MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC TRONG ĐẠI SỐ
BANACH KHÔNG GIAO HOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Đồng cấu phức trên đại số con của đại số các toán tử . . . . . . . . . 8
1.3 Phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối
và sự tồn tại các đồng cấu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. PHỔ NỐI ĐIỂM XẤP XỈ VÀ SỰ TỒN TẠI
CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
của phổ nối điểm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Định lí ánh xạ phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Sự tồn tại các đồng cấu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1


LỜI NÓI ĐẦU

Lí thuyết phổ của toán tử tuyến tính liên tục hay tổng quát hơn
phổ của các phần tử trong đại số Banach có nhiều ứng dụng trong giải
tích phức và giải tích hàm. Nó cho chúng ta hiểu rõ hơn cấu trúc của

chính đại số đó và mô tả tường minh hơn cấu trúc của không gian các
ideal cực đại cũng như sự tồn tại hay không các đồng cấu phức trên đại
số Banach.
Như đã biết trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấu phức.
Tuy nhiên trên đại số Banach không giao hoán điều đó không còn đúng
nữa. Do đó vấn đề được đặt ra là với điều kiện nào thì tồn tại đồng cấu
phức trên đại số Banach không giao hoán. Vấn đề này được nhiều nhà
toán học quan tâm như R. E. Harte, V. Mller, A. Soltysiak, ...
Trong [7], A. Soltysiak đã giới thiệu và nghiên cứu các tính chất, của
phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối điểm xấp xỉ của các phần tử trong
đại số Banach không giao hoán. Thông qua các tính chất của các loại
phổ nói trên để tìm ra các điều kiện cần và đủ để một đại số Banach
không giao hoán có đồng cấu phức.
Trong [1], Đặng Thị Hiếu đã nghiên cứu tính chất của phổ nối trái,
phổ nối phải, phổ nối của một họ tuỳ ý các phần tử trong đại số Banach
và sự tồn tại các đồng cấu phức trên một đại số Banach không giao hoán.
Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo nghiên cứu
phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại đồng cấu phức trên đại số Banach
không giao hoán. Với mục đích đó luận văn được viết thành 2 chương.
Chương 1. Sự tồn tại các đồng cấu phức trong đại số Banach
không giao hoán.
Mục đầu tiên của chương 1 dành cho việc trình bày một số khái niệm
và kết quả cơ bản về đại số Banach và đồng cấu phức cần dùng trong
2


luận văn.
Trong mục thứ 2, chúng tôi trình bày một số ví dụ về các đại số
Banach không giao hoán có hoặc không có đồng cấu phức.
Trong mục thứ 3, dựa vào tài liệu tham khảo [1] chúng tôi trình bày

một số tính chất cơ bản của phổ nối và sự tồn tại các đồng cấu phức
cần dùng trong chương sau.
Chương 2. Phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại các đồng
cấu phức.
Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong mục 1, đầu tiên
dựa vào tài liệu tham khảo chúng tôi trình bày khái niệm phổ nối điểm
xấp xỉ trái, phổ nối điểm xấp xỉ phải và phổ nối điểm xấp xỉ. Sau đó,
chúng tôi đưa ra một đặc trưng của phổ nối điểm xấp xỉ (Mệnh đề 2.1.2)
rồi từ đó đưa ra một vài tính chất đơn giản của phổ nối và các ví dụ về
phổ nối (Hệ quả 2.1.3, Ví dụ 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7). Đặc biệt, cũng từ
Mệnh đề 2.1.2, chúng tôi chứng minh phổ nối điểm xấp xỉ trái, phải và
phổ nối điểm xấp xỉ là tập compact, đó là Mệnh đề 2.1.4. Mệnh đề này
trong tài liệu tham khảo không có chứng minh.
Trong mục 2, dựa vào Định lí về số dư và Mệnh đề 2.1.2 chúng tôi
chứng minh định lí ánh xạ phổ vẫn đúng cho phổ nối điểm xấp xỉ
(Định lí 2.2.3).
Trong mục 3, dựa vào tính chất của phổ nối điểm xấp xỉ, chúng tôi
trình bày sự tồn tại các đồng cấu phức trong đại số Banach không giao
hoán, chứng minh các kết quả đã có trong [7].
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm
ơn chân thành tới tất cả các thầy cô giáo trong tổ giải tích, Khoa Toán,
3


Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh cùng tất cả các bạn bè đã động
viên, giúp đỡ tác giả trong thời gian qua. Tuy nhiên, do điều kiện thời
gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả rất mong được quí thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến.

