TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

PHẠM THÙY LINH

PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG
VÀ BÀI TẬP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GV. BÙI VĂN BÌNH

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khoá luận em đã nhận đƣợc nhiều sự giúp
đỡ quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành cảm
ơn các thầy cô trong khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận
tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để em hoàn
thành tốt khoá học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của
mình tới thầy Bùi Văn Bình, thầy đã trực tiếp hƣớng dẫn, nhiệt tình giúp
đỡ và chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học – khoa
Toán, thƣ viện nhà trƣờng, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động
viên, giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận này.
Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Phạm Thùy Linh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan khoá luận “Phép đối xứng qua siêu phẳng và bài tập”
là kết quả nghiên cứu của tôi dƣới sự hƣớng dẫn của thầy Bùi Văn Bình.
Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không
trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác. Nếu sai xót tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.
Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Phạm Thùy Linh


MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU ................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................... 1
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu ......................................................... 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu......................................................................... 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ............................................................................. 2
PHẦN II: NỘI DUNG .............................................................................. 3
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................. 3
1. Các khái niệm về phép biến hình....................................................... 3
1.1. Định nghĩa phép biến hình .......................................................... 3
1.2. Ví dụ ............................................................................................ 3

2. Phép biến hình đẳng cự...................................................................... 4
2.1.Định nghĩa .................................................................................... 4
2.2. Tính chất ...................................................................................... 4
2.3. Định lý ......................................................................................... 4
3. Phép đối xứng qua siêu phẳng: .......................................................... 5
3.1. Định nghĩa ................................................................................... 5
3.2. Tính chất ...................................................................................... 5
CHƢƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC......................................................... 7
1. Giải bài toán chứng minh .................................................................. 7
1.1. Bài toán chứng minh ................................................................... 7
1.2. Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh .................... 7
1.3. Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng .................... 7


1.4. Một số ví dụ ................................................................................. 7
2. Giải bài toán tính toán...................................................................... 20
2.1. Bài toán tính toán ...................................................................... 20
2.2. Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán ....................... 20
2.3. Một số ví dụ ............................................................................... 22
3. Giải bài toán dựng hình ................................................................... 26
3.1. Bài toán dựng hình .................................................................... 26
3.2. Sử dụng phép đối xứng trong bài toán dựng hình ..................... 27
3.3. Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng ..................... 27
3.4. Một số ví dụ ............................................................................... 28
4.Giải bài toán quỹ tích ........................................................................ 36
4.1. Bài toán quỹ tích ....................................................................... 36
4.2. Sử dụng phép đối xứng để giải bài toán quỹ tích ...................... 37
4.3. Sáng tạo bài toán quỹ tích nhờ phép đối xứng .......................... 37
4.4. Một số ví dụ............................................................................... 37

CHƢƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG ........................... 42
PHẦN III: KẾT LUẬN ........................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 50


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chƣơng trình toán THPT ở nƣớc ta hiện nay, một số
phép biến hình đƣợc đƣa vào giảng dạy nhƣng chỉ áp dụng vào trong mặt
phẳng. Trên thực tế, việc vận dụng các phép biến hình vào hình học
không gian nhiều khi sẽ đem lại hiệu quả cao và tránh cho học sinh một
số sai lầm và ngộ nhận khi giải toán theo cách thông thƣờng.
Để giúp học sinh thấy đƣợc ứng dụng của phép biến hình vào
giải các lớp bài toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán
dựng hình, Bìa toán quỹ tích…và để cho học sinh có thêm hứng thú học
tập và sáng tỏ thêm phần nào đó về phép biến hình nên tôi đã chọn đề tài
:” Đối xứng qua siêu phẳng và bài tập”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng qua
siêu phẳng.
- Làm rõ tính ƣu việt của phép đối xứng trong giải toán hình học.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng.
- Phạm vi nghiên cứu: Giải các bài toán hình học không gian bằng
phép đối xứng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày cơ sở lí thuyết về phép đối xứng
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phép đối xứng trong không
gian.
- Đề xuất các phƣơng pháp vận dụng phép đối xứng để giải quyết

một số bài toán hình học.

