1

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh
----------------------

Ngô thị kim thoa

hình thành cho học sinh trung học phổ
thông một số kiến thức về phép biện chứng
duy vật trong quá trình dạy học toán

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Vinh-2008


2

Lời cảm ơn

Trớc hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ
Nguyễn Văn Thuận, ng ời thầy đã nhiệt tình h ớng dẫn tôi
hoàn thành luận văn này trong thời gian qua.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám
hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau Đại học tr ờng Đại học Vinh
cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy trong
suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các
chuyên đề thạc sĩ khoá 14, nghành Toán tr ờng Đại học Vinh.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám
hiệu, tổ Toán trờng THPT Nam Đàn 1 , Nam Đàn, Nghệ

An - nơi tôi đang công tác giảng dạy, đã giúp đỡ và tạo
điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành thực nghiệm
s phạm.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến
góp ý quý báu của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý
luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán.
Cuối cùng, tôi xin đ ợc gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn
bè, đồng nghiệp - những ng ời luôn cổ vũ động viên tôi để tôi
hoàn thành tốt Luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận đợc những ý
kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 11 năm 2008
Tác giả


3

Quy ớc về các chữ viết tắt
sử dụng trong luận văn
Viết tắt

Viết đầy đủ

DVBC

:

Duy vật biện chứng


BCDV

:

Biện chứng duy vật

THPT

:

Trung học phổ thông

SGK

:

Sách giáo khoa

BĐT

:

Bất đẳng thức

NXB

:

Nhà xuất bản


NC

:

Nâng cao

HS

:

Học sinh

GV

:

Giáo viên

mục lục


4

Trang
Mở đầu ..........................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................... 3
3. Giả thuyết khoa học ..................................................................... 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................... 3
5. Phơng pháp nghiên cứu .............................................................. 3

6. Những đóng góp của luận văn ...................................................... 4
7. Cấu trúc luận văn .......................................................................... 4
Chơng1: Cơ sở lý luận và thực tiễn ........................... 6
1.1. Thế giới quan DVBC là gì ......................................................... 6
1.2. Nội dung cơ bản của phép biện chứng duy vật .......................... 8
1.2.1. Những nguyên lý cơ bản của phép biện chứng duy vật .......... 8
1.2.2. Những quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật ..............15
1.2.3. Các cặp phạm trù cơ bản của phép biện chứng duy vật ...........19
1.3. Khái niệm t duy Toán học ........................................................25
1.4. Khái niệm TDBC ........................................................................26
1.5. Vì sao cần phải hình thành cho học sinh THPT một số kiến
thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán ......................26
1.6. Thực trạng hình thành một số kiến thức về phép BCDV cho
học sinh THPT trong dạy học toán hiện nay............................. 28
1.7. Kết quả tất yếu của việc không nắm vững các kiến thức của phép
BCDV trong dạy và học toán ......................................................29
Kết luận chơng1................................................................................30
Chng 2: một số biện pháp nhằm hình thành cho học
sinh thpT MộT Số KIếN THứC Về PHéP BCDV ............. 33
2.1. Đặc điểm chơng trình môn toán THPT. ................................... 33
2.2. Các định hớng nhằm hình thành cho học sinh THPT một số


5

kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán. ................... 36
2.3. Một số biện pháp nhằm hình thành cho học sinh THPT một
số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán. ............... 43
2.4. Kết luận chơng 2. ..................................................................... 100
Chơng 3 : THựC NGHIệM SƯ PHạM ...................................... 102

3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................ 102
3.2. Tổ chức thực nghiệm .................................................................. 102
3.3. Nội dung thực nghiệm ................................................................ 102
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm .................................................... 103
3.5. Kết luận chung về thực nghiệm .................................................. 108
kết luận ...................................................................................... 110
tài liệu tham khảo .............................................................. 111
phụ lục ......................................................................................... 114

mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Con ngời luôn có nhu cầu nhận thức thế giới. Nhận thức của con ngời là
quá trình phản ánh một cách biện chứng thế giới khách quan trên cơ sở thực
tiễn lịch sử - xã hội. Quá trình nhận thức đó diễn ra không đơn giản, thụ
động, máy móc, nhận thức không có sẵn, bất di bất dịch, mà là quá trình phản
ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con ngời một cách năng động, sáng tạo,
biện chứng. Đó là quá trình đi từ không biết đến biết, từ biết ít đến biết nhiều,
từ nông đến sâu, từ không đầy đủ và không chính xác trở thành đầy đủ hơn và
chính xác hơn.
Cũng nh các khoa học khác, Toán học nghiên cứu những quy luật của
hiện thực khách quan. Nó là một trong những môi trờng thuận lợi, là phơng


6

tiện để ngời dạy có thể tổ chức lồng ghép, cài đặt những quy luật của hiện
thực khách quan vào trong quá trình dạy học của mình. Vì vậy các kiến thức
Toán học nếu đợc giảng dạy chính xác với phơng pháp đúng đắn sẽ góp phần
tích cực giúp HS hiểu sâu sắc các quy luật phát triển của tự nhiên, cũng nh