Vinh, tháng 12 năm 2006
Tác giả

4


CHƯƠNG 1

SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC TRONG
ĐẠI SỐ BANACH KHÔNG GIAO HOÁN
Chúng ta đã biết rằng, trên một đại số Banach giao hoán luôn tồn tại
một đồng cấu phức. Tuy nhiên trên đại số Banach không giao hoán thì
điều này không còn đúng nữa. Trong chương này, dựa vào các tài liệu
tham khảo, chúng tôi đưa ra các ví dụ về đại số Banach không giao hoán
có hoặc không có các đồng cấu phức. Sau đó, trình bày các điều kiện để
một đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức, bằng cách dựa
vào khái niệm phổ nối, phổ nối trái, phổ nối phải.
1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản
về đại số Banach và các đồng cấu phức cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. Giả sử A là không gian véctơ trên trường số phức
C, được trang bị một phép nhân trong
A × A −→ A
(f, g) −→ f g
thoả mãn các điều kiện
1) f (gh) = (f g)h,
2) f (g + h) = f g + f h,
(g + h)f = gf + hf ,
3) (αf )g = f (αg) = α(f g), với mọi g, f, h ∈ A và mọi α ∈ C.
Ta gọi A là một đại số phức (hay đại số ).

Một đại số phức A nếu thoả mãn thêm các điều kiện:
4) A là một không gian Banach với chuẩn . ,
5) f.g ≤ f . g với mọi f, g ∈ A,
thì được gọi là đại số Banach.
5


Đại số Banach A được gọi là giao hoán nếu phép nhân trong giao
hoán, tức là f g = gf với mọi f, g ∈ A.
Đại số Banach A được gọi là có đơn vị nếu trong A tồn tại phần tử,
ta kí hiệu là e sao cho
ef = f e = f với mọi f ∈ A.
Giả sử A có đơn vị và f ∈ A. f được gọi là khả nghịch nếu tồn tại
g ∈ A sao cho f g = gf = e. Khi đó ta kí hiệu g = f −1 .
Các đại số Banach ta xét sau này luôn giả thiết là có đơn vị.
1.1.2 Định lí. Giả sử A là đại số Banach, x ∈ A với x < 1. Khi đó
1) Phần tử (e − x) khả nghịch.
2) Tập tất cả các phần tử khả nghịch của đại số A, kí hiệu A−1 là
tập mở.
1.1.3 Định nghĩa. Một hàm tuyến tính
φ : A −→ C
được gọi là đồng cấu phức nếu nó là nhân tính, nghĩa là
φ(ab) = φ(a).φ(b) với mọi a, b ∈ A,
và
φ(e) = 1, với e là phần tử đơn vị của A.
1.1.4 Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach giao hoán. Tập con J
của A được gọi là ideal nếu thoả mãn các điều kiện:
1) J là một không gian véc tơ con của A,
2) x.y ∈ J, với mọi x ∈ A, với mọi y ∈ J.
Nếu J là ideal của A, J = A và J = {0}, thì J được gọi là ideal thực

sự của A.
Một ideal thực sự mà không bị chứa trong một ideal thực sự nào của
A được gọi là ideal cực đại.
6


1.1.5 Mệnh đề. Giả sử A là đại số Banach. Khi đó
1) Nếu J là ideal của đại số A thì J cũng là ideal của đại số A.
2) Nếu J là ideal thực sự thì J cũng là ideal thực sự của đại số
Banach A.
3) Nếu φ : A −→ C là đồng cấu phức, thì Kerφ là ideal cực đại của
đại số Banach A.
1.1.6 Định nghĩa. Giả sử A là không gian Banach. Kí hiệu L(A)
là không gian Banach các toán tử tuyến tính liên tục từ A vào A. L(A)
không chỉ là không gian Banach mà còn là đại số với phép nhân là phép
hợp thành 2 ánh xạ thoả mãn
g.f ≤ g . f với mọi g, f ∈ L(A).
Đại số như vậy gọi là đại số Banach các toán tử.
Đại số này có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất được kí hiệu là eA .
1.1.7 Định nghĩa. Giả sử X là một không gian Banach, L(X) là
không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X và M là không
gian con đóng của X. M được gọi là không gian con bất biến đối với
toán tử T ∈ L(X) nếu M = {0}, M = X và T (M ) ⊆ M .
1.1.8 Định nghĩa. Giả sử H là không gian Hilbert phức hữu hạn
chiều và A là đại số con có đơn vị của L(H). Một không gian con N của
H được gọi là nửa bất biến đối với A nếu có các không gian con N1 và
N2 , cả hai bất biến đối với tất cả các toán tử trên A sao cho N1 ⊂ N2
và N2 = N

N1 .


