Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh
----------------------

Trần tố cÈm

Ph¸t triĨn t duy to¸n häc cđa häc sinh

kh¸, giái trong dạy học đại số ở trờng thcs

chuyên ngành: lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán
mà số: 60.14.10

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Ngời hớng dẫn khoa học: TS. nguyễn văn thuận

vinh - 2011

1


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .........................................................................................................
..............................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài............................................................................................
..............................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................
..............................................................................................................3
3. Đối tượng nghiên cứu.......................................................................3

4. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................3
6. Giả thiết khoa học...................................................................................

4

7. Dự kiến đóng góp của đề tài.............................................................4
8. Cấu trúc của luận văn....................................................................................
..............................................................................................................5
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN............................................ 5
1.1.Tư duy..........................................................................................................5
1.1.1. Khái niệm....................................................................................5
1.1.2. Những đặc trưng của tư duy.......................................................6
1.1.3. Đặc điểm của tư duy...................................................................8
1.1.4. Tác dụng của tư duy.................................................................11
1.1.5. Các loại hình tư duy..................................................................11
1.2. Tư duy tốn học...........................................................................15
1.2.1. Khái niệm.................................................................................15
1.2.2. Vai trị của tư duy tốn học.......................................................15
1.2.3. Những thành phần của tư duy tốn học....................................16
1.3. Tình hình rèn luyện, phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi trong
dạy học đại số ở trường trung học cơ sở. Nguyên nhân....................18

2


1.3.1. Tình hình rèn luyện phát triển tư duy tốn học của học sinh khá, giỏi trong
dạy học đại số ở trường trung học cơ sở nội tại.................................18
1.3.2. Nguyên nhân.............................................................................18
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TƯ DUY

TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ Ở
TRƯỜNG THCS ........................................................................20
2.1. Biện pháp 1: Khai thác triệt để những tình huống có thể rèn luyện cho học
sinh khả năng suy diễn........................................................................20
2.2. Biện pháp 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh năng lực kết hợp hữu cơ giữa
dự đốn và suy diễn trong q trình giải quyết vấn đề............................27
2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh biết tiến hành việc phân chia các trường
hợp riêng trong q trình giải Tốn.....................................................38
2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh năng lực liên tưởng và huy động kiến
thức trong quá trình tìm kiếm cách giải quyết vấn đề............................50
2.5. Biện pháp 5: Sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh
chiếm lĩnh tri thức. Đồng thời, rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng sử dụng
phương tiện này trong quá trình giải Toán..........................................57
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.................................................................61
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.....................................................62
3.1. Mục đích thực nghiệm..................................................................62
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm................................................62
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm................................................................62
3.2.2. Nội dung thực nghiệm...............................................................63
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.....................................................65
3.3.1. Đánh giá định tính.....................................................................65
3.3.2. Đánh giá định lượng..................................................................67
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm................................................................74
KẾT LUẬN..........................................................................................75
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................76
3


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:

Đất nước ta đang trên đường đổi mới, cần có những con người phát triển toàn diện,
năng động vá sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi
sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp
giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới
phương pháp dạy học trong đó có phương pháp dạy học bộ mơn tốn.
Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt
Nam ( Khóa VIII, 1997 ) khẳng định: “… Phải đổi mới phương pháp giáo dục và đào tạo,
khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học
…”.
Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam, điều 24.2 đã ghi “…
Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo
của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp
tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”.
Nhận định về phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thơng trong những năm gần
đây, các nhà tốn học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết: “…Kiến thức, tư duy, tính
cách con người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường tư
duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức…”. Từ năm 2002, mơn Tốn THCS được đổi
mới về chương trình, về sách giáo khoa, về phương pháp dạy học, về kiểm tra đánh giá.
Tuy nhiên, thực trạng dạy và học Toán ở các trường Trung học cơ sở hiện nay vẫn còn
cách dạy người thầy đưa ra kiến thức ( khái niệm, định lý ) rồi giải thích, chứng minh, cịn
trị thì cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý để từ đó học thuộc, ghi nhớ
áp dụng vào tính tốn, chứng minh,… một cách máy móc, rập khn các bài tốn do giáo
viên đề ra. Cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài tốn khó kể cả
các bài tốn khơng mấy gì là khó vẫn được giáo viên ở một số trường Trung học cơ sở
hiện nay sử dụng. Điều này có thể giúp cho học sinh làm đúng kết quả những bài tốn
theo khn mẫu có sẳn chứ chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ cho học sinh mà
còn làm cho học sinh xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản.
4



Lời chỉ giáo của V. I. Lênin: “ Khơng có chân lý trừu tượng, chân lý bao giờ cũng
cụ thể” là một tiền đề quan trọng để chúng ta có thể bước đầu đi vào việc nghiên cứu, rèn
luyện và phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh ngay từ cấp học Trung học cơ
sở.
Khác với khoa học thực hiện như Vật lý, Hóa học, Sinh học,…, trong Toán học,
một mệnh đề dù được kiểm nghiệm với rất nhiều trường hợp vẫn không được công nhận là
đúng nếu chưa được chứng minh bằng các lập luận suy diễn có căn cứ. Tư duy suy diễn
lơgic đóng vai trị chủ yếu trong phương pháp tốn học. Chính vì vậy, một trong các
nhiệm vụ cơ bản của việc dạy học toán là bồi dưỡng cho học sinh cách suy nghĩ, cách suy
luận đúng đắn, tức là rèn luyện cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với lơgic.
Nhìn chung mơn Tốn ở cấp Trung học cơ sở có tính trừu tượng thấp, kiến thức để
rèn luyện năng lực tư duy lơgic và sử dụng chính xác ngơn ngữ tốn học khơng xuất hiện
ở dạng tường minh như ở cấp Trung học phổ thông. Kiến thức để rèn luyện năng lực tư
duy lơgic và sử dụng chính xác ngơn ngữ tốn học cho học sinh ở cấp Trung học cơ sở
vẫn xuất hiện ở dạng ẩn tàng xuyên suốt trong qua trình dạy học mơn Tốn. Do đó chúng
ta có thể rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy lơgic và sử dụng chính xác ngơn ngữ tốn
học trong q trình dạy học tốn ở trường Trung học cơ sở. Thực tiễn sư phạm cho thấy
năng lực tư duy lơgic và sử dụng chính xác ngơn ngữ tốn học của học sinh Trung học cơ
sở cịn chưa được quan tâm rèn luyện và phát triển. Nguyên nhân dẫn đến điều này có phải
chăng là do giáo viên Trung học cơ sở chưa ý thức được tầm quan trọng, hoặc chưa có
những biện pháp thích hợp để rèn luyện năng lực tư duy lơgic và sử dụng chính xác ngơn
ngữ tốn học cho học sinh?
Có nhiều tài liệu về phương pháp dạy học tốn và có một số cơng trình nghiên cứu
liên quan đến tư duy lơgic cũng nhấn mạnh yêu cầu rèn luyện và phát triển tư duy lơgic và
sử dụng chính xác ngơn ngữ tốn học cho học sinh là một trong các nhiệm vụ quan trọng
của dạy học tốn ở trường phổ thơng.
Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Phát triển tư duy
toán học của học sinh khá, giỏi trong dạy học đại số ở trường THCS"


II. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích của đề tài là nghiên cứu để đưa ra một số thành tố đặc trưng đối với năng
lực tư duy toán học của học sinh khá giỏi trong dạy ở trường Trung học cơ sở. Đồng thời
5


xây dựng một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện năng lực này cho học sinh và nâng
cao chất lượng dạy học mơn tốn ở trường Trung học cơ sở.

III. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số thành tố đặc trưng của năng lực tư duy
toán học và việc áp dụng các biện pháp rèn luyện tư duy toán học và áp dụng của tư duy
tốn học vào dạy học mơn Tốn ở trường Trung học cơ sở cho học sinh khá, giỏi.Xây
dựng một số biện pháp nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh khá giỏi. Để từ đó
vận dụng các biện pháp này vào dạy học đại số nhằm mục đích nâng cao chất lượng day
học tốn.

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu:
4.1. Tư duy toán học, năng lực toán học, tư duy lơgic, ngơn ngữ tốn học.
4.2. Một số thành tố đặc trưng cơ bản của tư duy toán học.
.4.3. Một số biện pháp thực hiện “phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi
trong dạy học đại số ở trường Trung học cơ sở".
4.4. Thực nghiệm sư phạm.

V. Phương pháp nghiên cứu:
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu, tìm hiểu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan đến tư duy
tốn học.
Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài.
Các cơng trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.

5.2. Phương pháp nghiên cứu thực tế :
Sơ bộ tìm hiểu và rút ra một số nhận xét việc “ Phát triển tư duy toán học cho học
sinh khá giỏi" qua dạy học toán ở trường Trung học cơ sở Lê Văn Thiêm thành phố Hà
Tĩnh và một số trường Trung học cơ sở ở các phường lân cận qua dự giờ, điều tra, phỏng
vấn giáo viên và học sinh.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Tiến hành một số giờ dạy thực nghiệm sư phạm ở một số trường Trung học cơ sở ở
thành phố Hà Tĩnh. Kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm, so sánh đối chiếu giữa lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng có cùng trình độ học vấn tương đương nhằm minh họa bước
đầu những biện pháp đã được đề ra trong luận văn.

VI. Giả thuyết khoa học:
6


Trên cơ sở nội dung chương trình sách giáo khoa và bộ tài liệu hướng dẫn thực hiện
chuẩn kiến thức,tài liệu nâng cao, chuẩn kĩ năng bộ mơn tốn hiện hành, nếu trong dạy
đại số giáo viên chú ý phát triển tư duy toán học cho học sinh khá , giỏi phát triển được
năng lực toán học cho học sinh trong dạy học mơn tốn ở trường THCS thì sẽ góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học tốn ở nhà trường Trung học cơ sở.

VII. Những đóng góp của đề tài:
7.1. Về lý luận:
Góp phần làm sáng tỏ nội dung “ Phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi
trong dạy học đại số ở trường THCS”
7.2. Về thực tiễn:
- Xây dựng được một số biện pháp “ Phát triển tư duy toán học của học sinh khá,
giỏi trong dạy học đại số ở trường THCS"
- Vận dụng một số biện pháp " Phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi
trong dạy học đại số ở trường THCS ” vào thực tiễn dạy học môn Tốn ở trường Trung

học cơ sở.
Với đóng góp nhỏ ở trên, hy vọng luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho các
giáo viên trẻ mới vào nghề khi thực hiện nhiệm vụ nâng cao chất lượng dạy và học mơn
tốn ở trường Trung học cơ sở.

VIII. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:
Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp nhằm góp phần Phát triển tư duy tốn học của học sinh
khá, giỏi trong dạy học đại số ở trường THCS.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

7


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tư duy:
1.1.1. Khái niệm:
Nhận thức cảm tính có vai trị quan trọng trong đời sống tâm lý của con người, nó
cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lý cao hơn. Tuy nhiên thực tế cuộc sống luôn luôn
đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con người khơng thể nhận thức và giải quyết được.
Muốn cải tạo thế giới, con người phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý
tính ( hay cịn gọi là tư duy).
Theo Từ điển Giáo dục học: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, cho
phép phản ảnh được bản chất và các mối quan hệ của sự vật khách quan mà con người
không nhận biết được bằng tri giác và cảm giác trực tiếp hoặc bằng biểu tượng. Tư duy
sinh ra trong quá trình tương tác giữa con người và thế giới bên ngoài. Thế giới khách
quan tác động vào tư duy của con người thông qua những nhu cầu, những vấn đề phát sinh
và những hành động giải quyết các vấn đề ấy. Khi suy nghĩ, con người sử dụng những

kiến thức đã có và bằng những hành động nhận thức cơ bản thường dùng như: phân tích,
tổng hợp, tập hợp, so sánh, phân loại, hệ thống hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, … để
khám phá ra điều mới trong những điều đã biết, từ đó thu nhận được những hiểu biết mới.
Hành động nhận thức làm phát hiện ra những đặc điểm và các mối quan hệ ẩn chứa trong
sự vật khách quan và cho ra kết quả của tư duy dưới dạng các khái niệm, phán đoán, và
suy lý về những đặc tính và quan hệ sự vật. Những kết quả của tư duy được biểu đạt bằng
ngôn ngữ dưới dạng các từ và câu, và vì vậy ngơn ngữ trở thành cái vỏ của tư duy, trở
thành một phương tiện quan trọng để nhận thức sự vật khách quan...“.
Một thực tế hiện nay là chưa có một định nghĩa về tư duy mang tính khái quát thể
hiện đầy đủ tính chất, đặc điểm, vai trò của tư duy. Ăngghen là người nghiên cứu rất sâu
sắc về tư duy nhưng cũng không đưa ra được định nghĩa về tư duy. Để định nghĩa tư duy,
chúng tôi nhận thấy các nhà tâm lý học trong nước cũng như nước ngoài, mỗi người có
một cách hiểu riêng của mình. Chẳng hạn, theo cách hiểu của X. L. Rubinstêin: “ Tư duy
– đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn
diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể... Tư duy là sự
8