nhận thức đúng về thái độ của con ngời đối với tự nhiên, đối với những biến
đổi đang diễn ra trong tự nhiên, tức là sẽ góp phần vào việc bồi dỡng thế giới
quan DVBC cho HS.
Và ngợc lại khi HS nhận thức đợc các quy luật của tự nhiên, hoà mình
vào thực tế của cuộc sống thì tất yếu sẽ nảy sinh nguyện vọng và ý chí cải tạo
thực tiễn và từ đó có đợc động cơ mạnh mẽ vơn lên nắm lấy những kiến thức
mới mẻ khác, giải quyết những vấn đề Toán học tốt hơn.
Nhng nh vậy không có nghĩa là cứ dạy những kiến thức Toán học thuần
tuý rồi tự khắc sẽ góp phần xây dựng thế giới quan đúng đắn, mà phải biết
khai thác t liệu Toán học đó theo một mục đích đã định sẵn, nếu không HS dễ
nhầm Toán học là kết quả thuần tuý của hoạt động trí tuệ, tách rời hiện thực
khách quan.
Thực tế cho thấy, ở các trờng phổ thông hiện nay, cách dạy học môn
Toán của GV hoặc chỉ chú trọng đến việc truyền thụ tri thức mà không thấy đợc tầm quan trọng của việc bồi dỡng thế giới quan DVBC cho HS hoặc có ý
thức nhng cha biết cách cài đặt, lồng ghép một cách thích hợp những kiến thức
thuộc về phép BCDV trong quá trình giảng dạy Toán. Từ đó dẫn đến việc HS
bộc lộ những yếu kém về t duy biện chứng, nhìn các đối tợng Toán học một
cách rời rạc, trong trạng thái tĩnh mà cha thấy mối liên hệ phụ thuộc, sự vận
động biến đổi, quá trình phát sinh và phát triển, cha thấy đợc sự thống nhất và
mâu thuẫn giữa các mặt đối lập nên cha hiểu rõ bản chất Toán học; vì vậy
nhiều khi gặp khó khăn khi giải các bài toán, nhất là các bài toán đòi hỏi phải
có sự sáng tạo.


7

Hiện nay, vấn đề làm thế nào để bồi dỡng thế giới quan DVBC cho HS
còn rất ít các nhà nghiên cứu giáo dục bàn tới, về t duy biện chứng đã đợc
nhiều học giả nghiên cứu, bàn luận nh giáo s tiến sĩ khoa học Nguyễn Cảnh
Toàn đề cập đến khía cạnh tập cho HS giỏi Toán làm quen dần với nghiên

cứu Toán học hay phơng pháp luận DVBC với việc học, dạy, nghiên cứu
Toán học; giáo s tiến sĩ Đào Tam quan tâm đến khía cạnh một số cơ sở
phơng pháp luận của Toán học và việc vận dụng chúng trong dạy học Toán ở
trờng phổ thông trong tạp chí nghiên cứu giáo dục số 09/1998.
Mặt khác, yêu cầu cấp thiết của việc cải tiến, đổi mới phơng pháp dạy
học của ngành giáo dục nớc ta trong xu thế hiện nay càng đòi hỏi sự nghiệp
giáo dục và đào tạo sản sinh ra thế hệ những HS phát triển toàn diện, năng
động, sáng tạo phù hợp yêu cầu xã hội hiện nay. Vì vậy, quá trình dạy học
môn Toán cũng nh các môn học khác phải là quá trình thống nhất giữa giáo
dục và giáo dỡng, trong đó việc bồi dỡng thế giới quan DVBC cho học sinh là
một việc làm góp phần vào việc thực hiện nhiệm vụ đó.
Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài: Hình thành cho học sinh
trung học phổ thông một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy
học Toán .
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận về phép BCDV từ đó đa ra các định hớng,
các biện pháp để hình thành một số kiến thức về phép BCDV cho HS THPT
thông qua dạy học môn Toán nhằm mục đích nâng cao chất lợng dạy học môn
Toán.
3. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học Toán ở bậc THPT, nếu đề xuất và thực hiện
đợc những giải pháp phù hợp thì có thể trang bị đợc cho HS một số kiến thức
ban đầu về phép BCDV bên cạnh những kiến thức Toán học, và việc HS nắm


8

đợc các kiến thức đó sẽ góp phần nâng cao hiệu quả phát hiện và giải quyết
các vấn đề Toán học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt đợc mục đích trên, luận văn có nhiệm vụ làm sáng tỏ những
vấn đề sau:
- Thế giới quan DVBC l gì?
- Nội dung cơ bản của phép BCDV (các nguyên lý, các quy luật và các
cặp phạm trù).
- Khái niệm t duy biện chứng.
- Vì sao cần phải hình thành cho HS các kiến thức về phép BCDV trong
quá trình dạy học Toán?
- Các định hớng và các biện pháp nhằm hình thành cho HS THPT một
số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán .
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Phơng pháp nghiên cứu lý luận :
Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo về Triết học Mác lênin, về
Toán học, các tài liệu liên quan đến t duy biện chứng.
5.2. Phơng pháp nghiên cứu thực tế :
Sơ bộ tìm hiểu và rút ra một số nhận xét về việc hình thành một số kiến
thức về phép BCDV cho HS qua dạy học Toán ở một số trờng phổ thông qua
dự giờ, điều tra, phỏng vấn GV và HS.
5.3. Phơng pháp thực nghiệm s phạm :
- Tiến hnh một số giờ dạy thực nghệm s phạm ở trờng THPT Nam Đàn I.
- Kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm, so sánh đối chiếu giữa lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng có cùng trình độ học vấn tơng đơng nhằm minh
họa bớc đầu những biẹn pháp đã đợc đề ra trong luận văn.
6. Những đóng góp của luận văn
6.1.Về mặt lý luận :


9

- Xác định cơ sở khoa học để xây dựng nội dung, phơng pháp hình

thành các kiến thức về phép BCDV cho HS.
- Xác định đợc các biện pháp dạy học nhằm hình thành một số kiến
thức về phép BCDV cho HS.
- Góp phần làm sáng tỏ nội dung hình thành cho HS THPT một số
kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán .
6.2. Về mặt thực tiễn :
- Xây dựng đợc một số biện pháp hình thành cho HS THPT một số
kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán .
- Vận dụng một số biện pháp hình thành cho HS THPT một số kiến
thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán .
7. Cu trỳc ca lun vn:
Mở đầu.
Chơng 1: Cơ sở lý luận v thực tiễn.
1.1. Thế giới quan DVBC là gì ?
1.2. Nội dung cơ bản của phép BCDV .
1.2.1. Những nguyên lý cơ bản của phép BCDV .
1.2.2. Những quy luật cơ bản của phép BCDV.
1.2.3. Các cặp phạm trù cơ bản của phép BCDV.
1.3. Khái niệm t duy Toán học .
1.4. Khái niệm TDBC.
1.5. Vì sao cần phải hình thành cho HS THPT một số kiến thức về phép BCDV
trong quá trình dạy học Toán.
1.6. Thực trạng hình thành một số kiến thức về phép BCDV cho HS THPT
trong dạy học Toán hiện nay.
1.7. Kết quả tất yếu của việc không nắm vững các kiến thức của phép BCDV
trong dạy và học Toán.
Kết luận chơng 1.