1


- Xây dựng hệ thống bài tập và ví dụ minh họa.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ Toán học.
- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 phần:
Phần I: Mở đầu:
Phần II: Nội dung:
- Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị:
- Chƣơng 2: Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để giải quyết
các bài toán hình học.
- Chƣơng 3: Ví dụ minh họa:
Phần III: Kết luận:

2


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Các khái niệm về phép biến hình
1.1. Định nghĩa phép biến hình
Mỗi song ánh f: En  En đƣợc gọi là phép biến hình của không
gian En .
Nhƣ vậy, cho một phép biến hình f:En  En là cho một quy tắc
để với bất kì điểm M  En , ta tìm đƣợc một điểm M' = f(M) hoàn toàn

xác định thỏa mãn 2 điều kiện sau đây:
- Nếu M, N là 2 điểm phân biệt của En thì f(M) , f(N) là 2 điểm
phân biệt của En .
- Với mỗi điểm M'  En bao giờ cũng có một điểm M  En sao cho

f(M) = M' .
Điểm f(M) đƣợc gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f.
Ngƣợc lại, điểm M đƣợc gọi là tạo ảnh của điểm f(M) qua phép biến
hình f nói trên. Ngƣời ta nói, phép biến hình f biến điểm M thành điểm
f(M) và ta có f(M) = M' .
Điểm M đƣợc gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu

f(M) = M .
Phép biến hình f đƣợc gọi là phép đồng nhất nếu mọi điểm

M  En đều là điểm bất động của f, kí hiệu là : e.
1.2. Ví dụ
Trong chƣơng trình hình học lớp 11, chúng ta đã đƣợc học một số
phép biến hình, ví dụ nhƣ:

3


-

Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định.

Phép biến hình biến mỗi điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác
O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm cảu đoạn thẳng MM’ đƣợc gọi
là phép đối xứng tâm O. Điểm O đƣợc goi là tâm của phép đối xứng đó

và là điểm bất động duy nhất của phép đối xứng tâm O, kí hiêu ĐO.
-

Phép đối xứng trục: Cho đƣờng thẳng Δ  En . Phép biến hình

biến mỗi điểm M không thuộc  thành M’ sao cho  là đƣờng trung
trực của đoạn MM’ đƣợc gọi là phép đối xứng trục, kí hiệu là Đ ∆ . Các
điểm thuộc  đều là điểm bất động cảu phép Đ∆.
2. Phép biến hình đẳng cự
2.1.Định nghĩa
Phép biến hình f : En  En đƣợc gọi là phép biến hình đẳng cự
của En nếu nó bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bất kì, tức là:
f là phép biến hình đẳng cự nếu

d(M,N) = d (f(M),f(N))

M,N En trong đó d(M,N) là khoảng cách của 2 điểm M,N.
2.2. Tính chất
a. Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin.
b. Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc.
c. Phép biến hình đẳng cự biến 1 siêu cầu của En thành một siêu cầu
có cùng bán kính.
2.3. Định lý
Tập hợp các phép biến hình của En lập thành một nhóm với phép
toán lấy tích ánh xạ và đƣợc kí hiệu là Isom(En).

4


3. Phép đối xứng qua siêu phẳng:

3.1. Định nghĩa
Trong En cho siêu phẳng . Phép biến hình của không gian cho ứng
mỗi điểm M với điểm M’ xác định nhƣ sau:
a. MM’ vuông góc với siêu phẳng .
b. MM’ cắt  tại O là trung điểm của nó.
Gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng , phép đối xứng này kí hiệu
là Đ. Siêu phẳng  đƣợc gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối
xứng.
3.2. Tính chất
a. Phép đối xứng qua siêu phẳng là 1 phép biến hình đẳng cự nên
nó có đầy đủ tính chất của phép biến hình đẳng cự.
Chứng minh:
Gọi M,N là 2 điểm bất kì trong En. Xét phép đối xứng qua siêu
phẳng 

Đ : M  M’
N  N’
Gọi I, J lần lƣợt là trung điểm của MM’, NN’ thì

MM'  IJ,NN'  IJ ta có:
2

2

2

2

MN=MI+IJ+JN  MN =MI +IJ +JN +2MI.JN
2


2

2

2

M'N'=M'I+IJ+JN'  M'N' =M'I +IJ +JN' +2M'I.JN'
2

2

2

  

=MI +IJ +JN +2 -MI . -JN

5


Vậy d(M,N)= MN = M'N' =d(M',N')
 Phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự.
b. Đ là phép đối hợp.
Chứng minh:
Gọi M’ = Đ(M) ta có: Đ(Đ(M)) = Đ(M’) = M = id(M)
 Đ là phép đối hợp
c.  là quỹ tích điểm bất động của Đ.