7


1.2 ĐỒNG CẤU PHỨC TRÊN ĐẠI SỐ CON CỦA ĐẠI SỐ
CÁC TOÁN TỬ
Trong mục này sẽ trình bày các ví dụ về các đại số Banach không
giao hoán có hoặc không có đồng cấu phức.
1.2.1 Ví dụ ([1]). Lấy A = M2 , đại số gồm tất cả các ma trận vuông
phức cấp 2. Ta đã biết A đẳng cấu với L(C2 )-đại số Banach các toán tử
tuyến tính liên tục từ C2 vào C2 . Đặt
0 1
a1 = 0 0 ,

0 0
a2 = 1 0

Ta có
0 1
0 1
0 0
a21 = a1 .a1 = 0 0 . 0 0 = 0 0 = 0,
0 0
0 0
0 0
a22 = a2 .a2 = 1 0 . 1 0 = 0 0 = 0
và
0 1
0 0
0 0

0 1
a1 a2 + a2 a1 = 0 0 . 1 0 + 1 0 . 0 0
0 0
1 0
= 0 0 + 0 1
1 0
= 0 1 = e.
Khi đó, không thể có một đồng cấu phức trên A. Thật vậy, nếu có một
đồng cấu phức φ : A −→ C, thì φ phải thoả mãn hai điều kiện
i) φ(ab) = φ(a).φ(b) với mọi a, b ∈ A.
ii) φ(e) = 1.
Từ đó ta có
φ(a21 ) = φ(a1 a1 ) = φ(a1 ).φ(a1 ),
hay
0 = φ(0) = φ(a1 )φ(a1 ).
8


Do đó φ(a1 ) = 0.
Tương tự φ(a2 ) = 0. Vì vậy
1 = φ(e) = φ(a1 a2 + a2 a1 ) = φ(a1 a2 ) + φ(a2 a1 )
= φ(a1 ).φ(a2 ) + φ(a2 ).φ(a1 ) = 0
Đây là một điều mâu thuẫn.
Như vậy, không thể có một đồng cấu phức trên A.
1.2.2 Ví dụ ([1]). Ví dụ 1.2.1 có thể tổng quát cho đại số Mn gồm
tất cả các ma trận vuông phức cấp n (n ≥ 1).
Lấy A = Mn , đại số gồm tất cả các ma trận vuông phức cấp n (n > 1)
và



0
0
a1 =  ..
.
0

0
0

an−1 =  ...
0
0

0
0
..
.
0

...
...
...
...

0
0
..
.
0


0
0
..
.
1
0

...
...
...
...
...

0
0
..
.
0
0



1
0
0
0
..  ; a2 =  ..
.
.
0

0


0
0
0
0
.
.. 
.  ; an =  ..
0
0
0
1

0
0
..
.
0

...
...
...
...

0
1
..
.

0

0
0
..
.
0
0

...
...
...
...
...

0
0
..
.
0
0


0
0
.. 
.
0

0

0
.. 
. .
0
0

Ta có
a21 = a22 = . . . = a2n = 0,
và
a1 .an + an .a1 + a2 .an−1 + an−1 a2 + . . . = e.
Từ đó bằng lí luận tương tự như trong Ví dụ 1.2.1, ta chứng minh
được không thể có một đồng cấu phức trên A.
Tuy nhiên đại số con của đại số Banach không giao hoán có thể có
đồng cấu phức.
1.2.3 Ví dụ ([1]). Giả sử A là đại số các ma trận vuông phức tam
giác trên cấp n, các ma trận dạng

9



a11 a12
 0 a22
 ..
..
.
.
0
0



. . . a1n
. . . a2n 
. 
. . . ..
. . . ann

Khi đó trên A có đồng cấu phức
φj (a) = ajj , với j = 1, 2, . . . , n.
Thật vậy, với mọi a, b ∈ A thì



b11 b12
a11 a12 . . . a1n
 0 b22
 0 a22 . . . a2n 
a =  ..
..
..
..  , b =  ..
.
.
.
. ... .
0 0
0
0 . . . ann



. . . b1n
. . . b2n 
. .
. . . ..
. . . bnn

Khi đó

a11 a12 . . .
 0 a22 . . .
ab =  ..
..
.
. ...
0
0 ...

a11 b11
∗

 0
a22 b22


=
 ..
...
 .

0

0

 
a1n
b11 b12
a2n   0 b22
..  .  ..
..
.
.
.
ann
0 0

...
∗

...
∗ 


.
..

.


. . . anm bnm



. . . b1n
. . . b2n 
. 
. . . ..
. . . bnn

Do đó
φj (ab) = ajj bjj ,
φj (a) = ajj ; φj (b) = bjj .
Như vậy
φj (ab) = φj (a).φj (b),
với j = 1, 2, . . . , n.
Mặt khác

1
0
1 =  ..
.
0

0
1
..
.
0

...
...
...
...