10


Chng 2: Mt s bin phỏp nhm hình thành cho HS THPT một số kiến
thức về phép BCDV trong quá trình dy hc toỏn.
2.1. Đặc điểm chơng trình môn Toán THPT.
2.2. Các định hớng nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức về phép
BCDV trong quá trình dạy học Toán.
2.3. Một số biện pháp nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức về
phép BCDV trong quá trình dạy học Toán.
Kết luận chơng 2.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm.
Kết luận.
Ti liệu tham khảo.
Phụ lục.
Chơng 1

Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Thế giới quan DVBC l gì?
L sản phẩm v l một bộ phận của thế giới, con ngời có nhu cầu phải
nhận thức về thế giới cũng nh phải nhận thức về bản thân mình trong mối
quan hệ với thế giới để lựa chọn hoạt động của mình. Kết quả của quá trình
nhận thức ấy tạo nên thế giới quan.
Nh vậy thế giới quan l ton bộ những quan điểm, quan niệm của con
ngời về thế giới, về bản thân con ngời, về cuộc sống v về vị trí của con ng ời
trong thế giới ấy.
Ngợc lại với thế giới quan duy tâm, thế giới quan duy vật l thế giới
quan thể hiện bản chất của thế giới l vật chất, thể hiện vai trò quyết định của


11


vật chất đối với các biểu hiện của đời sống tinh thần v thể hiện vị trí, vai trò
của con ngời trong cuộc sống hiện thực.
Thế giới quan duy vật trải qua nhiều giai đoạn v đến giữa thế kỷ thứ
XIX, thế giới quan DVBC đã đợc C.Mác v Ăngghen xây dựng, sau đó đợc
V.I.Lênin v những ngời kế tụng phát triển.
* Sự thống nhất hữu cơ giữa thế giới quan duy vật v phép biện chứng :
Trớc Mác, chủ nghĩa duy vật v phép biện chứng về cơ bản bị tách rời
nhau.Việc tách rời giữa thế giới quan duy vật với phép biện chứng đã không
chỉ lm các nh duy tâm m ngay cả những nh duy vật tr ớc Mác không
hiểu về mối liên hệ phổ biến, về sự thống nhất v nối tiếp nhau của các sự
vật, hiện tợng trong thế giới vật chất. C.Mác v Ăngghen đã giải thoát thế giới
quan duy vật khỏi hạn chế siêu hình v cứu phép biện chứng khỏi tính chất
duy tâm thần bí để hình thnh nên chủ nghĩa DVBC với sự thống nhất hữu cơ
giữa thế giới quan duy vật v phép biện chứng. Sự thống nhất ny đem lại cho
con ngời một quan niệm hon ton mới về thế giới - quan niệm thế giới l
một quá trình với tính cách l vật chất không ngừng vận động, chuyển hoá v
phát triển.
Nh vậy, thế giới quan DVBC chính là cách nhìn các đối tợng, sự vật,
hiện tợng một cách biện chứng, nghĩa là nhìn chúng trong mối liên hệ, trong
sự vận động và phát triển, trong sự thống nhất và mâu thuẫn giữa các mặt đối
lập.
Lịch sử Toán học đã chứng tỏ nh vậy : Trớc Lobachevski cũng có nhiều
ngời tìm cách chứng minh tiên đề Euclide bằng phản chứng : họ phủ nhận tiên
đề Euclide với hy vọng sẽ tìm ra mâu thuẫn. Nhng do thế giới quan hạn chế
nên họ không thể quan niệm nổi những điều họ tìm ra, phủ nhận tiên đề
Euclide và đành phải rút lui, nhờng vinh quang cho Lobachevski. Lobachevski
đã có những nhận thức mới về không gian nên cho rằng những điều họ tìm ra
đó không tồn tại trong cuộc sống đời thờng nhng có thể tồn tại trong vũ trụ



12

bao la. Vì vậy ông không lùi bớc và trở thành ngời đầu tiên phát minh ra hình
học phi Euclide và quan điểm của ông, mãi đến khi lý thuyết tơng đối rộng ra
đời, mới đợc chứng minh. Hoặc nh về tính giải đợc băng căn thức của các phơng trình đại số bậc n : Abel chứng minh sự không giải đợc bằng căn thức khi
n > 4. Nhng rồi Galois không chịu dừng ở đó mà tự đặt câu hỏi : Tại sao ?
nên cuối cùng đã đa ra một tiêu chuẩn khiến cho ta thấy rõ mâu thuẫn mà
thống nhất giữa hai trờng hợp n 4 và
n > 4.
Khi biết rằng khái niệm xạ ảnh về khoảng cách giữa hai bộ n giá trị của
một bộ n biến số đã đợc ngời ta giải quyết khi n = 2 nhng cha giải quyết đợc
khi n > 2 thì GS.TS Nguyễn Cảnh Toàn cảm thấy ở đây cũng có vấn đề mâu
thuẫn và thống nhất giữa hai trờng hợp n = 2 và n > 2. Ông có niềm tin rằng,
với n > 2, nhất định sẽ có cái gì đó thống nhất mâu thuẫn với trờng hợp n = 2.
Lòng tin đó đã giúp ông sự kiên nhẫn vợt khó khăn để giải quyết trờng hợp n
> 2. Và ông đã thành công, xây dựng nên không gian phi Euclide khi n = 2
nhng không phải là phi Euclide (sau này gọi là siêu phi Euclide) khi n > 2, tạo
ra sự thống nhất biện chứng giữa hai trờng hợp. Nh vậy thế giới quan DVBC
đã thấm vào ông và phát huy tác dụng đến quá trình ngiên cứu Toán học và đã
góp phần vào những sáng tạo trong t duy Toán học của ông.
1.2. Nội dung cơ bản của phép BCDV :
Quan điểm DVBC không chỉ khẳng định bản chất vật chất, tính thống
nhất vật chất của thế giới, m còn khẳng định các sự vật hiện t ợng trong thế
giới đó luôn tồn tại trong sự liên hệ, trong sự vận động v phát triển không
ngừng theo những quy luật vốn có của nó. Lm sáng tỏ những vấn đề đó l
nội dung cơ bản của phép biện chứng. Chính vì vậy, Ph.Ăngghen đã khẳng
định rằng phép biện chứng l lý luận về mối liên hệ phổ biến, l môn khoa
học về những quy luật phổ biến của sự vận động v phát triển của tự nhiên,