6



CHƢƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA
SIÊU PHẲNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC.
1. Giải bài toán chứng minh
1.1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các lạo bài toán hình
học khác: các bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.
Đó là bài toán cần chứng minh mệnh đề A B với A là giả thiết,
B là kết luận. Ta đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận
toán học hợp logic trên cơ sở các định lí, định nghĩa, tính chất.
1.2. Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh
Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đƣờng đã cho
trong giả thiết A với các điểm hay các đƣờng trong kết luận B thông qua
phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng, ta nhận đƣợc
kết quả về tính đồng quy, thẳng hang, quan hệ song song, quan hệ vuông
góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các tam giác, các
đƣờng tròn bằng nhau… Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết đƣợc bài toán
chứng minh.
1.3. Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng
Nếu mệnh đề A

B đã đƣợc khẳng định nhờ sử dụng phép đối

xứng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B

A , xét

các trƣờng hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tƣơng tự hóa của mệnh đề
này ta sẽ đƣợc bài toán mới.

1.4. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC đều. Gọi A’, B’, C’ lần lƣợt là trung
điểm các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng : Tứ diện S.ABA’ và
S.BCB’ bằng nhau.

7


Lời giải:
Xét phép đối xứng qua 2 mặt phẳng (SAA’) và (SCC’). (hình 1.1)
Ta có: Đ SAA' : S

S

S

A

A

B

C

A’

A’

Đ SCC' : S


S

A

B

C

C

A’

B’

B

C'
A

Ta thấy :

Đ SAA' :S.ABA'

S.ACA'

Đ SCC' :S.ACA

S.BCB

'


'

A'
B'
C
Hình 1.1

Tứ diện S.ABA’ và S.BCB’ bằng nhau.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Đa giác đều n cạnh có n trục đối xứng

8


Lời giải:

A
A

E

B

F

O

O

B


D

C

E

D

C

Hình 1.3

Hình 1.2

Giả sử (d) là trục đối xứng của đa giác, ta có,trong phép biến đổi

Đ(d) thì đƣờng thẳng bất động duy nhất chính là (d).
* Trường hợp 1: n chẵn (Hình 1.3)
Ta gọi số đỉnh của đa giác điều là 2k ( k N* )
Gọi O là tâm đối xứng của đa giác đều.
Gọi các đỉnh của đa giác là A0A1....A2k

1

 Giả sử, đỉnh A0 là điểm bất động trong Đ(d) .Khi đó, (d) chính là
đƣờng thẳng A0O.
Do O là tâm đối xứng của đa giác đều nên O là trung điểm của
các đoạn thẳng nối các đỉnh đối diện nhau, biến đỉnh này thành đỉnh kia.
Trong Đ(d) : A0


A0

Đ(d) : Ak

Ak

Vậy (d) chính là đƣờng thẳng nối 2 đỉnh A1Ak.
 Xét phép đối xứng trục A1Ak , ta có:

Đ(d) :A0

A0

9


A1 A2k 1
A2 A2k 2
.........
A2k 1 A1
Vậy, A0Ak chính là đƣờng trung trực của đa giác đều n đỉnh ( n
chẵn).
Ta đi xét tƣơng tự đối với trƣờng hợp các đỉnh còn lại là điểm bất
động.
 Giả sử, trong phép biến hình Đ(d) không có đỉnh nào bất động.
Khi đó, ta thấy Đ(d) : A0A1

A0A1


Do không có đỉnh nào bất động nên (d) chính là đƣờng trung trực
của A0A1 hay

Đ(d) : A0
A1

A1
A0

Do đa giác đều n đỉnh ( n chẵn) có các cạp cạnh đôi diện song
song và bằng nhau nên (d) cũng chính là đƣờng trung trực của cạnh đối
diện với A0A1 .
 Xét phép đối xứng trục là đƣờng trung trực của A0A1 .
Ta có: Đ(d) : A0

A1

A1 A0
A2 A2k 1
..........
Ak Ak 1
Ak 1 Ak
.......
A2k 1 A2

10


Trung trực của A0A1 chính là trục đối xứng của đa giác đều n
đỉnh ( n chẵn).