10

0
0
..
.
0


0
0
.. 
.
1


nên φj (1) = 1 với j = 1, 2, . . . , n.
Rõ ràng φj là ánh xạ tuyến tính. Vì vậy, φj là đồng cấu phức trên A với
j = 1, 2, . . . , n.
Tương tự, đại số gồm tất cả các ma trận vuông phức tam giác dưới
cấp n có các đồng cấu phức dạng như trên.
Sau đây là điều kiện đủ để một đại số Banach không giao hoán có
một đồng cấu phức.
1.2.4 Định lí ([1]). Giả sử H là một không gian Hilbert phức hữu
hạn chiều và A là một đại số con chứa đơn vị của L(H). Nếu A có một
không gian con nửa bất biến một chiều thì A có một đồng cấu phức.
Chứng minh. Giả sử H là không gian Hilbert phức n-chiều và
ε = {ε1 , ε2 , . . . , εn },
là cơ sở của H. Khi đó có thể xem H như Cn .
Giả sử A có 1 không gian con nửa bất biến một chiều N . Khi đó tồn

tại các không gian con N1 và N2 , cả hai bất biến đối với tất cả các toán
tử trong A sao cho
N1 ⊂ N2 và N2 = N

N1 .

Không mất tính tổng quát, ta giả sử
N = εk+1 ; N1 = ε1 , ε2 , . . . , εk , N2 = ε1 , ε2 , . . . , εk+1 .
Giả sử T ∈ A, với
a11 a12
 a21 a22
T =  ..
..
.
.
an1 an2



. . . a1n
. . . a2n 
. .
. . . ..
. . . ann

Với mọi x ∈ H, xét các phép chiếu
ρ1 : H −→ N1
(x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn ) = x → x1 = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0),
11



ρ2 : H −→ N2
(x1 , . . . , xk+1 , xk+2 , . . . , xn ) = x → x2 = (x1 , . . . , xk+1 , 0, . . . , 0).
Do N1 , N2 là các không gian con bất biến đối với tất cả các toán tử trong
A nên T (N1 ) ⊂ N1 và T (N2 ) ⊂ N2 . Với mọi x = (x1 , . . . , xn ) ∈ H, ta có

  
a11 . . . a1k . . . a1n
x1
.
 ..
  ... 

  
 ak1 . . . akk . . . akn  xk 

  
T (x1 ) = 
. 
a
  
 k+1,1 . . . ak+1,k . . . ak+1,n   0 
 ..
  ... 
.
0
an1 . . . ank . . . ann


a11 x1 + . . . + a1k xk

..


.


 a1k x1 + . . . + akk xk 


=
.
a

 k+1,1 x1 + . . . + ak+1,k xk 
..


.
an1 x1 + . . . + ank xk
Vì T (x1 ) ∈ N1 nên:

ak+1,1 x1 + . . . + ak+1,k xk = 0
..
.

an1 x1 + . . . + ank xk = 0
Do các x1 , . . . , xk là các số phức tuỳ ý nên các đẳng thức trên xảy ra khi
và chỉ khi



ak+1,1 = 0, . . . , ak+1,k = 0

an1 = 0, . . . , ank = 0

Ta cũng có
a11
 ...

ak+1,1

2
T (x ) = 
a
 k+2,1
 ..
.
an1 x1


...

a1,k+1

. . . ak+1,k+1
. . . ak+2,k+1
...

an,k+1
12


...

a1n


x1
  ... 

 
. . . ak+1,n  xk+1 

 

.


. . . ak+2,n   0 

  ... 
0
. . . ann
 


a11 x1
..

.

ak+1,1 x1


=
a
 k+2,1 x1
..

.
an1 x1


+ ... +

a1,k+1 xk+1





+ . . . + ak+1,k+1 xk+1 

.
+ . . . + ak+2,k+1 xk+1 


+ ... +

an,k+1 xk+1

Vì T (x2 ) ∈ N2 nên
ak+2,1 x1 + . . . + ak+2,k+1 xk+1 = 0

an1 x1 + . . . + an,k+1 xk+1 = 0
với mọi x1 , . . . , xk+1 ∈ C. Do đó
ak+2,1 = 0, . . . , ak+2,k+1 = 0
an1 = 0, . . . , an,k+1 = 0
Vậy T có dạng

a11 . . . a1k a1,k+1
a1,k+2
 ...

ak1 . . . ak,k ak,k+1
ak,k+2



T =  0 . . . 0 ak+1,k+1 ak+1,k+2


 0 ... 0
0
ak+2,k+2
 .
 ..
0 ... 0
0
an,k+2

...
...
...

...
...

a1,n





ak,n 


ak+1,n 
.


ak+2,n 


an,n

(1)

Ta xác định hàm φ trên A như sau
φ : A −→ C
φ(T ) := ak+1,k+1 .
Rõ ràng φ là ánh xạ tuyến tính và φ(e) = 1. Giả sử S ∈ A. Khi đó S
là ma trận có dạng (1), trong đó các aij được thay thế bằng bij . Vì thế
ta có
φ(T S) = ak+1,k+1 bk+1,k+1 = φ(T )φ(S).

