3 2
)j,
2

( j = 1, 2),

s3 2 + s3 2 +
)1y 1 + ( ) 2y 2
2
2
1
= ộở(s 3 )12y 1+ + (s 3 )22y 2 + ựỷ ,
2


[I 3 ,y 2 + ] = (

ổ1 0 ử
vi: s 3 = ỗ
, ta tỡm c: (s 3 )12 = 0; (s 3 ) 22 = -1 .
ữ
ố 0 -1 ứ

Nờn:
1
1
[I 3 ,y 1+ ] = ộở0.y 1+ + (-1).y 2 + ựỷ = - y 2 + .
2
2
1
Vy hỡnh chiu spin ng v ca ht notron l: - .
2

* Spin ca ht notron l:

1
.
2

* Ht notron l ht baryon nờn s baryon ca notron l 1: Bn = 1 .


17
* Hạt notron không là hạt lepton nên số lepton của hạt notron là 0: Ln = 0 .

* Hạt notron không là hạt lạ nên số lạ của hạt notron là 0: Sn = 0 .
* Siêu tích của hạt notron ( Yn ) được tính theo công thức:
Yn = Bn + S n + Ln
=1+ 0 + 0
= 1.

Vậy siêu tích của hạt notron là 1: Yn =1.
* Điện tích của hạt notron ( Qn )
Bn + Sn + Ln
2
Y
= I3 + n
2
1 1
= - + = 0.
2 2

Qn = I 3 +

Vậy hạt notron không mang điện.
1.4.2. Các số lượng tử của p -meson
Như ta đã biết 3 hạt p -meson lập thành một biểu diễn chính quy của
SU(2).

éë I a , fi + ( x) ùû = f+ j ( x)(Ta )ij ,
hàm trường fp + =

1
1
(f1 - if2 ); fp 0 = f3 ; fp - =

(f1 + if2 ) biến đổi như sau
2
2

dưới tác dụng của nhóm biến đổi SU(2):
fi ® fi' = U .fi .U -1
= éë e- iwaTa fùû ,
i

với (Ta )bc = -ie abc , e abc là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2).


18
[I a , fi ] = -(Ta )ij fj = -(-ie aij )fj = ie aijfj ,

( j = 1,3),

[I a , fi + ] = f+ j (Ta )ij = f+ j (-ie aji ),

( j = 1,3).

v Các số lượng tử của hạt π +
* Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I 3 ):

[I 3 , fp + + ]=[I 3 ,
=

1 +
(f1 +if2 + )]
2


1
([I 3 , f1+ ] + i[I 3 , f2 + ]),
2

[I 3 , f1+ ]=f+ j (-ie 3j1 )

( j = 1,3)

= f1+ (-ie 311 ) + f2 + (-ie 321 ) + f3+ (-ie 331 ),

với: e 311 = 0 ; e 321 = -1; e 331 = 0.
Nên:
[I 3 , f1+ ] = éë0.f1+ + i.f2 + + 0.f3+ ùû
= if2 + .

[I 3 , f2 + ]=f+ j (-ie 3j2 )

( j = 1,3)

= f1+ (-ie 312 ) + f2 + (-ie 322 ) + f3+ (-ie 332 ),

với: e 312 = 1 ; e 322 = 0; e 332 = 0.
Nên:
[I 3 , f2 + ] = éë -i.f1+ + 0.f2 + + 0.f3+ ùû
= -if1+ .


19


Suy ra:

1
([I 3 , f1+ ] + i[I 3 , f2 + ])
2
1
=
[if2 + + i(-if1+ )]
2
1 +
=
[f1 + if2 + ]
2
=1.fp + + .

[I 3 , fp + + ]=

Vậy hình chiếu spin đồng vị của hạt p + là: 1.
* Spin của hạt p + là: 1.
* Hạt p + không là hạt baryon nên số baryon của hạt p + là 0: Bp + = 0 .
* Hạt p + không là hạt lepton nên số lepton của hạt p + là 0: Lp + = 0 .
* Hạt p + không là hạt lạ nên số lạ của hạt p + là 0: Sp + = 0 .
* Siêu tích của hạt p + ( Yp + ) được tính theo công thức:
Yp + = Bp + + Sp + + Lp +
=0+0+0
= 0.

Vậy siêu tích của hạt p + là 0: Yp + =0.
* Điện tích của hạt p + ( Qp + )
Qp + = I 3 +

= I3 +

Bp + + Sp + + Lp +
2
Yp +
2

= 1 + 0 = 1.

Vậy điện tích của hạt p + là +e.
v Các số lượng tử của Hạt π 0
* Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I 3 ):


20
[I 3 , fp 0 + ]=[I 3 , f3+ ]=f+ j (-ie 3j3 )

( j = 1,3)

= f1+ (-ie 313 ) + f2 + (-ie 323 ) + f3+ (-ie 333 ).

với: e 313 = e 323 = e 333 = 0 . Nên:
[I 3 , f3+ ] = ( 0.f1+ + 0.f2 + + 0.f3+ )
= 0.f3+
= 0.fp 0 + .

Vậy hình chiếu spin đồng vị của hạt p 0 là: 0.
* Spin của hạt p 0 là: 1.
* Hạt p 0 không là hạt baryon nên số baryon của hạt p 0 là 0: Bp 0 = 0 .
* Hạt p 0 không là hạt lepton nên số lepton của hạt p 0 là 0: Lp 0 = 0 .

* Hạt p 0 không là hạt lạ nên số lạ của hạt p 0 là 0: Sp 0 = 0 .
* Siêu tích của hạt p 0 ( Yp 0 ) được tính theo công thức:
Yp 0 = Bp 0 + Sp 0 + Lp 0
=0+0+0
= 0.

Vậy siêu tích của hạt p 0 là 0: Yp 0 =0.
* Điện tích của hạt p 0 ( Qp 0 )
Qp 0 = I 3 +
= I3 +

Bp 0 + Sp 0 + Lp 0
2
Yp 0
2

= 0 + 0 = 0.

Vậy hạt p 0 không mang điện.


21

v Các số lượng tử của H ạt π- :
* Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I 3 ):

[I 3 , fp - + ]=[I 3 ,
=

1

(f1+ - if2 + )]
2

1
([I 3 , f1+ ] - i[I3 , f2 + ]).
2

Suy ra:

1
([I 3 , f1+ ] - i[I 3 , f2 + ])
2
1
=
[if2 + - i(-if1+ )]
2
1
=
(-f1+ + if2 + )
2
1 +
=(f1 - if2 + )
2
= - 1.fp - + .

[I 3 , fp - + ]=

Vậy hình chiếu spin đồng vị của hạt p - là: -1.
* Spin của hạt p - là: 1.
* Hạt p - không là hạt baryon nên số baryon của hạt p - là 0: Bp - = 0 .

* Hạt p - không là hạt lepton nên số lepton của hạt p - là 0: Lp - = 0 .
* Hạt p - không là hạt lạ nên số lạ của hạt p - là 0: Sp - = 0 .
* Siêu tích của hạt p - ( Yp - ) được tính theo công thức:
Yp - = Bp - + Sp - + Lp =0+0+0
= 0.

Vậy siêu tích của hạt p - là 0: Yp - =0.