Ta đi xét tƣơng tự với các đƣờng trung trực của các đoạn thẳng còn
lại của đa diện dều
 Vậy đa diện đều n đỉnh (n chẵn) có n trục đối xứng, trong đó, có

n
n
trục đối xứng là đƣờng thẳng nối 2 đỉnh đối diện nhau và
trục đối
2
2
xứng là đƣờng thẳng trung trực của 2 cạnh đối diện nhau trong đa giác
đều.
* Trường hợp 2 : n lẻ (Hình 1.2)
Gọi các đỉnh của đa giác đều là A0A2k ( k N* ).
Gọi O là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp của đa giác đều, ta thấy

Đ(d) :O

O

 Giả sử, trong phép biến hình Đ(d) có A0 là điểm bất động.
Ta có Đ(d) : A0

A0

Vậy (d) chính là đƣờng thẳng A0O.
Ta thấy, do đa giác n đỉnh (n lẻ) nên A0O đi qua trung điểm của
cạnh đối diện đỉnh A0.
A0O là trục đối xứng của đa giác nên A0O chính là đƣờng trung trực
của cạnh đối diện đỉnh A0.

A0O đƣờng kính của đƣờng tròn ngoại tiếp đa giác đều.
 Xét phép đối xứng trục qua A0O

11


Ta có : Đ(A0O) : A0

A1
....
Ak
Ak
...
An

A0
A2k

1

Ak 1
Ak

1

A1

Vậy A0O là trục đối xứng của đa giác đều n cạnh ( n lẻ).
 Giả sử, Đ(d) không đi qua điểm bất động nào của đa giác, ta có


Đ(d) : A0A1

A0A1

(d) đi qua trung điểm của đoạn A0A1
(d) chính là đƣờng trung trực của đoạn A0A1
Do đa giác lẻ cạnh nên đƣờng trung trực của A0A1 sẽ đi qua đỉnh
đối diện của cạnh A0A1

(d) đi qua đỉnh Ak của đa giác đều

Đ(d) đi

qua đỉnh bất biến (mâu thuẫn với giả sử trên).
 Vậy đa diện n cạnh (n lẻ) có n
trục đối xứng là trục đi qua 1 đỉnh và

A

tâm đƣờng tròn ngoại tiếp của đa diện.
Ví dụ 3: Cho hình tứ diện đều
ABCD. Chứng minh rằng: ABCD có 6
mặt phẳng đối xứng.

D
B

Lời giải :

M

C

Hình 1.4
12


Gọi M là trung điểm của CD.(Hình 1.4)
Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD. Khi đó,

Đ P : ABCD

ABCD

Trong phép biến hình Đ(P), biến các đỉnh thành 1 trong các đỉnh của
tứ diện.

ĐP :A

A

Vì (P) là mặt phẳng đối xứng của ABCD nên khi A bất động thì B,
C hoặc D cũng phải là điểm bất động.
Giả sử A và B là điểm bất động, khi đó:

ĐP :A

A

B


B

Do A, B là điểm bất động mà (P) là mặt phẳng đối xứng của
ABCD nên C, D đối xứng qua phép biến hình Đ(P)

Đ P :C

D

D

C

(P) đi qua đƣờng thẳng trung trực của đoạn CD
Mà M là trung điểm của CD

AM là đƣờng thẳng trung trực của

CD
Mặt phẳng (P) đƣợc xác định bởi 3 điểm A, B, M hay (P) chính là
mặt phẳng trung trực của CD
(ABM) chính là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD.
Mặt khác, xét mặt phẳng (ABM), ta thấy

Đ AMB : A

A

13



B
C
D

B
D
C

Phép Đ AMB biến tứ diện đều ABCD thành chính nó.
(ABM) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện.
+ Tƣơng tự xét với trƣờng hợp A, C là điểm bất động và A, D là
điểm bất động.ta nhận thấy mặt phẳng đi qua AC và trung điểm cạnh BD
và mặt phẳng đi qua cạnh AD và trung điểm cạnh BC là mặt phẳng đối
xứng của hình tứ diện đều ABCD.
Điểm A bất động ta có tƣơng ứng 3 mặt phẳng đối xứng.
+ Ta đi xét lần lƣợt khi B, C, D là điểm bất động mỗi trƣờng hợp
ta thấy có 3 mặt phẳng đối xứng.
Tứ diện đều ABCD có 6 cạnh

có 6 mặt phẳng trung trực của các

cạnh đó
tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng trung
trực của các cạnh tứ diện.
Khi (P) đi qua 1 đỉnh bất động của hình tứ diện đều thì hình tứ
diện có 6 mặt phẳng đối xứng.
Khi (P) không đi qua đỉnh bất động nào

Khi đó, giả sử, (P) cắt


mặt phẳng (ABC) theo 1 giao tuyến cố định.
Ta đi xét phép đối xứng qua (P):

Đ(P) : A

A'

B
C
D

B'
C'
D'

Mà A’B’C’D’chính là tứ diện ABCD.