thâm nhập vào những tầng mới của bản thể, là giành lấy và đưa ra ánh sáng những cái cho
đến nay vẫn giấu kính trong cõi sâu bí ẩn: Đặt ra và giải quyết vấn đề của thực tại và cuộc
sống, tìm tịi và giải đáp câu hỏi thực ra nó là như thế nào, câu trả lời đó là cần thiết để
biết nên sống thế nào cho đúng và cần làm gì?“. A. Spiếckin lại cho rằng: “ Tư duy của
con người, phản ánh hiện thực, về bản chất là q trình truyền đạt gồm hai tính chất: Một
mặt, con người hướng về vật chất, phản ánh những nét đặc trưng và những mối liên hệ của
vật ấy với vật khác. Một mặt, con người hướng về xã hội để truyền đạt những kết quả của
tư duy của mình’’. Hay : “ Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngơn ngữ
- q trình tìm tịi và sáng tạo cái chính yếu, q trình phản ánh một cách từng phần hay
khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực
tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó’’.
Tư duy của con người mang bản chất xã hội – lịch sử, có tính sáng tạo, có khả năng

khái qt và sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện. Tư duy con người được quy định bởi các
nguyên nhân, các yêu cầu của quá trình phát triển lịch sử - xã hội, chứ không dừng lại ở
mức độ tư duy bằng các thao tác chân tay hay bằng một chương trình đã được lập sẳn. Có
thể nói một cách khái quát, các nhà tâm lý học Mác-xít, trên cơ sở của chủ nghĩa duy vật
biện chứng, đã khẳng định: Tư duy là sản pjẩm cao cấp của một dạng vật chất hữu cơ có
tổ chức cao, đó là bộ não con người. Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương
tiện ngơn ngữ, sản phẩm có tính chất xã hội cao để nhận thức tình huống có vấn đề, để
tiến hành các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa
nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lý, những quy luật – những sản phẩm khái
quát của tư duy.
1.1.2. Những đặc trưng của tư duy:
Một số đặc trưng cơ bản của tư duy đó là:
Thứ nhất: tư duy là một dạng hoạt động tri thức diễn ra trong ý thức con người, có
nguồn gốc thực tiễn. Dạng hoạt động này có cơ cấu gồm các hành động và thao tác của trí
óc. Những hành động và thao tác trí óc có nguồn gốc từ những hành động và thao tác thực
tiễn trong lao động của con người, lao động xét như là phương thức tồn tại phổ biến của
cộng người. Chính nhận thức đã phản ánh lao động vào trong bộ não người, cải biến đi ở
9


trong đó các hành động và thao tác trí óc. Sự phát triển của lao động quyết định sự xuất
hiện và hồn thiện các hành động, các thao tác trí óc trong tư duy của con người, ngược lại
sự phát triển của tư duy con người cũng có tác dụng hoàn thiện các hành động và thao tác
thực tiễn trong lao động của học.
Thứ hai: tư duy là một dạng nhận thức nảy sinh khi có những hệ thống tri thức làm
tiền đề. Các tri thức tiền đề đều được đem lại bởi nhận thức, nhưng để được đưa vào q
trình tư duy nào đó, chúng phải có nội dung hoạt động và phù hợp với lôgic hoạt động của
lao động, tức là phù hợp với tính quy luật của những hành động và thao tác thực tiễn của
lao động. Tư duy sảb sinh ra tri thức dựa trên hệ tri thức có trước làm tiền đề, chỉ có thể có
nhận thức mà chưa có tư duy. Nếu chỉ dựa trên một số hữu hạn những tri thức làm tiền đề

thì q trình tư duy sẽ có lúc phải dừng lại. Cho nên để tư duy liên tục diễn ra thì phải
thường xuyên bổ sung thêm những tri thức mới, những tài liệu mới được đem lại bởi nhận
thức trên cơ sở vận động của hiện thực và sự phát triển của lao động.
Thứ ba: với tư cách là hệ tri thức hoạt động sản sinh ra tri thức, tư duy con người địi
hỏi một bộ máy cơng cụ và phương tiện nấht định. Khơng có bộ máy này thì hệ tri thức
khơng thể đi vào hoạt động và vì thế, cũng khơng có tư duy. Các cơng cụ của tư duy, như
khái niệm, phán đoán, suy lý,... là những hình thức mà trong đó, tri thức được tập trung, tổ
chức lại và đi vào hoạt động. Tư duy còn đòi hỏi các phương tiện để cố định lại, khách
quan hóa và truyền bá tri thức. Chính các tín hiệu, dấu hiệu, ngôn ngữ là những phương
tiện của tư duy con người, trong đó ngơn ngữ là phương tiện phổ biến và hữu hiệu nhất.
Ngôn ngữ tham gia vào các quá trình tư duy với tư cách là cái chứa đựng các nghĩa biểu
đạt cho sự vật mà thoạt đầu, có hình thái vật chất bên ngồi với chức năng phát âm thông
báo, về sau chức năng này giảm dần và chuyển thành lời nói bên trong, có chức năng
chuyên chở các ý nghĩ. Mặc dù vậy, sự phát triển của tư duy cũng khơng làm cho hình
thức vật chất bên ngồi của ngơn ngữ mất đi mà ngược lại, nó ln được duy trì và phát
triển.
Thứ tư: tư duy xuất hiện khi mà trong cuộc sống, con người vấp phải những vấn đề
nào đó và do đó, nó ln có ít lượng nhất. Tư duy khơng diễn ra nếu con người không vấp
phải những vấn đề trong cuộc sống của họ và với tư cach là hoạt động tri thức, tư duy
10


khơng thể khơng có đối tượng. Khi có một vấn đề thực tiễn hay nhận thức mà với những
tri thức cũ hay cách làm cũ, con người không giải quyết được hoặc giải quyết khơng có
hiệu quả thì q trình tư duy diễn ra với tư cách là sự huy động khối tri thức mà họ đã lĩnh
hội được để tìm ra các giải pháp mới. Do các giải pháp này là những giải pháp cho hoạt
động, nên tư duy chỉ có thể tìm ra chúng trong q trình nhận thức những đối tượng nhất
định. Cùng với việc tìm ra các giải pháp cho hạot động của con người, tư duy còn tạo ra
cho họ những tri thức mới.
Thứ năm: tư duy là một chức năng của não người và với tư cách này, nó là một q