13

của xã hội loi ngời v của t duy. V.I.Lênin nhấn mạnh thêm: Phép biện
chứng l học thuyết sâu sắc nhất, không phiến diện về sự phát triển.
1.2.1. Các nguyên lý cơ bản của phép BCDV:
1.2.1.1. Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến:
Thế giới đợc tạo thnh từ những sự vật, những hiện tợng, những quá
trình khác nhau. Những ngời theo quan điểm biện chứng xem thế giới nh một
chỉnh thể thống nhất. Các sự vật, hiện tợng v các quá trình cấu thnh thế giới
đó vừa tách biệt nhau, vừa có mối liên hệ qua lại, thâm nhập v chuyển hoá
lẫn nhau. Cơ sở của sự liên hệ qua lại giữa các sự vật v hiện t ợng l tính
thống nhất vật chất của thế giới. Theo quan điểm ny các sự vật, các hiện t ợng
đa dạng trên thế giới chỉ l những dạng tồn tại khác nhau của một thế giới duy
nhất l thế giới vật chất. Ngay cả t tởng, ý thức của con ngời cũng chỉ l
thuộc tính của một dạng vật chất có tổ chức cao là bộ óc con ngời, nội dung
của chúng cũng chỉ l kết quả phản ánh của quá trình vật chất khách quan.
Từ việc nghiên cứu nguyên lý về mối liên hệ phổ biến của các sự vật,
hiện tợng chúng ta cần rút ra quan điểm ton diện trong việc nhận thức cũng
nh trong hoạt động thực tiễn. Quan điểm ton diện đòi hỏi chúng ta phải xem
xét nó trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các thuộc
tính khác nhau của chính sự vật đó; phải xem xét trong mối liên hệ qua lại
giữa các sự vật đó với các sự vật khác; "muốn thực sự hiểu đợc sự vật, cần phải
nhìn bao quát v nghiên cứu tất cả các mặt, tất cả các mối liên hệ v quan hệ
gián tiếp của sự vật đó (V.I.Lênin ).
Trong Toán học có vô vn những ví dụ lm sáng tỏ nguyên lý vừa nêu.
Thật vậy ta thờng xuyên nhìn những đối tợng Toán học duới nhiều góc độ
khác nhau, phải nhìn trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu
tố v nhìn trong mối liên hệ với các đối tợng Toán học khác.
Chẳng hạn với bi Toán : Giải phơng trình :
2(tanx sinx) + 3(cotx cosx) + 5 = 0 (1).



14

Nếu ta nhìn bài toán này trong mối quan hệ qua lại giữa các bộ phận,
các yếu tố của chính nó thì sẽ thấy đợc mối liên hệ giữa các số có mặt trong
bài toán : Để ý đến sự có mặt của các số 2 và 3 trong hai số hạng đầu của vế
trái phơng trình và số 5 ta sẽ có đợc mối liên hệ : 5 = 2 + 3.
2(tanx sinx + 1) + 3(cotx cosx + 1) = 0

Khi đó (1)

2(

sin x
cos x
sinx + 1) + 3(
cosx + 1) = 0
cos x
sin x

với điều kiện sinxcosx 0,
(sinx + cosx sinxcosx) (

2
3
+
)= 0
cos x sin x


sinx + cosx sinxcosx = 0 (1a)

hoặc

2
3
+
= 0 (1b).
cos x sin x

Khi giải phơng trình (1a) nếu để ý vế trái ta sẽ thấy mối liên hệ giữa hai
nhóm số hạng sinx + cosx và sinxcosx. Chúng có mối liên hệ với nhau bởi hệ
thức :
(sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx.
Từ mối liên hệ đó gợi cho ta suy nghĩ là đặt ẩn phụ
t = sinx + cosx = 2 sin(x +
Khi đó sinxcosx =
t-


) với điều kiện - 2 t 2 .
4

t 2 1
và phơng trình (1a) có dạng :
2

t 2 1
=0
2


2t t2 + 1 = 0
t2 2t 1 = 0

Đây là một phơng trình bậc hai ẩn t, giải tìm t rồi trở về tìm x .
Quan điểm toàn diện cho rằng để giải quyết tốt các vấn đề của đối tợng
Toán học, ta không chỉ nhìn chúng trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận,
các yếu tố, các thuộc tính khác nhau của chúng mà còn cần phải nhìn trong


15

mối liên hệ với các đối tợng Toán học khác. Vì vậy, khi đứng trớc một bài
toán, phải biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung nhng lại phải biết nhìn bài
toán trong từng hoàn cảnh cụ thể; lại phải nhìn bài toán trong mối tơng quan
với các loại bài toán khác. Một bài toán đại số có thể nhìn nó dới góc độ lợng
giác, hình học và ngợc lại. Có nh vậy mới rèn luyện đợc t duy cho ngời học
Toán.
Chẳng hạn với bài toán : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số :

u = y 2x + 5.

