Lời nói đầu
Trong các lớp môđun, lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh đợc
xem nh là hai trụ cột chính trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết
vành. Các kết quả về chúng không những đóng vai trò quan trọng trong lý
thuyết vành và môđun mà còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng
điều, tôpô đại số, đại số giao hoán Vì vai trò đặc biệt quan trọng của
chúng nên vấn đề mở rộng các lớp môđun này đợc rất nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu. Trong khoảng 30 năm qua lớp môđun nội xạ đợc mở
rộng theo nhiều hớng khác nhau và một hớng quan trọng là đa ra các lớp
môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, CS- môđun và (1 - C 1)- môđun. Các
kết quả theo hớng này đã đợc N.V. Dung - D.V. Huynh - Smith - Wisbauer
tổng kết lại trong quyển sách Extending modules (xem [4]). Theo hớng
này các nhà toán học tiếp tục đa ra lớp môđun giả nội xạ và đợc nghiên cứu
bởi Bharadwai - Tiwary (1982), Jain - Singh (1975), Tiwary - Pandeya
(1978), và gần đây là Dinh, López - Permouth.
Khoá luận nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ và giả xạ
ảnh là hai lớp môđun mở rộng của môđun tựa nội xạ và tựa xạ ảnh nhằm giải
quyết bài toán đặt ra: Những tính chất nào còn đúng trong hai lớp môđun mở
rộng và xem xét đặc điểm của căn Jacobson vành tự đồng cấu của môđun giả
nội xạ và giả xạ ảnh, mối liên hệ giữa hai lớp môđun này với các điều kiện
(C2), (D2).
Khoá luận đợc trình bày thành 3 chơng: Trong chơng I, chúng tôi hệ
thống khái niệm cơ bản thờng gặp trong khoá luận. Trong chơng II, chúng
tôi trình bày một cách hệ thống khái niệm và tính chất của môđun nội xạ và
môđun xạ ảnh. Trong chơng III, chúng tôi tập trung nghiên cứu các tính chất
của hai lớp môđun mở rộng nhằm giải quyết bài toán đã đặt ra.


2
Khi nghiên cứu về lớp môđun giả nội xạ và giả xạ ảnh, chúng tôi nhận
thấy hệ thống kiến thức của nó cha thực sự hoàn thiện nên còn đặt ra nhiều

bài toán sẽ hấp dẫn chúng tôi nghiên cứu trong thời gian tới nh:
Bài toán 1: Môđun giả nội xạ cần thoả mãn điều kiện gì để trở thành
môđun tựa nội xạ, nội xạ.
Bài toán 2: Môđun giả xạ ảnh cần thoả mãn điều kiện gì để trở thành
môđun tựa xạ ảnh, xạ ảnh.
Bài toán 3: Đặc điểm của môđun giả nội xạ và giả xạ ảnh trên các
vành đặc biệt nh: vành Noether, vành Artin, vành chuỗi
Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo - PGS.TS.
Ngô Sỹ Tùng, NCS.ThS. Lê Văn An và nhóm seminar Lý thuyết vành môđun. Nhân dịp này chúng tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với thầy và nhóm
seminar về những sự giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo và những góp ý thiết thực
cho chúng tôi trong quá trình hoàn thành khoá luận. Chúng tôi cũng xin cảm
on các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên đã động viên,
giúp đỡ chúng tôi hoàn thành khoá luận này.
Vì trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận chắc chắn còn nhiều
thiếu sót, rất mong sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khoá luận này đợc
hoàn thiện hơn.
Tác giả


3

Chơng I : các khái niệm cơ bản
Trong chơng này, chúng tôi đa ra những định nghĩa, các tính chất cơ
bản liên quan đến công trình. Các khái niệm, tính chất và ký hiệu cơ bản
chúng tôi dựa chủ yếu vào các tài liệu: F.W. Anderson and K.R. Fuller [2];
S.H. Mohamed and B.J. Muller [6].
Các vành luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị và các môđun
trên một vành luôn đợc hiểu là môđun phải unita.
1.1. Môđun con cốt yếu và môđun con đóng
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành và M là một R-môđun phải. Xét

N là môđun con của M.
a) Môđun con N đợc gọi là cốt yếu (essential) trong M và ký hiệu

N e M , nếu với mọi môđun con K M , K 0 thì K N 0 . Nếu N là
môđun con cốt yếu của M, ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential
extension) của N.
b) Môđun con N đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có
một mở rộng cốt yếu thực sự. Nói cách khác, N gọi là đóng trong M nếu với
mọi môđun con K của M mà N e K thì K = N.
c) Môđun con K của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con
N trong M nếu K là môđun tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K.
d) Môđun con B của M đợc gọi là bé (small) trong M (hay là đối cốt
yếu) trong M và ký hiệu B << M, nếu với mọi môđun con L của M, L M
thì B + L M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M.