A
Khi đó, điểm A có thể biến thành : A
A

14

B
C
D


Giả sử, Đ(P) biến A


B , khi đó,giao tuyến của (P) với (ABC)

chính là đƣờng trung trực của đoạn AB
Do

ABC đều nên đƣờng trung trực của AB là đƣờng thẳng đi qua

C và vuông góc với AB tại trung điểm của nó
C là điểm bất động)

(P) chứa điểm C ( hay

Mâu thuẫn với giả thiết

(P) không đi qua đỉnh bất động thì không tồn tại (P) là mặt
phẳng đối xứng của tứ diện ABCD.
Vậy tứ diện đều ABCD có tất cả 6 mặt phẳng đối xứng mà mỗi mặt
chứa một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện. (đpcm)
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Hình lập phƣơng ABCDA’B’C’B’ có 9
mặt phẳng đối xứng.
Lời giải:
Giả

sử

hình

lập


B'

phƣơng

ABCD.A’B’C’D’ có mặt phẳng đối xứng
(P). Khi đó, phép đối xứng qua mặt

C'

M

N

A'

D'

phẳng (P) biến hình lập phƣơng thành
chính nó.(hình 1.5)

O

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp

B

của hình lập phƣơng ABCDA’B’C’D’.

C


Q

Đ(P) biến hình lập phƣơng thành

P

A

chính nó nên điểm O bất động.
Xét các trƣờng hợp sau:

D

Hình 1.5

 Trường hợp 1: A là điểm bất động trong phép đối xứng Đ(P) , hay
A nằm trong (P)
Do Đ(P) biến cạnh thành cạnh, mà A là điểm bất động
hoặc D cũng phải là điểm bất động theo A.

15

A’, B


Đ(P) : B

Giả sử, B là điểm bất động

B


Khi đó, mặt phẳng (P) đƣợc xác định bởi 3 điểm A, B, O không
thẳng hàng.
Ta đi xét mặt phẳng (ABO) hay chính là mặt phẳng (ABC’D’) đi
qua 2 cạnh đối diện của hình lập phƣơng.
Vậy mặt phẳng đối xứng của hình lập phƣơng là mặt phẳng
(ABC’D’) đi qua 2 cạnh đối diện của hình lập phƣơng.
Vì hình lập phƣơng có 6 cặp cạnh đối diện là (AB,C’D’); (CD,
A’B’); (AC,A’C’); (BD, B’D’); (A’B,D’C); (AB’, DC’) nên hình lập
phƣơng có 6 mặt phẳng đối xứng.
Xét mặt phẳng (ABC’D’) có

AD'
BC'

A'D
nên ta xét phép đối
B'C

xứng qua mặt phẳng (ABC’D’) : Đ(ABC'D') : A

A

B B
C B'
D A'
A' D
B' C
C' C'
D' D'


Ta thấy: Đ(ABC'D') : ABCDA'B'C'D'

ABCDA'B'C'D'

Vậy khi mặt phẳng đối xứng đi qua điểm bất động thì hình lập
phƣơng có 6 mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng đi qua các cặp cạnh
đối diện của hình lập phƣơng.

16


 Trường hợp 2: (P) không đi qua đỉnh nào của hình lập phƣơng.
Giả sử (P) cắt cạnh mặt phẳng (ABCD) theo một giao tuyến (d) thì (d)
bất động.
Vì O (d) nên (P)

(d,O) xác định.

Khi đó, (P) cắt hình lập phƣơng theo một thiết diện là hình bình
hành.
Vì (d)

ABCD nên (ABCD) bất động

(d) là trục đối xứng của

hình vuông ABCD.
Gọi (d')


P

(d’) là trục đối xứng của hình

A'B'C'D'

vuông A’B’C’D’.
Vậy mặt phẳng đối xứng của hình lập phƣơng đi qua trung điểm
của 4 cạnh song song thuộc 2 mặt đối diện song song. Vì hình lập
phƣơng có 3 cặp mặt phẳng đối diện song song nên có 3 mặt phẳng đối
xứng thỏa mãn điều kiện trên.
Thử lại
Gọi M, N, P, Q lần lƣợt là trung điểm A’B’, C’D’, CD, AB.
Khi đó, MN, NP, PQ, QM lần lƣợt là các trục đối xứng của các hình
vuông A’B’C’D’, C’D’DC, ABCD, ABB’A’.
Ta có :