trình tự nhiên, song mặt khác, tư duy cũng không tồn tại bên ngoài xã hội, bên ngoài khối
kiến thức và các phương thức hoạt động mà loài người đã sáng tạo ra và tích lũy được.
Mỗi con người cụ thể trở thành chủ thể tư duy khơng chỉ vì họ có bộ não, mà quan trọng
hơn là vì, trong quan hệ xã hội – giao tiếp, họ nắm được ngôn ngữ và thông qua ngôn ngữ,
họ lĩnh hội được các tri thức, các cơng cụ, các thao tác lơgic do lồi người sáng tạo ra. Và
do vậy, tư duy là một chức năng của bộ não người có tính xã hội – lịch sử, là một sản
phẩm của lịch sử xã hội.
1.1.3. Đặc điểm của tư duy:
Thuộc bậc thang nhận thức cao – nhận thức lý tính – tư duy có những đặc điểm
mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau:
+ Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những tình huống có vấn đề: khi gặp những hồn cảnh,
những tình huống mà vốn hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của con người
khơng đủ để giải quyết, lúc đó con người rơi vào “ hồn cảnh có vấn đề’’ ( hay gọi là “tình
huống có vấn đề" ) khi ấy con người phải vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết và đi tìm
cái mới, hay nói khác đi, con người phải tư duy.
+ Tư duy có tính khái quát: tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung,
những mối quan hệ, quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng. Do vậy tư
duy mang tính khái qt.
+ Tư duy có tính gián tiếp: ở mức độ nhận thức cảm tính, con người phản ánh trực
tiếp sự vật, hiện tượng bằng giác quan của mình, và ta cũng chỉ có được những hình ảnh
11


cảm tính về các sự vật, hiện tượng đó. Trong tư duy, con người phản ánh thế giới một
cách trực tiếp – phản ánh bằng ngôn ngữ.
+ Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngơn ngữ: tư duy và ngơn ngữ có
quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất với nhau. Sự
thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả của q trình tư
duy. Ngơn ngữ được xem là phương tiện của tư duy trong sự diễn biến của quá trình tư
duy nhờ sự tham gia của hệ thống tín hiệu thứ hai


( ngôn ngữ ) mà con người tiến hành

các thao tác tư duy, cuối cùng sản phẩm của quá trình tư duy là những khái niệm, phán
đốn, suy lý được biểu đạt bằng từ, ngữ, câu,...
“ Đặc điểm điển hình của tư duy của con người là mối quan hệ không thể chia cắt
được giữa tư duy và ngôn ngữ. Để nhận thức, tư duy của con người chỉ có thể thực hiện
thơng qua ngơn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của tư duy của con người khác với
tính chất thuần túy sinh vật của hoạt động tâm lý của động vật’’.
+ Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt đầu từ nhận
thức cảm tính, dù tư duy có khái qt và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn
chứa đựng những thành phần cảm tính ( cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan,...). X. L.
Rubinstêin khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng,
thức vấnTư
đề duy và nhận thức cảm tính thuộc hai mức
tưa hồ như làm thành chỗ dựa choNhận
tư duy’’.

độ nhận thức khác nhau, nhưng khơng tách rời nhau, có quan hệ chặt chẽ bổ sung cho
nhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận thức thống nhất và biện chứng. Ngược lại,
Xuất hiện các liên tưởng

tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác và tri giác, làm
cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con
người tính lựa chọn, tính
nghĩa.
Sàngýlọc
liên tưởng và hình thành giả thiết
+ Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một q trình, nghĩa là tư duy có


nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau
được minh họa bởi sơ đồ sau ( do
Kiểm
nhà
traTâm
giả thuyết
lý học Liên Xô ( cũ ) K. K. Plantơnơv đưa
ra ):
Chính xác hóa

Khẳng định

Phủ định

12
Giải quyết vấn đề

Hoạt động tư duy mới


+ Q trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra bằng cách
chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia
vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so
sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…
1.1.4. Tác dụng của tư duy:
“ Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Người ta dựa vào tư duy để nhận
thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong
hoạt động thực tiễn của mình”.
1.1.5. Các loại hình tư duy:
Có rất nhiều loại hình tư duy như tư duy lơgic, tư duy biện chứng, tư duy

sáng tạo, tư duy kinh nghiệm, tư duy lý luận,…. Vế bản chất tư duy chỉ có một, đó là sự
việc hình thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các phần tử ghi nhớ. Sự phân chia
các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu hơn và vận dụng tốt tư duy trong hoạt động
của hệ thần kinh.
Có nhiều cách phân loại tư duy. Sau đây là một số cách phân loại tư duy:
13


1.1.5.1. Cách phân loại thứ nhất: phân loại dựa trên lịch sử hình thành và phát triển tư duy
thì có thể chia thành 3 loại tư duy:
a/ Tư duy trực quan-hành động: là loại tư duy bằng các thao tác cụ thể, tay chân,
hướng vào việc giải quyết một số tình huống cụ thể, trực quan.
b/ Tư duy trực quan-hình ảnh: là loại tư duy mà việc giải quyết các vấn đề dựa vào
các hình ảnh của sự vật, hiện tượng.
c/ Tư duy trừu tượng ( tư duy ngôn ngữ - lôgic ) là loại tư duy phát triển ở mức cao
nhất, chỉ có người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm, các
mối quan hệ lơgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện.
Ba loại tư duy nói trên có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung và chi phối lẫn nhau,
trong đó tư duy trực quan-hành động, tư duy trực quan-hình ảnh là hai loại tư duy có trước
làm cơ sở cho tư duy trừu tượng.
1.1.5.2. Cách phân loại thứ hai: phân loại dựa vào lơgic hình thức và lơgic biện chứng thì
có 2 loại tư duy:
a/Tư duy hình thức: là loại tư duy dựa vào lơgic hình thức.
Lơgic hình thức là khoa học nghiên cứu những hình thức của tư duy

( khái

niệm, phán đốn, suy luận, chứng minh ) từ khía cạnh kết cấu lơgic hay hình thức, tức là
bỏ qua nội dung cụ thể của các đối tượng, chỉ tách ra những phương thức liên hệ giữa các
bộ phận của nội dung mà thơi. Lơgic hình thức chỉ quan tâm đến các đối tượng dưới dạng

tĩnh, cơ lập. Nhiệm vụ chính là xây dựng các quy tắc, quy luật mà sự tuân thủ là điều kiện
cần thiết để đạt đến những kết quả chân thực trong quá trình thu nhận tri thức.
Sau đây là một số quy luật cơ bản của lơgic hình thức:
+ Quy luật đồng nhất: nói rằng tính xác định của tư tưởng là điều kiện tồn tại của
nó: A = A

A

và

+ Quy luật bài trung: hai phán đốn

A

+ Quy luật khơng mâu thuẫn:

A khơng thể đồng thời cùng đúng

( A ∧ A)
và

A không thể đồng thời cùng sai

A∨A
+ Quy luật có lý do đầy đủ: mỗi luận điểm muốn được coi là hồn tồn đáng tin
cậy, thích hợp cho việc chứng minh, phải là luận điểm đã được chứng minh tức là phải
biết các lý do đầy đủ nhờ đó nó được coi lại chân thực.