4
Tính chất 1.1.2. Cho M, N là các R-môđun phải với N M .
a) Bao đóng của một môđun con N trong môđun M luôn tồn tại (xem
[6. tr.19]).
b) Nếu N đóng trong K, K đóng trong M thì N đóng trong M (xem
[6. tr.20]).
Tính chất 1.1.3.
a) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C và A e M
thì B e C .
b) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C và B << C
thì A << M.
Chứng minh
a) Giả sử 0 N C . Suy ra 0 N M . Do A e M nên ta có
N A 0. Mặt khác N A N B . Suy ra N B 0. Vậy ta có B e C .

b) Giả sử N M sao cho N + A = M . Ta sẽ chứng minh N = M .
Thật vậy, từ N + A = M N + B = M . Theo luật modula ta có:
N C + B = C. Theo giả thiết B << Cnên N C = C , suy ra C N .
Ta có N + A = N N = M .
1.2. Đồng cấu môđun
Định nghĩa 1.2.1. Cho hai môđun M và N. Một đồng cấu R- môđun
hay một ánh xạ tuyến tính f : M N là ánh xạ thoả mãn các điều kiện:
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )
f ( xr ) = f ( x)r
với mọi x, y M và với mọi r R .
- Nếu M = N thì đồng cấu f đợc gọi là tự đồng cấu.
- Nếu f là đơn ánh (tơng ứng toàn ánh và song ánh) thì f đợc gọi là
đơn cấu (tơng ứng toàn cấu và đẳng cấu).
Ký hiệu:


5
Im f = f (M)
Ker f = { x M : f ( x) = 0}
Định lý 1.2.2. Mỗi đồng cấu môđun f : A B có sự phân tích:

f

A



B

'

A/ Kerf

Trong đó : A A / Kerf là toàn cấu tự nhiên; ' là một đơn cấu.
Định nghĩa 1.2.3. Cho hai môđun M và N.
a) Đơn cấu : M N đợc gọi là chẻ ra (split) nếu Im là hạng tử trực
tiếp của môđun N.
b) Toàn cấu : M N đợc gọi là chẻ ra nếu Ker là hạng tử trực
tiếp của môđun M.
Tính chất 1.2.4. Cho hai môđun M và N. Khi đó:
a) Đồng cấu : A B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng
cấu : B A sao cho = id . Khi đó B = Im Ker .
A

b) Đồng cấu : B C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng
cấu : C B sao cho = id . Khi đó B = Ker Im .
C

Chứng minh
a) Giả sử : A B là đơn cấu chẻ ra. Khi đó B = Im B . Do mỗi
1

phần tử b B viết đợc duy nhất dới dạng (a ) + b , a A, b B , và do là
1

đẳng cấu giữa A và Im nên tơng ứng

:B A
(a ) + b a
1


là một đồng cấu. Rõ ràng = id .
A

1

1


6
Ngợc lại, giả sử tồn tại đồng cấu : B A sao cho = id . Khi đó
A

là đơn cấu. Lấy b B tuỳ ý. Suy ra (b (b)) = 0 , nghĩa là
b (b) = b Ker . Vậy B = Im + Ker .
1

Lấy phần tử a Im Ker . Suy ra tồn tại x A sao cho ( x) = a
và 0 = ( a) = ( ( x)) = x a = 0.
Vậy B = Im Ker .
ab) Giả sử đồng cấu : B C là toàn cấu chẻ ra thì B = Ker B . Xét
1

đồng cấu = : B C và phép nhúng chính tắc à : B B ta có:
1

B1

1

1


= à : C B, thoả mãn = id .
1

C

Ngợc lại, nếu tồn tại đồng cấu : C B sao cho = id thì là đơn
C

cấu và là toàn cấu. Từ đó ta có B = Ker Im .
1.3. CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun đều,
môđun không suy biến
Cho M là một R-môđun phải. Ta xét các điều kiện sau:
(C1) Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của
M. Nói cách khác mọi môđun con đóng trong M đều là hạng tử trực tiếp của M.
(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là
hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.
(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A B = 0 thì

A B cũng là hạng tử trực tiếp của M.
Định nghĩa 1.3.1.
a) Một môđun M đợc gọi là CS-môđun (hay extending), nếu M thỏa
mãn điều kiện (C1).
b) Một môđun M đợc gọi là liên tục (continuous), nếu M thỏa mãn
điều kiện (C1) và (C2).
c) Một môđun M đợc gọi là tựa liên tục (quasi-continuous), nếu M
thỏa mãn điều kiện (C1) và (C3).