Như vậy, φ là một đồng cấu phức trên A.
13


1.3 PHỔ NỐI TRÁI, PHỔ NỐI PHẢI, PHỔ NỐI VÀ SỰ
TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC
Trong các mục trước, ta đã thấy rằng nếu A là một đại số Banach
không giao hoán thì có thể không tồn tại đồng cấu phức trên A. Định lí
1.2.4 đã đưa ra một điều kiện đủ cho sự tồn tại đồng cấu phức trên một
đại số con của đại số các toán tử tuyến tính liên tục trong không gian
Hilbert hữu hạn chiều. Do đó một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên
là, tìm điều kiện cần và đủ để cho một đại số Banach không giao hoán
có một đồng cấu phức xác định trên nó. Trong [7], A. Soltysiak đã giới
thiệu các khái niệm phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối, phổ nối điểm
xấp xỉ trái, phải, phổ nối điểm xấp xỉ của một số hữu hạn các phần tử
trong một đại số Banach và nghiên cứu các tính chất của chúng. Từ đó,
A. Soltysiak đã đưa ra điều kiện cần và đủ để cho một đại số Banach
không giao hoán có đồng cấu phức.
Trong mục này, dựa vào [1] chúng tôi trình bày định nghĩa phổ nối
trái, phổ nối phải, phổ nối của một họ tuỳ ý các phần tử trong một
đại số Banach và trình bày lại một số kết quả cần dùng cho chương sau
(chúng ta có thể xem chứng minh của các kết quả này trong [1]). Trong
chương 2, những vấn đề này sẽ được xét cho phổ nối điểm xấp xỉ trái,
xấp xỉ phải và phổ nối điểm xấp xỉ.
Từ nay về sau nếu không giải thích gì thêm thì luôn hiểu A là đại số
Banach không giao hoán, có đơn vị, được kí hiệu là e.
1.3.1 Định nghĩa ([1]). Giả sử A là đại số Banach, Λ là tập chỉ số
bất kì và E = {ai , i ∈ Λ} ⊂ A. Họ {λi : i ∈ Λ} ⊂ CΛ được gọi là thuộc
phổ trái của E nếu với mọi J ∈ H(Λ) đều có
A(ai − λi ) = A,

i∈J

trong đó H(Λ) là họ tất cả các tập con hữu hạn của Λ.
Kí hiệu phổ nối trái của E là σl (E).
14


Phổ nối phải σr (E) được định nghĩa một cách tương tự.
Ta gọi phổ nối của E là tập σH (E) = σl (E) ∪ σr (E).
1.3.2 Nhận xét. Nếu A là đại số Banach giao hoán, thì
σl (E) = σr (E) = σH (E).
1.3.3 Mệnh đề ([1]). 1) Nếu a ∈ A, thì σH (a) = σ(a), trong đó
σ(a) = {λ ∈ C : a − λ không khả nghịch} (phổ của a).
2) Nếu F = {ai : i ∈ Λ1 }, E = {ai : i ∈ Λ} ⊂ A, Λ1 ⊂ Λ, thì
p(σH (E)) ⊂ σH (F ), trong đó p là phép chiếu từ CΛ −→ CΛ1 .
3) σH (E) ⊂

σH (ai ) với E = {ai : i ∈ Λ} ⊂ A. (Đối với σl và σr
i∈Λ

ta cũng có kết quả tương tự).
1.3.4 Mệnh đề ([1]). Giả sử {ai : i ∈ Λ} ⊂ A và {λi : i ∈ Λ} ⊂ C.
Khi đó {λi : i ∈ Λ} ⊂ σl ({ai : i ∈ Λ}) khi và chỉ khi
{0i : i ∈ Λ} ∈ σl ({ai − λi : i ∈ Λ}).
Chú ý. Kết quả của Mệnh đề 1.3.4 cũng đúng cho các phổ nối phải,
phổ nối.
Ta đã biết rằng phổ σ(a) của phần tử a trong đại số Banach A là một
tập compact. Vấn đề được đặt ra là kết quả tương tự còn đúng cho phổ
nối của một họ tuỳ ý các phần tử trong A hay không. Định lí sau đây
giải quyết vấn đề này.

1.3.5 Định lí ([1]). Phổ nối, phổ nối trái, phổ nối phải của một họ
tuỳ ý các phần tử {ai : i ∈ Λ} ⊂ A là tập compact.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh
σH ({ai : i ∈ Λ}) ⊂

σH (ai ).
i∈Λ

15


Thật vậy, với mọi
{λi : i ∈ Λ} ∈
/

σH (aj )
i∈Λ

tồn tại
λj ∈ {λi : i ∈ Λ}, λj ∈
/ σH (aj ),
do đó tồn tại bj , cj ∈ A sao cho
bj (aj − λj ) = (aj − λj )cj = e.
Từ đó suy ra A(aj − λj ) = A. Vì thế
{λi : i ∈ Λ} ∈
/ σH ({ai : i ∈ Λ}).
σH (ai ) là tập compact.

