Biên soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội trú
********************************************

CHUYÊN ĐỀ VỀ TẬP HỢP ĐIỂM (QUĨ TÍCH)
I. Một số bài toán tập hợp cơ bản
1. Tập hợp tất cả các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng R không đổi là đường tròn (O; R)
2. Tập hợp tất cả các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB
3. Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc α không đổi là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB
4. Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng đó
 không đổi là đường phân giác của góc đó
5. Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của góc xOy
6. Tập các điểm cách một đường thẳng cho trước một khoảng cách không đổi là đường thẳng song song với
đường thẳng đó
II. Cách giải bài toán quĩ tích
Bước 1: Dự đoán quĩ tích
Bước 2: Chứng minh phần thuận
Cần chứng minh điểm M thỏa mãn tính chất T thuộc hình H
Bước 3: Chứng minh phần đảo
Cần chứng minh mọi điểm M’ thuộc hình H đều có tính chất T
Bước 4: Kết luận
Quĩ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T thuộc hình H
III. Một số dạng toán
1. Tập hợp điểm là đường thẳng hoặc một phần của đường thẳng
a) Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc một phần của đường trung trực
 = 900 . Một điểm B cố định trên Oy và một điểm A di động trên Ox. Tìm tập hợp trung
Bài 1. Cho góc xOy
điểm M của đoạn thẳng AB
Bài 2. Cho góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó, B là điểm di động trên tia Ox, C là điểm
di động trên tia Oy sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm tập hợp trung điểm M của cạnh huyền BC
Bài 3. Cho hình vuông ABCD. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho:
MA + MB = MC + MD

b) Tập hợp điểm là tia phân giác
Bài 4. Cho góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp các
điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C
Bài 5. Cho hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A. Tìm tập hợp các đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng đó
OA 1
Bài 6. Cho góc xOy, trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho
= . Tìm tập hợp các điểm M
OB 2
1
nằm trong góc xOy sao cho tỉ số diện tích giữa tam giác MOA và tam giác MOB là
2
c) Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song
Bài 7. Cho tam giác ABC và một điểm D chuyển động trên BC. Vẽ DE // AC, DF // AB (E ∈ AB, F ∈ AC).
Tìm tập hợp trung điểm O của đoạn thẳng EF
Bài 8. Cho đường thẳng a. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn có bán kính R (R>0) tiếp xúc với đường thẳng a
d) Tập hợp điểm là một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước
Bài 9. Cho hai đường thẳng song song d và d’ cách nhau một khoảng bằng h (h > 0). Tìm tập hợp tâm O của
các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường thẳng d và d’
Bài 10. Cho một đường thẳng d và một điểm A không nằm trên d cùng cố định. Gọi (O) là một đường thẳng
tròn di động qua A và tiếp xúc với d tại B. Tìm tập hợp hình chiếu M của tâm O xuống AB
e) Tập hợp điểm là một đường thẳng hợp với đường thẳng đã cho một góc không đổi
 = 900 và một điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy, vẽ tam giác
Bài 11. Cho góc xOy
đều ABC (C và O khác phía đối với AB)
a) Tìm tập hợp trung điểm M của BC
b) Tìm tập hợp các điểm C
Bài tập
Bài 12. Cho tam giác ABC một điểm D di động trên cạnh BC. Từ D vẽ các đường thẳng song song với AB, AC
cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN



Biên soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội trú
********************************************

Bài 13. Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2. Lấy điểm B bất kì thuộc đường
thẳng d. Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B. Tìm tập hợp các điểm C khi điểm C di chuyển trên
đường thẳng d
Bài 14. Cho góc xOy vuông, trên tia Ox lấy một đoạn thẳng cố định OA, trên tia Oy lấy một điểm B di động.
Dựng hình vuông ABCD với hai đường chéo cắt nhau tại I. Tìm tập hợp điểm I
Bài 15. Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và đỉnh A di động trên một đường thẳng xy cố định song song
với BC. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 16. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 4, dây cung AN. Trên dây cung AN lấy điểm M sao cho
AN.AM = 5. Tìm tập hợp điểm M
2. Tập hợp điểm là đường tròn hoặc một phần của đường tròn
Bài 17. Một đoạn thẳng AB = h chuyển động sao cho hai mút của nó chuyển động trên hai đường thẳng vuông
góc với nhau. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB
Bài 18. Cho đường tròn (O, R) đường kính AB, C là một điểm di động trên đường tròn. Trên tia BC lấy điểm D
sao cho CD = CB. Tìm tập hợp điểm D
Bài 19. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm trên nửa đường tròn đó, kẻ CD ⊥ AB.
Nối O với C, trên OC lấy điểm E sao cho OE = CD. Tìm tập hợp điểm E
Bài 20. Cho đường tròn (O, R) đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại A, M là điểm di dộng
trên đường thẳng d, BM cắt đường tròn (O) tại C. Tìm tập hợp trung điểm N của đoạn thẳng BC
Bài 21. Cho điểm A cố định nằm trong đường tròn (O, R) điểm A không trùng với O. Tìm tập hợp trung điểm
M của đoạn thẳng AB khi B di chuyển trên đường tròn đó
Bài 22. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hai điểm C và D trên nửa đường tròn sao cho OC ⊥ OD (C thuộc
cung AD). AD cắt BC tại I, hai tia AC và BD cắt nhau tại P. Tìm tập hợp các điểm I và P khi điểm C và D
chuyển động trên nửa đường tròn
Bài 23. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định, C là một điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài
lấy điểm D sao cho CD = CB.
a) Tìm quĩ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quĩ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho
Bài 24. Cho M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AM lấy điểm N sao
cho AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N
Bài 25. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, BC là một dây cung bất kì. Kéo dài BC một đoạn CD = BC,
DO cắt AC tại P. Tìm tập hợp điểm P
 = α không đổi. Tìm quĩ tích giao điểm của ba tia phân
Bài 26. Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và A
giác trong của tam giác đó
Bài 27. Cho M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AM lấy điểm N sao
cho AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N
Bài 28. Từ hai đầu của đoạn thẳng AB cố định kẻ hai tia song song Ax và By (thuộc cùng một nửa mặt phẳng
có bờ là đường thẳng AB). Tìm tập hợp giao điểm của hai đường phân giác các góc xAB và yAB
Bài 29. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm tập hợp giao điểm O hai đường chéo của hình thoi đó
Bài 30. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên nửa đường tròn, H là hình chiếu
của M trên AB. Trên đoạn thẳng OM lấy điểm N sao cho ON = MH
 = 900, điểm A cố định nằm trong góc đó, điểm B chạy trên Ox, điểm C chạy trên Oy sao
Bài 31. Cho góc xOy
cho AB ⊥ AC. Tìm tập hợp hình chiếu của A trên cạnh BC
Bài 32. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M tùy ý. Trên AM và MB dựng về một phía đối với AB dựng các hình
vuông. Đường tròn ngoại tiếp các hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai N
a) Chứng minh rằng AN đi qua đỉnh của hình vuông thứ hai
b) Tìm quĩ tích điểm N khi M chuyển động trên AB
Bài 33. Một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn đường kính BC. Tìm tập hợp tâm I của đường tròn nội
tiếp tam giác ABC
Bài 34. Cho đường tròn tâm O và một điểm A cố định bên ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến
ACD với đường tròn. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác BCD khi cát tuyến qua A di động
Bài 35. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm M chuyển động trên đường tròn (O), kẻ MH ⊥ AB. Tìm
tập hợp tâm các đường tròn nội tiếp tam giác OHM
***********************************************************