7

Tính chất 1.3.2. [6. Proposition 2.2] Một môđun thỏa mãn điều kiện
(C2) thì cũng thỏa mãn điều kiện (C3).
Định nghĩa 1.3.3.
a) Môđun U đợc gọi là môđun đều (uniform) nếu U 0 và A B 0
đối với mọi môđun con khác không A, B của U.
e
b) Tập hợp Z R (U ) = { x U : rR ( x ) R} đợc gọi là môđun con suy

biến của U.
Nếu Z R (U ) = 0 ta nói rằng U là môđun không suy biến.
1.4. Căn của vành
Định nghĩa 1.4.1. Cho vành R và môđun M
a) Căn của môđun M là giao của tất cả các môđun con tối đại của M
và ký hiệu Rad (M).
b) Cho vành R ta gọi căn Jacobson của R là căn của môđun RR và ký
hiệu J(R). Tức là J(R) = Rad (RR).
Tính chất 1.4.2. Cho vành R và A là một iđêan phải của vành R. Khi
đó, các mệnh đề sau là tơng đơng:
a) A Rad(RR).
b) Với mỗi r A, 1-r khả nghịch bên phải.
c) Với mỗi r A, 1- r khả nghịch.


8

Chơng II: Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

Đ1. Môđun nội xạ
1.1. Định nghĩa
Cho vành R và A là R-môđun phải


X

a) Môđun M đợc gọi là A-nội xạ (A-injective) nếu





với mọi môđun con X của A, mỗi đồng cấu : X M đều



M

có thể mở rộng tới đồng cấu : A M.

Trong khoá luận này, chúng tôi còn sử dụng định nghĩa khác tơng đơng với định nghĩa trên nh sau:
Môđun M đợc gọi là A-nội xạ nếu với mọi môđun con X của A, mỗi
đồng cấu : X M và đơn cấu : X A, đều tồn tại đồng cấu : A M
sao cho = .
b) Môđun M đợc gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu M là M-nội xạ.
c) Môđun M đợc gọi là nội xạ (injective) nếu M là A-nội xạ với mọi
môđun A.
1.2. Bổ đề. Nếu M là môđun A-nội xạ thì mọi đơn cấu f : M A là
chẻ ra.
Chứng minh.
Ta có Im f A . Xét phép nhúng chính
tắc i : Im f A và đồng cấu:


Im f
f'

f ': Im f M
f ( m) m

i

A



M

Do M là môđun A-nội xạ nên tồn tại đồng cấu : A M sao cho i = f '.

A


9
Ta có f : A A , f ( m) = m với mọi m A hay f = id .
A

Vậy đơn cấu f : M A là chẻ ra.
1.3. Bổ đề: [6. Proposition 1.3] Nếu M là môđun A-nội xạ, B là môđun
con của A thì M là môđun B-nội xạ và A/B-nội xạ.

Ai -nội xạ nếu và chỉ
1.4. Bổ đề: [6. Proposition 1.5] Môđun M là
iI

nếu M là Ai-nội xạ với mọi i I.
1.5. Định lý: Cho họ môđun {M : I} . Khi đó các mệnh đề sau là
tơng đơng:

M là A-nội xạ.
a)
I
Mi là A-nội xạ với mọi tập con J I.
b)
iJ
1.6. Định nghĩa
a) Bao nội xạ (injective hull) của R-môđun phải N, ký hiệu E(N) là
một môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của N.
b) Các môđun phải M và N đợc gọi là nội xạ lẫn nhau (relatively
injective) nếu M là N-nội xạ và N là M-nội xạ.
1.7. Tính chất: Bao nội xạ E(N) luôn luôn tồn tại với mọi môđun N.
1.8. Bổ đề: [6. Lemma 1.13] Môđun M là A-nội xạ nếu và chỉ
nếu (A) M với mọi Hom (E(A); E(M)).
1.9. Bổ đề: [6. Corollary 1.16] Cho 2 môđun A và B nội xạ lẫn nhau.
Nếu E(A) E(B) thì với mỗi đẳng cấu E(A) E(B) cảm sinh một đẳng cấu
A B . Hơn nữa, A và B là môđun tựa nội xạ.
1.10. Mệnh đề: [6. Proposition 1.17] Môđun M1 M2 là tựa nội xạ
nếu và chỉ nếu M1, M2 nội xạ lẫn nhau.
1.11. Mệnh đề: [6. Proposition 2.1] Một môđun tựa nội xạ thì thỏa mãn
điều kiện (C1) và (C2).
Từ Định nghĩa 1.5.1, Mệnh đề 1.5.11, Tính chất 1.3.2 ta có phép kéo
theo sau đây:


10

Nội xạ => Tựa nội xạ => Liên tục => Tựa liên tục => CS
Vành R đợc gọi là chính quy theo nghĩa Von-Neuman nếu với mọi
r R tồn tại s R sao cho r = srs.
1.12. Định lý: Cho M là môđun liên tục và S = End(M). Khi đó:
i) J ( S ) = { S : Ker e M} .
ii) S / J ( S ) là vành chính quy theo nghĩa Von-Neuman.
Chứng minh
Đặt = { S : Ker e M} . Dễ dàng kiểm tra đợc là một
iđêan của vành S. Ta sẽ chứng minh S / là vành chính quy theo nghĩa
Von - Neuman.
Xét đồng cấu S bất kỳ và đặt K = Ker. Giả sử L là môđun con
tối đại trong M thỏa mãn K L = 0. Do M thỏa mãn điều kiện (C1) nên L là
hạng tử trực tiếp của M. Từ đó, ta có L là một đơn cấu. Môđun M liên tục
nên M thỏa mãn điều kiện (C2), suy ra ( L ) M . Từ đó tồn tại S sao
cho = idL.
Khi đó ( - )(K L) =( - )(L)=0. Suy ra