A → B, A
B

14


+ Quy luật phản đảo:

A→ B

⇔

B→A

Cuối thế kỉ XIX, bước ngoặt chủ yếu của sự phát triển lơgic hình thức là lơgic tốn
( hay lơgic ký hiệu ) nhờ áp dụng những phương pháp hình thức của tốn học, dựa trên
việc sử dụng ngôn ngữ đặc thù của các ký hiệu và các cơng thức.
Trong lơgic tốn, tư duy có nội dung lơgic ( những q trình lập luận và chứng
minh )
b/ Tư duy biện chứng: là loại tư duy dựa vào lôgic biện chứng
Lôgic biện chứng nghiên cứu những quy luật chung nhất của sự phát sinh phát triển
của tư duy, giúp chúng ta nắm vững sự vật.
Là một bộ phận của nhận thức, lôgic biện chứng vận động theo quy luật của phép
biện chứng, của nhận thức và quy luật đặc thù của bản thân nó. Có thể nêu lên một số quy
luật sau đây:
* Những quy luật của phép biện chứng là những quy luật của lôgic biện chứng.
+ Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập vạch ra nguồn gốc của sự
phát triển. Ăngghen viết: “… trong bản thân các sự vật và các q trình, có một mâu thuẫn
khách quan … sự sống trước hết chính là ở chỗ một sinh vật trong mỗi lúc vừa là nó vừa
là một cái khác. Như vậy sự sống cũng là một mâu thuẫn tồn tại trong bản thân các sự vật
và các quá trình, tự đế ra và tự giải quyết khơng ngừng, và khi mâu thuẫn đã hết thì sự
sống cũng khơng còn nữa và cái chết xảy ra. Cũng như chúng ta đã thấy rằng trong lĩnh
vực tư duy cũng vậy, chúng ta khơng thể thốt khỏi mâu thuẫn? Chẳng hạn như mâu thuẫn

giữa năng khiếu nhận thức vô tận bên trong của con người với sự tồn tại thực tế của năng
khiếu ấy trong những con người bị hạn chế bởi hoàn cảnh bên ngoài… Mâu thuẫn này
được giải quyết trong sự tiếp nối của các thế hệ”
+ Quy luật từ lượng đổi dẫn đến chất đổi vạch ra hình thái của sự phát triển. Khi
xem xét mọi sự vật hiện tượng như những “độ”, trong đó tính quy định về chất bao giờ
cũng phụ thuộc vào “ một số lượng”, mặc dù có thể xê xích trong những giới hạn nhất
định. Đặc biệt yết tố nhảy vọt, tức là sự đứt đoạn của cái liên tục trong sự phát triển. Lênin
viết: “Sự chuyển biến biện chứng khác sự chuyển biến không biện chứng ở chỗ nào? Ở
bước nhảy vọt, ở tính mâu thuẫn, ở sự đứt đoạn của tính liên tục, ở sự thống nhất giữa tồn
tại và không tồn tại”.
+ Quy luật phủ định của phủ định vách ra chiều hướng của sự phát triển. Những
hình thức phủ định cũng có mn hình mn vẻ theo các hình thức khác nhau của tư duy
cũng như các hoạt động lôgic cụ thể, cái trực tiếp bị cái gián tiếp phủ định, cái cụ thể bị
15


cái trừu tượng phủ định, cái cảm tính và cái lý tính, cái đơn nhất và cái phổ biến, cái quy
nạp và cái diễn dịch, cái phân tích và tổng hợp… mỗi một phủ định đều bao hàm cả việc
duy trì cái tích cực và xóa bỏ cái tiêu cực và phát triển một cách biện chứng từ cái tích cực
ấy.
* Quy luật nhận thức: Lôgic biện chứng không những tuân theo quy luật của phép
biện chứng, mà còn tuân theo và thể hiện quy luật của nhận thức trong tồn bộ q trình
hình thành và phát triển của tư duy lôgic. Lý luận nhận thức không những vạch ra nguồn
gốc và bản chất của nhận thức, mà còn vạch ra quy luật phát triển của nhận thức và Lênin
đã thể hiện trong luận đề có tính quy luật sau: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu
tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” Đó là con đường nhận thức chân lý của sự
nhận thức hiện thực khách quan.
1.1.5.3. Cách phân loại thứ ba: phân loại dựa vào tính chất, kết quả của q trình tư duy
thì có thể chia thành 3 loại tư duy:
a/ Tư duy tích cực: là loại tư duy dựa vào tính tích cực nhận thức của học sinh trong

q trình học tập. “ Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạt động của học sinh, đặc trưng
bởi khác vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nổ lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức”
b/ Tư duy độc lập: là loại tư duy dựa vào tính độc lập nhận thức của học sinh trong
quá trình học tập. Theo Anistơva, B. P. Êxipov “ Tính độc lập là năng lực cá nhân học
sinh tham gia hoạt động mà không có sự can thiệp từ bên ngồi” Theo nghĩa rộng, bản
chất của tính độc lập nhận thức là sự chuẩn bị về mặt tâm lý cho sự tự học… Theo nghĩa
hẹp: Tính độc lập nhận thức là năng lực, nhu cầu học tập và tính tổ chức học tập, cho phép
học sinh tự học.
c/ Tư duy sáng tạo: là tư duy tạo ra được cái gì mới. Tuy nhiên, học sinh trong q
trình sáng tạo, tạo ra cái mới khơng phải chủ yếu đối với xã hội mà là đối với chủ quan
mình, nhưng cái mới ấy đồng thời cũng có ý nghĩa xã hội, bởi vì khi đó cá nhân được hình
thành và biểu lộ.
1.1.5.4. Cách phân loại thứ tư: phân loại dựa vào dấu hiệu cấu trúc khác nhau của hiện
thức.
a/ Tư duy hình tượng: là tư duy biến đổi cấu trúc của tri giác. Những dấu hiệu cấu
trúc của hiện thực trong trường hợp này là những quan hệ của các đối tượng và những
thuộc tính cảm tính của chúng trong tri giác ( trong đó có cả dấu hiệu như “gần hơn-xa
hơn” “nhỏ hơn-lớn hơn” “giống nhau – không giống nhau”. Tư duy đi theo con đường
16