Biết rằng x và y thoả mãn phơng trình : 36x2 + 16y2 = 9 (2).
Đây là một bài toán liên quan đến cực trị của hàm số, HS thờng có thói
quen là sẽ tìm cách đánh giá u M nào đó và u m nào đó.
Bài toán này có thể giải theo nhiều cách khác nhau nếu ta nhìn nó theo
nhiều góc độ.
Lời giải 1: Nhìn dới góc độ đại số nhng quy việc tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của hàm số (umax và umin) thoả mãn điều kiện (2) về bài toán:

Tìm miền giá trị của hàm số u và do đó cần phải tìm mọi giá trị của u (xem
nh tham số) để hệ phơng trình :
y 2x + 5 = u
(I) có nghiệm (x, y).

2
2
36 x + 16 y = 9

Bằng cách rút y theo x từ phơng trình đầu rồi thế vào phơng trình thứ
hai của hệ, ta thu đợc phơng trình đối với x :
100x2 + 64 (u 5)x + 16 (u 5)2 9 = 0 (I).
Do việc tìm y theo x từ điều kiện (2) không đòi hỏi điều kiện đối với u,
chính vì vậy mà điều kiện có nghiệm x của phơng trình (I) cũng là điều kiện
có nghiệm (x, y) của hệ (I).
Đó là điều kiện 0 (2a).
Ta có (2a)

1024 (u 5)2 100 [16(u 5)2 9] 0


16

(u 5)2


25
16

15

25
u
.
4
4

Từ bất dẳng thức thu đợc về miền giá trị của hàm số u, ta kết luận đợc
rằng :
umax =

25
15
, umin = .
4
4

Lời giải 2 : Nhìn dới góc độ lợng giác, ta biến đổi điều kiện (2) về
dạng :

(6x)2 + (4y)2 = 32 và đặt :
6 x = 3 cos

4 y = 3 sin



1

x = 2 cos


y = 3 sin

4

Khi đó điều kiện (2) trở thành :
9(cos2 + sin2) = 9 là một đồng nhất thức đúng với mọi .
Hàm số u dới dạng lợng giác có dạng :
u=

3
sin - cos + 5.
4

Chỉ cần sử dụng bất đẳng thức
- a 2 + b 2 asin + bcos a 2 + b 2 ,
ta suy ra :
umax = 5 +

25
9
+1 =
,
4
16

umin = 5 -

15
9
+1 =

.
4
16

Lời giải 3 : Nhìn dới góc độ hình học:
Từ điều kiện (6x)2 + (4y)2 = 32 (2),


17

6 x = X
ta có thể đặt
4 y = Y



1

x = 6 X

y = 1 Y

4

Điều kiện (2) có dạng :
X +Y =3
2

Y2


Y
2

2

(2b),

m

là phơng trình đờng tròn trong hệ toạ độ
vuông góc XOY có tâm là O và bán kính
bằng 3.

H

Y
M

Y0
Y1

B

P 4(u-5)

1
1
Còn hàm số u = Y - X + 5
4
3


O

3

A
X

có thể xem nh là một phơng trình
hai ẩn X và Y và viết lại dới dạng :
Y=

4
X + 4(u 5) (3) ,
3

n N

chính là phơng trình của đờng thẳng trong mặt phẳng.
Đờng thẳng này có phơng không đổi, luôn sông song với đờng thẳng Y0
=

4
X và cắt trục OY tại điểm có tung độ là 4(u 5).
3

Khi đó bài toán đã cho chuyển thành bài toán hình học sau :
Tìm điều kiện của u để đờng thẳng có phơng trình (3) cắt đờng tròn có
phơng trình (2b). Rồi từ điều kiện thu đợc của u ta suy ra kết quả.
Từ hình vẽ ta có :

+ Đờng thẳng Y chỉ cắt đờng tròn (tức là bài toán có nghiệm) khi Y
biến thiên trong giải mặt phẳng từ Y1 đến Y2.
+ umax xác định đợc khi M trùng P, tức là:
m = 4(umax 5),
umin xác định đợc khi P trùng N, tức là:
n = 4(umin 5).


18

Dễ thấy rằng n = - m và từ sự bằng nhau của hai tam giác OAB và
OHM ta đợc :
m = OM = OB = OA 2 + AB 2 = 5.
Khi đó ta có kết quả từ các phơng trình:
5 = 4 (umax 5) umax =

25
,
4

-5 = 4(umin 5) umin =

15
.
4

Việc tìm ra các cách giải phụ thuộc vo việc nhìn bi Toán ấy d ới
nhiều góc độ khác nhau. Đây cũng chính l biểu hiện của những khả năng t
duy biện chứng.
1.2.1.2. Nguyên lý về sự phát triển:

Theo quan điểm DVBC thì phát triển l một phạm trù Triết học dùng để
khái quát quá trình vận động tiến lên từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức
tạp, từ kém hon thiện đến hon thiện hơn. Theo quan điểm đó thì phát triển
l một trờng hợp đặc biệt của sự vận động . Sự phát triển l kết quả của quá
trình thay đổi về lợng dẫn đến sự thay đổi về chất; sự phát triển diễn ra theo đờng xoáy trôn ốc, nghĩa l trong quá trình phát triển dờng nh có sự quay trở
lại điểm xuất phát, nhng trên một cơ sở mới cao hơn.
Ví dụ : Toán học cng phát triển cng trừu tợng :
Từ các tập hợp đối tợng rời rạc, cụ thể, xây dựng nên khái niệm về các
số tự nhiên rồi trong việc đo các đại lợng v gặp các đại lợng có thể tính theo
hai chiều, từ các số tự nhiên phát triển thnh các số hữu tỉ, khi gặp các đại l ợng vô ớc với đơn vị lại phát triển thnh khái niệm số vô tỉ; số thực bất lực
trong việc giải phơng trình bậc ba đã lm cho khái niệm số thực phát triển đến
khái niệm số phức.
Từ những hình ảnh cụ thể nh sợi dây căng thẳng, mặt nớc đứng yên tiến
lên khái niệm điểm, đờng thẳng, mặt phẳng...