K L Ker ( ) . Từ đó Ker ( ) e M .
Vậy - và do đó S/ là vành chính quy theo nghĩa Von Neuman.
Dễ dàng suy ra J ( S ) .
Ta xét bất kỳ. Dễ dàng kiểm tra đợc Ker Ker (1 ) = 0 và

Ker e M . Từ đó Ker (1 ) = 0 . Do M thỏa mãn điều kiện (C2) nên
(1 )( M ) M . Hơn nữa (1 )( M ) e M vì Ker (1 )( M ) . Do
đó, (1 )( M ) = M .


11
Vậy 1 là phần tử khả nghịch trong S nên J ( S ) . Suy ra


J (S ) .
Vậy ta có J ( S ) = . Định lý đợc chứng minh.

Đ2. Môđun xạ ảnh
2.1. Định nghĩa
a) Môđun N đợc gọi là A-xạ ảnh (A-projective)
nếu với mọi môđun con X của A, mỗi đồng cấu

N





: N A/X đều có thể nâng tới đồng cấu : N A.

A
A/X
b) Môđun N đợc gọi là tựa xạ ảnh (quasi-projective) nếu N là N-xạ

ảnh.
c) Môđun N đợc gọi là xạ ảnh (projective) nếu N là A-xạ ảnh với mọi
môđun A.
2.2. Định nghĩa
Cho M là một R-môđun phải. Ta xét các điều kiện sau:
(D1) Với mọi môđun con bất kỳ A của M có một sự phân tích M = M1 M2
sao cho M1 A và A M2 << M.
(D2) Nếu A là môđun con của M sao cho M / A đẳng cấu với một
hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M.
(D3) Nếu M1 và M2 là các hạng tử trực tiếp của M tức là M=M1+M2

thì M1 M2 cũng là hạng tử trực tiếp của M.
2.3. Tính chất: [6. Lemma 4.6] Một môđun thỏa mãn điều kiện (D2)
thì cũng thỏa mãn điều kiện (D3).
2.4. Bổ đề: [6. Lemma 4.30] Nếu N là môđun A-xạ ảnh thì mọi toàn
cấu f : A N là chẻ ra. Trong trờng hợp đặc biệt, A không phân tích đợc thì
f là đẳng cấu.


12
2.5. Mệnh đề: [6. Proposition 4.31] Cho môđun N là A-xạ ảnh. Nếu B
là môđun con của A thì N là B-xạ ảnh và A/B-xạ ảnh.
2.6. Mệnh đề: [6. Proposition 4.32] Một tổng trực tiếp
M là A-xạ
I
ảnh nếu và chỉ nếu M là A-xạ ảnh với mọi I.
n

2.7. Mệnh đề: [6. Proposition 4.33] Một môđun N là Ai-xạ ảnh
i=1

(n) nếu và chỉ nếu N là Ai-xạ ảnh; i = 1, 2, n.
2.8. Hệ quả: [6. Crollary 4.36] Hạng tử trực tiếp của môđun xạ ảnh
cũng là một môđun xạ ảnh.
Chứng minh. Đợc suy ra từ Định nghĩa 2.1 và Mệnh đề 2.6.
2.9. Mệnh đề: [6. Proposition 4.38] Một môđun tựa xạ ảnh thì thỏa
mãn điều kiện (D2).
Chứng minh. Đợc suy ra từ Hệ quả 2.5.
Từ Định nghĩa 2.1, Tính chất 2.2, Mệnh đề 2.9 ta có phép kéo theo sau
đây:
Xạ ảnh Tựa xạ ảnh (D2) (D3)



13

Chơng III: Môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh

Đ1. Môđun giả nội xạ
1.1. Định nghĩa
Môđun N đợc gọi là M - giả nội xạ (M-pseudo
-injective) nếu mọi môđun con A của M, mọi đơn cấu

A



M



: A N đều có thể mở rộng tới đồng cấu : M N.
Môđun N đợc gọi là giả nội xạ (pseudo injective)

N

nếu N là N-giả nội xạ.
Các môđun M và N đợc gọi là giả nội xạ lẫn nhau nếu M là N-giả nội
xạ và N là M-giả nội xạ.
Nhận xét: Môđun giả nội xạ là lớp môđun mở rộng thực sự của
môđun tựa nội xạ.
1.2. Mệnh đề. [3.Proposition 2.1]

(1) Nếu N là môđun M - giả nội xạ thì mọi đơn cấu f : N M là chẻ ra.
(2) Môđun N là môđun nội xạ nếu và chỉ nếu N là M-giả nội xạ với
mọi môđun M.
(3) Nếu N là môđun M - giả nội xạ thì N là môđun A - giả nội xạ với
A là môđun con bất kỳ của M.
(4) Mọi hạng tử trực tiếp của môđun M - giả nội xạ cũng là môđun M
- giả nội xạ.