Đ(MNPQ) : A

B

B A
C D
D C
A' B'
B' A'
C' D'
D' C'
Vậy Đ(MNPQ) : ABCDA'B'C'D'


17

ABCDA'B'C'D'


Khi (P) không đi qua đỉnh bất động nào của hình lập phƣơng thì
hình lập phƣơng có 3 mặt phẳng đối xứng.
Kết luận
Hình lập phƣơng có 9 mặt phẳng đối xứng trong đó có 6 mặt phẳng
mà mỗi mặt đi qua 2 cặp cạnh đối diện song song không cùng nằm trên
một mặt của hình lập phƣơng; 3 mặt mà mỗi mặt đi qua trung điểm của 4
cạnh song song thuộc 2 mặt đối diện song song.
Ví dụ 5: Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng: 3 mặt phẳng
đối xứng của 3 góc phẳng không chứa các góc đó cắt nhau theo một giao
tuyến.
Lời giải:
 Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng của yOz
Vì (P) không chứa mặt phẳng xOy

P

xOy

 Trên Oy và Oz lấy 2 điểm B và C sao cho OB = OC.
Ta có: Đ : B

C

BC


P tại trung điểm của BC (1)

 Trên Ox lấy điểm A sao cho OA = OB
Gọi (Q) là mặt phẳng đối xứng của xOy
Vì (Q) không chứa mặt phẳng yOz
Ta có Đ Q : A
Từ (1) và (2)

B

AB

Q

yOz

Q tại trung điểm của AB (2).

(P) và (Q) cắt mặt phẳng theo giao tuyến là các

đƣờng trung trực của các cạnh

ABC

Giao tuyến (d) của (P) và (Q) đi qua tâm đƣờng tròn ngoại tiếp
của

ABC và vuông góc (ABC).

18



Ví dụ 6: Cho

ABC không vuông, trực tâm H. Chứng minh rằng:

Các điểm đối xứng của H qua các cạnh BC, CA, AB lần

a.

lƣợt là H1, H2, H3 nằm trên đƣờng tròn (ABC).
Các đƣờng tròn (HBC); (HCA); (HAB) đều bằng (ABC) và

b.

tâm của 3 đƣờng tròn này là đỉnh của một tam giác bằng

ABC .

Lời giải:

a. Ta có

ĐBC H

H1

ĐAC H

H2


ĐAB H

H3

A

Gọi O là tâm của đƣờng tròn (ABC)

M AH BC
N BH AC
P CH AB

H

N
H

P

O

Ta có tứ giác APHN
H

nội tiếp đƣờng tròn. (hình 1.6)
B

PAN PHN 180o ( 1)


M
H

Lại có : PHN

BHC (hai góc đối đỉnh) (2)

Mà theo tính chất bảo toàn góc
của

ĐBC thì BHC BH1C

Từ (1) ; (2) ; (3)
Mà A, B, C

(3)

tứ giác ABH1C nội tiếp

(ABC)

H1

(ABC).

Tƣơng tự, ta có: H2

(ABC)

H3


(ABC)

(đpcm).
b. Ta có: ĐBC :

H

H1

19

Hình 1.6

C


BHC

BHC

BH1C

BH1C mà BH1C

Tƣơng tự, ta có ĐBC : AHB

AHB

ABC


BHC

ABC

(*)

AH1B

AH1B

ĐAC : AHC

AH1C

AHC

AH1C

ABC

(**)

ABC

(***)

Từ (*) ; (**) ; (***) ta có : (AHB) = (AHC) = (BHC) = (ABC)
(đpcm).
2. Giải bài toán tính toán

2.1. Bài toán tính toán
Trong hình học ta thƣờng bắt gặp một số bài toán tính toán nhƣ :
tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, tỉ số độ dài đoạn thẳng, tính chu
vi, diện tích cảu các hình học. Để giải bài toán tính toán thông thƣờng ta
thƣờng sử dụng các bƣớc sau :
1. Xác định các yếu tố cần tính toán, các yếu tố đã biết.
2. Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính
toán.
3. Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã đƣợc thiết lập.
2.2. Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán
Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng để tìm ra các góc
bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đƣờng tròn bằng
nhau…Từ đó dựa vào những yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả ta
vừa tìm đƣợc nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng để tìm ra đại
lƣợng cần tính toán.
+ Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng :

20