Vì phổ của một phần tử là tập compact nên
i∈Λ


Để chứng minh σH ({ai : i ∈ Λ}) compact, từ bao hàm thức trên ta chỉ
cần chứng minh σH ({ai : i ∈ Λ}) đóng.
Giả sử
{λi : i ∈ Λ} ∈
/ σH ({ai : i ∈ Λ}).
Khi đó, ắt tồn tại {λi : i ∈ J} sao cho
A(ai − λi ) = A,
i∈J

trong đó J là tập con hữu hạn của I. Do đó, tồn tại bi ∈ A, i ∈ J sao cho
bi (ai − λi ) = e.
i∈J

Vì tập A−1 gồm các tập khả nghịch trong A là tập mở và e là phần tử
khả nghịch nên tồn tại ε > 0 sao cho hình cầu mở B(e, ε) ⊂ A−1 . Lấy
ε
δ=
, trong đó n là số phần tử của tập J và M = max{ bi : i ∈ J}.
nM
Với {µi : i ∈ J} ⊂ C, |µi − λi | < δ, i ∈ J, ta có

16


e−

bi (ai − µi ) =
i∈J


bi (ai − λi ) −
i∈J

bi (ai − µi )
i∈J

bi (µi − λi )

=
i∈J

≤

bi |µi − λi | < nM δ = ε.
i∈J

Do đó
bi (ai − µi ) ∈ B(e, ε) ⊂ A−1 .

c=
i∈J

Khi đó, ta có
c−1 bi (ai − µi ) = e.
i∈J

Vì thế
A(ai − µi ) = A.
i∈J


Từ đó suy ra, với các µi bất kì trong C, với mọi i ∈ Λ \ J ta có
{µi : i ∈ Λ} ∈
/ σH ({ai : i ∈ Λ}).
Như vậy tập
U = {µi } ⊂ CΛ : |µj − λj | < ε, j = 1, n ⊂ CΛ \ σH ({ai : i ∈ Λ}).
Mặt khác, vì U là lân cận của λ = {λj } trong CΛ nên
CΛ \ σH ({ai : i ∈ Λ})
là tập mở và do đó σH ({ai : i ∈ Λ}) là tập đóng.
Đối với phổ nối phải, phổ nối cũng được chứng minh tương tự.
1.3.6 Định lí. Giả sử S = {ai : i ∈ Λ} là họ các phần tử sinh của
đại số Banach A. Khi đó
σl (S) = σr (S) = σH (S) = {(φ(ai ))i∈Λ : φ ∈ M (A)} ,

17


trong đó M (A) kí hiệu là không gian các đồng cấu phức trên đại số
Banach A
1.3.7 Định lí ([1]). Đại số Banach A có đồng cấu phức khi và chỉ khi
với mọi tập chỉ số Λ, với mọi họ E = {ai : i ∈ Λ} ⊂ A đều có σH (E),
(σl (E) hoặc σr (E)) khác rỗng.

18


CHƯƠNG 2

PHỔ NỐI ĐIỂM XẤP XỈ
VÀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC
Trong mục 3 chương 1, từ sự nghiên cứu tính chất của phổ nối ta

đã đưa ra điều kiện cần và đủ để tồn tại các đồng cấu phức trên đại số
Banach không giao hoán. Trong chương này, vấn đề tương tự như thế
được xét cho phổ nối điểm xấp xỉ.
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA
PHỔ NỐI ĐIỂM XẤP XỈ
2.1.1 Định nghĩa ([7]). Giả sử A là một đại số Banach, a1 , . . . , an
là các phần tử của A. Ta gọi tập
τlA (a1 , . . . , an ) = {(λ1 , . . . , λn ) ∈ Cn : tồn tại {xk } ⊂ A,
xk = 1 ∀k, lim

k−→∞

(aj − λj )xk = 0, ∀j = 1, . . . , n}

là phổ nối điểm xấp xỉ trái của (a1 , . . . , an ).
Đôi khi ta viết τl (a1 , ..., an ) thay τlA (a1 , ..., an ).
Phổ nối điểm xấp xỉ phải của (a1 , ..., an ) được định nghĩa tương tự
và kí hiệu là τrA (a1 , ..., an ) hay τr (a1 , ..., an ).
Phổ nối điểm xấp xỉ của (a1 , ..., an ) là tập
τ (a1 , . . . , an ) = τl (a1 , ..., an ) ∪ τr (a1 , ...an ).
Mệnh đề sau đây cho ta thấy một đặc trưng của phổ nối điểm xấp xỉ
trái, phải và phổ nối điểm xấp xỉ mà nó có nhiều ứng dụng trong thực
hành.
2.1.2 Mệnh đề. Giả sử A là đại số Banach, a1 , . . . , an là các phần tử
của A. Khi đó τl (a1 , . . . , an ) =



 n
n

= (λ1 , . . . , λn ) ∈ C : inf



j=1





(aj − λj )x : x ∈ A, x = 1 = 0 .