14
(5) Nếu N là M - giả nội xạ thì (M) là môđun con của N với mọi đơn
cấu : E ( M ) E ( N ) . Đặc biệt, nếu P là môđun giả nội xạ thì ( P) P
với mọi đơn cấu End ( E ( P )) .
(6) Nếu A và B là các môđun giả nội xạ lẫn nhau và E ( A) E ( B ) thì
mỗi đẳng cấu E ( A) E ( B ) cảm sinh một đẳng cấu A B . Hơn nữa, A và
B là các môđun giả nội xạ.
Chứng minh

i

f(N)

(1) Giả sử f : N M là một đơn cấu. Khi đó

M
f

g

f ( N ) N , giả sử g : f ( N ) N là ánh xạ ngợc của

f. Ta có f ( N ) M và N là M-giả nội xạ nên tồn tại

N

đồng cấu f sao cho g = f ' i . Do cách xác định g nên ta có ff=f(if)=gf=idN.
Theo Tính chất 1.2.2 ta có đơn cấu f là chẻ ra.
(2) Chiều thuận đợc suy ra từ Định nghĩa.
Chiều nghịch: Giả sử N là M-giả nội xạ với mọi môđun M. Theo
chứng minh trên ta có mọi đơn cấu f : N M là chẻ ra, suy ra N là môđun
nội xạ.
(3) Giả sử X là môđun con của môđun A
và f : X N là một đơn cấu. Do N là M-nội xạ
nên tồn tại đồng cấu g : M N là mở rộng của f.

X

A

Xét đồng cấu f ' = g A : A N . Dễ thấy f là

g

f

f

M

N


đồng cấu mở rộng của f, suy ra N là A-giả nội xạ.
(4) Giả sử N là M-giả nội xạ và N = A A ' ta
sẽ chứng minh A là môđun M-giả nội xạ. Giả sử X là
một môđun con của M và đơn cấu f : X A . Ta xây

X
f

f*
A

dựng đồng cấu g nh sau: g : X N .
x ( f ( x);0)

M

N

g*


15
Dễ thấy g là đơn cấu. Do N là M-giả nội xạ
nên tồn tại đồng cấu g * : M N là mở rộng của đơn cấu g.
Xét f * = g * p A trong đó p A : N A là phép chiếu lên môđun A. Từ
cách xây dựng ta có f * chính là đồng cấu mở rộng của đơn cấu f .
Vậy môđun A là M-giả nội xạ.

(5) Xét N là môđun M-giả nội xạ và đơn cấu


: E ( M ) E ( N ) . Đặt X = { m M : (m) N } .

X


X

M


Dễ dàng kiểm tra đợc X là môđun con của môđun M.
Từ cách xây dựng X ta có đồng cấu

X

là đơn cấu mà

N

N là M-giả nội xạ nên tồn tại đồng cấu : M N là mở rộng của X .
Ta sẽ chứng minh N ( )( M ) = 0 . Thật vậy, ta lấy n N và
m M sao cho ( )(m) = n , suy ra (m) = n + (m) nên m X . Ta có
n = (m) (m) = 0 . Vậy N ( )( M ) = 0 .
Mặt khác N e E ( N ) nên ( )( M ) = 0 , suy ra ( M ) = ( M ) N .
(6) Xét đẳng cấu f : E ( A) E ( B) . Khi đó theo (5) thì f ( A) B và
f 1 ( B) A , suy ra A B .
Ta có A là B-giả nội xạ và A B nên A là A-giả nội xạ. Suy ra A và B
là các môđun giả nội xạ.
Định lý đợc chứng minh.
1.3. Định lý. [2. Theorem 2.2] Nếu M1 M2 là môđun giả nội xạ thì

M1, M2 nội xạ lẫn nhau.
Chứng minh
Do M 1 M 2 là môđun giả nội xạ nên theo (3) M 1 M 2 là M2-giả nội
xạ. Giả sử A là môđun con của M2 và đồng cấu f : A M 1 .