19

Nh vậy, tự nhiên, xã hội v t duy đều nằm trong quá trình vận động v
phát triển không ngừng, bản chất khách quan đó của quá trình đòi hỏi chúng
ta, để phản ánh đúng hiện thực khách quan, cần phải có quan điểm phát triển.
Điều đó có nghĩa l, khi xem xét các sự vật v hiện t ợng phải đặt nó trong sự
vận động, trong sự phát triển; v phát hiện ra các xu h ớng biến đổi, chuyển
hoá của chúng. V.I.Lênin viết: Lôgic biện chứng đòi hỏi phải xét sự vật trong
sự phát triển, trong sự tự vận động (...) trong sự biến đổi của nó.
Việc giảng dạy Toán ở trờng phổ thông có rất nhiều cơ hội lm cho HS
thấu triệt hơn về nguyên lý ny, nghĩa l khi dạy Toán ta có thể lồng ghép,
ci đặt hoặc chốt lại những nhận định để qua đó HS có thể hình dung đ ợc
nguyên lý ny của DVBC. Nắm đợc nguyên lý đó thì ngời học sẽ đợc phát
triển nhận thức về tự nhiên, xã hội v t duy; nhằm góp phần giúp họ có nhận

thức về cuộc sống tốt hơn.
Ví dụ ban đầu chỉ có thể tính diện tích của một số hình phẳng có dạng tong đối đặc biệt, về sau học về tích phân thì có thể tính đợc diện tích của
nhiều loại hình. Trớc khi dạy tích phân ngời GV có thể gợi động cơ, nhằm
khêu gợi hứng thú của HS theo kiểu đại thể nh : Ta đã biết cách tính diện
tích của hình chữ nhật, hình vuông,...nhng có những hình m biên của nó
không phải l đoạn thẳng, chỉ l những đ ờng cong. Cố nhiên sau khi học
xong tích phân v biết cách tìm diện tích của hình phẳng thì cũng nên lm
cho HS thấy sự phát triển kiến thức để dẫn đến kiến thức về tích phân đã
mang lại ý nghĩa gì.
Chúng ta cần lu ý rằng trong giảng dạy Toán ở trờng phổ thông, việc rèn
luyện TDBC v nói rộng hơn nữa l bồi dỡng thế giới quan DVBC rất khác
với việc cung cấp kiến thức. Thế giới quan đó sẽ hình thnh theo kiểu m a
dầm thấm đất hoặc lắng đọng phù sa (Nguyễn Cảnh Ton). Hạt m a phùn
hay hạt phù sa cực nhỏ nếu tích luỹ liên tục, lâu di thì sẽ l m nên chuyện
thấm đất hay bồi đắp phù sa.


20

1.2.2. Những quy luật cơ bản của phép BCDV :
Quan điểm DVBC cho rằng, mọi quy luật đều mang tính khách quan.
Các quy luật đợc phản ánh trong các khoa học không phải l sự sáng tạo
thuần tuý của t tởng. Những quy luật do khoa học phát hiện ra chính l sự
phản ánh những quy luật hiện thực của thế giới khách quan v của t duy. Các
quy luật cơ bản của phép biện chứng phản ánh quá trình vận động v phát
triển từ những phơng diện cơ bản của nó:
1.2.2.1. Quy luật chuyển hoá từ những sự thay đổi về lợng dẫn đến những sự
thay đổi về chất v ngợc lại :
Quy luật ny chỉ ra cách thức vận động v phát triển của sự vật, hiện t ợng. Trong đó, chất l tính quy định khách quan vốn có của sự vật, l sự
thống nhất hữu cơ giữa các thuộc tính lm cho nó l nó m không phải l cái

khác. Lợng l tính quy định vốn có của sự vật về một số l ợng, quy mô, trình
độ, nhịp điệu của sự vận động, phát triển của sự vật cũng nh các thuộc tính của
nó. Mọi sự vật đều l sự thống nhất giữa chất v l ợng. Giới hạn, trong đó
những thay đổi về lợng của sự vật cha gây ra những thay đổi căn bản về chất
đợc gọi l độ. Những thay đổi về lợng vợt qua giới hạn độ sẽ lm cho chất
của sự vật biến đổi căn bản. Bớc nhảy l bớc thay đổi căn bản về chất của sự
vật do sự thay đổi về lợng trớc đó gây ra. Mối quan hệ giữa sự thay đổi về lợng
v sự thay đổi về chất cũng có chiều ngợc lại. Đến lợt nó, sự thay đổi về chất
lại tác động đến lợng, thúc đẩy lợng tiếp tục phát triển.
Sự biến đổi về lợng dẫn đến sự biến đổi về chất và ngợc lại diễn ra một
cách phổ biến trong giới tự nhiên, trong đời sống xã hội và trong lĩnh vực t
duy. Ví dụ: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hoá học do Menđêlêép xây dựng đã
chỉ rõ tính đa dạng về chất của các nguyên tử phụ thuộc vào số lợng các hạt
proton có trong hạt nhân nguyên tử, khi số proton tăng cũng nh giảm thì
nguyên tử sẽ trở thành nguyên tử của nguyên tố khác.


21

Nắm đợc quy luật ny sẽ giúp chúng ta rút ra đ ợc rằng: Để có tri thức
tơng đối đầy đủ về sự vật, ta phải nhận thức cả về mặt lợng v mặt chất của
nó. Từ những nhận thức ban đầu về chất đi tới nhận thức lợng, trong quá trình
đó, tri thức về chất đợc lm sâu sắc thêm, khi đạt đến tri thức về sự thống nhất
về chất v lợng chúng ta sẽ có tri thức tơng đối hon chỉnh về sự vật đó.
Ví dụ : Trong quá trình giảng dạy môn Toán, những kiến thức Toán học
m bản thân nó thể hiện đợc quy luật ny thì GV nên chốt lại hoặc đ a ra
những bình luận tong đối ngắn gọn để HS đợc dần dần tích luỹ kiến thức về
quy luật lợng đổi - chất đổi. Chẳng hạn khi học về cực trị của hm số trong
chơng trình giải tích lớp 12 thì HS đợc học bổ đề Fecma: Nếu hàm số f(x) đạt
cực trị tại x0 mà đạo hàm của f(x) tại x0 là tồn tại thì f(x0) = 0. Cần làm cho