19


Chứng minh. Giả sử (λ1 , . . . , λn ) ∈ τl (a1 , . . . , an ). Khi đó, tồn tại
{xk } ⊂ A sao cho xk = 1 với mọi k và
(aj − λj )xk = 0

lim

k−→∞

với mọi j = 1, 2, . . . , n. Từ đó ta có
n

(aj − λj )xk = 0.

lim


k−→∞

j=1

Do đó, với mọi ε > 0 ắt tồn tại k sao cho
n

(aj − λj )xk < ε.
j=1

Từ xk = 1 suy ra


 n

inf
(aj − λj )x : x ∈ A, x = 1 = 0. (1)


j=1

Ngược lại, giả sử (λ1 , . . . , λn ) ∈ Cn sao cho (1) đúng. Khi đó với mỗi
k = 1, 2, . . . ắt tồn tại xk ∈ A, xk = 1 sao cho
n

(aj − λj )xk <
j=1

Do đó


1
.
k

n

(aj − λj )xk = 0.

lim

k−→∞

j=1

Như vậy, tồn tại {xk } ⊂ A, xk = 1 với mọi k và
lim

k−→∞

(aj − λj )xk = 0

với mọi j = 1, . . . , n, nghĩa là (λ1 , . . . , λn ) ∈ τl (a1 , . . . , an ).
Chú ý. Đối với phổ nối điểm xấp xỉ phải cũng có kết quả tương tự
như trong Mệnh đề 2.1.2.
20


2.1.3 Hệ quả. Giả sử a1 , . . . , an ∈ A. Khi đó
n


n

τl (aj ), τr (a1 , . . . , an ) ⊂

τl (a1 , . . . , an ) ⊂
j=1

τr (aj ),
j=1

n

τ (a1 , . . . , an ) ⊂

τ (aj ).
j=1

Chứng minh. Giả sử (λ1 , . . . , λn ) ∈ τl (a1 , . . . , an ). Khi đó theo Mệnh
đề 2.1.2 ta có
inf




n



j=1




(aj − λj )x : x ∈ A, x = 1 = 0.


Từ đó suy ra với mỗi j = 1, 2, . . . , n ta có
inf { (aj − λj )x : x ∈ A, x = 1, } = 0.
Lại theo Mệnh đề 2.1.2, λj ∈ τl (aj ), j = 1, . . . , n. Do đó
n

(λ1 , . . . , λn ) ∈

τl (aj ).
j=1

và ta có

n

τl (a1 , . . . , an ) ⊂

τl (aj ).
j=1

Các bao hàm thức còn lại được chứng minh tương tự.
Ta đã biết phổ nối của một họ các phần tử trong đại số Banach là
một tập compact trong Cn . Câu hỏi được đặt ra là điều tương tự như
phổ nối còn đúng cho phổ nối điểm xấp xỉ nữa hay không? Mệnh đề sau
đây trả lời câu hỏi này.

2.1.4 Mệnh đề ([7]). Phổ nối điểm xấp xỉ trái, phải và phổ nối điểm
xấp xỉ của (a1 , . . . , an ) là các tập compact.

21


Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh mệnh đề cho phổ nối điểm xấp
xỉ trái. Đối với phổ nối điểm xấp xỉ phải và phổ điểm xấp xỉ được chứng
minh tương tự.
Để chứng minh τl (a1 , . . . , an ) compact ta chỉ cần chứng tỏ τl (a1 , . . . , an )
là tập con đóng của σl (a1 , . . . , an ).
Giả sử (λ1 , . . . , λn ) ∈
/ σl (a1 , . . . , an ). Khi đó
n

A(aj − λj ) = A.
j=1

Từ đó suy ra tồn tại uj ∈ A với j = 1, 2, . . . , n sao cho
n

uj (aj − λj ) = e. (e là đơn vị của A).
j=1

Giả sử (λ1 , . . . , λn ) ∈ τl (a1 , . . . , an ). Theo Định nghĩa 2.1.1 ắt tồn tại
{xk } ⊂ A sao cho xk = 1 với mọi k và
lim

k−→∞


(aj − λj )xk = 0

với mọi j = 1, . . . , n.
Từ đó suy ra
lim uj (aj − λj )xk = 0; j = 1, . . . , n

k−→∞

và do đó ta có



uj (aj − λj ) xk = 0.

lim 

k−→∞



n
j=1

n

uj (aj − λj ) = e nên xk −→ 0. Điều này mâu thuẫn với xk = 1

Vì
j=1


với mọi k. Do đó
(λ1 , . . . , λn ) ∈
/ τl (a1 , . . . , an ).
Vì thế
τl (a1 , . . . , an ) ⊂ σl (a1 , . . . , an ).
22


Bây giờ, giả sử (λ1 , . . . , λn ) ∈
/ τl (a1 , . . . , an ). Khi đó ắt tồn tại δ > 0
sao cho
n