16
Ta xây dựng đồng cấu g nh sau:

A

g : A M1 M 2 .

f

a f (a) + a
Dễ thấy g là đơn cấu, do đó tồn tại đồng cấu
g : M 2 M 1 M 2 là mở rộng của g. Khi đó

M1

M2
f*
g*

g

*

f = p g : M M với p là phép chiếu tự nhiên

*

*

M1

2

1

M1 M 2

M1

từ M M lên M , ta có f mở rộng của đồng cấu f. Vậy M1 là M2-nội xạ,
*

1

2

1

suy ra M1 và M2 là nội xạ lẫn nhau.
Định lý đợc chứng minh.
1.4. Định lý. Môđun giả nội xạ thì thoả mãn điều kiện (C2).
Chứng minh
Giả sử M là môđun giả nội xạ, A và B là các môđun con của M, đẳng
cấu với nhau và A là một hạng tử trực tiếp của M. Ta sẽ chứng minh B cũng
là một hạng tử trực tiếp của M.

Xét đẳng cấu f : A B . Ta có M là giả nội xạ nên A là M-giả nội xạ.
Do f là đẳng cấu nên f là đơn cấu từ A M . Theo Mệnh đề 1.2 ta có f là
đơn cấu chẻ ra hay f(A)=B là hạng tử trực tiếp của M.
Vậy M thoả mãn điều kiện (C2). Định lý đợc chứng minh.
1.5. Hệ quả: Một môđun giả nội xạ và CS thì liên tục.
Chứng minh. Đợc suy ra từ Định nghĩa 1.3.1 và Định lý 1.4.
Từ Tính chất 1.3.2, Định nghĩa 1.5.1, Định nghĩa 1.1 và Định lý 1.3 ta
có phép kéo theo sau đây:
Giả nội xạ



(C2) (C3)


Nội xạ Tựa nội xạ

Giả nội xạ + CS Liên tục Tựa liên tục CS


17
1.6. Định lý. Cho M là môđun giả nội xạ và E = End (M). Khi đó:
e
i) J ( E ) = { E / Ker M } .

ii) E/J(E) là vành chính quy theo nghĩa Von - Neuman.
Chứng minh
(i) Ta xét đồng cấu E và Ker M . Ta cần chứng minh
e


J ( E ) . Thật vậy, ta có Ker Ker (1 ) =0. Theo giả thiết ta có Ker
e M nên Ker (1 ) = 0 , suy ra (1 ) là đơn cấu. Theo Mệnh đề 1.2 thì
(1 ) là chẻ ra, Im(1 ) M . Mặt khác, Ker Im(1 ) nên
Im(1 ) e M .
Do đó Im(1 ) = M , nghĩa là (1 ) là đẳng cấu. Từ đó ta có

J ( E ) suy ra { E : Ker e M } J ( E ) .
Bây giờ lấy f J ( E ) ta sẽ chứng minh Kerf e M . Giả sử K M
sao cho K Kerf = 0 . Xét đồng cấu f/ là hạn chế của f trên môđun con K
của M.
Dễ thấy f là đơn cấu. Do M là môđun giả nội xạ nên tồn tại đồng
cấu g : M N sao cho gf/ = 1. Suy ra (1- gf/ )(k) = 0 với mọi k K .
Mặt khác f J ( E ) nên 1- gf khả nghịch.

f

K

Do đó Ker (1 gf ) = 0 , K Ker (1 gf )
suy ra K = 0 . Vậy J ( E ) { E / Ker M } .
e

e
Vậy ta có J ( E ) = { E / Ker M } .

M
g

i
M


(ii) Từ kết quả trên ta dễ dàng chứng minh đợc J ( E ) là một iđêan của
vành E. Xét + J ( E ) là một phần tử bất kỳ của vành E / J ( E ) ta cần chứng
minh tồn tại + J ( E ) E / J ( E ) sao cho + J ( E ) = + J ( E ) hay

J ( E ) .

i
M
(L)
Đặt K = Ker và L là môđun con tối đại của M sao cho K L = 0 . Xét

đồng cấu f đợc xây dựng nh sau:

f


M


18
f : ( L) M . Dễ thấy f là đơn cấu.

( x) a x
Do M là môđun giả nội xạ và f là đơn cấu
nên f có thể mở rộng tới đồng cấu .
Xét phần tử x L thì ( )( x) = ( x) ( x) = 0 .
Do đó L Ker ( ) . Hơn nữa, rõ ràng K Ker ( ) . Từ đó
suy ra K L M . Do tính chất tối đại của K nên K L e M suy ra
Ker ( ) e M .

Vậy ta có J ( E ) suy ra E / J ( E ) là vành chính quy theo
nghĩa Von - Neuman.
Định lý đợc chứng minh.
1.7. Mệnh đề. Một môđun đều, không suy biến và giả nội xạ là môđun tựa
nội xạ.
Chứng minh
Giả sử U là môđun giả nội xạ, không suy biến, đều và V là một môđun
con của U, đồng cấu f : V U . Do U là môđun không suy biến và đều nên
Ker(f) chỉ có thể bằng không hoặc Ker(f)=V. Nếu Ker(f) = V thì hiển nhiên f
có thể mở rộng thành một đồng cấu từ U U . Nếu Ker(f)=0 thì f là đơn cấu
mà U là môđun giả nội xạ nên có thể mở rộng f thành một đồng cấu từ
U U .
Vậy U là môđun tựa nội xạ. Định lý đợc chứng minh.