xây dựng lại cấu trúc thị giác, trong đó lời giải bài tốn tìm được nhờ biến đổi hình dạng
của hình khơng phải sử dụng các khái niệm tốn học trừu tượng).
b/ Tư duy thực hành: là tư duy dựa vào những mối liện hệ và những thuộc tính chức
năng và những hoạt động của các sự vật mà con người đã biết qua kinh nghiệm.
c/ Tư duy khoa học: là tư duy dựa vào những quy luật và những thuộc tính khách
quan, bản chất do khoa học xác định. Những tri thức về các mối quan hệ của các sự vật
được củng cố trong cấu trúc của các khái niệm và luận điểm khoa học, còn tư duy được
thực hiện bằng con đường liên kết những khái niệm và những phán đoán này với nhau và
những biến đổi tương ứng của chúng.

d/ Tư duy lôgic: là tư duy thay thế các hoạt động với các sự vật có thực bắng sự vận
dụng các khái niệm theo quy tắc của lôgic học. Những dấu hiệu cấu trúc của hiện thực mà
tư duy dựa vào là các quan hệ của các khái niệm như: quan hệ giữa giống và loài, chủ ngữ
và vị ngữ, phủ định và khẳng định, liên kết và phân ly, cái riêng và cái chung, cái trừu
tượng và cái cụ thể,… những tri thức về các quan hệ của các sự vật được củng cố trong
cấu trúc lơgic của tư duy cịn bản thân tư duy được thể hiện trong việc sử dụng các cấu
trúc này để xây dựng và biến đổi các khái niệm.
e/ Tư duy khái quát: là tư duy dựa vào hoạt động khái quát hóa. Khái quát hóa là
thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào đó có ngoại diên dẹp sang khái
niệm hay tính chất có ngoại diên rộng hơn bao gồm các đối tượng ban đầu.
1.1.5.5. Cách phân loại thứ năm: dựa vào các dấu hiệu đặc thù của đối tượng tư duy, ví dụ
như trong tư duy toán học ta chú ý tới tư duy hàm, tư duy thuật tốn,… Khi xuất phát từ
ngơn ngữ tốn học ta có tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp,…

1.2. Tư duy toán học:
1.2.1. Khái niệm:
“Tư duy toán học được hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng
trong quá trình con người nhận thức khoa học tốn học hay trong q trình áp dụng toán
học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốc dân,… Thứ hai, tư duy toán học có
các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng
các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế gới hiện thực, cũng như
bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng”.
“Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạng khơng gian và
những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực. Hình thức của tư duy toán học là khái
niệm, phán đoán, suy luận, chứng minh”. ( Nguyễn Văn Lộc - Tr16,27)
17


1.2.2. Vai trị của tư duy tốn học:
Giáo dục tốn học cho học sinh là một quá trình phức tạp, nhằm đạt các mục tiêu:

a/ Truyền thụ cho học sinh một hệ thống nhất định những kiến thức cơ bản của
Toán học;
b/ Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng và kỹ xảo toán học;
c/ Phát triển tư duy toán học của học sinh.
“ Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn đề thứ nhất và vấn đề thứ
hai trong số các vấn đề trên, sẽ tự nó kéo theo việc giải quyết vấn đề thứ ba. Có nghĩa là
cho rằng, sự phát triển tư duy toán học diễn ra một cách tự phát trong quá trình giảng dạy
Tốn. Trong một chừng mực nào đó, điều này có thể đúng, nhưng chỉ trong một chừng
mực nào đó mà thơi”
“ Tư duy tốn học khơng chỉ là thành phần quan trọng trong q trình hoạt động
tóan học học của học sinh, nó cịn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách có
phương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệ
thống các kiến thức và kỹ năng toán học”.
1.2.3. Những thành phần của tư duy toán học:
Các thành phần chủ yếu của tư duy toán học gồm:
1) Tư duy cụ thể;
2) Tư duy trừu tượng;
3) Tư duy trực giác;
4) Tư duy hàm;
5) Tư duy biện chứng;
6) Tư duy sáng tạo;
7) Các phong cách toán học của tư duy.
Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể được tách thành:
• Tư duy phân tích;
• Tư duy lơgic;
• Tư duy lược đồ khơng gian.
Theo nhà tốn học nổi tiếng A. Ia. Khinshin thì những nét độc đáo của tư duy tốn
học là:
1) Suy luận theo sơ đồ lơgic chiếm ưu thế;
2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích;

3) Phân chia rành mạch các bước suy lậun;
18


4) Sử dụng chính xác các ký hiệu ( mỗi ký hiệu tốn học có một ý nghĩa xác định
chặt chẽ );
5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận
Theo nhà Tâm lý học V. A. Cruchetxki: “ Những năng lực toán học được hiểu là
những đặc điểm tâm lý cá nhân ( trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng
những yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như
nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng,
sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học”.
Theo nhà Tâm lý học V. A. Cruchetxki, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán
học ở lứa tuổi học sinh như sau:
1) Về mặt thu nhận những thơng tin tốn học:
Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu tốn học, năng lực nắm được cấu trúc hình
thức vcủa bài tốn.
2) Về mặt chế biến thơng tin tốn học:
a) Năng lực tư duy lơgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không
gian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu số; năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán học.
b) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và các
phép toán của Tốn học.
c) Năng lực rút ngắn q trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương
ứng; năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn.
d) Tính linh hoạt mềm dẻo của các q trình tư duy trong hoạt động toán học.
e) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, tính đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý
của lời giải.
f) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng thay đổi phương hướng của quá trình tư duy,
năng lực chuyển tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo ( trong suy luận tốn
học).

3) Về mặt lưu trữ thơng tin tốn học:
Trí nhớ tốn học ( tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ tốn học; về các đặc điểm
điển hình; về các sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc,
đường lối giải toán).
4) Về thành phần tổng hợp khái qt:
Khuynh hướng tốn học của trí tuệ
19


Các thành phần nêu trên quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫn nhau và hợp
thành một hệ thống duy nhất, một cấu trúc toàn vẹn của năng lực tốn học.