(aj − λj )b ≥ b δ, với mọi b ∈ A.
j=1

Bởi vì, nếu ngược lại thì


 n

inf
(aj − λj )x : x ∈ A, x = 1 = 0


j=1

và dó đó theo Mệnh đề 2.1.2, (λ1 , . . . , λn ) ∈ τl (a1 , . . . , an ). Ta kí hiệu U là
δ
hình cầu tâm (λ1 , . . . , λn ), bán kính trong Cn . Với bất kì (µ1 , . . . , µn ) ∈

2
U , với mọi b ∈ A ta có
n

δ b ≤

(aj − λj )b
j=1
n

≤

n

(aj − µj )b +
j=1
n

≤

(µj − λj )b
j=1
n

(aj − µj )b +
j=1
n

j=1


(aj − µj )b +

<

|µj − λj | b

j=1
n

(Ta hiểu chuẩn: (z1 , . . . , zn ) =

δ
b .
2

|zj | với (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn ).

j=1

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra với mọi b ∈ A ta có
n

(aj − µj )b >
j=1

δ
b .
2

Do đó

inf




n



j=1


 δ
(aj − µj )x : x ∈ A, x = 1 ≥ > 0
 2
23


Theo Mệnh đề 2.1.2 (µ1 , . . . , µn ) ∈
/ τl (a1 , . . . , an ). Như vậy
U ⊂ Cn \τl (a1 , . . . , an )
và do đó Cn \τl (a1 , . . . , an ) là tập mở hay τl (a1 , . . . , an ) là tập đóng trong
σl (a1 , . . . , an ). Mặt khác σl (a1 , . . . , an ) là tập compact nên τl (a1 , . . . , an )
là tập compact.
2.1.5 Chú ý. Qua chứng minh Mệnh đề 2.1.4 ta thấy rằng phổ
nối điểm xấp xỉ, phổ nối điểm xấp xỉ trái, phải của bộ các phần tử
a1 , . . . , an là tập con đóng của phổ nối, phổ nối trái, phải tương ứng của
bộ a1 , . . . , an .
2.1.6 Ví dụ. 1) Giả sử A là đại số Banach có đơn vị kí hiệu là e.
Khi đó

τl (0) = {0}, τl (αe) = {α}, với mọi α ∈ C.
Thật vậy, với dãy bất kì {xk } ⊂ A ta có
lim

k−→∞

0.xk = 0

và
lim

k−→∞

(αe − α)xk = lim

k−→∞

(αe − αe)xk = 0.

Do đó {0} ⊂ τl (0) và {α} ⊂ τl (αe).
Ngược lại, giả sử λ ∈ τl (α). Khi đó tồn tại {xk } ⊂ A, xk = 1 sao
cho
lim

k−→∞

(α − λ)xk = 0.

Mặt khác
(α − λ)xk = |α − λ| xk = |α − λ|

nên λ = α. Do đó τl (α) = {α}.
Chứng minh tương tự ta kết luận được τl (0) = {0}.
Chú ý. Đối với phổ nối điểm xấp xỉ phải và phổ nối điểm xấp xỉ
của 0 và αe ta cũng có kết quả tương tự.
24


2) Giả sử A là đại số các ánh xạ tuyến tính liên tục từ l2 vào l2 và
f ∈ A là ánh xạ được cho bởi
f (x) =

1
xn , x = {xn } ∈ l2 .
n

Khi đó
σH (f ) = σ(f ) = σl (f ) = σr (f ) = τl (f )
= τr (f ) = τ (f ) =

1
: n = 1, 2, ...,
n

∪ {0}.

Đầu tiên, ta chứng minh σ(f ) = K với
K=

1
: n = 1, 2, ...,

n

∪ {0}.

Đặt en = (0, ..., 1, 0, 0, ...) với 1 ở vị trí thứ n; n = 1, 2, ...
Khi đó {en : n = 1, 2, ...} là cơ sở trực chuẩn trong l2 . Ta có
f (en ) =
Do đó

1
en ; n = 1, 2, ...
n

1
là giá trị riêng của f . Từ đó
n
1
∈ σ(f ); n = 1, 2, . . .
n

Mặt khác σ(f ) là tập compact nên σ(f ) đóng. Do đó, từ
1
: n = 1, 2, . . .
n

1
−→ 0 và
n

⊂ σ(f ) suy ra 0 ∈ σ(f ). Như vậy K ⊂ σ(f ). Bây giờ,


1
với mọi n. Từ đó suy ra f − λ là
n
một song ánh. Vì f − λ là tuyến tính liên tục và l2 là không gian Banach
giả sử λ ∈
/ K. Khi đó λ = 0 và λ =

nên theo Hệ quả của Định lí ánh xạ mở (f − λ)−1 ∈ A. Do đó λ ∈
/ σ(f ).
Như vậy σ(f ) ⊂ K và ta có K = σ(f ).
Tiếp theo, ta chứng minh τl (f ) = K. Với mỗi n = 1, 2, . . . xác định
ánh xạ gn : l2 −→ l2 với
25