19

Đ2. Môđun giả xạ ảnh
2.1. Định nghĩa

N

Môđun N đợc gọi là A - giả xạ ảnh (A-pseudo



-projective) nếu với mọi môđun con X của A, mỗi toàn
cấu : N A / X có thể đợc nâng lên thành đồng cấu




A

A/X

: N A.
Môđun N đợc gọi là giả xạ ảnh (pseudo-projective) nếu N là N-giả xạ
ảnh.
Các môđun M và N đợc gọi là xạ ảnh lẫn nhau nếu M là N-xạ ảnh và
N là M-xạ ảnh.
Nhận xét: Môđun giả xạ ảnh là lớp môđun mở rộng thực sự của
môđun tựa xạ ảnh.
2.2. Mệnh đề.
(1) Nếu N là M - giả xạ ảnh thì mọi toàn cấu f : M N là chẻ ra.
(2) Môđun N là xạ ảnh nếu và chỉ nếu N là M- giả xạ ảnh với mọi môđun
M.
(3) Nếu N là M - giả xạ ảnh thì N là M/X - giả xạ ảnh với X là môđun
con của M.
(4) Mọi hạng tử trực tiếp của môđun M - giả xạ ảnh cũng là môđun
M - giả xạ ảnh.
(5) Môđun N là M - giả xạ ảnh thì N cũng là A - giả xạ ảnh với A là
hạng tử trực tiếp của M.

N

Chứng minh


M





M/Kerf


20
(1) Giả sử f : M N là một toàn cấu.
Ta xây dựng đồng cấu nh sau:

: N M / Kerf

Với f ( m) = n .

n a m + Kerf
Từ cách xây dựng trên dễ thấy là toàn cấu. Do N là M-giả xạ ảnh nên có
thể nâng tới đồng cấu : N M sao cho = . Ta chứng minh f = id N
.
Lấy n N khi đó (n) = (n) = m + Kerf nên (n) m Ker f
tức là f ( ( n) m) = 0 . Suy ra f (n) = f (m) = n .
Vậy f = id N . ta có f là chẻ ra.
(2) Chiều thuận: Đợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Chiều nghịch: Do N là môđun M-giả xạ ảnh nên theo chứng minh
trên, mọi toàn cấu f : M N là chẻ ra. Từ đó suy ra N là môđun xạ ảnh.
(3) Gọi f : N M / X K / X là một toàn cấu.
Rõ ràng, tồn tại một đẳng cấu
g :M / X

K/X


h

M /K .

Do đó gf là toàn cấu và N là

N

M

1

M-giả nội xạ nên tồn tại đồng cấu

f

k



2 M
M/X
g12
g

/X

M/K

h : N M sao cho gf = ( g 1 2 )h

mà g là đẳng cấu nên

N = A A'

f = 1 2 h = 1k (đặt k = 2 h ).

2

Vậy N là M/X - giả xạ ảnh.
h

(4) Giả sử N = A A ' . Ta sẽ

A

chứng minh A là M-giả xạ ảnh.
Xét các toàn cấu
f :AM /X .

1 : M M / X

f
M

1

M/X

K/X



21

2 : A A' A .
Dễ thấy f 2 là toàn cấu. Do N là M-giả xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h sao
cho 1h = f 2 . Đặt h* = h A : A M . Ta có: Với a A bất kỳ thì

1h * (a ) = 1h(a ) = f 2 ( a) = f (a ) vậy f đợc nâng tới đồng cấu h*. Suy ra A là
M-giả xạ ảnh.
(5) Giả sử N là M-giả xạ ảnh và M = A B . Ta sẽ chứng minh N là
A-giả xạ ảnh.
Giả sử f : N A / X là một toàn cấu. Do M = A B nên A M / B .
Gọi g là một đẳng cấu từ A lên M/B và g là

N
h

đẳng cấu cảm sinh từ A/X lên M/B/g(X).
Dễ thấy g f là toàn cấu. Do N là M/B-giả

A

1

h : N M / B sao cho 2 h = g f .
*

Đặt h = g 1h* : N A . Ta có:

A/X


*

h

xạ ảnh (theo 3) nên tồn tại đồng cấu
*

f

g

g

2

M/B

M/B/g(X)

2 h* = 2 gg 1h* = 2 gh = g f . Suy ra 1h = f . Vậy N là A-giả xạ ảnh.
Định lý đợc chứng minh.
2.3. Định lý. Nếu M 1 M 2 là môđun giả xạ ảnh thì M1, M2 xạ ảnh lẫn nhau.
Chứng minh
Ta cần chứng minh M1 là M2 -xạ ảnh. Giả sử
f : M 1 M 2 / X là một đồng cấu. Ta xây dựng
đồng cấu g nh sau:
g : M1 M 2 M 2 / X .