HS hiểu rằng hàm số f(x) đạt cực trị tại x 0 thì có nghĩa là điểm M(x 0,y0) nằm
trên đồ thị phải là điểm cao nhất (thấp nhất) (trong một vùng nào đó). Việc
giải thích căn cứ vào hình ảnh trực quan nh trên không nhằm thay thế việc
chứng minh bổ đề Fecma theo con đờng suy diễn mà chỉ giúp HS tiếp cận bổ
đề một cách tự nhiên hơn, bởi vì nếu định lý nào cũng phát biểu một cách áp
đặt rồi sau đó chứng minh chặt chẽ thì cũng cha khơi dậy đợc ở HS khả năng
sẵn sàng chiếm lĩnh tri thức. Giáo s Phan Đình Diệu có nói: Dạy học Toán
phải chú ý cái lý thì nó phải đúng còn cái lẽ thì nó sinh ra.
1.2.2.2. Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập:
Quy luật này là "hạt nhân" của phép BCDV, nó chỉ ra nguồn gốc động
lực của sự vận động, phát triển. Theo phép biện chứng, mọi sự vật và hiện tợng
đều có những mâu thuẫn, những mặt, những khuynh hớng đối lập trong bản
thân mình; các mặt, các khuynh hớng đối lập đó nằm trong trạng thái liên hệ
qua lại, phủ định lẫn nhau tạo thành xung lực nội tại của sự vận động và phát
triển, dẫn tới sự mất đi cái cũ và sự ra đời cái mới.
Toán học phát triển theo quy luật "thống nhất biện chứng giữa hai mặt
đối lập". Hai mặt đối lập đó là: Một mặt càng phát triển càng khái quát, càng


22

trừu tợng, mặt khác càng phát triển càng nâng cao thêm khả năng ứng dụng cụ
thể.
Ví dụ: Từ hình học Euclide, phát triển thành hình học phi Euclide, ứng
dụng cho lí thuyết tơng đối trong vật lý,
Sự thống nhất giữa số và hình, xem các hình là những biểu hiện trực
quan (thấy đợc, đo đợc) của những quan hệ sâu xa giữa các số.
dx trong




f(x)dx vừa bằng không vừa khác không.

Tam giác là tam giác, đồng thời cũng là tứ giác (có một cạnh bằng
không).
Số nguyên là số nguyên, đồng thời cũng là phân số (có mẫu số bằng 1).
1.2.2.3. Quy luật phủ định của phủ định:
Triết học DVBC thấy rõ sự chuyển hoá từ những thay đổi về lợng thành
những thay đổi về chất và ngợc lại, sự đấu tranh giữa các mặt đối lập dẫn tới
mâu thuẫn đợc giải quyết, sự vật cũ mất đi và sự vật mới ra đời. Mỗi sự thay
đổi ấy làm thành một mắt xích của sợi dây xích phát triển của hiện thực và t
duy. Sự ra đời cái mới là kết quả của sự phủ định cái cũ, cái lỗi thời. Vậy phủ
định đóng vai trò rất quan trọng trong quá trình phát triển. Phủ định biện
chứng là nhân tố tất yếu của bất kỳ sự phát triển nào. Phủ định biện chứng là
quá trình tự thân phủ định, tự thân phát triển, là mắt xích trên con đờng dẫn tới
sự ra đời cái mới tiến bộ hơn so với cái phủ định. Phủ định biện chứng mang
tính kế thừa. Phủ định biện chứng nói lên một giai đoạn, một nấc thang trong
quá trình phát triển, nó đi theo hình thức xoáy trôn ốc. Cái đặc trng của quá
trình phát triển biện chứng là tính kế thừa, tính lặp lại nhng không quay trở lại
và tính chất tiến lên của sự phát triển. Phủ định biện chứng chẳng phải là sự
phủ định sạch trơn, bác bỏ tất cả sự phát triển trớc đó mà là điều khiển cho sự
phát triển, nó duy trì và gìn giữ nội dung tích cực của các giai đoạn trớc, lặp
lại một số đặc điểm cơ bản của cái xuất phát nhng trên cơ sở mới cao hơn.
"Không bao giờ có cái "mới toanh" hiểu theo nghĩa là "không dính dáng gì


23

đến cái cũ". Cái "mới" bao giờ cũng là cái cũ mà ra, các nhà phát minh thế hệ
sau bao giờ cũng đứng trên vai những nhà phát minh thế hệ trớc, kế thừa các

thành quả của họ. Các thành quả này chỉ đẻ ra vấn đề cho thế hệ sau nghiên
cứu khi chúng bất lực trong việc giải quyết các vấn đề lí luận hay thực tiễn
mới đặt ra. Kết quả nghiên cứu sẽ là một lí thuyết mới vừa kế thừa những mặt
tích cực của lí thuyết cũ (đây là mặt thống nhất giữa hai lí thuyết mới và cũ),
vừa phủ định những mặt tiêu cực của lí thuyết cũ, theo nghĩa là nó giải quyết
đợc những yêu cầu mới mà lí thuyết cũ đành bất lực. Chẳng hạn, lí thuyết số
phức đã kế thừa những mặt tích cực của lí thuyết số thực vì nó cũng thoả mãn
những tính chất của một trờng đồng thời nó phủ định những mặt tiêu cực của
lí thuyết số thực là đẫ bó tay trớc việc lấy căn bậc hai của các số âm, nhờ vậy
mà phơng pháp Cacđanô đã trót lọt trong việc giải các phơng trình bậc ba.
Quy luật "phủ định của phủ định" này là khách quan, không phụ thuộc chủ
quan ngời nghiên cứu. Lôbasepki đã phát minh ra hình học mang tên ông, chỉ
nghĩ rằng mình ph định tiên đề Ơclit, phủ định hình học Ơclit, chứ cha nghĩ
rằng mình phủ định hình học Ơclit. Những nghiên cứu khách quan của ông và
của các tác giả khác càng ngày càng cho thấy rõ hình học Lôbasepki, một mặt
phủ định hình học Ơclit nhng mặt khác là sự mở rộng hình học Ơclit; hình học
Ơclit trở thành trờng hợp giới hạn của hình học Lôbasepki khi góc nhọn của
hai đờng thẳng song song với một đờng thẳng a xuất phát từ một điểm A nằm
ngoài đờng thẳng a, dần tới không. Nh vậy ngay một phát minh vĩ đại đã tạo
nên một cuộc cách mạng trong Toán học nh hình học Lôbasepki cũng không
thoát khỏi quy luật "phủ định của phủ định" tức là phủ định có kế thừa, nghĩa
là không "mới toanh" " ([23] tr.54,55).
Trong Toán học có rất nhiều bằng chứng nói lên quy luật phủ định của
phủ định. Ví dụ số nguyên và phép chia phủ định lẫn nhau vì với số nguyên
thì phép chia không phải khi nào cũng thực hiện đợc; sự ra đời của phân số đã