1.3. Tình hình rèn luyện, phát triển tư duy toán học của học sinh khá, giỏi
trong dạy học đại số ở trường trung học cơ sở. Nguyên nhân.
1.3.1. Tình hình rèn luyện phát triển tư duy tốn học của học sinh khá, giỏi trong
dạy học đại số ở trường trung học cơ sở:
Qua phiếu phỏng vấn, trao đổi với giáo viên và qua dự giờ một số giáo viên ở các
trường trung học cơ sở ở thành phố Hà Tĩnh, chúng tơi nhận thấy tình hình rèn luyện tư
duy toán học ở trường trung học cơ sở như sau:
a) Khi dạy các kiến thức toán học, một số giáo viên chỉ trình bày, giới thiệu các kiến thức
đó, mà khơng giải thích để học sinh hiểu rõ bản chất của kiến thức tốn học.
b) Trong q trình học tốn, học sinh ít được rèn luyện vận dụng các kiến thức toán học đã
học để giải quyết các đề trong thực tế cuộc sống ( dù rằng ở Trung học cơ sở các bài toán
dạng này rất nhiều ) nên khi gặp những bài toán thực tế, học sinh thường bị lúng túng
không biết giải như thế nào.
c) Trong dạy học tốn, học sinh ít được tạo cơ hội để tự mình suy luận những vấn đề mà
bản thân học sinh có thể suy luận được. Bên cạnh đó học sinh cũng ít được diễn đạt những
kiến thức tốn học theo ý riêng của mình mà chủ yếu là rập khn trong sách giáo khoa
hoặc theo những gì giáo viên cho học sinh ghi.
d) Nhìn chung trong quá trình học toán học sinh bộc lộ những yếu kém về tư duy lơgic và

sử dụng chính xác ngơn ngữ tốn học. Điều này dẫn đến tính thiếu chính xác trong q
trình lập luận khi giải toán, trong việc phát biểu kiến thức tốn học dưới dạng ngơn ngữ tự
nhiên cũng như ngơn ngữ tốn học.
Từ những điều nói trên, chúng ta có thể nhận thấy rằng tình hình rèn luyện tư duy
toán học của học sinh ở trường trung học cơ sở chưa được giáo viên quan tâm đúng mức
với ý nghĩa và tầm quan trọng của nó.
1.3.2. Ngun nhân:
Tình hình rèn luyện tư duy toán học cho học sinh ở trường trung học cơ sở như
phần trên đã trình bày là có nhiều hạn chế. Qua tìm hiểu trực tiếp chúng tơi nhận thấy có
mấy ngun nhân sau đây:
1. Giáo viên chưa hiểu tư duy toán học một cách đầy đủ.

20


2. Giáo viên chưa thấy tầm quan trọng của tư duy tốn học trong q trình dạy học
tốn.Giáo viên chưa biết rõ biện pháp, cách thực hiện rèn luyện tư duy toán học cho học
sinh là như thế nào.
3. Giáo viên ngại khối lượng kiến thức trong một tiết dạy khá nhiều ( tuy có giảm
tải ).
4. Trình độ học sinh nói chung chưa đồng đều, ít chịu suy nghĩ mà chỉ tập trung
nghe, ghi và nhớ. Hơn nữa giáo viên cũng thường hay chú ý đến kết quả đúng khi học sinh
làm bài, ít chú ý đến q trình trình bày của học sinh. Đây là hậu quả của tính trạng
phương pháp dạy học được đổi mới nhưng chưa triệt để, đồng bộ hiện nay.
KÕt luËn ch¬ng 1
Trong ch¬ng 1, chúng tôi trình bày cơ sở lí luận về TD, TD toán học, các loại TD,
đặc biệt là TDBC.
Trong chơng này, cũng nêu lên sự cần thiết của việc rèn luện và phát triển cho HS
trong DH toán nói chung và DH ở trờng THCS nói riêng.
Đề tài đa ra các luận cứ thông qua các BT khẳng định môn HH ở trờng THPT có

nhiều thuận lợi trong việc rèn luyện và phát triển TDBC cho HS.

21


Chương 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM BỒI DƯỠNG
NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS
2.1. Biện pháp 1: Khai thác triệt để những tình huống có thể rèn luyện cho học
sinh khả năng suy diễn
2.1.1. Nhận xét về dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay, tác giả Nguyễn Bá Kim
viết: “Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, việc dạy học theo kiểu thuyết trình
tràn lan vẫn đang ngự trị” [17, tr. 111]. Thử liên hệ với thực trạng vấn đề rèn luyện kỹ
năng suy diễn cho học sinh THCS trong dạy học mơn Tốn, thì sẽ thấy sự xác đáng của lời
nhận xét đó.
Có lẽ, khơng giáo viên Tốn nào hồi nghi với các nhận định: “Tốn học là khoa học
suy diễn” [25], “kỹ năng suy luận diễn dịch là kỹ năng đặc trưng cho tư duy tốn học” [4,
tr. 5]. Tuy nhiên, điều đó chưa thực sự được ý thức một cách thật đầy đủ và đúng mức.
Thật vậy, nhìn chung vẫn cịn tồn tại các vấn đề sau:
Một là, vẫn nặng về lối “thầy giảng, trò nghe”. Chẳng hạn, khi dạy định lý vẫn còn
thiên về lối diễn giảng .Lâu nay, để dạy một định lý, ta thường tiến hành qua các bước như
nêu nội dung định lý; nêu cách chứng minh định lý; ... Theo cách này, học sinh rất ít được
hoạt động.
Hai là, thầy giáo thường “bao biện”, tiến hành những bước suy diễn mà học sinh cần
và có thể tự mình giải quyết được.
Ba là, có những bước suy diễn mà với thầy giáo thì rất “tầm thường”, bởi thế, nhầm
tưởng rằng với HS thì cũng như vậy, do đó lướt qua rất nhanh, không để cho HS suy nghĩ.
“Thực ra không phải như vậy, trước khi trình bày một kiến thức nào đó thì thầy giáo đã
làm việc với nó khá nhiều lần rồi, nhưng cịn đối với HS, thì đây là lần đầu tiên được tiếp

xúc với nó”.
Bốn là, chưa sử dụng được một hệ thống câu hỏi và bài tập hợp lý, mềm dẻo và linh
hoạt với từng đối tượng HS. Nhiều bài tập còn trùng lặp về dạng, chỉ địi hỏi áp dụng theo
cơng thức. Cịn thiếu những câu hỏi và bài tập rèn luyện kỹ năng suy luận diễn dịch, chưa
khai thác triệt để những tình huống có thể phát triển khả năng suy diễn cho HS.
22