M2


M2/X

M1 M2

Dễ thấy g là toàn cấu. Vì M 1 M 2 là giả xạ

sao cho g = g * . Đặt f * = g * / M 1 .

M1



m1 + m2 a f (m1 ) + m2 + X

ảnh nên tồn tại đồng cấu g * : M 1 M 2 M 2

f

f*

g*
M2



g
M2/X



22
Với m1 M 1 bất kỳ ta có: f * (m1 ) = g * (m1 ) = g (m1 + 0) = f (m1 ) .
Vậy M1 là M2 - xạ ảnh. Định lý đợc chứng minh.
2.4. Định lý. Nếu M là môđun giả xạ ảnh thì M thỏa mãn điều kiện (D2).
Chứng minh
Do M là giả xạ ảnh nên M là M-giả xạ ảnh. Giả sử X M và
M / A X . Khi đó X là M-giả xạ ảnh (theo Mệnh đề 2.2). Suy ra M/A cũng
là M-giả xạ ảnh.
Xét toàn cấu tự nhiên : M M / A thì là chẻ ra. Suy ra A M .
Định lý đã đợc chứng minh.
2.5. Định lý. Cho M là môđun giả xạ ảnh và E = End (M). Khi đó:

J ( E ) = { E : Im e M } .
Chứng minh
Xét E : Im e M . Ta sẽ chứng minh J ( E ) bằng cách
e
chứng minh ( E ) E .

Thật vậy, giả sử AS S sao cho A + ( E ) = E . Ta thấy 1 = s + g
với s E , g A . Suy ra M = s ( M ) + g ( M ) . Do s ( M ) Im nên ta
có M Im + g ( M ) M , suy ra Im + g ( M ) = M , g ( M ) = M . Đồng
cấu g là toàn cấu, mà M là mô đun giả xạ ảnh nên g là chẻ ra và tồn tại đồng
cấu h sao cho 1 = gh A . Suy ra A = E .
Ngợc lại, ta xét J ( E ) , ta sẽ chứng minh Im e M .
Đặt K + Im = M . Xét toàn cấu : M M / K với : M M / K
là toàn cấu chính tắc. Do M là giả xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu g : M M sao cho

g = . Suy ra (1 g ) = 0 . Vì J ( E ) nên 1 g là khả nghịch, từ
đó suy ra = 0 , K = M .


e
Vậy ta có J ( E ) = { E : Im M }

Định lý đợc chứng minh.


23

kết luận
Khoá luận đã nghiên cứu các tính chất cơ bản của môđun giả nội xạ và
giả xạ ảnh. Các kết quả chính khoá luận đã đạt đợc nh sau:
1. Chỉ ra đặc điểm các phần tử của căn Jacobson J(E) với E là vành tự
đồng cấu của một môđun nội xạ và chỉ ra sự chính quy theo nghĩa Von Neuman của vành thơng E/J(E).
2. Chứng minh đợc một môđun giả xạ ảnh thì thoả mãn điều kiện (D 2)
và từ đó thoả mãn điều kiện (D 3). Chúng tôi cũng chỉ ra đợc đặc điểm các
phần tử của J(E) với E là vành tự đồng cấu của một môđun giả xạ ảnh.


24
Tài liệu tham khảo
[1] A. Ala Ahmadi, N. Er and S.K. Jain, Modules which are invariant
under monomorphism of their injective hulls, J. Australian Math. Soc 79
(2005), 349 - 360.
[2] F.W. Andersons and Fuller, Rings and Catergories of Modules,
Graduate Texts in Math. No 13, Springer-Verlag, New York, Heidelberg,
Berlin, 1974.
[3] H.Q. Dinh, A note on pseudoinjective modules, Comm. Algebra
33(2005), 361- 369.
[4] N.V. Dung, D.V. Huynh, P.F. Smith and R. Wisbauer, Extending
modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman,

Harlow, UK,1994.
[5] S.K. Jain and S. Singh, Quasi-injective and pseudo-injective
modules, Canada Math. Bull.Vol.18(3).1975.
[6] S.H. Mohamed and B.J. Muller, Continuous and Discrete
Modules, London Math. Soc.Lecture Notes Series147, Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 1990.
[7] R. Wisbauer, Foundations of Modules and Ring Theory, Gordon
and Breach, Reading, 1991.
[8] Lê Văn An - Nguyễn Thị Đức Hiền, Một số kết quả về môđun giả
nội xạ và giả xạ ảnh, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, Tập XXXV, số
4A(2006).
[9] Ngô Sỹ Tùng - Lê Văn An - Nguyễn Thị Đức Hiền, Môđun giả
nội xạ và môđun (1 - C1), ứng dụng để đặc trng vành; preprint 2007.
[10] Nguyễn Thị Đức Hiền, Một số kết quả về môđun giả nội xạ và
giả xạ ảnh, Đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học cấp Bộ, 2006.


25