24

phủ định sự phủ định nói trên, tức phép chia (cho một số khác không) bao giờ

cũng thực hiện đợc.
Tất nhiên không đợc hiểu rằng những kiến thức Toán học xuất hiện trớc
là sai, sau đó bị bác bỏ mà cần phải hiểu theo nghĩa chẳng hạn nh: kiến thức
Toán học cha đủ để giải quyết vấn đề đặt ra, có sự bất cập giữa cung và cầu. ở
đầu lớp 10 HS học khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến, lúc đó để xem
xét một hàm số nào đấy có đơn điệu hay không chỉ có con đờng duy nhất là sử
dụng trực tiếp định nghĩa. Tới lớp 12 trớc khi dạy định lý về mối liên hệ giữa
đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số ta có thể nói với HS rằng: Để xem xét
hàm số f(x) có đơn điệu trên khoảng (a;b) thì theo định nghĩa ta lấy x 1,x2 bất
kỳ thuộc (a;b), x1 < x2 và xét hiệu f(x1) f(x2) tuy nhiên chẳng hạn nh hàm
số f(x) = x + cosx thì việc so sánh x 1 + cosx1 với x2 + cosx2 sẽ rất khó khăn, vì
vậy ta đi tìm một công cụ mới. Trình bày nh vậy với HS sẽ có tác dụng gợi
động cơ mở đầu bài học, làm cho HS tiếp thu bài học một cách hứng thú và có
mục đích hơn. Và khi hoàn thành bài học, lúc đó có thể tổng kết lại về những
phơng pháp để xét tính đơn điệu của hàm số, trong chừng mực nào đó có thể
nhắc đến quy luật phủ định của phủ định.
1.2.3. Các cặp phạm trù cơ bản của phép BCDV:
1.2.3.1. Cái riêng và cái chung:
Theo quan điểm của phép BCDV, nhận thức bắt đầu từ sự phản ánh
những sự vật, hiện tợng cụ thể của thế giới. Nhng trong quá trình so sánh giữa
những sự vật, hiện tợng này với những sự vật, hiện tợng khác; phân biệt chỗ
giống và khác nhau giữa chúng, nhận thức đi đến sự phân biệt cái riêng và cái
chung. Cái riêng là phạm trù dùng để chỉ một sự vật, một hiện tợng, một quá
trình riêng lẻ nhất định. Cái chung là phạm trù dùng để chỉ những mặt, những
thuộc tính chung không những có ở một kết cấu vật chất nhất định, mà còn đợc lặp lại trong nhiều sự vật, nhiều hiện tợng hay quá trình riêng lẻ khác nữa.


25

Giữa cái riêng và cái chung có mối quan hệ biện chứng với nhau. Cái

chung chỉ tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thông qua cái riêng; ngợc lại, cái
riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, bao hàm cái chung; cái riêng
là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận nhng sâu
sắc hơn cái riêng. V.I.Lênin viết: "Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đa
đến cái chung. Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng. Bất
cứ cái riêng (nào cũng) là cái chung (...). Bất cứ cái chung nào cũng chỉ bao
quát một cách đại khái tất cả mọi vật riêng lẻ. Bất cứ cái riêng nào cũng không
gia nhập đầy đủ vào cái chung, v.v... Bất cứ cái riêng nào cũng thông qua hành
nghìn sự chuyển hoá mà liên hệ với những cái riêng thuộc loại khác"([29]
-tr.29, tr. 381).
Toán học có lẽ là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung và
cái riêng. Sự sắp xếp chơng trình học Toán nói chung là dẫn dắt HS từ những
trờng hợp riêng rồi khái quát dần lên những cái chung nh từ số tự nhiên rồi
đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam giác vuông rồi đến tam giác thờng, từ
tam giác rồi đến tứ giác, từ hàm lợng giác các góc nhọn rồi đến hàm lợng giác
các góc suy rộng v.v... Khi làm bài tập, HS lại phải vận dụng những khái niệm
chung vào các trờng hợp riêng cụ thể cho từng bài.
Nói rộng ra thì phát minh lí thuyết có tầm cỡ trong lĩnh vực Toán học
luôn luôn là một sự mở rộng từ một "cái riêng" đã biết đến một hay nhiều "cái
chung" trớc đó cha ai biết, mà "cái riêng" đã biết chỉ là một trờng hợp đặc
biệt. Cũng có những phát minh chỉ là phát hiện ra một trờng hợp riêng trớc đó
cha ai biết của một cái chung đã biết. Trong lịch sử Toán học, có những bài
toán mà suốt hàng chục năm, có khi hàng trăm năm, công sức của bao thế hệ
các nhà Toán học chỉ mới giải đợc bài toán trong một số trờng hợp đặc biệt,
nghĩa là chỉ mới giải đợc một phần của bài toán. Lấy thí dụ bài toán sau đây:
" Chứng minh rằng phơng trình:
x n + yn = z n