Năm là, chưa khai thác tốt mối liên hệ giữa các chủ đề kiến thức với nhau thông qua
những bước suy diễn khơng đến nỗi phức tạp. “Lơgic của Tốn học không chỉ bao gồm
các cách diễn đạt và chứng minh riêng lẻ, mà cịn ở tính hệ thống và hồn chỉnh của nó”
[37, tr. 59].
Theo Nguyễn Bá Kim: “Tri thức khơng phải là điều có thể dễ dàng cho khơng. Để
dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường không thể trao ngay cho HS điều thầy muốn
dạy, cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để HS
chiếm lĩnh nó thơng qua hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo” [17, tr. 144].
Các tác giả A. V. Pêtrôvxki - L. B. Itenxơn [23, tr. 60] cũng thể hiện quan điểm như
vậy.
Do đó, muốn hình thành và phát triển kỹ năng suy diễn cho HS, không thể chỉ đơn
thuần thầy giáo tiến hành các bước suy diễn để HS theo dõi, không thể chỉ nêu những câu
hỏi và ra những bài tập khơng tương thích với mục đích phát triển kỹ năng suy diễn. Lý
thuyết tình huống đã khẳng định: “Một mơi trường khơng có dụng ý sư phạm là không đủ
để chủ thể kiến tạo được tất cả các kiến thức mà xã hội mong muốn họ lĩnh hội được” [17,
tr. 211].
Chúng ta biết rằng, dạy Toán là dạy hoạt động toán học [36, tr. 12]. “Mỗi nội dung
dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Phát hiện được những hoạt
động tiềm tàng trong một nội dung cụ thể là cụ thể hố được mục đích dạy học nội dung
đó, chỉ ra được cách thực hiện mục đích này, đồng thời vạch được một con đường để
người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những mục đích dạy học khác. Cho nên,
điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác được những hoạt động tiềm tàng trong

nội dung để đạt được mục đích dạy học. Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ hữu cơ
giữa mục đích, nội dung và phương pháp dạy học” [17, tr. 120, 121].
2.1.2. Để phát triển khả năng suy diễn cho HS, cần:
a) Tạo ra nhiều cơ hội, nhiều tình huống để HS được tập dượt, được tiến hành các
hoạt động suy diễn. Cần khai thác trên mọi nội dung, trong dạy khái niệm; dạy định lý;
dạy giải bài tập. Không bỏ lỡ những tình huống cho dù với thầy giáo là rất dễ, “không gán
ép sơ đồ lôgic của một trí óc đã hiểu được mơn học cho một trí óc đang đấu tranh để hiểu
được nó” (J. Dewey).
23


V í dụ 1: Khai triển
a) (a+b+c)2
b) (a+b-c)2
c) (a+b-c-d+e)2
Trên cơ sở học sinh đã được học các hằng đẳng thức (a+b) 2,(a-b)2, giáo viên cần gợi ý
để các em sử dụng được 2 hằng đẳng thức trên.
Giáo viên có thể nêu câu hỏi gợi ý: Làm thế nào để có thể sử dụng được các hằng
đẳng thức đã học. Với câu a và câu b ta hy vọng học sinh sẽ trả lời là đặt a+b=x.
Tacó:
(a+b+c)2=(x+c)2
=x2+2xc+c2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
Sau đó giáo viên cho học sinh làm tương tự câu b
Giáo viên xây dựng cơng thức cho câu cịn lại và hướng dẫn học sinh tự ra đề và tự
làm dạng này
b) Với một số tính chất; hệ quả có thể suy ra một cách trực tiếp từ định lý trước đó,
mà khơng phải trải qua nhiều bước suy diễn, thì nên để HS độc lập chiếm lĩnh.
Viện sĩ A. Đ. Alêcxanđrôv đã phát biểu rằng: “Nếu chúng ta muốn dạy tư duy lơgic

thì phải dạy chính nó chứ khơng phải dạy lập luận có sẵn. Vì vậy, các cách diễn đạt và các
cách chứng minh phải được xem như là các bài tập về tư duy lơgic. Tự mình lĩnh hội được
một vài kết luận nho nhỏ cũng có ích hơn nhiều, lí thú hơn nhiều so với học thuộc những
lập luận xa lạ” [37, tr. 59].
V. A. Cruchetxki: “Nếu HS biết không phải một trăm, mà chỉ năm chục định lý thôi,
nhưng khi cần thiết biết tự chứng minh nốt năm chục định lý kia, thì sẽ tốt hơn”.
Xét thêm một ví dụ khác: sau khi học Bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm
x + y ≥ 2 xy , có thể yêu cầu HS chứng minh rằng, nếu a và b là 2 số dương thì
x y
a b
+ ≥ 2 . Tiếp theo đó, có thể yêu cầu HS đánh giá về + với x > 0, y < 0.
y x
b a
24


c) Chú trọng khai thác những tình huống, mà ở đó, hoạt động suy diễn sẽ dẫn tới
những áp dụng để giải quyết một số vấn đề có liên quan. Đồng thời lưu ý vấn đề gợi động
cơ và truyền thụ tri thức phương pháp trong những trường hợp này.
Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học mơn Tốn được thể hiện ở các tư
tưởng chủ đạo sau đây:
- Cho HS thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương
thích với nội dung và mục đích dạy học;
- Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;
- Dẫn dắt HS chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và
kết quả của hoạt động;
- Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học [17, tr. 27].
Nói riêng, việc tập luyện cho HS các hoạt động suy diễn nên vận dụng Quan điểm
hoạt động được thể hiện qua các tư tưởng chủ đạo nói trên.
Sau khi dạy HS định nghĩa giá trị tuyệt đói của một số thì từ định nghĩa các em có

nhận xét gì về dấu của giá trị tuyệt đối một số?
(Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số là số đo khoảng cách từ điểm đó đến điểm 0
trên trục số)
Học sinh có thể chưa trả lời được trị tuyệt đối của một số thì khơng âm thì giáo viên
có thể dùng câu hỏi dẫn dắt độ dài đoạn thẳng mang dấu gì?
Đến đây học sinh sẽ trả lời được độ dài đoạn thẳng là một số dương. Cũng từ định
nghĩa giáo viên xây dựng cho học sinh các nhận xét quan trọng về giá trị tuyệt đối
1. a ≥o ∀a
2. a = −a ∀a
Sau đó cho học sinh làm bài tập đơn giản sau:
Ví dụ 2:
Tìm x sao cho:
a) x = 7
b) x = -7
c) x = 0
25